T o e r o ía í a d e d e C ol o a l s

Transcripción

1 Teoría de Cola Joé María Ferrer Caja Uiveridad Potificia Comilla

2 Itroducció Cola: Cojuto de cliete e eera de recibir u ervicio Se roduce cuado lo cliete llega a u ervidor ocuado y ermaece e eera Teoría de Cola: Aálii del comortamieto de u itema de cola a lo largo del tiemo Herramieta: Teoría de Probabilidade Otimizació Simulació Teoría de Cola-

3 Elemeto Fuete: Orige de lo cliete Cola Cetro de ervicio: Cojuto de ervidore Sitema: Cola()+Servidor(e) Salida: Detio de lo cliete FUENTE COA SERVIDORES SAIDA SISTEMA Teoría de Cola- 2

4 Caracterítica: legada Fuete Fiita Sitema cerrado Ifiita Sitema abierto Número de fuete Ua Varia Forma de llegada Uitaria E bloque Tiemo etre llegada Determiita Aleatorio (llegada ideediete) Aleatorio (llegada deediete) Teoría de Cola- 3

5 Caracterítica: Cola Número de caale Iterferecia etre caale Poibilidad de cambiar de caal Imoibilidad de cambiar de caal Caacidad del itema Fiita Ifiita Dicilia FIFO: El rimero que etra e el rimero e er atedido FIFO co límite: El tiemo de ervicio e limitado IFO: El último que etra e el rimero e er atedido SIRO: o cliete e eleccioa de forma aleatoria PRI: Se atiede ate a lo cliete rioritario Teoría de Cola- 4

6 Caracterítica: Mecaimo de ervicio Número de ervidore Relació etre ervidore Servidore ideediete Servidore deediete Homogeeidad etre ervidore Servidore homogéeo Servidore heterogéeo Tiemo de ervicio Determiita Aleatorio (tiemo ideediete) Aleatorio (tiemo deediete) Teoría de Cola- 5

7 Caracterítica: Comortamieto del cliete Comortamieto al ecotrar el ervidor ocuado Etra al itema y ermaece e la cola Reiteta la etrada tra u eriodo de tiemo Reucia al ervicio Selecció del caal Selecció aleatoria Selecció bajo algú criterio Adjudicació automática de caal Comortamieto tra u eriodo de tiemo e la cola Se matiee e el caal Cambia de caal Reucia al ervicio Teoría de Cola- 6

8 Parámetro Taa de llegada : Número medio de cliete que llega al itema or uidad de tiemo Tiemo medio etre llegada / Taa de etrada ef : Número medio de cliete que etra al itema or uidad de tiemo Taa de ervicio : Número medio de cliete que o atedido or u ervidor or uidad de tiemo Tiemo medio de ervicio / Taa de ervicio del itema ef : Número medio de cliete que o atedido or uidad de tiemo Número de ervidore Caacidad del itema k Factor de utilizació, iteidad de tráfico ef / ef Teoría de Cola- 7

9 Etado etacioario: Codició N(t) : Número de cliete e el itema e el itate t El itema uede etabilizare tra u eriodo de tiemo Etado etacioario Ditribució etacioaria: Ditribució de robabilidad de N(t) e el etado etacioario N(t) N Codició ara que exita ditribució etacioaria: < (Taa de etrada<taa de ervicio del itema) Teoría de Cola- 8

10 Etado etacioario: Variable N: Número de cliete e el itema P(N): Probabilidad de que haya cliete e el itema N q : Número de cliete e la cola T: Tiemo de u cliete e el itema T q : Tiemo de u cliete e la cola Teoría de Cola- 9

11 Etado etacioario: Medida de eficiecia : Número medio de cliete e el itema E[N] q : Número medio de cliete e la cola q E[N q ] W: Tiemo medio de cliete e el itema WE[T] W q : Tiemo medio de cliete e la cola W q E[T q ] c : Número medio de ervidore ocuado t c : Tiemo medio de ervidore deocuado Teoría de Cola-

12 Etado etacioario: Relacioe Fórmula de ittle Otra relacioe W Wq + ef q + q ef W ef c - q W q ef Teoría de Cola-

13 Ditribució exoecial T ex( ) f (t) Fució de deidad: - e f ( t) t t t < t Media, variaza, robabilidad: E[T ] V[ T ] 2 Falta de memoria: t > P( T > t ) -t e ( T > t + t T > t ) P( T > ) P t Teoría de Cola- 2

14 Ditribució de Poio N Número de éxito/uidad de tiemo N Poio() Fució de robabilidad - e P( N ) {,,2,...}! Media, variaza: E[N ] V[N ] Reroductividad: a uma de variable ideediete de Poio e otra variable de Poio Proorcioalidad: El úmero medio de éxito e roorcioal al tiemo Relació co la exoecial: El úmero de éxito igue ua ditribució de Poio el tiemo etre do éxito coecutivo igue ua ditribució exoecial Teoría de Cola- 3

