Contraste sobre la media de una distribución Normal de varianza conocida

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1 Cotrate de hipótei etadítica E la primera parte de la iferecia etadítica e ha abordado el problema de la etimació de parámetro, e ella e ha vito cómo cotruir etimadore de parámetro poblacioale, e ha iitido e el carácter de variable aleatoria que tiee lo etimadore y e ha etudiado la ditribució de alguo de ello, lo que e ha deomiado ditribució e el muetreo, lo cual ha permitido la etimació por itervalo de cofiaza. La eguda parte de la iferecia etadítica aborda u problema diferete, que e platea cuado e pretede comprobar la veracidad de algua afirmació que afecta a u feómeo aleatorio. E u cao como ete, o e poible acometer ua prueba irrefutable, pue el feómeo a etudiar produce reultado que, por er aleatorio, o impredecible. Gracia a la teoría de la probabilidad e podrá defiir u cojuto de reultado má probable e el cao de que fuee cierta la afirmació que e pretede comprobar y platear algú procedimieto para obteer obervacioe de aquél feómeo; i e obtiee repueta de etre aquella que e ha idetificado como muy poco probable, e podrá cocluir la faledad de la afirmació ometida a prueba, aumiedo u marge de error cuya probabilidad de ocurrir podrá er tambié cuatificada. Lo pricipale cocepto relativo a la teoria de cotrate erá itroducido co la ayuda de alguo ejemplo. Cotrate obre la media de ua ditribució Normal de variaza coocida Ejemplo: Supogamo que del ceo de 199 abemo que la talla media de lo etudiate de la Uiveridad de Córdoba e de 17 cm y que u variaza e de 5 cm. Pueto que el ceo e atiguo, Podríamo afirmar que la talla media ha cambiado? Se trata, por tato de cotratar la iguiete hipótei: Hipótei ula Ho: µ 17 Hipótei alterativa H 1 : µ<>17 Supueto iicial: La variable X de que e trata, talla de lo etudiate de la Uiveridad de Córdoba e el curo actual, igue ua ditribució Normal de media µ decoocida y variaza coocida, pue upodremo que erá la mima que e el ceo de 199: 5 cm Metodología: para realizar el cotrate, tomamo ua muetra de tamaño y etimamo e ella µ co la media muetral. La media muetral e ua variable aleatoria que, por proceder de ua ditribució Normal N(µ; ), igue ua ditribució Normal N(µ; /) N(µ; 5/) Tipificado la media muetral, el etadítico N( ;1) Si e cierta la hipótei ula, el etadítico: Cotrate de Hipótei, pág 1

2 x 17 N ( ;1), tambié llamado etadíti co erimetal 5 Regioe crítica y de aceptació: Cocluiré rechazado la hipótei ula i la media muetral e u valor que cotradice claramete dicha hipótei: i obtego ua media muetral mucho má pequeña o mucho mayor que 17. E otro cao, diré que o hay evidecia e cotra de la hipótei ula. Si la media e 17, valore muy alejado de 17 o muy improbable, pero o impoible, exitirá ua probabilidad de ecotrar tale valore, aú iedo cierta la hipótei ula. Si o ecotramo co uo de eto cao y rechazamo la hipótei ula cometemo u error, e el error tipo I. La probabilidad de cometer ee error e fija de atemao, e el ivel de igificació, a P(rechazar Ho/Ho e cierta) Pueto que la media muetral tipificada igue ua ditribució N(;1), puedo ecotrar do abcia que defia u itervalo de probabilidad 1-α. E realidad eta do abcia puede er cualequiera que cumpla la codició de que el área bajo la curva de deidad ea 1-α, pero debido a la imetría de la Normal, e toma 1-α/ ; α/, o lo que e lo mimo: - α/ ; α/ Si, elegida ua muetra, obteemo u fuera de ee itervalo, rechazaremo la hipótei ula. Regió crítica o de rechazo: Cr ( ; α/ ) ( α/ ; ) Regió de aceptació: Co ( α/ ; α/) C Aplicació:La iguiete erie de dato e ua muetra de tamaño 1 de ua N(17;5) 17; 178; 148; 145; 188; 193; 186; 199; 187; 177 la media e:177,3 La regió de aceptació, para u ivel de igificació del 1% e (-1,64 ; 1,64) El etadítico erimetal e:1,3 que etá compredido e la regió de aceptació, por eo e cocluye que o e puede rechazar la hipótei ula. Cotrate de Hipótei, pág

