INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

Transcripción

1 INSTITUTO OLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA TESIS QUE ARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN FÍSICA Y MATEMÁTICAS RESENTA JULIA AGUEDA ROSETE LIMA Director de Tei: Dr. Roberto S. Acota Abreu México D. F Marzo de 9

2 ÍNDICE Itroducció 4 Capítulo I Fudameto de proceo etocático 6. Cocepto y claificació 6. Ditribucioe de probabilidad.. Ditribució expoecial.. Ditribució de oio.3 roceo de Markov 4.3. roceo de Markov e tiempo dicreto 4.3. Ecuació de Chapma roceo de Markov tiempo cotiuo roceo de Markov para proceo etable 6.4 roceo de acimieto muerte 7.4. Ecuacioe de balace 9.4. cao particulare 3 Capítulo II Fudameto de itema de líea de epera 5. or ué e crea líea de epera? 5. Ejemplo de itema de líea de epera 6.3 Aplicacioe de la teoría de líea de epera 8.4 Etructura de lo problema de líea de epera 33.5 Arreglo de la italacioe de ervicio 34.6 Supoicioe geerale de u modelo báico de líea de epera 36.7 Medida de redimieto para evaluar u itema de líea de epera 36.8 Formula de Little 38 Capítulo III Uo de lo modelo de líea de epera 4 3. Claificació de lo modelo de líea de epera 4 3. M/M/ 3.. Modelo de u olo ervidor, població ifiita Modelo de u olo ervidor, població fiita Modelo de u olo ervidor, capacidad fiita M/M/S

3 3.3. Modelo de múltiple ervidore, població ifiita Modelo de múltiple ervidore, població fiita Modelo de múltiple ervidore, capacidad fiita M/G/ 3.4. Modelo co població ifiita Modelo de múltiple ervidore població fiita Modelo de líea de epera co prioridad Modelo de líea de epera co prioridad co iterrupció Modelo de líea de epera co prioridad i iterrupció Modelo M/ E k / 7 Capítulo IV Coto de lo itema de líea de epera Coto de la epera y del ervicio Sitema de coto míimo 76 Capítulo V Ejemplo y aplicacioe 5. Ejemplo de ua clíica Ejemplo de ua exportadora de trigo Ejemplo de mauia de alimeto y u reparació Ejemplo de ua tieda departametal Ejemplo de la admiitració de ua ecuela Ejemplo de ua Termial de camioe 97 Cocluioe Bibliografía 3 3

4 INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES La teoría de cola icluye el etudio matemático de cola o líea de epera y provee u gra úmero de modelo matemático para decribirla. Geeralmete el admiitrador tiee ue tomar deciioe etre Aumir lo coto derivado de pretar u bue ervicio Aumir lo coto derivado de teer larga cola ara eto debe lograr u balace ecoómico etre el coto del ervicio y el coto aociado a la epera por el ervicio. La teoría de cola e í o reuelve ete problema, pero proporcioa la iformació ecearia para poder tomar deciioe. ROBLEMÁTICA El problema fudametal e cai toda la líea de epera tiee ue ver co el euilibrio. El admiitrador debe opear el coto adicioal de proporcioar u ervicio má rápido (má carrile de tráito, pita de aterrizaje adicioale, má motradore de regitro de alida) cotra el coto iherete a la epera. Co frecuecia, el coto de eta deciió e directo. or ejemplo, i ecotramo ue el tiempo total ue paa lo empleado e ua fila para poder utilizar ua copiadora puede dedicare a actividade má productiva, compararíamo el coto de italar ua máuia adicioal cotra el valor del tiempo ue e ahorra lo empleado. Depué de eto la deciió e reduce al coto e peo, lo cual facilita la elecció. or otra parte, upogamo ue lo problema de la líea de epera e la demada de cama e u hopital, e ete cao o podemo implemete calcular el coto de la cama adicioale umado lo coto de cotrucció del edificio, euipo adicioal reuerido y el icremeto e el mateimieto, ya ue, de hacerlo aí, ué podríamo del otro lado de la balaza? E ete cao e efreta el problema de tratar de aigarle ua cifra e peo a la eceidad del paciete de ua cama de hopital ue o etá dipoible. Au cuado podemo etimar lo igreo perdido para el hopital, ué hay obre el humao ue ufre por eta falta de ateció adecuada e el hopital? 4

5 Lo problema de deciió de la líea de epera puede er de 3 tipo:. Dada ua fució de coto de epera, ua fució de coto de ervicio del itema, lo parámetro y, e deea ecotrar u úmero óptimo de ervidore ue miimiza el coto total eperado. Dada ua fució margial de ervicio por uidad de tiempo para fija, el valor de y u rago permiible de variació de, e deea ecotrar el úmero de ervidore, y el valor de ue miimiza el coto total 3. Dado el coto total de ervicio por uidad de tiempo, u coto de ervicio fijo por uidad de ervicio por uidad de tiempo, u valor y, e deea ecotrar u úmero de etacioe de ervicio y el úmero de ervidore por etació ue miimiza el coto total OBJETIVOS El objetivo de la teoría de cola coite e repoder a iteree admiitrativo perteeciete al dieño y a la operació de u itema de cola. Loa objetivo particulare del preete trabajo o: a. reetar el dearrollo de la fudametació de lo modelo matemático de líea de epera. Eto e hace e bae e la de proceo de Markov. b. Dearrollar lo pricipale modelo de la líea de epera, u uo y claificació fudametado e la eceidade cliete-ervidor(e) y la toma de deciioe baada e lo coto de epera y ervicio c. reetar ejemplo y aplicacioe de lo modelo de líea de epera. DESCRICIÓN DEL TRABAJO A cotiuació decribiremo brevemete la etructura el trabajo E el capítulo I e preeta lo fudameto de proceo etocático coiderado lo proceo de Markov y e particular lo proceo de acimieto y muerte ue o fudametale para el preete trabajo. E el capítulo II e da la fudametació de lo itema de líea de epera e decribe la ecritura y la medida de redimieto para evaluar u itema de líea de epera. E el capítulo III e coidera el uo de diferete modelo de líea de epera tomado e cueta diferete factore como el úmero de ervidore, la modalidad del ervicio y la capacidad del itema. E el capítulo IV e itroduce el coto de lo itema de líea de epera. Se coidera el coto de epera, coto del ervicio y e ve u itema de coto míimo. Fialmete e el capítulo V e preeta divero ejemplo y aplicacioe de itema de epera y e da la cocluioe del trabajo 5

6 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS CAÍTULO I FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS La teoría de lo proceo etocático e cetra e el etudio y modelizació de itema ue evolucioa a lo largo del tiempo, o del epacio, de acuerdo a ua leye o determiítica, eto e, de carácter aleatorio. La forma habitual de decribir la evolució del itema e mediate uceioe o coleccioe de variable aleatoria. De eta maera, e puede etudiar cómo evolucioa ua variable aleatoria a lo largo del tiempo. or ejemplo, el úmero de peroa ue epera ate ua vetailla de u baco e u itate t de tiempo; el precio de la accioe de ua emprea a lo largo de u año. La primera idea báica e idetificar u proceo etocático co ua uceió de variable aleatoria, dode el ubídice idica el itate de tiempo (o epacio) correpodiete. Eta idea iicial e puede geeralizar fácilmete, permitiedo ue lo itate de tiempo e lo ue e defie la variable aleatoria ea cotiuo. Aí, e podrá hablar de ua colecció o familia de variable aleatoria, ue da ua idea má exacta de lo ue e u proceo etocático.. CONCETOS Y CLASIFICACIÓN Defiició: U proceo etocático eta defiido por ua colecció de variable aleatoria Xt : t T dode: T R t: e el parámetro ue e aocia al tiempo X t : repreeta el etado de proceo e el itate t. Ejemplo: Si X t repreeta la ditacia etre do puto ue e mueve aleatoriamete obre ua recta, etoce y Si X repreeta el pio e el ue e ecuetra u aceor depué t de la t-eéima parada, etoce, y Si X repreeta el úmero de llamada a u úmero telefóico hata el t itate de tiempo t, etoce ara ue u proceo etocático eté completamete defiido hay ue determiar toda la variable aleatoria, e decir, determiar e idetificar la ditribució de probabilidad aociada a cada ua y la ditribució cojuta de toda ella. Lo proceo etocático puede er claificado: y 6

7 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA or el úmero de valore (o de etado) poible para la fució aleatoria, e u itate determiado. Ete úmero puede er Fiito ifiito umerable ifiito o umerable. (Icluo, el úmero puede er de ditita categoría etre do época coiderada). or la época t t e ue puede cambiar de etado el itema. El proceo e dicreto cuado la erie t t fiita o ifiita umerable, etá fijada de atemao (la erie o e aleatoria). El proceo e permaete cuado el itema puede cambiar de.etado, e cualuier época. El proceo e llama dicotiuo o cotiuo egú lo cambio de etado tega lugar por alto o de modo cotiuo (T e u itervalo). El puto de vita má importate por el ue e puede claificar lo proceo e por u ley de evolució e el tiempo. E la vida real e produce ditita relacioe etre la variable aleatoria ue cotituye u proceo etocático. or ejemplo, la gaacia moetaria obteida e la tirada -éima depederá de la gaacia obteida e la tirada ( ). La propiedade probabilítica de la variable aleatoria o importate al mometo de idetificar y claificar u proceo etocático ue puede er: roceo Markoviao. roceo etacioario. roceo de icremeto idepediete. roceo de Markov. Si la evolució del itema depede ólo de u etado e el itate t, la aplicacioe o muy amplia, e epecial debido al hecho de ue mucho proceo o markoviao puede coiderare como tale, mediate ua defiició coveiete de lo etado poible (cuado el proceo de Markov e dicreto y dicotiuo uele deomiare cadea de Markov) La caracterítica pricipal de lo proceo etocático markoviao e ue la ditribució de X ólo depede de la ditribució de X y o de la ateriore X, X, Se puede reumir diciedo ue el etado futuro del proceo, ólo depede del etado preete, y o del reto de etado paado. Formalmete e exprea como: X t 7