15 Proceo oioiao Proceo etocático: Colecció de variable aleatoria {N(t)} Proceo de coteo: N(t) {,, 2, } t N() N(t) Proceo markoviao: Icremeto etacioario: Icremeto ideediete N(t) - N() ólo deede de t- N() c.. N(t) - N() Poio((t-)), N(t) Poio(t) E u itervalo cuya logitud tiede a, la robabilidad de que ocurra má de u éxito tiede a Teoría de Cola- 4

16 Proceo de acimieto y muerte: Plateamieto Nacimieto: Etrada de u cliete Muerte: Salida de u cliete ua vez ervido El tiemo etre llegada e exoecial El tiemo etre alida e exoecial, e ideediete del tiemo etre acimieto N(t): Número de cliete e el itema e el itate t : Taa de etrada i hay cliete e el itema : Taa de alida i hay cliete e el itema Objetivo Obteer la ditribució etacioaria N P(N): Probabilidad de que haya cliete e el itema, e el etado etacioario,,, 2, Teoría de Cola- 5

17 Proceo de acimieto y muerte: Diagrama de traicioe o roceo que rige el úmero de llegada y el úmero de alida o oioiao De cada etado ólo e oible aar a do etado: + i e roduce ua llegada - i e roduce ua alida Teoría de Cola- 6

18 Proceo de acimieto y muerte: Etado etacioario Suueto alcazado el etado etacioario: Taa media de llegada al etado : Taa media de alida del etado : + Taa media de llegada al etado Taa media de alida del etado : Para el etado : A artir de eta exreioe odemo obteer cada e fució de : -K 2 K Para obteer bata uar que 2 2 Teoría de Cola- 7

19 Proceo de acimieto y muerte: Medida de eficiecia Número medio de cliete e el itema Número medio de cliete e cola (ara u itema co ervidore) Taa media de llegada q ( - ) Tiemo medio de ermaecia e el itema W Tiemo medio de ermaecia e cola q W q Teoría de Cola- 8

20 Modelo cláico: Notació de Kedall Eecificacioe del modelo A / B / c / m / d A: Ditribució tiemo etre llegada. Puede er M Exoecial D Cotate E k Erlag de arámetro k G Geérica B: Ditribució tiemo de ervicio. Puede er M, D, E k, G c: Número de ervidore m: caacidad del itema d: Dicilia de la cola Teoría de Cola- 9

21 Modelo cláico: Hiótei geerale Ua úica fuete de tamaño ifiito No hay imaciecia: Todo cliete que llega al itema, etra (a o er que e haya alcazado la caacidad máxima), y ua vez detro o lo abadoa hata haber ido ervido. U úico caal ara todo lo ervidore Servidore ideediete y homogéeo Ideedecia etre llegada y ervicio Por defecto, e uoe caacidad ifiita del itema y dicilia FIFO Teoría de Cola- 2

22 Modelo cláico: M/M/ Hiótei: Tiemo etre llegada ideediete, ditribuido egú ua exoecial de arámetro Tiemo de ervicio ideediete, ditribuido egú ua exoecial de arámetro U úico ervidor: Caacidad ilimitada Dicilia FIFO Factor de utilizació: Etado etacioario < - - Ditribució etacioaria: ( - ),,2,3,... Teoría de Cola- 2

23 Modelo cláico: M/M/ Medida de eficiecia : W ( - ) - ( - q W q W - - ( - ) ( - ) T q : Ditribució mixta ) P t ( T q > ) - -(-) t f ( t) (- ) e Ditribució del tiemo e el itema y e cola: T ex ( - ) ex ( (- )) Teoría de Cola- 22

24 Modelo cláico: M/M/ Hiótei: Tiemo etre llegada ideediete, ditribuido egú ua exoecial de arámetro ervidore ideediete y homogéeo Tiemo de ervicio ideediete ara cada ervidor, ditribuido egú ua exoecial de arámetro Caacidad ilimitada Dicilia FIFO > Taa: Diagrama de traicioe: 2 (-2) (-) Teoría de Cola- 23

25 Modelo cláico: M/M/ Ditribució etacioaria < + -! ) ( )!( - ) (!! - Medida de eficiecia: Teoría de Cola- 24 DEPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN RGANIZACIÓN RGANIZACIÓN RGANIZACIÓN NDUSTRIA NDUSTRIA NDUSTRIA Medida de eficiecia: + 2 ) -! ( ) ( W 2 ) -! ( ) ( - q q q W

26 Modelo cláico: M/M/ Probabilidade Probabilidad de o hacer cola ( ) P( Tq )!(- ) Probabilidad de ermaecer e cola u tiemo mayor que t P( T q > t) ( )!( ) ( ) t e Teoría de Cola- 25