3 Error de tipo II E el que e comete al aceptar la hipótei ula iedo fala, o ea, cuado e rechaza la hipótei alterativa iedo cierta. U cotrate como el plateado: Hipótei ula Ho: µ 17 Hipótei alterativa H 1 : µ<>17 cotempla ifiita poible hipótei alterativa, bata co que la media o ea 17. Pero e todo lo cao la hipótei ula e la mima, y la regió de aceptació para u α del 1% iempre erá (-1,64 ; 1,64). Supogamo que e realidad, la talla actual ha crecido y que ahora la media o e 17 io 18 cm, co ua variaza de 5 cm Ahora la lita iguiete e ua muetra procedete de ua variable N(18;5) 19; 199; 17; 189; 179; 1; 175; 193; 15; 9 la media e:187,5 El etadítico erimetal e:,475 que NO etá compredido e la regió de aceptació, por eo e cocluye (correctamete) que hay evidecia para rechazar la hipótei ula. E cao como ete decimo que el cotrate reultó igificativo. Si embargo, i lo valore obteido hubiera ido lo iguiete, que tambié procede de ua variable N(18;5) 184; 4; 173; 188; 189; 19; 146; 157; 184; 198 la media e:181,3 La regió de aceptació, para u ivel de igificació del 1% e (-1,64 ; 1,64) El etadítico erimetal e:1,598 que etá compredido e la regió de aceptació, por eo e cocluye (icorrectamete) que o e puede rechazar la hipótei ula. Pero abemo que la media e 18, al aceptar la hipótei ula cometemo u error, e el error de tipo II y ocurre cuado e acepta la hipótei ula iedo fala. La probabilidad de cometer error de tipo II e repreeta como b P(aceptar Ho/Ho e fala) Errore de tipo I y II Para ver la relació exitete etre lo do tipo de errore, lo haremo co otro ejemplo: Hipótei ula, la media e:17, X N(17;5) Ditribució media muetral bajo Ho y H 1 b P(error tipo II).6.5 H H α/ C β α/ Cotrate de Hipótei, pág 3