8 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS Cuado el epacio de etado E e dicreto, etoce e puede ecribir X x X x,..., X x X x X x t t t t t roceo etacioario. La ley temporal del proceo, o icluo ólo, cierta caracterítica del proceo o idepediete de ua tralació cualuiera del eje tiempo (u proceo etacioario puede er tambié u proceo de Markov). Defiició: (Fució de autocovariaza de u proceo etocático) Dado Xt : t T e llama fució de autocovariaza a la fució r, Cov Xr, X E Xr E Xr X E X dode r, T. Exite do clae de proceo etacioario:. etacioario débil. etacioario etricto. Defiició. (roceo etacioario débil). U proceo Xt : t T, tal ue E Xt t T, e u proceo etacioario débil i:. E X m t T t. r, r t, t, r,, t T Eto implica, tambié, ue Var X t e cotate para todo t T. Obervacioe: Debe exitir el mometo de orde do de la variable aleatoria. Toda la variable aleatoria tiee la mima media. El hecho de ue r, Cov Xr, X Cov xr t, X t igifica ue la fució de autocovariaza toma el mimo valor para do variable aleatoria ue eté eparada por u retardo t e el proceo, idepedietemete de dóde e ecuetre ituada eta variable aleatoria e el tiempo. Si e coidera t =, etoce r, r, e decir, e ua fució de (r ). Eta catidad e la ditacia de eparació etre la do variable X r y X. Aí, la fució de autocovariaza de u proceo etacioario débil ólo e fució de ua variable ue e la eparació (r ) etre la variable e coideració. Si e toma r =, etoce: * r, r Cov Xr, Xr Var xr Var X r h para toda h T ya ue r h, r h Cov Xr h, Xr h r, r por() (*) 8

9 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA Defiició (roceo etacioario etricto). U proceo Xt : t T, tal ue E X t T, e u proceo etacioario etricto i h T t t t T la variable aleatoria, y,, tiee la mima ditribució cojuta ue. E. etricto. E. débil, pero o al cotrario. t X, X X X, X X t h t h t h t t t Obervació: Si Xt : t T e u proceo etacioario etricto: Cuado = Se obtiee ue toda la variable aleatoria tiee la mima ditribució y, i e upoe la exitecia de mometo de orde do, tiee la mima media, co lo ue e cumple la codició (). Cuado = (Xr, X) e ditribuye igual ue Xr h, X h, h T. De ete modo, r, Xr h, X h y ólo depede de cuál ea la diferecia (r ), uedado, aí, demotrado (). Obervació: E el cao de la ditribució ormal, la etacioalidad débil implica etacioalidad etricta dado ue, e ete cao, la ditribució cojuta -dimeioal ueda determiada por la margiale y codicioada. Se defie u proceo gauiao como auel ue cumple la propiedad de ue t, t t T la ditribució de X, X X e ormal - t t t dimeioal. roceo aditivo o de icremeto idepediete. Si la evolució e u itervalo cualuiera ( t, t dt ) e idepediete del paado icluido el itate t Se dice ue u proceo Xt : t T e de icremeto idepediete i, t, t T, co t t la variable aleatoria y X X o idepediete. t3 t y X X t t y X X t t ropoició Todo proceo de icremeto ortogoale e u proceo markoviao Demotració: Supoemo u proceo X, X, X 3 ara ver ue e Markoviao motraremo ue 9

10 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS X3 x3 X x, X x X3 x3 X x. Aí, dado ue e cooce X x, X x X x X x, X x 3 3 X X x x X x, X X x x 3 3 X X x x X x 3 3 X x X x 3 3 (*) por hipótei, lo icremeto o idepediete. *. DISTRIBUCIONES DE ROBABILIDAD La fuete de la variació e lo problema de líea de epera e debe a la llegada aleatoria de lo cliete y a la variacioe e lo tiempo de ervicio. Cada ua de eta fuete e decribe co ua ditribució de probabilidad. U modelo de itema de cola debe epecificar la ditribució de probabilidad de lo tiempo de ervicio para cada ervidor. La ditribució má uada para lo tiempo de ervicio e la expoecial, auue e comú ecotrar la ditribució degeerada o determiítica (tiempo de ervicio cotate) o la ditribució Erlag (Gamma) La ditribucioe ue utilizaremo o: M: Ditribució expoecial (markoviaa) D: Ditribució degeerada (tiempo cotate) Ek: Ditribució Erlag G: Ditribució geeral Coidere e la ue el úmero de llegada y alida, durate u itervalo de tiempo e cotrolado por la codicioe iguiete:. La probabilidad de ue la etrada ó alida ocurra etre lo tiempo t y t t depede úicamete de t por lo tato la probabilidad o depede de el úmero de eveto ue ocurre e el tiempo t i de el valor epecífico del periodo (,t) (la fució de probabilidad tiee icremeto idepediete etocático). La probabilidad de ue ocurra u eveto durate u itervalo de tiempo muy peueño t e t o t 3. e u itervalo de tiempo t a lo ma puede ocurrir u eveto

11 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA.. DISTRIBUCIÓN EXONENCIAL La ditribució expoecial decribe la probabilidad de ue el tiempo de ervicio del cliete e ua italació particular o ea mayor de T período de tiempo. or la codició la probabilidad de ue o ocurra igú eveto e el tiempo t+ t e: p t t p t p t para t> uficietemete peueña. or la codició p ( t ), por lo tato () t p t e Dode e ua cotate poitiva y t A cotiuació veremo ue para el proceo decrito por tiempo etre eveto uceivo e expoecial p t, el itervalo de Sea f(t): (fdp) del itervalo de tiempo t etre la ocurrecia de eveto uceivo t T: itervalo de tiempo dede la ocurrecia del último eveto. Etoce: el tiempo etre eveto exede a T = o ocurre eveto durate T Eto e puede exprear: O bie T T T f t dt p T e T> T f t dt e T> La probabilidad e calcula uado la fórmula: ( t T ) e T Dode: úmero promedio de cliete ue termia el ervicio por período. t tiempo de ervicio del cliete. T tiempo de ervicio objetivo. / = media de la ditribució del tiempo de ervicio ( / ) = variaza A medida ue aumeta T, la probabilidad ue el tiempo de ervicio del cliete ea meor de T e aproxima a.. or u ecillez, veremo u arreglo de u olo caal, ua ola fae. EJEMLO U gerete de ua tieda departametal, debe determiar i e eceario má etreamieto para el empleado de ervicio al cliete. El cual puede ateder u promedio de tre cliete por hora. Cuál e la probabilidad ue el empleado atieda a u cliete e meo de miuto?

12 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS SOLUCIÓN E ete cao 3 cliete por hora T miuto / 6 hora. 67 hora. Etoce T ( t T ) e (3) (.67) ( t.67 hora) e.6.39 or lo tato. La probabilidad de ue el empleado reuiera olo de miuto o meo o e muy alta, eto idica la poibilidad de ue lo cliete tega ue eperar u poco. El gerete debe coiderar el etreamieto adicioal del empleado para ue éte reduzca el tiempo ue toma ateder a u cliete. Algua caracterítica de la ditribució expoecial o iempre coforma a ua ituació real. El modelo de la ditribució expoecial e baa e el upueto ue cada tiempo de ervicio e idepediete de auello ue lo precediero. Si embargo e, la vida real, puede mejorar la productividad a medida ue lo ervidore humao aprede u trabajo. Otra upoició de ete modelo e ue o poible tiempo de ervicio muy peueño, aí como muy grade. Si embargo, la ituacioe de la vida real reuiere co frecuecia tiempo de ervicio cai cotate... DISTRIBUCIÓN DE OISSON La ditribució de oio decribe ua variable aleatoria dicreta. Eta ditribució e ua e modelo de líea de epera para decribir el úmero de eveto (llegada o alida) e u periodo dado. Lo cliete llega e forma aleatoria a la italacioe de ervicio. La variabilidad e la llegada de lo cliete e decribe co frecuecia por ua ditribució de oio, ue epecifica la probabilidad ue cliete llegue e t período de tiempo: ( t) t () t e para,,,! Dode: () t probabilidad de llegada e t período de tiempo. úmero promedio de cliete ue llega por período. t = media de la ditribució de oio = variaza El proceo de oio e u proceo completamete aleatorio pue el itervalo de tiempo ue tracurre hata ue e preeta el próximo eveto o depede del tiempo ue tracurre dede ue ocurrió el eveto aterior. Eta propiedad e le cooce como olvido, falta de memoria ó propiedad markoviaa de la ditribució expoecial t T S t S t T Dode S e el itervalo de tiempo dede ue ocurrió el último eveto. Como t e expoecial, teemo:

13 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA t T S t S t T * S t S T t t T S t e e t S S T S e S t Otra caracterítica de la ditribució de oio e ue e la úica ditribució cuya media y variaza o iguale La ditribució de oio e ua ditribució dicreta; e decir, la probabilidade o para u úmero epecífico de llegada por uidad de tiempo. EJEMLO El gerete etá redieñado el proceo de ervicio al cliete e ua tieda departametal. E importate ateder a cuatro cliete. Lo cliete llega al motrador a ua taa de do cliete por hora. Cuál e la probabilidad ue cuatro cliete llegue e cualuier hora? SOLUCIÓN E ete cao: cliete por hora, t hora 4 cliete La probabilidad de ue cuatro cliete llegue e ua hora e 4 ( t) () t 6 ( ).9 t e e e! 4! 4 or lo tato. El gerete de ervicio al cliete puede uar eta iformació para determiar lo reuerimieto de epacio para el motrador y el área de epera. Hay ua probabilidad relativamete peueña de ue cuatro cliete llegue e ua hora. or coiguiete, la capacidad de aieto para do o tre cliete e má ue adecuada a meo ue el tiempo para ateder a cada cliete ea largo. Otra maera de epecificar la ditribució de la llegada e hacerlo e térmio de lo tiempo etre llegada (el tiempo etre la llegada de lo cliete). Si la població de cliete geera cliete egú ua ditribució de oio, 3

