Sistemas de colas. Objetivo teórico: Determinar la distribución del número de clientes en el sistema

Transcripción

1 Sitema de cola Ua cola e produce cuado la demada de u ervicio por parte de lo cliete excede la capacidad del ervicio. Se eceita coocer (predecir) el ritmo de etrada de lo cliete y el tiempo de ervicio co cada cliete. Objetivo teórico: Determiar la ditribució del úmero de cliete e el itema Objetivo práctico: Equilibrar lo cote de capacidad del ervicio y el cote de ua epera larga. TEORÍA DE COLAS Etudio matemático de la caracterítica de lo itema de cola. TEORÍA DE COLAS 1

2 Proceo e ua cola 1. Etrada de cliete 2. Sitema de cola 3. Salida de cliete cola o líea de epera mecaimo de ervicio SISTEMA DE COLAS FUENTE ENTRADA CLIENTES COLA MECANISMO SERVICIO SALIDA CLIENTES TEORÍA DE COLAS 2

3 Etrada de cliete TAMAÑO Número total de cliete poteciale (població de etrada): Fiito (fuete limitada) (itema cerrado) Ifiito (fuete ilimitada) (itema abierto) Supoició habitual: tamaño ifiito (e decir, el úmero de cliete e la cola NO afecta el úmero potecial de cliete fuera de ella) ENTRADA O FUENTE Uitaria (hipótei uual) Por bloque TIEMPO ENTRE LLEGADAS Determiita Probabilita (hipótei uual) Supoició habitual: ditribució de probabilidad expoecial y llegada de cliete idepediete e idéticamete ditribuida (IID) TASA MEDIA DE LLEGADA TEORÍA DE COLAS 3

4 Número medio de llegada de cliete por uidad de tiempo La taa puede variar e fució del úmero de cliete e la cola (1/ e etoce el tiempo medio etre llegada) TASA MEDIA DE ACCESO (O DE LLEGADA EFECTIVA) EF Número medio de etrada de cliete (lo que realmete accede al itema) por uidad de tiempo Sólo tiee etido cuado hay ua capacidad de cola (má adelate e defie el cálculo de EF ) Cola NÚMERO MÁXIMO DE CLIENTES ADMISIBLE (capacidad de cola) Fiito (pérdida del cliete o reiteto) Ifiito Supoició habitual: cola de logitud ifiita TEORÍA DE COLAS 4

5 NÚMERO DE CANALES (carrile de ua calle ate u emáforo) e la cola. Puede haber iterferecia etre caale (movimieto de cliete de u caal a otro) Diciplia de la cola ORDEN DE SELECCIÓN de u miembro para er atedido FIFO, FIFO co límite (e el tiempo de ervicio, de tal forma que i e upera e vuelve a la cola y cuado e de uevo atedido empieza dode acabó el ervicio) (hipótei uual) LIFO SIRO (Aleatorio) Por prioridad (iterruptora o o) SERVIDORES Proporcioa el ervicio al cliete Mecaimo de ervicio TEORÍA DE COLAS 5

6 Número de ervidore: Uo Vario Puede haber idepedecia o o etre ervidore TIEMPO DE SERVICIO Determiita Probabilita (hipótei uual) Supoició habitual: ditribució de probabilidad expoecial e idepedecia e idética ditribució e lo tiempo de ervicio de u mimo ervidor (IID) TASA MEDIA DE SERVICIO Número medio de cliete que o atedido e u ervidor por uidad de tiempo. La taa puede variar e fució del úmero de cliete e la cola (1/ e etoce el tiempo medio etre ervicio) TASA MEDIA DE SERVICIO DEL SISTEMA EF Número medio de cliete que o atedido e el itema por uidad de tiempo. TEORÍA DE COLAS 6