4 U cao cocreto de hipótei alterativa, la media e185, X N(185;5) La variaza e, e ambo cao, 5 Se puede repreetar la fucioe de deidad de la media muetral bajo amba hipótei y ver que el área delimitada por deidad correpodiete a H 1 (ditribució que hay que coiderar cuado H 1 ea cierta) y la regió de aceptació (valore de la media muetral que me hace decir que H 1 e falo) e lo que deomiamo β probabilidad de error de tipo II. Co la ayuda de ete gráfico e puede ver que para reducir el error tipo II e puede hacer má pequeña la regió de aceptació, pero etoce aumeta el error tipo I. Solo e puede dimiuir ambo errore de modo imultáeo aumetado el tamaño de la muetra, pue aí la variaza de la media muetral e meor, la curva Ho y H 1 o má etrecha y, para la mima regió de aceptació, dimiuye el área correpodiete a α y β. Cotrate uilaterale y bilaterale: E cao como el vito hata ahora, rechazaremo la hipótei ula iempre que la muetra extraída cotradiga claramete ea hipótei, e uetro ejemplo, iempre que la media muetral ea igificativamete mayor meor que la propueta como hipótei ula. Cotrate del tipo: Ho: µ µ H 1 : µ< µ Dará reultado igificativo olo i la media muetral e meor que la propueta como hipótei ula y e deomia cotrate uilaterale. El cotrate e platea y e reuelve del mimo modo, pero como olo aceptamo H 1 i la media muetral e claramete meor que 175, la regió crítica e: C 1 ( ; α ) y la regió de aceptació e: C ( α ; ) E el cao de que la hipótei alterativa ea de etido cotrario al aterior: Ho: µ µ H 1 : µ > µ La regioe crítica y de aceptació o: C 1 ( α ; ) y C ( ; α ) Valor crítico o P- valor de u cotrate Se ha vito que e puede cotruir la regió de aceptació y la regió crítica de u cotrate ate de tomar la muetra, bata aber cuál e el etadítico de cotrate, u ditribució, coocer i el cotrate e uilateral o bilateral y el ivel de igificació deeado. Todo ello o requiere el coocimieto de lo dato de la muetra. De hecho, habria que proceder aí para evitar que el coocimieto de la muetra pudiee modificar el plateamieto iicial del tet. No obtate, lo programa etadítico procede de otro modo, como ello puede calcular la probabilidad aociada a cualquier itervalo de valore correpodiete a la ditribució del etadítico de cotrate, puede iformar obre cómo de raro, dede el puto de vita de la hipótei ula, e el valor obteido. E realidad o iforma obre la probabilidad de obteer valore ta raro o má que el obteido, a eta probabilidad e le deomia valor crítico o P- valor del tet. Veámolo co u ejemplo: Sea el cotrate uilateral obre la talla media de lo alumo de la Uiveridad de Córdoba e el año, que upoemo que igue ua ditribució N( µ ; 5) Ho: µ 17 H 1 : µ > 17 Cotrate de Hipótei, pág 4

5 Supogamo que e ha extraido la m.a.. de tamaño 1, que reulta er la iguiete: 184; 4; 173; 188; 189; 19; 146; 157; 184; 198 cuya media e:181,3 El etadítico erimetal e : N ( ;1) x 17 5 Sutituyedo y operado, e obtiee 1,598. Dede el puto de vita de la hipótei ula, valore ta raro o má que ete erá aquello que haga aceptar H 1, e decir, aquella muetra cuya media ea claramete mayor que 17, tato o má que la muetra actual, o, lo que e lo mimo, que produzca u valor de 1,598, de er cierta la hipótei ula, ea probabilidad e puede calcular, pue la ditribució de e ua N(;1): N(;1) P ( ) P ( 1.598).551 El P-valor del cotrate erá, por lo tato,.551. Ahora podemo afirmar que, i la hipótei ula e cierta, valore ta raro como el que proporcioa la muetra actual o aú má favorable a la hipótei alterativa, ocurre olo 5.5 de cada 1 vece que e obtega ua muetra, por lo que podremo aceptar o rechazar la hipótei ula coociedo el riego a error que e corre. E el ejemplo actual, e puede rechazar H, pue el etadítico de cotrate proporcioa u valor de lo que podríamo calificar de raro. No obtate, i e rechaza la hipótei ula, el riego a errar e del 5.5%. E defiitiva, e puede defiir e valor crítico o P-valor de u cotrate como el riego que e aume a equivocare por rechazar la hipótei ula. Si el riego a errar e grade, o la rechazaré, mietra que i ete riego e pequeño, podré rechazarla. E geeral, i el P-valor e meor que α, e rechaza H, y i e mayor e acepta. Tambié e puede cotemplar el P-valor como el ivel de igificació que debe teer u tet para que el etadítico de cotrate ea jutamete la frotera etre la regió crítica y la regió de aceptació. Co eta defiició e puede compreder que, cuado el cotrate e bilateral, el P-valor ea el doble que para el mimo cotrate uilateral. Si e realiza el cotrate: Ho: µ 17 H 1 : µ 17 y e obtiee la muetra aterior, el etadítico de cotrate vuelve a er 1,598, pero ahora, la regió crítica ha de er bilateral, como e baa e ua N(;1), erá ademá imétrica. Si e deea que ea frotera de eta regió e tedrá: r ( ; ) ( ; ) ( ; ) C C ( / (;1) ) P valor P C N r ( ) ( ) ( ) P valor P P + P ( ) P valor P.11 Cotrate de Hipótei, pág 5