14 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS.3 ROCESOS DE MARKOV.3. ROCESO DE MARKOV TIEMO DISCRETO U proceo de Markov e defie como u proceo etocático, e dode la llegada o decrita por u proceo de oio co taa y el tiempo etre llegada e ua variable aleatoria co ditribució expoecial y media. Sea ua cadea de Markov dicreta decrita por el cojuto de etado X,,,,3, cuya probabilidad de traició del etado i al etado j e deota como p. El cojuto de probabilidade de traició de etado e puede ij repreetar por la matriz p ij (.) Lo proceo Markoviao puede decribir u etado determiado e u itate de tiempo. ara ello e cueta co la iguiete variable: ij X j X i robabilidad de ue el itema pae del etado i al etado j e m itate: pij ( m) X m j X i Nótee ue e ua probabilidad codicioal de traició de etado probabilidad de ue el itema etá e el etado i e el itate m : p( i; m) X m i y ue e u valor de probabilidad..3. ECUACIÓN DE CHAMAN La matriz dada e la ecuació (.) puede er decrita para u itate m como: ( m) * * * ij ij ij ij ij Eta ecuació e deomia ecuació de Chapma-Kolmogorov, o ecuació CK. Se puede etoce, coocida la probabilidade del itema e el etado i y el itate, p( i; ), determiar la probabilidade del itema e el etado i, e m itate poteriore, p( i; m) co: p( i; m) X j X i X i p ( m) p( i; ) i m ij i EJEMLO 3 Ua cadea de Markov co do etado =,, tiee la iguiete matriz de etrada: m 4

15 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA SOLUCIÓN p p or lo tato p(; 4) p (4) p(;) p(4) p (;) (.4)(.5749) (.6)(.5688) ROCESO DE MARKOV TIEMO CONTÍNUO Aplicado la probabilidad de traició de etado para el cao ue la ditacia etre lo itate m m, lo itate e cambia del epacio dicreto al cotíuo, co lo ue el proceo e vuelve etocático. Luego: m t lim N t j N( ) i ij m ij Co lo ue el itema, decrito por u proceo cotíuo de Markov, cumple co la iguiete codicioe: El tiempo de permaecia e el etado i, T i e ua variable aleatoria co ditribució expoecial y media v i. Cuado el proceo ale del etado i, paa al etado j co ua probabilidad ij. Lo ue atiface ue j ij ota: Si eta probabilidad o depede de, e dice ue el itema tiee traciioe etacioaria. La taa co la ue el itema paa del etado i al etado j e: ( m) lim ij ij m m (.) Dode: ( m ) e la probabilidad de ue el itema deje el etado i ate del ij periodo m y cambie al etado j. Dicho valor, utilizado la deigualdad de Markov, e igual a: vi m ( m) T m e mv Luego ij i ij i ij mvi ij ij vi ij m dode ij e la taa itatáea de traició del etado i al etado j. La taa co la ue el itema va a realizar la traició, etado e el etado i e: ii ( m) vi lim (.3) m m ii ( m ) e la probabilidad de ue el itema cotiúe e el etado i depué del periodo m. Dicho valor, utilizado la deigualdad de Markov, e igual a: 5

16 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS i m T m e v m e v m vi m ii i i i v i e la taa de traició de etado cuado el itema etá e el etado i. Nótee ue: dij t ij ( m t) ij ( t) lim (.4) dt m m etoce el euivalete cotíuo de la ecuació CK p t p ( t) p ( ) (.5) ij ik kj k Que e forma matricial ueda pij ( t ) ij ( t) * pij ( ) Luego, reemplazado (.5) e (.4) t m ( t) ( t) ( m) ( t) ij ij ik kj ij k k j ( t) ( m) ( ( m)) ( t) ik kj ii ij Dividiedo la ecuació por m y evaluado el límite cuado m e tiee e la ecuacioe (.4) y (.) dij ( t) ij m t ij ( t) lim dt m m kj m ii m ik t ij m m t k j Reemplazado (.) y (.3) d () t m m ij lim kj lim ii ik t ij t dt m m m m k k j j t v t kj ik j ij Eta ecuació e deomia ecuació hacia atrá de Kolmogorov.3.4 ROCESO DE MARKOV ARA ROCESOS ESTABLES E coveiete aber cómo e comporta el itema, Depué de cierto tiempo. ara el cao dicreto, e utiliza el vector fila de probabilidade E el ejemplo 3 e tiee: p(; 4) p (4) p(;) p (4) p (;) (.4)(.5749) (.6)(.5688).57 or lo tato: 6

17 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA El cual defie ua relació de recurrecia ue permite coocer la evolució del vector de probabilidad de etado e el itate m, coociedo el vector de probabilidad iicial, haciedo = de la iguiete forma: = (.6) idepediete del vector de probabilidad iicial. or lo tato, cuado el itema llega a u etado etable j, la probabilidad e etado etable llega a er: Luego el vector de probabilidade e etado etable etá dado por: j lim m ij m Uado (.6) (m-)= (m-) Dode: Co lo ue la ecuació ueda: Dode e cumple la codició de probabilidad j Y aí determiar el vector de probabilidade de etado, e etado etable..4 ROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE La mayor parte de lo modelo elemetale de cola upoe ue la etrada (llegada de cliete) y la alida (cliete ue e va) del itema ocurre de acuerdo al proceo de acimieto y muerte. Nacimieto: Llegada de u uevo cliete al itema de cola Muerte: Salida del cliete ervido El itema e ecuetra e el etado compoe dicho etado e igual a E cuado el úmero de elemeto ue El proceo e de acimieto puro cuado ólo e poible ua traició del etado E al etado E El proceo e coidera de muerte cuado olo e poible la traició de E. E a El proceo e llama de acimieto y muerte cuado o poible la traicioe tato de E a E como E a E 7

18 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS N(t) e el úmero de cliete ue hay e el itema e el tiempo t. El proceo de acimieto y muerte decribe e térmio probabilítico como cambia N(t) al aumetar t. Supoició Dado N() t, la ditribució de probabilidad actual del tiempo ue falta para el próximo acimieto (llegada) e expoecial co parámetro,, Supoició Dado N() t, la ditribució de probabilidad actual del tiempo ue falta para la próxima muerte (termiació del ervicio) e expoecial co parámetro,, Supoició 3 La variable aleatoria de lo tiempo ue falta para la próxima llegada y para la termiació del ervicio o mutuamete idepediete Traició e el etado del proceo o El proceo de acimieto y muerte e u tipo epecial de cadea de Markov de tiempo cotiuo. FIGURA ROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE Dode: 8 : Taa media de llegada cuado el itema etá e el etado ( del al ) : Taa media de alida cuado el itema etá e el etado ( del al ) Supogamo ue e el tiempo cero e iicia el coteo del úmero de vece ue el itema etra e cualuier etado y el úmero de vece ue ale del mimo. Etoce E ( t) L ( t ) Dode: E () t : Número de vece ue el itema etra al etado hata el tiempo t

19 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA L () t : Número de vece ue el itema ale del etado hata el tiempo t Como lo do tipo de eveto debe alterare la diferecia erá a lo umo E( t) L( t) t t t E( t) L( t) Lim t t t E () t Taa media a la ue el proceo etra al etado Lim t t L () t Taa media a la ue el proceo ale del etado Lim t t ara cualuier etado (=,,...) del itema, la taa media de etrada e igual a la taa media de alida.4. ECUACIONES DE BALANCE ara el cálculo de la ecuació de u proceo de acimieto y muerte, coideramo itervalo de tiempo uficietemete peueño para ue e ello olo e pueda producir uo o igú cambio, ara calcular la ecuació geeral de u proceo de acimieto y muerte coideremo la probabilidad de ue el itema e ecuetre e el etado E e el itate t+ t i e divide el itervalo (, t+ t) e (, t) y (t,t+ t) podemo coiderar tre cao mutuamete excluyete ue puede dar lugar a ue el itema tega tamaño e el itate t+ t ) ue el itema tega elemeto e el itate t y o exita cambio etre t y t+ t cuya probabilidad erá ) ue el itema tega - cliete e el itate t y e produzca u acimieto etre el itate t y t+ t cuya probabilidad erá 3) ue el itema tega + cliete e el itate t y e produzca ua muerte etre el itate t y t+ t cuya probabilidad erá Si el itema e ecuetra e E, E 3, ó E E 3 e el itate t o e podría llegar al etado E ya ue e ha upueto ue e el itervalo de amplitud olo puede producire u cambio por lo ue la probabilidad bucada cuado lim t erá: ' 9

20 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS Eta ecuació olo e válida cuado, i = olo e poible ua traacció E a E y la ecuació e reduce a de ( ) ' Depué de cotruir la ecuacioe de balace para todo lo etado e térmio de la probabilidade decoocida, e puede reolver ete itema de ecuacioe (má ua ecuació ue etablezca ue la uma de la debe er ). Etado Taa media global de taa media global de = etrada al etado alida del etado Dode: : robabilidade de etado etable de ecotrare e el etado. : Repreeta la proporció de tiempo poible cuado el proceo e ecuetra e el etado cero Nota: como el itema etá e el etado por lo tato o puede haber muerte. Etado Taa media global de taa media global de = etrada al etado alida del etado Etoce: ( ) Se cotiúa co eta metodología y e debe cotruir para todo lo etado. Nota: Recordemo ue la Etado - ( ) ( ) 3 3 ( ) ( )

21 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA Etado - ( / ) ( / ) (/ )( ) ( / ) (/ )( ) ( / ) (/ )( ) ( / ) (/ )( ) Etado - ( / ) ( / ) ( / ) 3 3 ( / ) ( / ) Etado - ( / ) ( / ) ( / ) 3 3 ( / ) ( / ) Simplificado la otació C - - -,,... Etoce el reuiito C De eta forma C El úmero de cliete e el itema e L

22 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS La logitud de epera e la cola e: L ( ) Dode : úmero de ervidore (repreeta el úmero de cliete ue puede etar e ervicio y o lo ue eta e la cola) De eta relacioe teemo: L L W ( = la taa de llegada promedio) W Etoce Nota: Varia de la expreioe tiee u úmero ifiito de térmio. ara mucho cao epeciale eta uma tiee olució aalítica o puede aproximare por método umérico. Eto reultado de etado etable e dearrollaro bajo la upoició de ue lo parámetro y tiee valore tale ue el proceo, de hecho puede alcazar la codició de etado etable. para algu mayor ue el etado iicial e cumple i No e cumple cuado C EJEMLO 4 La etació de gaolia de ua peueña població tiee capacidad para automóvile. Cuado la etació etá deocupada llega 3 automóvile por hora, pero cuado e la etació hay u automóvil la taa de llegada dimiuye a automóvile por hora. La taa a la cual el ervidor puede ateder a lo automóvile ue llega e de 4 por hora. SOLUCIÓN Se debe ecotrar L, L, W, W y la probabilidade de etado etable FIGURA 3 4 4