7 (má adelate e defie el cálculo de EF ) Hipótei fudametal: ρ factor de utilizació (iteidad de tráfico): proceo o ea exploivo, e decir, que el úmero de cliete o tega ua tedecia creciete: EF ρ = < 1 EF Siedo EF la taa efectiva cuado lo ervidore etá ocupado (dado que e quiere aalizar el comportamieto del itema cuado exite cola) El factor de utilizació coicide co el porcetaje de tiempo que 1 ervidor etá ocupado. Para el cao de ervidore homogéeo co taa etoce EF = (má adelate e defiirá u cálculo para el cao geeral), y aí: 3 EF = 3 cliete/hora ρ = < = 2 cliete/hora ervidor = 2 ervidore TEORÍA DE COLAS 7

8 Medida de eficacia de u itema de cola N etado del itema 1, úmero de cliete e el itema (cola + ervicio) Hipótei fudametal: e upoe N e u proceo etacioario, e decir, N t e idepediete de t (taa de llegada y utilizació idepediete de t, e decir, o hay hora de puta y de valle, o toda uidade de tiempo homogéea) L úmero medio de cliete e el itema L = E[N] N q logitud de la cola, úmero de cliete e la cola L q úmero medio de cliete e la cola L q = E[N q ] T tiempo de epera de lo cliete e el itema W tiempo medio de epera de lo cliete e el itema W = E[T] T q tiempo de epera de lo cliete e la cola W q tiempo medio de epera de lo cliete e la cola W q = E[T q ] c úmero medio de ervidore ocupado 1 La variable de etado caracteriza idefectiblemete la codicioe e la que el itema e ecuetra. TEORÍA DE COLAS 8

9 Fórmula de Little para relacioar la medida de eficiecia Número medio de cliete e el itema/e la cola = taa de llegada x tiempo medio de lo cliete e el itema/e la cola: (1) L = EF W (2) L q = EFW q Para eteder (1), upógae W=2 hora, EF =3 cliete/hora, etoce el úmero medio de cliete e el itema e 3 2=6, tal y como e muetra e la iguiete figura (la hora 1 e depreciable dado que e upoe u itema etacioario y por lo tato hora homogéea): Para cada ua de eta hora 3 cliete permaece de la hora aterior pue W=2 1 h 2h 3h 4h 5h 6h 7 h 8h 9h 3 llegada 3 llegada 3 llegada 3 llegada 3 llegada 3 llegada 3 llegada 3 llegada TEORÍA DE COLAS 9

10 Tiempo medio de lo cliete e el itema = tiempo medio de lo cliete e la cola + tiempo medio de ervicio de u ervidor 2 : (3) W = W q + 1/ Nótee que por la defiició de eperaza L = p( N = ). Si e cooce pn ( ) p W q por (3) y fialmete e aca L q por (2). = = e calcula dicha eperaza determiado W por (1), eguidamete e aca = Número medio de cliete e el itema = úmero medio de cliete e la cola + úmero medio de ervidore ocupado: L = L q + EF/ 2 Nótee que e divide por la taa de ervicio de cada ervidor, e lugar de por la taa efectiva del itema. Eto e debe a que la medida idicada e refiere al tiempo que paa u cliete e el itema, que lógicamete e atedido e u úico ervidor. TEORÍA DE COLAS 1

11 Nótee que para compreder la aterior ecuació, dado que ρ e el porcetaje de tiempo que 1 ervidor eté ocupado, el valor c ρ = EF / e el porcetaje de tiempo que etá ocupado lo ervidore, o lo que e lo mimo el úmero de cliete iedo atedido. Número medio de ervidore ocupado e el itema = Número medio de cliete e el itema - úmero medio de cliete e la cola: c = L - L q = EF/ TEORÍA DE COLAS 11

12 Ditribució expoecial 3 M variable aleatoria tiempo etre llegada o tiempo de ervicio f M t αe α t () t = t < etrictamete decreciete e t α F M (t) EM ( ) = 1α FALTA DE MEMORIA: t 1/α La ditribució de la probabilidad del tiempo que falta para que ocurra el eveto e iempre la mima idepedietemete del tiempo que haya paado P{ M > t+ t M > t} = e αt 3 Traparecia 11 y 12 jutifica el uo de la ditribució expoecial para modelar el tiempo etre eveto iempre que éto e produzca IID. TEORÍA DE COLAS 12