6 Geeralmete ete e el reultado que proporcioa lo programa etadítico, i e deea aber el P-valor correpodiete a u cotrate uilateral, bata dividir el que proprocioe el programa etre do. E el cao de cotrate uilaterale, i el P-valor que e cooce e el correpodiete a u cotrate bilateral, olo e rechazará H cuado la catidad erimetal eté del lado de H 1 y i el P-valor calculado dividiedo etre do el que proporcioe el programa, aí lo acoeja. Cotrate obre la media de ua ditribució Normal de variaza decoocida Hata ahora e ha upueto que la variaza poblacioal era coocida, lo que e poco veroímil i la media poblacioal e decoocida. U cao má real erá aquél e que e deee efectuar u cotrate obre la media de ua ditribució ormal de variaza decoocida: Ho: µ µ H 1 : µ µ La media muetral e ua variable aleatoria que, por proceder de ua ditribució Normal N(µ; ), igue ua ditribució Normal N(µ; /). Si e cierta la hipótei ula, la media muetral eguirá ua ditribució N(µ ; /) Tipificado la media muetral, el etadítico N( ;1) Pero ahora o e poible calcularlo, pue la variaza poblacioal e decoocida. No obtate, podemo etimarla co la cuaivariaza. La variable aí tipificada o igue ua ditribució Normal, io ua t de Studet co -1 grado de libertad, por lo que la regió de aceptació para el cotrate bilateral co u ivel de igificació α, e cotruye a partir de la t de Studet C (-t α/ ; t α/ ) y co ella e compara la catidad erimetal: t Ejemplo : e deea realizar el cotrate vito e el primer ejemplo: Ho: µ 17 H 1 : µ 17 Pero ahora upoiedo que e decooce la variaza poblacioal. Para realizar el cotrate, e obtiee ua muetra, ea la muetra de tamaño 1 de ua N(175;5) que hemo utilizado ya : 186; 175; 185; 17; 174; 178; 178; 188; 165; 17 E eta muetra etimamo la media poblacioal co la muetral:177,3 y etimamo la variaza poblacioal co la cuaivariaza, que e: La regió de aceptació, para u ivel de igificació del 1% y 9 grado de libertad e C (-t α/ ; t α/ ) (-1,833 ; 1,833) El etadítico erimetal e: Cotrate de Hipótei, pág 6

7 t , que etá compredido e la regió de aceptació, por eo e cocluye que o e puede rechazar la hipótei ula. Cotrate uilaterale Cuado el cotrate o ea bilateral, la regió crítica e itúa e u olo extremo de la t de Studet, de modo coherete co la hipótei alterativa de que e trate: Hipótei Regió crítica Regió de aceptació Ho: µ µ H 1 : µ > µ Ho: µ µ H 1 : µ < µ C 1 (t α ; ) C ( ; t α ) C 1 ( ; t α ) C ( t α ; ) Cotrate obre la media de ua variable aleatoria que o iga la ditribució Normal. Cuado o e pueda aumir la Normalidad de la variable de partida, tedremo que recurrir a algú cotrate No paramétrico, que o e verá aquí. No obtate, i la muetra e uficietemete grade, e puede aplicar el T.C.L. y realizar el cotrate baádoo e la ditribució ormal, la tabla iguiete reume lo cotrate y la codicioe de aplicabilidad. Cotrate Ho: µ µ H 1 : µ µ Ho:µ µ H 1 : µ > µ Ho: µ µ H 1 : µ < µ Variaza poblacioal Tamaño muetral * coocida >3 decoocida, etimada co >6 coocida >3 decoocida, etimada co >6 coocida >3 decoocida, etimada co >6 Etadítico erimetal / / / / / / Regió de aceptació C ( Ζ α/ ; Ζ α/ ) C ( ; Ζ α ) C ( Ζ α ; ) *: e el tamaño de muetra míimo requerido para que e pueda aplicar el T.C.L., co uficiete garatía de aproximació. Cotrate de Hipótei, pág 7