23 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA Etado 4 3 Etado 4 Reolviedo eta tre ecuacioe obteemo or lo tato L *.47 *.353 * L ( ) *.353 * *.47 *.353 * W.334 hora.6 L.77 W.83 hora.6.4. CASOS ARTICULARES Coiderado diferete valore de la probabilidade de acimieto y muerte e obtiee cao particulare de proceo etocático, cuya ecuacioe puede deducire a partir de la fórmula geeral. Ua clae importate de proceo o lo llamado homogéeo para lo cuale la probabilidade o idepediete del tiempo. A cotiuació e da la formula para alguo cao particulare A. proceo de muerte homogéeo ( ) ' ' B. proceo de acimieto homogéeo ( ) ' ' 3

24 FUNDAMENTOS DE ROCESOS ESTOCÁSTICOS I. proceo de oio L cte L ' L ' II. proceo de Yule L L L L ' L ' Otro proceo de acimieto particulare o: I roceo de Beriulli ara L iedo u úmero fiito roceo de cotagio. ara a b Lo proceo de Beroulli y de oio o cao articulare del de cotagio cuado a=c, b= y a=l; b=-l roceo o homogéeo de olya, L para b blt C. proceo lieal homogéeo de acimieto y muerte L, L ( L M ) M ' M ' M 4 a. proceo de acimieto y muerte co coeficiete cotate L, M L ( L M ) M ' L M ' Ete proceo e fudametal e la teoría de cola cuado e coidera ua ola fuete de llegada ii. proceo de Erlag L, M L ( L M ) ( ) M ' L M ' Ete proceo aparece e la teoría de cola cuado e coidera el cao e el ue exite varia fuete de llegada y eta e produce co la ley de oio

25 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA CAÍTULO II FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA La líea de epera o parte de uetra vida cotidiaa. Todo eperamo e la fila para comprar u boleto para el cie, efectuar u depóito bacario, pagar lo vívere, eviar u pauete por correo, obteer comida e la cafetería, comezar u recorrido e u parue de diverioe, etcétera. No hemo acotumbrado a catidade otable de epera, pero aú o moletamo cuado eta o prologada. Si embargo, teer ue eperar o e ólo ua peueña moletia peroal. La catidad de tiempo ue la població de u paí paa eperado e fila e u factor primordial tato e la calidad de vida como e la eficiecia de la ecoomía del paí. U claro ejemplo, e Etado Uido, e etima ue u ciudadao gata 37,, hora auale eperado e fila. Tiempo ue podría uare e forma productiva, (euivaldría a milloe de año-peroa de trabajo útil cada año) Quie haya teido ue eperar e u emáforo, e la caja de u cetro comercial, al abordar el Metro o eperar a regitrar la alida e el trabajo ha experimetado lo ue e ua líea de epera. Quizá uo de lo mejore ejemplo de la admiitració efectiva de la líea de epera e el de Walt Diey World. U día lo puede viitar 5, peroa, pero otro día puede er 9,. U aálii cuidadoo del proceo de flujo, de la tecología para movilizar a la gete (maejo de materiale), traporte del euipo, capacidad y ditribució de la italacioe hace ue lo tiempo de epera para la atraccioe ea de u ivel aceptable. El aálii de líea de epera e de iteré para lo admiitradore porue o lo ue efectúa el dieño, plaea la capacidad y ditribució, cotrola el ivetario, y efectúa la programació de la actividade e la emprea dode trabaja.. ORQUÉ SE CREAN LAS LÍNEAS DE ESERA? La líea de epera e produce cuado la demada excede la capacidad de ervicio E ua líea de epera uo o má cliete epera por u ervicio. Lo cliete puede er peroa u objeto iaimado como la máuia ue reuiere de mateimieto, la órdee de veta ue epera a depachare, o 5

26 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA artículo del ivetario ue epera para er utilizado. La forma de la líea de epera e debe a u deeuilibrio temporal etre la demada por el ervicio y la capacidad del itema para proporcioar el ervicio. E la mayoría de lo problema de líea de epera e la vida real, la taa de la demada varía; e decir, lo cliete llega a itervalo impreviible. Co frecuecia, la taa para producir el ervicio tambié varía y depede de la eceidade del cliete EJEMLO 5 a) Supoga ue lo cliete del baco llega a ua taa media de 5 por hora a lo largo del día y ue el baco puede ateder u promedio de cliete por hora. Siempre e forma ua líea de epera porue la taa de llegada del cliete varía durate el día y el tiempo reuerido para ateder u cliete tambié varía. 6 La líea de epera puede crecer au cuado el tiempo para ateder a u cliete ea cotate. b) E el ervicio de traporte Metro e cotrola el tiempo del recorrido etre etacioe a lo largo de toda la ruta. Cada tre e programa para llegar a ua termial, digamo, cada 5 miuto. Icluo co el tiempo de ervicio cotate, e crea líea de epera. La peroa epera el próximo tre o o puede abordar u tre debido a la muchedumbre e u mometo del día cuado la demada e mayor. or coiguiete, e ete cao la variabilidad e la taa de demada determia el tamaño de la líea de epera. Nota: Si o hay variabilidad e la demada o e la taa de ervicio y e tiee uficiete capacidad e el itema de ervicio, o puede creare ua líea de epera.. EJEMLOS DE SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA La teoría de líea de epera e aplica tato e lo ervicio como e la emprea maufacturera, relacioa la llegada de cliete y la caracterítica del proceo de producció e el itema de ervicio. Se defie el térmio ervicio como el acto de trabajar para u cliete. a. Servicio comerciale. Lo cliete extero recibe ervicio de orgaizacioe comerciale. La mayoría de eto ejemplo ivolucra a cliete ue acude al ervidor e u lugar fijo, dode e forma ua líea de epera fíica i lo cliete eceita eperar para ue comiece el ervicio. Si embargo, para lo ejemplo de ervicio de plomería y de techado, el ervidor va a lo cliete, de modo ue lo cliete e la líea de epera etá geográficamete dipero. E alguo cao,

27 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA el ervicio e proporcioa por teléfoo, uizá depué de alguo cliete ue etá e epera (e la líea). EJEMLOS DE SISTEMAS DE SERVICIOS COMERCIALES Tipo de itema Cliete Servidor (e) eluuería eroa eluuero Cajero automático eroa Cajero automático Caja e tieda eroa Cajero Servicio de plomería Cañería tapada lomero Vetailla de boleto e u cie eroa Cajero Servicio de corretaje eroa Corredor de valore Gaoliera Auto Bomba Ateció para oporte técico eroa Repreetate técico Servicio detale eroa Detita b. Servicio itero E alguo cao, lo cliete o empleado de la orgaizacioe. E otro ejemplo, lo cliete o carga ue debe movere, máuia a er reparada, artículo para ipecció, etcétera. EJEMLOS DE SISTEMAS DE SERVICIOS INTERNOS Tipo de itema Cliete Servidor(e) Servicio ecretariale Empleado Secretaria Servicio de copiado Empleado Máuia copiadora Computadora grade Empleado Computadora Servicio de fax Empleado Máuia de fax Sitema de mateimieto Máuia Cuadrilla de reparació Etació de ipecció Artículo Ipector Sitema de producció Trabajo Máuia Máuia emiautomática Máuia Operador Depóito de herramieta Operadore de máuia Empleado c. Servicio de traporte E ocaioe, lo vehículo ivolucrado o lo cliete y e otro cao, cada vehículo e u ervidor. E particular, el ervicio de aerolíea y el de elevador ivolucra a u ervidor ue irve a u grupo de cliete e forma imultáea e lugar de uo a la vez. La líea de epera e el ejemplo del etacioamieto tiee capacidad cero porue lo auto ue llega (cliete) va a cualuier otro lugar a etacioare i todo lo epacio del etacioamieto (ervidore) etá ocupado. EJEMLOS DE ESTACIONES DE SERVICIOS DE TRANSORTE Tipo de itema Cliete Servidor(e) Caeta de cobro e autopita Auto Cajero Muelle de carga de camioe Camioe Cuadrilla de carga Área de decarga portuaria Barco Cuadrilla de decarga Avioe ue epera depegar Avioe ita Avioe ue epera aterrizar Avioe ita Servicio de aerolíea eroa Avió Servicio de taxi eroa Taxi Servicio de elevador eroa Elevador Bombero Icedio Carro de bombero Etacioamieto Auto Epacio de etacioamieto Servicio de ambulacia eroa Ambulacia 7

28 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA Exite mucho ejemplo adicioale de itema de líea de epera importate ue puede o etar detro de la categoría mecioada. or ejemplo, u itema judicial e ua red de líea de epera dode lo juzgado o lo locale de ervicio, lo juece (o paele de juece) o lo ervidore y lo cao e epera de juicio o lo cliete. Lo itema de ervicio de alud, como la ala de urgecia de lo hopitale, tambié o itema de líea de epera. or ejemplo, la máuia de rayo X y la cama de hopital e puede ver como ervidore e u propio itema de líea de epera. La aplicacioe iiciale de la teoría de líea de epera (gracia a A. K. Erlag e la compañía telefóica de Copehague) fuero la igeiería telefóica, y el área geeral de la telecomuicacioe cotiúa iedo u área de aplicació muy importate. Má aú, todo teemo uetra propia líea de epera peroale: aigació de tarea, libro ue leer, etcétera. Si duda, lo itema de líea de epera prevalece e mucha área de la ociedad..3 ESTRUCTURA DE LOS ROBLEMAS DE LÍNEAS DE ESERA FIGURA 3 ELEMENTOS BÁSICOS DE MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA oblació de cliete Sitema de ervicio Líea de epera Regla de prioridad Italació de ervicio Cliete atedido El itema de ervicio decribe el úmero de líea y la ditribució de la italacioe. Depué de realizado el ervicio, lo cliete atedido ale del itema. El aálii de lo problema de líea de epera iicia co ua decripció de lo elemeto báico de la ituació. Cada ituació epecífica tedrá caracterítica diferete, pero tiee elemeto ue o comue a toda ella (la Figura 3 muetra eto elemeto). 8