27 Modelo cláico: M/M/ Hiótei: Cao articular del modelo M/M/ ara u úmero ilimitado de ervidore No hay cola, cada cliete que llega e ervido directamete Ditribució etacioaria (exite iemre): N Poio(/) Medida de eficiecia: W W q q Teoría de Cola- 26

28 Modelo cláico: M/M//k Hiótei: Tiemo etre llegada ideediete, ditribuido egú ua exoecial de arámetro ervidore ideediete y homogéeo Tiemo de ervicio ideediete ara cada ervidor, ditribuido egú ua exoecial de arámetro Caacidad limitada a k cliete, k Dicilia FIFO Ditribució etacioaria (exite iemre). Para!! - k co tal que k Teoría de Cola- 27

29 Modelo cláico: M/M//k Taa de etrada: ef ( - k ) Medida de eficiecia : q [ k -+ k ( k - + )(- ] ( )!(- ) ) 2 W q W W q q ef + W ef Teoría de Cola- 28

30 Modelo cláico: M/M// Hiótei: Cao articular del modelo M/M//k cuado la caacidad del itema coicide co el úmero de ervidore No hay cola, cuado u cliete llega o e ervido directamete o o uede etrar e el itema Probabilidad de que el itema eté aturado ( ) ( )!! Teoría de Cola- 29

31 Modelo cláico: M/G/ Hiótei: Tiemo etre llegada ideediete, ditribuido egú ua exoecial de arámetro Tiemo de ervicio ideediete, ditribuido egú ua 2 ditribució geeral F de media / y variaza σ U úico ervidor: Caacidad ilimitada Dicilia FIFO Factor de utilizació: Etado etacioario < Fórmula de Pollaczek-Khitchie: σ 2( - ) 2 Teoría de Cola- 3

32 Modelo cláico: M/M/ cerrado Hiótei: Fuete fiita de m cliete Tiemo de retoro al itema ditribuido egú ua exoecial de arámetro Tiemo de ervicio ideediete, ditribuido egú ua exoecial de arámetro U úico ervidor: Caacidad ilimitada Dicilia FIFO Taa: Taa de retoro Taa de llegada ( m - ) < m m Teoría de Cola- 3

33 Modelo cláico: M/M/ cerrado Ditribució etacioaria (exite iemre) + m m! ( m - )! m! < m iedo ( m - )! Medida de eficiecia W - m - ( m - ) W Taa media de llegada q q m ( - m - + q ( - ) ) m ( m - ) ef Teoría de Cola- 32

34 Modelo cláico: M/M/ cerrado Hiótei: Fuete fiita de m cliete Tiemo de retoro al itema ditribuido egú ua exoecial de arámetro ervidore ideediete y homogéeo Tiemo de ervicio ideediete ara cada ervidor, ditribuido egú ua exoecial de arámetro Caacidad ilimitada Dicilia FIFO Taa: ( m - ) > m < m m m Teoría de Cola- 33

35 Modelo cláico: M/M/ cerrado Ditribució etacioaria (exite iemre) m m!! - Medida de eficiecia: No exite fórmula ecilla. Se obtiee a artir de la defiició, y el reto mediate la fórmula de ittle Taa media de llegada ( m - ) ef m co m tal que Teoría de Cola- 34

36 Deciió e lo itema de cola Objetivo: Determiar el ivel de ervicio que miimiza el cote total del itema Cote total Cote ervicio + Cote cliete Cote ervicio: cote or mateer oerativo el ervicio: Aumeta co la taa de ervicio y co el úmero de ervidore Cote cliete Cote or ermaecer e cola Cote or érdida de cliete Cote or dar ervicio Ambo cote etá e coflicto Teoría de Cola- 35

37 Otimizació de la taa de ervicio Cote or uidad de tiemo C cote or uidad de C cote or teer ua taa de ervicio C 2 cote or mateer u cliete e el itema C 2 () cote total eerado or mateer lo cliete e el itema Fució de cote eerado or uidad de tiemo CT ( 2 ) C + C ( ) Problema a reolver: mi C + C 2( ) Teoría de Cola- 36

38 Otimizació de la taa de ervicio y la caacidad del itema Cote or uidad de tiemo C y C 2 igual que e el cao aterior C 3 cote or uidad de caacidad C 3 k cote or teer ua caacidad k C 4 cote or cada cliete erdido C 4 k cote total eerado or cliete erdido Fució de cote eerado or uidad de tiemo CT (, k ) C + C2( ) + C3k + C4 Problema a reolver: k mi, k C + C 2 ( ) + C 3 k + C 4 k k N Teoría de Cola- 37

39 Otimizació del úmero de ervidore Cote or uidad de tiemo C 2 cote or mateer u cliete e el itema C 2 () cote total eerado or mateer lo cliete e el itema C 5 cote or ervidor C 5 cote or teer ervidore Fució de cote eerado or uidad de tiemo Problema a reolver: CT ( ) C5 + C2( ) mi C + C 2( ) 5 N Teoría de Cola- 38