8 Ejemplo: Supógae que el ivel medio de cotamiació atmoférica obre úcleo urbao medido e cierta ecala o deba uperar la 15 uidade, que para cotrolar ete ivel e haya elegido aleatoriamete cie puto de cotrol obre ua ciudad y que eta medida proporcioe u valor medio de co ua cuaivariaza de 4.8. Cotrátee la hipótei ula de que o e upera el máximo ivel medio admitido. Se tratará de efectuar el cotrate: Ho:µ 15 H 1 : µ 15 Como o e cooce la ditribució de eta variable (de hecho o e idica cuál e el procedimieto i la uidade de medida), e pricipio o e podría platear el cotrate habitual obre la media de ua ditribució Normal, o obtate, como el tamaño muetral, 1 e uficietemete grade, e puede admitir la aproximació Normal de la ditribució de la media muetral y reolver el cotrate. El etadítico de cotrate e: La regió de aceptació, para u ivel de igificació del 5% e: C (- ;.5 ) (- ;1.64) Cocluió: Habría evidecia para afirmar que e ha uperado el ivel máximo admiible. Cotrate obre ua proporció. E gra catidad de ocaioe la variable que e mide e categórica, e eo cao, el parámetro que má habitualmete e ua para caracterizar la ditita categoría de dicha variable e la proporció. Cuado olo iteree ua de la poible categoría frete a la demá, erá aplicable el modelo de ditribució de variable aleatoria biaria, e la que e idetifica como "éxito" al cojuto de reultado que muetra la categoría que e de iteré y como "fracao" a todo lo demá. E ete tipo de ituacioe e poible platear cotrate obre el parámetro p de la ditribució biomial que, como e vio e el tema 7, e podrá y reolver uado la ditribució e el muetreo de la variable X úmero de éxito, pue, como e abe, e biomial de parámetro y p. No obtate, e ete puto e eguirá ua metodología ditita, aplicado la aproximació Normal, cuado eto ea poible. Cotrate del tipo: Ho: p p H 1 : p p Puede er aimilado a uo obre la media de ua variable que o igue la ditribució Normal, pue al tomar ua muetra y etimar e ella la proporció de "éxito", dicho etimador puede er coiderado la media de ua variable biaria e la que aimilamo 1 a "éxito" y a "fracao": i ˆ a x p x 1., dode a e el úmero de éxito de la muetra y x i olo toma valore ó E tal cao, e coidera que la muetra e uficietemete grade i p y q o ambo mayore que 5. Cotrate de Hipótei, pág 8