29 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA. OBLACIÓN DE CLIENTES O FUENTE DE ENTRADA E u cojuto de idividuo (o eceariamete ere vivo) ue puede llegar a olicitar el ervicio e cuetió. Lo cliete ue etra al itema e geera a travé del tiempo e ua fuete de etrada. E lo itema de líea de epera e comú ue lo tiempo etre llegada varíe, por lo ue o e puede predecir la llegada del iguiete cliete al itema i embarbo e poible maejar do cao: ) Etimar el úmero eperado de llegada por uidad de tiempo ) Etimar la forma de ditribució de probabilidad de lo tiempo etre llegada. Tamaño de la oblació: E el úmero total de cliete ue puede reuerir ervicio e determiado mometo, e decir el úmero total de cliete poteciale ditito (el tamaño puede er ifiito o fiito). oblació fiita: Cuado el úmero de uevo cliete para el itema de ervicio e ve reducido coiderablemete por el úmero de cliete ue ya etá e el itema Ua població fiita e refiere a u cojuto reducido de cliete ue utilizará el ervicio y ue, e ocaioe, debe formare e ua fila. La razó por la ue e importate claificarla como fiita e ue cuado u cliete ale de u poició como miembro de la població (por ejemplo, ua máuia e decompoe y reuiere ervicio), el tamaño del grupo de uuario e reduce e uo, lo ue a u vez reduce la probabilidad de ue e vuelva a reuerir el ervicio. A la ivera, cuado e le ofrece el ervicio a u cliete y regrea al grupo de uuario, la població e icremeta al igual ue la probabilidad de ue u uuario reuiera u ervicio or ejemplo, coidere u grupo de ei máuia a la ue u ecargado de reparacioe da mateimieto. Cuado ua máuia e decompoe, la població fuete e reduce a cico máuia y la probabilidad de ue ua de la cico retate e decompoga y eceite ua reparació e, meor ue cuado había ei máuia operado. Si hay do máuia decompueta y ólo cuatro etá operado, la probabilidad de ue otra e decompoga cambia de uevo. A la ivera, cuado ua máuia e repara y vuelve a etar e ervicio, la població de máuia e icremeta, aumetado e coecuecia la probabilidad de ua decompotura. oblació ifiita. E auella e la ue el úmero de cliete e el itema o afecta la taa a la ue la població geera uevo cliete. Ua població ifiita e muy grade e relació co el itema de ervicio, de maera ue el tamaño de la població, ue e coecuecia de la 9

30 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA reta o uma a la població (u cliete ue eceita u ervicio o u cliete ue recibió el ervicio y regrea a la població), o afecta de maera igificativa la probabilidade del itema. Si e el cao aterior hubiera máuia e vez de ei, y i ua o do máuia e decompuiera, la probabilidad de la decompotura de otra o ería muy diferete y podría upoere, i u error igificativo, ue la població (para todo lo fie práctico) e ifiita. La fórmula para lo problema de líea de epera ifiita tampoco cauaría u error igificativo i e aplica a u médico co mil paciete o a ua tieda departametal co diez mil cliete. Forma de la llegada: atró etadítico mediate el cual e geera lo cliete a travé del tiempo. La upoició ormal e ue lo cliete e geera de acuerdo co u proceo poio, eto euivale a decir ue el tiempo etre do llegada coecutiva tiee ua ditribució de probabilidad expoecial.. CLIENTE E todo idividuo de la població ue olicita ervicio. Supoiedo ue lo tiempo de llegada de cliete coecutivo o t t..., erá importate coocer el patró de probabilidad egú el cual la fuete de etrada geera cliete. Lo má habitual e tomar como referecia lo tiempo etre la llegada de do cliete coecutivo: T k tk t k fijado u ditribució de probabilidad. Normalmete, cuado la població potecial e ifiita e upoe ue la ditribució de probabilidad de lo T k (ue erá la llamada ditribució de lo tiempo etre llegada) o depede del úmero de cliete ue eté e epera de completar u ervicio, mietra ue e el cao de ue la fuete de etrada ea fiita, la ditribució de lo T k variará egú el úmero de cliete e proceo de er atedido. 3. LÍNEAS DE ESERA Líea de epera: e el cojuto de cliete ue epera, e decir lo cliete ue ya ha olicitado el ervicio pero ue aú o ha paado al mecaimo de ervicio. Se caracteriza por el úmero máximo de cliete ue e puede admitir (ate de dar iicio el ervicio) Tamaño de la cola: puede er fiita o ifiita (el etádar e ifiita). Lo má ecillo, a efecto de implicidad e lo cálculo, e upoerla ifiita. Auue e obvio ue e la mayor parte de lo cao reale la capacidad de la cola e fiita, o e ua gra retricció el upoerla ifiita i e 3

31 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA extremadamete improbable ue o pueda etrar cliete a la cola por haber llegado al úmero límite e la mima. Regla de prioridad o Diciplia de la cola: Se refiere al orde e el ue e eleccioa lo cliete para recibir el ervicio. La diciplia ma uada o: FIFO (firt i firt out), tambié llamada FCFS (firt come firt erved): egú la cual e atiede primero al cliete ue ate haya llegado (primero e llegar primero e alir. LIFO (lat i firt out), tambié coocida como LCFS (lat come firt erved) o pila: ue coite e ateder primero al cliete ue ha llegado el último. RSS (radom electio of ervice), o SIRO (ervice i radom order), ue eleccioa a lo cliete de forma aleatoria. Diciplia co derecho preferete e ua regla ue permite al cliete de mayor prioridad iterrumpir el ervicio de otro cliete. or ejemplo, e ua ala de emergecia del hopital, lo paciete co la leioe grave recibe tratamieto primero, i importar u orde de llegada. Grado de paciecia Lo cliete e la líea de epera puede er paciete o impaciete. Cliete paciete: e el ue etra e el itema y permaece allí hata ue e atedido Cliete impaciete: E el ue decide o etrar e el itema o lo abadoa ate de er atedido. FIGURA 4 GRADO DE ACIENCIA DEL CLIENTE No avaza! No avaza! Cliete impaciete Cliete paciete 4. MECANISMO DE SERVICIO E el procedimieto por el cual e da ervicio a lo cliete ue lo olicita. ara determiarlo e debe coocer el úmero de ervidore de dicho mecaimo y la ditribució de probabilidad del tiempo ue le lleve a cada ervidor dar u 3

32 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA ervicio. Cuado lo ervidore tiee diferete detreza para dar el ervicio, e debe epecificar la ditribució del tiempo de ervicio para cada uo. El mecaimo de ervicio coite e ua o má italacioe de ervicio. 3 Italació de ervicio: coitete de ua peroa, cuadrilla, máuia, grupo de máuia, o amba y ue o ecearia para realizar el ervicio para el cliete. El itema de ervicio ueda defiido por el úmero de líea y lo arreglo de la italacioe. El caal Hace referecia al úmero de ervidore ue hay e el itema. Tiempo de ervicio: E el tiempo ue tracurre dede el iicio del ervicio para u cliete hata u termio. Cualuiera ue ea el proceo de ervicio, e eceario teer ua idea de cuáto tiempo e reuiere para llevar a cabo el ervicio. Eta catidad e importate debido a ue cuato má dure el ervicio, má tedrá ue eperar lo cliete ue llega. Como e el cao del proceo de llegada, ete tiempo pude er determiítico o probabilítico.. Servicio determiítico: cada cliete reuiere preciamete de la mima catidad coocida de tiempo para er atedido.. Servicio probabilítico: cada cliete reuiere ua catidad ditita e icierta de tiempo de ervicio. Lo tiempo de ervicio probabilítico e decribe matemáticamete mediate ua ditribució de probabilidad. E la práctica reulta difícil determiar cuál e la ditribució real, i embargo, ua ditribució ue ha reultado cofiable e mucha aplicacioe, e la expoecial. E ete cao, u fució de deidad depede de u parámetro y eta dada por y eta dada por: t e, t Dode: = úmero promedio de cliete atedido por uidad de tiempo / = tiempo promedio ivertido e ateder a u cliete El tiempo de ervicio puede eguir cualuier ditribució, pero, ate de aalizar el itema, e eceita idetificar dicha ditribució. Tiempo etre llegada:. Determiítico: Lo cliete llega e itervalo de tiempo fijo y coocido. U ejemplo cláico e el de ua líea de eamble, e dode lo artículo

33 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA llega a ua etació e itervalo ivariable de tiempo (coocido como ciclo de tiempo). robabilítico: El tiempo etre llegada e icierto y variable. Lo tiempo etre llegada probabilítico e decribe mediate ua ditribució de probabilidad. E el cao probabilítico, la determiació de la ditribució real, a meudo, reulta difícil. Si embargo, la ditribució expoecial, ha probado er cofiable e mucho de lo problema práctico. La fució de deidad, para ua ditribució expoecial depede de u parámetro, digamo, y etá dada por: f t e, t Dode e úmero promedio de llegada e ua uidad de tiempo. Co ua catidad, t, de tiempo e puede hacer uo de la fució de deidad para calcular la probabilidad de ue el iguiete cliete llegue detro de la iguiete T uidade a partir de la llegada aterior, de maera ue L (tiempo etre llegada T) e t Sitema de líea de epera: e el cojuto formado por la líea de epera y el mecaimo de ervicio, juto co la diciplia de la cola, ue e lo ue o idica el criterio de ué cliete de la cola elegir para paar al mecaimo de ervicio..4 NÚMERO DE LÍNEAS DE ESERA La líea de epera puede dieñare para ue ea de ua ola líea o líea múltiple. La Figura 5 muetra u ejemplo de cada arreglo. FIGURA 5 EJEMLOS DE ARREGLOS DE LÍNEAS DE ESERA Italacioe de ervicio Servidor Servidor Servidor 3 Servidor 4 Servidor 5 (a) Ua líea Italacioe de ervicio Servidor Servidor Servidor 3 Servidor 4 Servidor 5 (b) Múltiple líea 33