13 Proceo de Poio Si lo tiempo etre llegada/ervicio e ditribuye egú ua expoecial el úmero de llegada/ervicio hata u cierto tiempo e u proceo de Poio. St () úmero de ocurrecia (llegada o ervicio) e el tiempo t ( t ). Se ditribuye egú ua Poio co parámetro α t (α úmero medio de ocurrecia por uidad de tiempo) { () } P S t αt ( αt) e = =,1,! = K ESt [ ()] Por la falta de memoria de la expoecial, la probabilidad de ocurrecia de u uceo e u itervalo (pequeño) de tiempo de logitud t abiedo que o e ha producido hata el mometo t e directamete proporcioal a α t, de hecho t P S( t t) S( t) 1 α t e α + = =, idepediete de t. Eta hipótei e creíble e uceo { } (llegada/alida) IID por lo que la Poio tambié e creíble para modelar el úmero de ocurrecia. = αt TEORÍA DE COLAS 13

14 Modelo geeral: taa depediete de N Hipótei: Ditribució IID de llegada y alida expoecial. Coidéree =,1, K la taa efectiva de llegada de cliete al itema dado que hay cliete Nt ( ) =. Coidéree =,1, K la taa efectiva de alida de cliete del itema dado que hay cliete Nt ( ) = Diciplia FIFO Objetivo (eceario para aplicar fórmula de Little): Obteer la probabilidad p. Nótee que co el modelo geeral: = p ; = p EF = ; EF = p( Z = ) EF = aleatoria codicioal { q/ q } iedo Z la variable = N N > (dado que para el factor de utilizació e upoe cola) TEORÍA DE COLAS 14

15 Sea dt ta pequeño que de u etado dado ólo e puede paar a do poible etado 4 (diagrama de taa de traició). dt 1 dt -1 dt dt dt 2 dt dt +1 dt Por er proceo de Poio, la probabilidad de ocurrecia de u uceo e u t e proporcioal a dt (llegada proporcioal a dt, alida proporcioal a dt ) 4 Se aume que la imultaeidad de eveto o puede dare al coiderar que u probabilidad e ula (proporcioal a dt 2. TEORÍA DE COLAS 15

16 d Por er el itema etacioario e obvio que e tiee p () t = dt (iedo p () t = P ( N( t) = ) ). Como para u itema etacioario o o e cumple: d P () t P () t P () t P () t dt = ( + ) (ver apute) etoce e cocreto para lo itema etacioario e tiee: P + P = P + P (ecuacioe de balace de probabilidade de etrada y alida) Taa media de llegada al etado 1P P+ 1 (ver diagrama de taa) Taa media de alida del etado P + P (ver diagrama de taa) taa medio de llegada = taa media de alida TEORÍA DE COLAS 16

17 = 1P1 P = 1 1 P = 1 = 1 P + 2P2 = ( 1+ 1) P1 P2 = P = 2 1P1+ 3P3= ( 2+ 2) P2 P = P P L P = P P = 1 1L 1 = 1 2L C = = 1, 2, K 1L 1 C = 1 = 1 P = CP = 1 P = = = C = TEORÍA DE COLAS 17

18 Número medio de cliete e el itema L= P Número medio de cliete e cola co ervidore L = ( ) P Aplicar fórmula de Little para calcular el reto de medida de eficiecia q = = TEORÍA DE COLAS 18

19 Notació kedall de u itema de cola NOTACION: A/B//m/d Ditribució del tiempo etre llegada / Ditribució del tiempo de ervicio / Número de ervidore / Número máximo de cliete e el itema / Diciplia de la cola Para A y B: M expoecial, D degeerada (tiempo cotate), E Erlag (Gamma), G geeral Si m o aparece por defecto ifiito. Si d o aparece por defecto FIFO Ejemplo: M/M/ M/M//K/FIFO M/M// M/G/1 tiempo etre llegada expoecial / tiempo de ervicio expoecial / ervidore TEORÍA DE COLAS 19