9 Si H e cierta, la variaza poblacioal o hay que etimarla, pue e la de ua variable biaria de parámetro p : pq El cotrate e reuelve calculado: ˆp p pq y comparádolo co ua regió de aceptació bilateral: C ( Ζ α/ ; Ζ α/ ) De modo imilar e procede para lo cotrate uilaterale. Cotrate Regió de Variaza, bajo H aceptació Població Etimador de p Tamaño muetral Etadítico erimetal Ho:p p H 1 : p> p Ho:p p H 1 : p< p C ( ; Ζ α ) C ( Ζ α ; ) p q pq ˆp p >5 y q >5 ˆp p pq Ejemplo: De ua determiada aigatura e cometa que e produce u úmero exceivo de upeo, para comprobar la opecha, e ha elegido aleatoriamete 5 alumo de etre lo que e ha preetado al primer parcial, y e ha ecotrado que 3 de ello etá upeo, pero el profeor afirma que eo o quiere decir que la proporció de upeo ea mayor que el 5%, E eo cierto?. E poible que el profeor tega razó, pue la iformació que e poee e la de ua muetra, que e upoe repreetativa de todo u alumo, para comprobar la veracidad de u afirmació, e tedrá que efectuar u cotrate obre la proporció de upeo. Si e upoe la iocecia del profeor, el cotrate e plateará: H : p.5 H 1 : p >.5 Como >5, e puede aplicar la aproximació ormal. Para u ivel de igificació α,1, C (- ;.1 ) (- ;.36) y el etadítico de cotrate: pˆ p pq Cocluió: No e puede rechazar que la proporció de upeo e iferior o igual al 5% Cotrate obre la Variaza de ua variable aleatoria que igue ua ditribució Normal. Cotrate del tipo: Ho: H 1 : Cotrate de Hipótei, pág 9

10 Se puede realizar iempre que la variable de partida iga ua ditribució Normal, pue, e tal cao, abemo que: ( 1) i ( ; ) etoce: X N µ χ ( 1) Para reolver el cotrate hay que upoer cierta la hipótei ula, etoce el etadítico de cotrate e: χ ( 1) y e comparará co la regió de aceptació: cotrate plateado, dode 1 α / C 1 α/ α/ ( χ ; χ ), bilateral por el tipo de χ e la abcia de ua ditribució Chi-cuadrado co -1 grado de libertad que deja a u derecha u área 1-a /, y u área a / χ α / e la que deja a u derecha Para el cao uilateral, el etadítico de cotrate e el mimo y la regioe de aceptació e cotruye de modo que la regió crítica ea coherete co la hipótei alterativa. La tabla iguiete reume lo cotrate obre la variaza: Cotrate Ho: H 1 : C Regió crítica (; χ ) ( χ ; ) 1 1 α/ α/ C Regió de aceptació χ 1 α/ χ α/ ( ; ) Etadítico de cotrate Ho: H 1 : > C 1 ( χ α ; ) C (; χ α ) χ ( 1) Ho: H 1 : < C 1 χ 1 α (; ) C ( χ ; ) 1 α Ejemplo: Supogamo la primera muetra de diez alumo matriculado e la Uiveridad de Córdoba durate el año, u talla o: 19; 199; 17; 189; 179; 1; 175; 193; 15; 9 Supoiedo que lo dato proceda de ua ditribució Normal, cotrátee la hipótei ula de que la variaza ea 5 cm cotra la alterativa de que tega otro valor, co u ivel de igificació del 1%. Ho: H 1 : La media de ete cojuto de dato e La cuaivariaza de ete cojuto de dato e Supueto Normalidad, la regió de aceptació, baada e la ditribució Chi-cuadrado co 9 grado de libertad e: C χ1 α/ χα/ χ.95 χ.5 ( ; ) ( ; ) (3.35;16.919) y el etadítico de cotrate: Cocluió: Se aceptará la hipótei ula. χ ( 1) Cotrate de Hipótei, pág 1