34 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA Ua líea e utiliza e lo motradore de la aerolíea, detro de lo baco, y e alguo retaurate de comida rápida. Cuado etá dipoible múltiple ervidore y cada uo puede maejar toda la traaccioe, el arreglo de ua ola líea matiee a lo ervidore cotatemete ocupado y da a lo cliete u etido de imparcialidad. Lo cliete cree ue o atedido de acuerdo a como fuero llegado, o tiee ue adiviar ue líea de epera e la ue avazará má rápido. La líea múltiple e utiliza e lo cetro comerciale, e la caeta de la autopita y e la tieda de decueto. El dieño de múltiple líea optimiza cuado alguo de lo ervidore proporcioa ervicio fijo limitado. E ete arreglo, lo cliete eleccioa lo ervicio ue eceita y epera e la líea dode e proporcioa ee ervicio, como e lo cetro comerciale ue hay líea epeciale para lo cliete ue paga e efectivo o compra meo de artículo..5 ARREGLOS DE LAS INSTALACIONES DE SERVICIO La italacioe de ervicio coite e el peroal y euipo eceario para realizar el ervicio reuerido por el cliete. La Figura 6 muetra cico ejemplo de lo tipo báico de arreglo de la italació de ervicio. Lo gerete debe eleccioar u arreglo coiderado el úmero de cliete y la aturaleza de lo ervicio a realizar, alguo de lo ervicio reuiere de u olo pao, tambié llamado fae, mietra ue otro reuiere de ua ecuecia de pao. FIGURA 6 ARREGLOS DE INSTALACIONES DE SERVICIO Italació de ervicio Italació de ervicio Italació de ervicio Italació de ervicio Italació de ervicio (a) U olo caal, ua ola fae (b) U olo caal, múltiple fae (c) Múltiple caale, ua ola fae Italació de ervicio Italació de ervicio Italació de ervicio 3 Italació de ervicio 4 Italació de ervicio Italació de ervicio Ruta para Ruta para Ruta para : 4 : 4 3 : 3 4 Italació de ervicio 3 Italació de ervicio 4 (d) Múltiple caale, múltiple fae (e) Arreglo mixto 34

35 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA a) Arreglo de u caal-ua fae Lo ervicio reuerido por u cliete puede er realizado por ua ola italació de ervicio. Lo cliete forma ua ola líea y paa por la italació, uo a la vez. or ejemplo el maejo del automóvil a travé del lavado automático, ua peluuería atedida por ua ola peroa. b) Arreglo de u caal-múltiple fae Se ua cuado lo ervicio e realiza mejor e erie por má de ua italació, auue la catidad de cliete u otra retriccioe limita el dieño de u caal. Lo cliete forma ua ola líea y e atiede e forma ecuecial de ua italació de ervicio a la iguiete. U ejemplo de ete arreglo e el ervicio e el automóvil e McDoald, dode la primera italació toma la orde, la eguda realiza el cobro, y la tercera etrega la comida. c) Arreglo de múltiple caale-ola fae Se ua cuado la demada e muy grade para garatizar el ofrecimieto del mimo ervicio e má de ua italació o cuado lo ervicio ofrecido por la italacioe o diferete. Lo cliete forma ua o má líea, depediedo del dieño. E el dieño de ua ola líea, lo cliete o atedido por el primer ervidor dipoible como e la ala de epera de u baco. Si cada caal tiee u propia líea de epera, lo cliete epera hata ue el ervidor ue correpode a u líea pueda atederlo, como e ua italació de ervicio de u baco ue atiede a lo cliete e el automóvil. d) Arreglo de múltiple caale-múltiple fae Ocurre cuado lo cliete o atedido por ua de la italacioe de la primera fae pero etoce reuiere del ervicio de ua italació de la eguda fae, y aí uceivamete. E alguo cao, lo cliete o puede cambiar de caal depué de haber empezado el ervicio; e otro puede hacerlo. U ejemplo de ete arreglo e el de ua lavadería automática. La máuia de lavado o la italacioe de la primera fae, y la ecadora o de la eguda e) Arreglo mixto La líea de epera e forma delate de cada italació, como e u taller, dode cada trabajo peroalizado reuiere del uo de varia máuia y aigacioe de ruta diferete. El problema de líea de epera má complejo ivolucra a lo cliete ue tiee ua ola ecuecia de lo ervicio reuerido; por coiguiete, el ervicio o puede decribire e fae. E dicho cao e ua u arreglo mixto 35

36 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA FIGURA 7 EJEMLOS DE ARREGLOS DE INSTALACIONES DE SERVICIO U olo caal Múltiple caale Ua ola fae Ua peroa peluuería Vetailla de lo cajero e u baco Múltiple fae Lavado de auto Igreo a u hopital.6 SUOSICIONES GENERALES DE UN MODELO BÁSICO DE LÍNEAS DE ESERA 36. Lo tiempo de llegada o idepediete e idéticamete ditribuido de acuerdo a ua ditribució de probabilidad epecificada.. Todo lo cliete ue llega etra al itema de cola y permaece ahí hata ue termia el ervicio. 3. El itema de líea de epera tiee ua ola líea ifiita, de modo ue e la líea puede haber u úmero ilimitado de cliete (para propóito práctico). 4. La diciplia de la líea de epera e primero e etrar, primero e ervir. 5. El itema de líea de epera tiee u úmero epecificado de ervidore, dode cada uo e capaz de ervir a cualuiera de lo cliete. 6. Cada cliete e atedido e forma idividual por cualuiera de lo ervidore. 7. Lo tiempo de ervicio o idepediete e idéticamete ditribuido de acuerdo co la ditribució de probabilidad epecificada..7 MEDIDAS DE RENDIMIENTO ARA EVALUAR UN SISTEMA DE LÍNEAS DE ESERA Exite mucha medida de redimieto diferete ue e utiliza para evaluar u itema de líea de epera e etado etable. ara dieñar y poer e operació u itema de líea de epera, por lo geeral, lo admiitradore e preocupa por el ivel de ervicio ue recibe u cliete, aí como el uo apropiado de la italacioe de ervicio de la emprea. Algua de la medida ue e utiliza para evaluar el redimieto urge de hacere la iguiete preguta:

37 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA reguta relacioada co el tiempo, cetrada e el cliete a. Cuál e el tiempo promedio ue u cliete recié llegado tiee ue eperar e la fila ate de er atedido? La medida de redimieto aociada e el tiempo promedio de epera, W repreetado co b. Cuál e el tiempo ue u cliete ivierte e el itema etero, icluyedo el tiempo de epera y el de ervicio? La medida de redimieto aociada e el tiempo promedio e el itema, deotado co W reguta cuatitativa relacioada al úmero de cliete a. E promedio cuáto cliete etá eperado e la líea de epera para er atedido? La medida de redimieto aociada e la logitud media de la líea de epera, L repreetada co b. Cuál e el úmero promedio de cliete e el itema? La medida de redimieto aociada e el úmero medio e el itema, repreetado co L reguta probabilítica ue implica tato a lo cliete como a lo ervidore, por ejemplo: a. Cuál e la probabilidad de ue u cliete tega ue eperar a er atedido? La medida de redimieto aociada e la probabilidad de bloueo, ue e repreeta por, W b. E cualuier tiempo particular, cuál e la probabilidad de ue u ervidor eté ocupado? La medida de redimieto aociada e la utilizació. Eta medida idica tambié la fracció de tiempo ue u ervidor eta ocupado. c. Cuál e la probabilidad de ue exita cliete e el itema? La medida de redimieto aociada e obtiee calculado la probabilidad de ue o haya cliete e el itema, la probabilidad de ue haya u cliete e el itema, y aí uceivamete. Eto tiee como reultado la ditribució de probabilidad de etado, repreetada por,,,,... d. Si el epacio de epera e fiito, Cuál e la probabilidad de ue la cola eté llea y ue u cliete ue llega o ea atedido? La medida de redimieto aociada e la probabilidad de egació del ervicio, repreetada por d reguta relacioada co lo coto a. Cuál e el coto por uidad de tiempo por operar el itema? 37

38 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE ESERA b. Cuáta etacioe de trabajo e eceita para lograr mayor efectividad e lo coto? El cálculo epecífico de eta medida de redimieto depede de la clae de itema de cola. Algua de eta medida etá relacioada etre í. Coocer el valor de ua medida le permite ecotrar el valor de ua medida relacioada..8 FORMULA DE LITTLE Idicaremo algua relacioe útile etre lo valore eperado e etado etable de L, W, L, W El cálculo de mucha de la medida de redimieto depede de lo proceo de llegada y de ervicio del itema de cola e epecífico. Eto proceo o decrito matemáticamete mediate ditribucioe de llegada y de ervicio. Icluo i coocer la ditribució epecifica, la relacioe etre algua de la medida de redimieto puede obteere para cierto itema de cola, úicamete mediate el uo de lo iguiete parámetro de lo proceo de llegada y de ervicio. =úmero promedio de llegada por uidad de tiempo =úmero promedio de cliete atedido por uidad de tiempo e ua ecció Supogamo ua població de cliete ifiita y ua catidad limitada de epacio de epera e la fila. El tiempo total ue u cliete ivierte e el itema e la catidad de tiempo ivertido e la fila má el tiempo durate el cual e atedido: Tiempo promedio Tiempo promedio Tiempo promedio = + e el itema de epera de ervicio El tiempo promedio e el itema y el tiempo promedio de epera etá repreetado por la catidade W y W, repectivamete. El tiempo promedio de ervicio puede expreare e térmio de parámetro de Dode =úmero de ervidore Supoga ue u cliete e ue a la líea de epera e etado etable. E el mometo ue va a termiar el ervicio, voltea a ver a lo cliete ue llegaro depué ue él. Habrá e promedio L cliete e el itema. La catidad eperada de tiempo ue ha tracurrido dede ue e uió a la líea de epera e, por defiició W. Como lo cliete llega co ua frecuecia cotate, durate u tiempo W habrá llegado, e promedio, L W. W cliete, y de eto reulta 38