20 Cola M/M/1 Taa media de llegada cotate e idepediete del etado del itema = Taa media de ervicio cotate e idepediete del etado del itema = Factor de utilizació ρ = Para alcazar etado etable ρ < C = = ρ P 1 P = = 1 ρ P (1 ) = ρ ρ =,1,2, K 5 ρ = ρ P = 1 x m m+ 1 5 Nótee que k x = y por tato k = 1 x k 1 x = pero olo cuado x < 1. 1 x k = TEORÍA DE COLAS 2

21 Medida de fucioamieto de cola M/M/1 Número medio de cliete e el itema ρ L= P = = = 1 ρ Número medio de cliete e cola co 1 ervidor 2 2 ρ Lq = ( 1) P = = = 1 1 ρ ( ) Tiempo medio de lo cliete e el itema W L 1 1 = = = (1 ρ ) Tiempo medio de lo cliete e cola 1 ρ Wq = W = (1 ρ) Factor de utilizació del ervidor c = L Lq = 1 P TEORÍA DE COLAS 21

22 Cola M/M/ Taa media de llegada cotate e idepediete del etado del itema = Taa media de ervicio = > Factor de utilizació ρ = Para alcazar etado etable ρ < (-1) TEORÍA DE COLAS 22

23 C 1! = 1! > P = = = 1 1 C ! + =! + 1! +! = = = 1 P = 1 = 1 ( ρ) ( ρ) +!!(1 ρ) P 1 P! = 1 1 P! > TEORÍA DE COLAS 23

24 Medida de fucioamieto de cola M/M/ ( ) Número medio de cliete e cola co ervidore ρ Lq = P 2!(1 ρ) Número medio de cliete e el itema L= Lq + Tiempo medio de lo cliete e cola Lq Wq = Tiempo medio de lo cliete e el itema L 1 W = = Wq + Factor de utilizació del ervidor c = L Lq = TEORÍA DE COLAS 24

25 Cao particular de M/M/: Cola M/M/ ( a ifiito) El itema tiee u úmero muy grade de ervidore (itema de autoervicio, viita a ua ciudad: cada viitate e da u ervicio y o hay cola). Taa de llegada = Taa de ervicio = (dado que e ete cao e el úmero de vece que el mimo idividuo e ervido e 1 día) / ( / ) Probabilidad de cada etado p = e =,1,... (ditribució de Poio)! 1 Medida de fucioamieto de la cola L= ; Lq = ; W = ; Wq = ; c = L Lq = TEORÍA DE COLAS 25

26 Cola M/M//K K úmero máximo de cliete e el itema (por ejemplo, lugare dipoible para lo cliete camilla-) No e permite la etrada cuado el itema etá lleo. =,1,2, K, K 1 Taa media de llegada y alida = = K K Número de ervidore iferior al úmero máximo de cliete K 1,1,2,,! = K 1 C =, 1,, K! = + K ; P = C P; > K 1 ρ = 1 K 1 1! +! 1 c = = + P = 1 ρ ( k + 1) =!! TEORÍA DE COLAS 26

27 L q ( k )( k + 1) p ρ = 1 2! = k + 1 k p 2 1 ( k 1) 1 + ρ 1!1 K 1 Taa media de llegada (etrada efectiva) EF = p = p = (1 PK) = = Número medio de cliete e el itema EF L = L q + Tiempo medio de lo cliete e cola Lq Wq = EF Tiempo medio de lo cliete e el itema L W = EF Factor de utilizació del ervidor EF c = L L q = TEORÍA DE COLAS 27