11 Cotrate de Normalidad de Kolmogorov-Smirov. La mayoría de lo cotrate paramétrico que e ha vito e baa e la Normalidad de lo dato de la muetra. El cotrate actual permite cocluir i u cojuto de dato procede o o de ua ditribució Normal. El plateamieto e el iguiete: Ho: Lo dato procede de ua Normal H 1 : Lo dato o procede de ua Normal Exite vario cotrate epecífico de Normalidad, el que veremo aquí irve para cualquier tipo de ditribució, o olamete la Normal, por ete motivo, o e el má potete etre todo lo cotrate de Normalidad dipoible. El cotrate de Kolmogorov-Smirov e baa e la idea de que i u cojuto de dato igue u modelo de ditribució, la tabla de frecuecia relativa acumulada ( fució de ditribució empírica) de lo dato debe aproximare a la fució de ditribució teórica propueta. Si la diferecia etre amba ditribucioe o e muy grade, la diferecia puede er atribuida al azar y cocluiremo que lo dato igue la ley propueta. Si la diferecia o grade, etoce o podremo atribuirla al azar, io al hecho de que lo dato o igue el modelo de ditribució propueto. Para realizar el cotrate hay que comparar la frecuecia relativa acumulada co la fució de ditribució teórica, e calcula la diferecia etra amba ditribucioe puto a puto y el etadítico de cotrate e la mayor de toda la diferecia e valor aboluto. La fució de ditribució empírica e ecaloada y muetra u alto e cada uo de lo valore obervado, por ello hay que coiderar do poible diferecia, ua por cada uo de lo valore de la fució de ditribució empírica imediatamete ate y depué de cada uo de lo puto obervado, amba diferecia calculada repecto del valor de la fució de ditribució teórica e ee puto. Se toma la diferecia e valor aboluto, el etadítico de cotrate e la máxima diferecia etre toda ella. El etadítico aí calculado e compara co la míima diferecia igificativa para el ivel de igificació coiderado, proporcioada por la tabla de Kolmogorov-Smirov, y i e meor, cocluimo que o e puede rechazar la hipótei de Normalidad. Tet de Kolmogorov Normal Frecuecia acumulada 1.75 d d Ejemplo La iguiete erie de dato e la muetra de tamaño 1 de ua N(175;5) que hemo utilizado e el primer ejemplo: 17; 178; 148; 145; 188; 193; 186; 199; 187; 177 Cotrate de Hipótei, pág 11

12 Se podrá aceptar, co u ivel de igificació del 5% que ete cojuto de dato procede de ua ditribució Normal? El gráfico aterior puede aclarar la ituació, pue muetra la ditribucioe empírica y teórica del cojuto de dato. Para calcular la fució de ditribució teórica hay que coocer lo do parámetro de la ditribució Normal, la media (µ ), y la variaza ( ), i ambo o decoocido e etimará co la media ( x ) y cuaivariaza de la muetra ( ). El cotrate e platea etoce como: Ho: Lo dato procede de ua Normal ( de media y de variaza ) H 1 : Lo dato procede de otra ditribució (o de ua Normal co otro parámetro) La fució de ditribució teórica e P(X x) y para calcular eta probabilidad teórica hay que tipificar lo dato, pue hay que calcular probabilidade aociada a itervalo de ua variable Normal, y olo teemo tabla de la N(;1) Para tipificar: Media 177.3; Cuaivariaza La tabla iguiete cotiee lo cálculo precio para realizar el cotrate: Dato e orde (*) dato ditito Frec. Ab. Frec. ac. Ab. Frec. ac. Rel. z dato tipificado Probabilidad P( z) d 1 d d max (*) e ete cao o hay dato repetido, por eo eta columa y la aterior coicide y la frecuecia aboluta o toda 1. Si hubiee dato repetido eta columa cotedrá olo lo valore diferete, y e aotará e la columa de frecuecia aboluta el º de vece que e repite. El etadítico de cotrate e D.1934 De la tabla de Kolmogorov, para 1 y a.5, el valor máximo de D e D.41 Como D < D, cocluimo que o e puede rechazar la hipótei de ormalidad. Nota: al etimar lo parámetro poblacioale co lo muetrale, la diferecia etre la ditribució teórica y la empírica tiede a er meore que la que e obtedría i e coociee eto parámetro y e produce meo reultado igificativo que lo que realmete debiera producire. Por ello, para u cao como ete e recomieda uar la tabla de Lilliefor que da valore iferiore de la diferecia igificativa que la proporcioada por la tabla de Maey, que e la que e ha proporcioado e la colecció de tabla. No e ha proporcioado eta eguda tabla para o complicar má lo poible cao a coiderar. Cotrate de Hipótei, pág 1

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