39 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA EJEMLO 6 Coideremo la relació etre el úmero promedio de cliete e el itema y el tiempo promedio ue cada cliete paa e el. Imagiemo ue u cliete acaba de llegar y e epera ue permaezca e el itema u promedio de media de hora. Durate eta media hora, otro cliete llega a ua taa, digamo doce por hora. Cuado el cliete e cuetió abadoa el itema, depué de media hora, Cuál e el promedio de cliete uevo ue ueda? SOLUCIÓN Deja tra de í u promedio de (/)* = 6 cliete uevo. E decir, e promedio, exite ei cliete e el itema e cualuier tiempo dado. Etoce Tiempo promedio de Numero promedio de Tiempo promedio = * cliete e el itema llegada por uidad de tiempo e el itema E decir L W E ete cao, el argumeto e eecialmete igual, excepto ue el cliete voltea al mometo de etrar e el ervicio, y o depué de er atedido. Utilizado ua lógica parecida e obtiee la relació etre el úmero promedio de cliete ue epera e la líea y el tiempo promedio de epera e la fila: Numero promedio de Numero promedio de Tiempo promedio = * cliete e el itema llegada por uidad de tiempo e la cola De maera ue L W Supoga ue el tiempo medio de ervicio e ua cotate para todo W W L L (Si la taa media de ervicio e, por coiguiete el tiempo promedio de ervicio erá / ). La fórmula de Little, ombrada aí e hoor de Joh D. C. Little del M.I.T., demotró er válida bajo codicioe muy geerale, e ua relació ecilla, pero muy útil, etre la L y la W. 39

40 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA CAÍTULO III USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA Lo gerete de operacioe ua lo modelo de líea de epera para euilibrar la gaacia ue puede obteere i e aumeta la eficiecia del itema de ervicio cotra lo coto ue eto ivolucra. La larga líea de epera puede cauar ue lo cliete abadoe o eté icoforme co el ervicio. or lo ue debe coiderare la iguiete operacioe caracterítica del itema.. Logitud de la líea. El úmero de cliete e la líea de epera refleja: La líea corta igifica ue el ervicio al cliete e bueo o tiee demaiada capacidad. La líea larga idica poca eficiecia del ervidor o la eceidad de aumetar la capacidad.. Número de cliete e el itema. El úmero de cliete e la líea de epera y lo ue o atedido etá relacioado co la eficiecia y capacidad del ervicio. U úmero grade de cliete e el itema ocaioa ua cogetió y puede producir el decoteto del cliete, a meo ue e aumete la capacidad. 3. Tiempo de epera e la líea. La líea larga o iempre igifica tiempo largo de epera. Si la taa de ervicio e rápida, ua líea larga e atiede co eficiecia. Si embargo, cuado el tiempo de epera parece largo, lo cliete percibe ua mala calidad del ervicio. Lo gerete puede itetar cambiar la taa de llegada de lo cliete o dieñar el itema de modo ue el tiempo de epera parezca má corto de lo ue realmete e. or ejemplo, e Walt Diey World lo cliete e líea para ua atracció o etreteido por video y tambié o iformado acerca del tiempo ue le falta por eperar, lo ue parece ayudarlo para ue la epera o ea deeperate. 4. Tiempo total e el itema. El tiempo total de epera e el itema dede la etrada hata la alida del mimo o idica lo problema co lo cliete, la eficiecia del ervidor, o la capacidad. Si alguo cliete paa demaiado tiempo e el itema de ervicio, puede haber la eceidad de cambiar la diciplia de prioridad, aumetar la productividad, o ajutar capacidad de algua maera. 5. Uo de la italació de ervicio. El uo colectivo de la italacioe refleja el porcetaje de tiempo ue etá ocupada. La meta de la admiitració e mateer uo y retabilidad alta i afectar de maera advera la demá caracterítica. El mejor método para aalizar u problema de líea de epera e relacioar eta caracterítica de operació y u alterativa e uidade moetaria. Si 4

41 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA embargo, e difícil aigar ua cifra de ua uidad moetaria e cierta caracterítica (como el tiempo de epera de u comprador e ua tieda de alimeto). E tale cao, u aalita puede poderar el coto de implemetar la alterativa bajo coideració cotra ua evaluació ubjetiva del coto de o hacer el cambio. 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA Hay mucho modelo de líea de epera poible. or ejemplo, i el tiempo ue exite etre la llegada e el modelo báico M/M/ e le diera ua ditribució diferete (o la expoecial) tedríamo u modelo diferete. ara facilitar la comuicació etre auello ue trabaja co modelo de líea de epera, D. G. Kedall propuo ua claificació o taxoomía co bae e la iguiete otació: A/B/ Dode A = ditribució de la llegada. B = ditribució del ervicio. = úmero de ervidore Se utiliza diferete letra para deigar cierta ditribucioe colocádola e la poició A o B. M = ditribució expoecial. D = úmero determiítico. G = cualuier ditribució (geeral) de tiempo de ervicio. GI = cualuier ditribució (geeral) de tiempo de llegada. MEDIDAS DE DESEMEÑO Exite varia maera de juzgar la calidad del ervicio e u itema de proceamieto. Lo reultado puede evaluare para u período corto ua vez ue el itema abre, o por lo reultado a largo plazo o de euilibrio. or lo geeral, el tiempo e ue lo trabajo etá e epera e importate y puede obervare el tiempo de epera promedio o ua medida como la del porcetaje de lo trabajo ue epera má. Ua medida relacioada e el tiempo de redimieto para u trabajo (tiempo de epera má tiempo de ervicio); otra e la logitud de la líea de epera. Éta o medida de la calidad del deempeño del itema, dede el puto de vita del cliete. Otra medida e relacioa co el coto de operació del itema, cuyo factor de carga o de uo de la capacidad mide la capacidad del itema para maejar la carga ue llega. La gerecia tiee la opció de agregar má capacidad. U itema de proceamieto dado puede teer cualuier combiació de lo elemeto decrito hata ahora. or coiguiete, exite u úmero muy grade de poible itema, y igú modelo matemático puede decribirlo todo, por lo ue e trata alguo modelo imple de amplia aplicació y ue da ua perpectiva acerca del comportamieto del itema de líea de epera, e geeral. 4

42 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA 3. MODELO DE UN SOLO SERVIDOR M/M/ 3.. MODELO DE UN SOLO SERVIDOR M/M/ (<<). OBLACIÓN INFINITA El modelo má imple de líea de epera ivolucra a u ervidor y a ua ola líea de cliete. ara epecificar u poco má el modelo, e hará la iguiete upoicioe:. La població de cliete e ifiita y todo lo cliete o paciete.. Lo cliete llega coforme a ua ditribució de oio, co ua taa media de llegada igual a. 3. La ditribució de ervicio e expoecial, co ua taa media de ervicio iguala a. 4. Lo cliete e atiede obre ua bae primero e llegar, primero e er atiede 5. La logitud de la líea de epera e ilimitada. FIGURA 8 SISTEMA DE ESERA Llegada de u cliete SISTEMA DE ESERA UNIDAD DE SERVICIO Cliete e Servidor ervicio Salida cliete Cliete e líea de epera Cliete atedido MEDIDAS DE DESEMEÑO DEL MODELO M/M/, OBLACIÓN INFINITA Uo promedio del itema o factor de carga del itema El reuiito matemático de ue e eceario para garatizar la covergecia de la erie geométrica ( ) ue coduce a u argumeto ituitivo. Fudametalmete, igifica ue lo ue etablece ue la taa de llegada debe er etrictamete meor ue la taa de ervicio, para ue el itema alcace etabilidad (codicioe de etado etable). Eto tiee etido pue bajo otra codicioe, el tamaño de la líea de epera crecería idefiidamete. robabilidad de exactamete cliete e el itema 4

43 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA 43 Número promedio de cliete e el itema de ervicio ) ( L Numero promedio de cliete e la líea de epera L = ρl = = λw = = L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Número promedio de cliete e la líea de epera para u itema ocupado L b Tiempo promedio de epera e el itema, icluye el ervicio ) ( L W Tiempo promedio de epera e la líea ) ( ) ( ) ( W W ) ( W W Tiempo promedio ue u cliete permaece e la líea de epera e u itema ocupado b W robabilidad de ue o haya cliete e el itema ) ( robabilidad de ue haya ó má cliete (uidade) e el itema ) ( ) ( k k k k k robabilidad de ue llegue u cliete (k) y tega ue eperar k k ) (

44 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA robabilidad de ue el tiempo de epera e el itema exceda algua catidad de tiempo t ( ) t ( W t) e para t robabilidad de ue el tiempo de permaecia e la líea de epera exceda a t ( ) t ( W t) e Relacioe báica etre eto parámetro Ley de Little: L L W. W W W / L L /. EJEMLO 7 U fotógrafo de la embajada de lo Etado Uido toma la fotografía para lo paaporte a ua taa promedio de por hora. El fotógrafo debe eperar hata ue el cliete deje de parpadear y hacer geto, aí ue el tiempo para tomar ua fotografía e ditribuye expoecialmete. Lo cliete llega a ua taa promedio de acuerdo a ua ditribució de oio de 9 cliete por hora. a. Cuál e la utilizació promedio del fotógrafo? b. Cuáto tiempo promedio permaece el cliete e el etudio del fotógrafo? SOLUCIÓN a. La upoicioe e el euciado del problema o coitete co el modelo de u olo ervidor. El factor de utilizació del ervidor e: b. El tiempo promedio ue el cliete permaece e el etudio del fotógrafo e W hora 9 EJEMLO 8 El gerete de ua tieda de abarrote e ua comuidad de jubilado etá itereado e proporcioar bue ervicio a lo ciudadao de la tercera edad ue compra e u tieda. Actualmete, la tieda tiee ua caja de cobro excluiva para lo ciudadao de la tercera edad. E promedio, 3 ciudadao de la tercera edad llega por hora a la caja, de acuerdo a ua ditribució de oio, y e atiede a ua taa promedio de 35 cliete por hora, co tiempo de ervicio expoecial. Determie la iguiete caracterítica de operació: 44

45 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA a. robabilidad ue o haya cliete e el itema, o bie, la probabilidad de teer a todo lo ervidore deocupado. b. Utilizació promedio de la cajera. c. Número promedio de cliete e el itema. d. Número promedio de cliete e la líea. e. Tiempo promedio de epera e el itema. f. Tiempo promedio de epera e la líea. SOLUCIÓN 3 a b c. L λ 3 d. L = ρl S = LS (6) μ L 6 e. W. 3 3 f. W W W (.) MODELO DE UN SOLO SERVIDOR M/M/. OBLACIÓN FINITA Coideraremo el cao e la ue toda excepto ua de la upoicioe del modelo de u olo ervidor o apropiada. E ete cao, la població de cliete e fiita, y tiee N cliete poteciale. Si N >3, el modelo de u olo ervidor co la upoició de ua població de cliete ifiita e adecuado. De o er aí, el modelo de fuete fiita e el úico ue debe uare. La fórmula utilizada para calcular la caracterítica de operació de ete itema o la ue e preeta a cotiuació. MEDIDAS DE DESEMEÑO Coidere =taa de llegada promedio =taa de ervicio promedio N= tamaño de la població La medida de deempeño del modelo de població fiita co u úico caal o ervidor de turo o la iguiete: robabilidad ue igú cliete eté e el itema o ue el itema eté vacío 45