28 TEORÍA DE COLAS 28 Cao particular de M/M//K: Cola M/M// Capacidad del itema e igual úmero de ervidore (cetrale telefóica). Probabilidad de que el itema eté aturado (úmero de cliete igual a úmero de ervidore) /! /! i i P i = =

29 Sitema cerrado co cola M/M/1 Fuete fiita de tamaño m. Cliete ua vez ervido vuelve a la fuete. E ete cao (itema cerrado) e la taa de retoro de UN cliete, NO la taa de llegada de lo cliete al itema. La taa de retoro e etoce el úmero de ervicio olicitado por uidad de tiempo y por UN cliete ( m ) < m La taa de llegada al itema e etoce = m Probabilidad de cada etado m! p = ρ p = ( m + 1) ρp 1 < m 1 m m! ρ ( m )! y p = 1 + = 1 ( m )! p = > m iedo ρ = que e imple otació, o el factor de utilizació. TEORÍA DE COLAS 29

30 Taa media de llegada al itema = p = ( m ) p = ( m L) EF = = 1 m Número medio de cliete e cola 1+ ρ Lq = m (1 p) ρ Número medio de cliete e el itema 1 p L= m ρ Tiempo medio de lo cliete e cola Lq 1 m 1+ ρ Wq = = ( m L) 1 p ρ Tiempo medio de lo cliete e el itema L = ( L ) Factor de utilizació del ervidor c = L Lq = 1 p TEORÍA DE COLAS 3

31 Sitema cerrado co cola M/M/ Fuete fiita de tamaño m. Cliete ua vez ervido vuelve a la fuete. e la taa de retoro de u cliete ( m ) < m La taa de llegada al itema e etoce = m Taa media de ervicio = m Probabilidad de cada etado: P m P = m!( / ) P m! TEORÍA DE COLAS 31

32 Taa media de llegada al itema EF = ( m L) Número medio de cliete e cola m L ( ) q = m p (o exite expreió = aalítica) Número medio de cliete e el itema EF L= L q + Tiempo medio de lo cliete e cola Lq Wq = EF Tiempo medio de lo cliete e el itema L W = EF Factor de utilizació del ervidor EF c = L L q = TEORÍA DE COLAS 32

33 Cola M/G/1 Tiempo etre llegada idepediete y ditribució expoecial co taa de llegada Tiempo de ervicio idepediete y ditribució geeral F () co media 1 y variaza 2 σ No e puede aplicar el proceo geeralizado de acimieto y muerte ρ + σ Fórmula de Pollaczek-Khitchie: L = ρ + iedo ρ = que tedrá que er <1 2(1 ρ) para que el itema ea etacioario TEORÍA DE COLAS 33

34 Dieño óptimo de lo itema de cola (objetivo práctico) Objetivo: Determiar el ivel de ervicio que miimiza la uma de cote icurrido por proporcioar el ervicio + cote de lo cliete por etar e el itema. Cote de lo cliete: Pérdida de gaacia/productividad por pérdida de cliete Deciioe: Número de ervidore por italació Eficiecia de lo ervidore Número de itema e ervicio (italacioe) TEORÍA DE COLAS 34

35 Optimizar la taa de ervicio coocida y fija C cote por uidad de taa de ervicio por uidad de tiempo cote por cliete e el itema por uidad de tiempo C c mi CT ( ) = C + C L( ) c Para cola M/M/1 L = CT ( ) = = + Cc C TEORÍA DE COLAS 35

36 Optimizar la taa de ervicio y la capacidad del itema coocida y fija C K cote por uidad de capacidad por uidad de tiempo C cote por cliete perdido por uidad de tiempo p mi CT (, K) = C + C L(, K) + C K + C P K N c K p K TEORÍA DE COLAS 36

37 Optimizar el úmero de ervidore, coocido y fijo C cote por ervidor por uidad de tiempo mi CT () = C + C L() N c E el óptimo e tiee que cumplir que CT ( 1) CT ( ) CT ( + 1) C L () L ( + 1) L ( 1) L () C c TEORÍA DE COLAS 37