46 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA = N = N! λ (N - )! μ - Uo promedio del ervidor ρ = - Número promedio de cliete e la líea de epera N λ + m L = ( - ) = N - ( - ) = λ Número promedio de cliete (uidade) detro del itema λ+ μ λ+ μ L = L + ρ = N - ( - )+( - )= N - - ( - ) λ λ λ+ μ - λ μ = N - ( - )= N - ( - ) λ λ Tiempo de epera promedio e la líea L W = λ ef Tiempo de permaecia promedio detro del itema W L dode ef ef N ( N ) ( N L ) Número promedio de cliete e la líea e u itema ocupado L L b = - Tiempo promedio ue el cliete permaece e la líea e u itema ocupado. W W b = - robabilidad de ue al llegar u cliete tega ue eperar o el itema eté ocupado ( > )= - robabilidad de cliete e el itema N! λ = (N - )! μ para =,, N 46

47 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA EJEMLO 9 La Worthigto Gear Compay italó u baco de robot hace tre año. Dede etoce lo robot aumetaro e gra medida la productividad de la emprea. Si embargo, recietemete la ateció e ha efocado e u mateimieto. La emprea o hace mateimieto prevetivo e lo robot debido a la variabilidad ue hay e la ditribució de la decompotura. Cada robot tiee ua ditribució de decompotura expoecial (o etre llegada) co u tiempo medio etre falla de hora. Cada hora perdida por etar el robot decompueto tiee u coto por iterrupció de la producció de $3, lo ue igifica ue la emprea tiee ue reaccioar co rapidez ate la falla de lo robot. La emprea cueta co ua peroa de mateimieto, ue eceita hora e promedio para arreglar u robot. Lo tiempo actuale de mateimieto e ditribuye expoecialmete. La taa de alario e de $ por hora para la peroa de mateimieto uie trabaja productivamete i o hay robot decompueto. Determie el coto diario por mao de obra y tiempo fuera de ervicio del robot. SOLUCIÓN El modelo de fuete fiita e apropiado para ete aálii porue hay máuia e la població de cliete y e cumple lo otro upueto. E ete etido /, ó.5 decompotura por hora, y /. robot por hora. ara calcular el coto de mao de obra y del tiempo fuera de ervicio del robot, eceitamo calcular la utilizació promedio de la peroa de mateimieto y L, el úmero promedio de robot e el itema de mateimieto. El euciado del problema decribe u modelo de fuete fiita, co N =. La probabilidad de ue igú robot eté e el itema e N N!!.5 ( N )! ( )! !.5!.5!.5!.5!.5!.5 = !. 9!. 8!. 7!. 6!. 5! !.5!.5!.5!.5! !. 3!. + +!!.!.!. = =.538 Uo promedio de la peroa de mateimieto

48 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA % Número promedio de robot e el itema de mateimieto. L N ( ) (.538).76.5 Tiempo promedio de epera e el itema W L ( N L ).76 (.76)(.5) hora Número promedio de robot e la líea.5. L N ( ) (.538).98.5 Tiempo promedio de epera e la líea W L ( N L ) (.98) (.76)(.5) Lo reultado muetra ue la peroa de mateimieto utiliza ólo 46. por cieto del tiempo y el úmero promedio de robot ue etá eperado e la líea o reparádoe e.76 de robot. Si embargo, u robot epera u promedio de 6.43 hora e el itema de reparació, de la cuale 6.43 hora epera e la líea por el ervicio. El coto diario por mao de obra y tiempo de iactividad del robot e: Coto de mao de obra: ($/hora) (8 hora/día) (.46 utilizació) = $ Coto del robot averiado: (.76 robot) ($3/robot hora) (8 hora/día) = 8.4 Coto total diario = $9.36 Número promedio de robot e la líea de epera e u itema ocupado L.98 Lb.645 robot.538 Tiempo promedio ue u robot permaece e la líea de epera e u itema ocupado W 6.43 Wb 3.9 hora.538 robabilidad de ue al llegar u robot tega ue eperar o el itema eté ocupado. ( ) ó 46.% 48

49 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA 3..3 MODELO DE UN SOLO SERVIDOR CON CAACIDAD FINITA U cao epecial de líea de epera M/M/ co ervicio y taa de llegada depediete del ervicio e auel e ue hay u área fiita de epera. Si la llegada e preeta cuado el área de epera etá llea, e va. Lo problema de ete tipo o comue e itema de ervicio como retaurate, cie, ala de cocierto, etcétera. Tambié e puede preetar e itema de maufactura, e ue lo amortiguadore etre lo cetro de trabajo tiee ua capacidad fiita. Supogamo ue la catidad máxima de cliete ue permite el itema e K. MEDIDAS DE DESEMEÑO robabilidad ue igú cliete eté e el itema o ue el itema eté vacío: K K K ( / ) / robabilidad de cliete e el itema: ( ) K para,,,, K ara el cao de u área fiita de epera o e eceario ue. De hecho, tiee ee valor para todo lo valore de. Cuado reulta ue todo lo etado o igualmete poible, aí ue para K (ólo cuado ). K La fórmula de Little e igue aplicado pero debemo uar u valor modificado de la taa de llegada, porue o a todo lo cliete ue llega e le permite etrar al itema. Cuado hay K o má e el itema, la taa de llegada e, y etoce la taa geeral de llegada e meor ue. La taa efectiva de llegada, e calcula como igue: ef ef (Catidad e el itema < K)+(Catidad e el itema = K) - catidad e el itema K (- ) La medida de deempeño e obtiee a partir de L, la catidad eperada e el itema, e etado etable. L e calcula como igue: Catidad promedio de cliete (uidade) detro del itema K ( K ) L i etoce K K L Catidad promedio de cliete (uidade) e la líea de epera L L ) ( 49

50 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA Tiempo promedio de epera e el itema, icluye el ervicio Tiempo promedio de epera de lo cliete e la líea Factor de utilizació del ervicio W W L ef L ef EJEMLO Ua atracció coocida e la playa de Acapulco e u artita ue pita ua caricatura e uo 5 miuto. Si embargo, como lo tiempo ue reuiere cada dibujo cambia coiderablemete, e puede decribir batate bie co ua ditribució expoecial. La peroa deea eperar u turo, pero cuado hay má de, opta por ire y e le ugiere regree depué. E la hora pico cabe eperar ue haya hata cliete por hora. Supoga ue lo cliete llega totalmete al azar e la hora pico. a. Qué proporció del tiempo tiee la líea de epera u máxima capacidad? b. E promedio, cuáto cliete opta por ire? c. Determie la medida de deempeño para ete itema de líea de epera. d. Si el área de epera duplicara u tamaño, cómo afectaría a la repueta de lo icio a y b? SOLUCIÓN por hora (Taa de llegada) 6 / 5 por hora (Taa de ervicio) / / 5/ K = (Catidad máxima e el itema e la líea de epera má el cliete ue e etá atediedo). ( ) a. robabilidad de cliete e el itema K i el itema etá lleo K K ( ) K k y e puede exprear como: b. Como la taa de llegada e por hora y el itema etá lleo el 4% del tiempo, durate la hora pico hay () (.4) = 8 cliete por hora ue e retira. Eto da como reultado 8 por hora. ef 5

51 INTRODUCCIÓN A ROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESERA c. Medida de deempeño. Catidad promedio de cliete detro del itema K ( K ).667 ()(.667) L= K.667 (.667).667 5, robabilidad de ue igú cliete eté e el itema o ue el itema eté vacío K (.667) El valor (peueño) de idica ue el itema cai uca etá vacío. E particular, el artita etá iactivo ólo el.45% del tiempo! Catidad promedio de cliete e la líea de epera L L ( ) 9.53 (.45) 8.53 Ateriormete e idicó ue, de modo ue el tiempo promedio de ef L 9.53 epera detro del itema e W. 794 hora (uo 48 miuto) y el tiempo promedio de epera de lo cliete e la líea, W e: L 8.53 W.78 hora ( uo 43 miuto) ef ef d. Si el tamaño del área de epera duplicara u tamaño, etoce K =. E ee cao, K e determia co ( ) , ,39.3 E itereate ue al duplicar la capacidad de la líea de epera o haya diferecia e relació co la probabilidad de ue el itema eté lleo. La razó e ue como la taa de llegada e mayor ue la de ervicio, el itema llea u capacidad co rapidez e ambo cao. E eto, la taa efectiva de llegada, e aproximadamete igual a la taa de ervicio (auue iempre e cumple ef ue ef ). Au cuado lo itema ea mucho mayore, e ete cao K e

52 USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESERA 3.3 MODELO DE MÚLTILES SERVIDORES M/M/S 3.3. MODELO DE MÚLTILES SERVIDORES M/M/S (<<S). OBLACIÓN INFINITA Co el modelo de múltiple ervidore, lo cliete forma ua ola líea y lo atiede uo de lo ervidore cuado uo etá dipoible. Recuerde ue el tercer ímbolo de la etiueta de u modelo de líea de epera idica el úmero de ervidore. ara aalizar u itema de cola M/M/ coite e lo iguiete:. ua població de cliete ifiita. u proceo de llegada e el ue lo cliete e preeta de acuerdo a u proceo de poio co ua taa promedio de cliete por uidad de tiempo 3. u proceo de cola ue coite e ua ola fila de epera de capacidad fiita y diciplia primero e etrar primero e alir. 4. u proceo de ervicio de ervidore idético, ue atiede a lo cliete co ditribució expoecial, co ua catidad promedio de cliete por uidad de tiempo FIGURA 9 odemo obervar ue ete itema e ditito al M/M/ úicamete e el pao 4, ue o permite teer ervidore. Recuerde tambié ue / e el ímbolo para el factor de utilizació del ervidor e u itema de líea de epera co u ervidor. ara vario ervidore, la fórmula cambia a /. MEDIDAS DE DESEMEÑO Uo promedio del itema: robabilidad ue cero cliete eté e el itema (para ) 5