T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal

Transcripción

1 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Estadística T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Departameto de Ciecias del Mar y Biología Aplicada

2 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Itervalos de cofiaza Itervalos de cofiaza: sirve para estimar el valor de u Parámetro de la població. U itervalo de cofiaza del -% para u parámetro es u itervalo de valores calculado a partir de los datos de la muestra Probabilidad - de que cotega el verdadero valor del parámetro. El ivel de cofiaza suele ser,9 (9%),,95 (95%) ó,99 (99%). Iterpretació práctica

3 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Iterpretació del ivel de cofiaza e el itervalo para la Media de ua distribució ormal

4 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal La media muestral y la desviació estádar so bueos estimadores Estos estimadores so a la vez variables aleatorias. Tiee ua determiada distribució, e el caso de la media es Normal. Así pues podemos calcular u itervalo de valores [a,b] tales que P( a b)

5 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocida upogamos que dispoemos de ua població e la que teemos ua v.a. co distribució N(,) co coocida. Obteemos ua muestra de tamaño y deseamos estimar la media de la població. El estimador putual de la misma es la media muestral cuya distribució muestral es coocida El estadístico es Vetaja: Valores tabulados x Ν(, x ) tedrá distribució ormal estádar

6 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocida obre la distribució N(,) podremos simétricos -z y z, tales que seleccioar dos putos P(-z z ) -

7 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocida Gráficamete: para ua ormal tipificada, u itervalo de cofiaza del 95% se puede represetar como: P(-z z ) - P( ).95 95% La probabilidad de que ua variable ormal tipificada tome valores e el itervalo [-.96,.96] es del 95%..5%.5%

8 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal ustituyedo, z x z P Despejado os queda el itervalo de cofiaza, + z x z x P z Marge de error (ε) Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocida x ( ) z z P ( ) + ± ± z x z x z x x I ε,

9 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocida Ejemplo Obteer u I. C. del 95% para el promedio de la talla de ua població de tiburó blaco, de la que se mide 5 idividuos, obteiédose x 39 cm. e sabe que es de 4 cm. I ( x ± ε ) x ± z x z, x + z.95 I , I (38.6, ) La talla media de los tiburoes se ecuetra etre 38.6 y co u ivel de cofiaza del 95%

10 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, descoocida i la variaza poblacioal ( ) es descoocida y la variable es ormal (o se puede aproximar a la ormal por el Teorema cetral del límite) e usa la t de tudet Co grados de libertad Desviació típica muestral t x El itervalo de cofiaza resulta I ( x ± ) x ± t x t x + t ε,,,,

11 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, descoocida Ejemplo U laboratorio dedicado a la elaboració de piesos para acuicultura, afirma que su producto aumeta el peso promedio de los peces e 3 g mesuales. E ua muestra de 9 peces tomados al azar, se obtuvo u aumeto promedio de 35 g co desviació típica de 3.4 g. Estimar el itervalo de cofiaza al 95% para el verdadero aumeto promedio. I ( x ± ) x ± t x t x + t ε,,,,.95 I , I (3.66, 37.34)

12 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal El estadístico utilizado es: χ ( ) igue distribució o simétrica Co grados de libertad χ El itervalo de cofiaza resulta Regió de cofiaza P( χ, χ χ, ) χ ( ) χ ( ) ( ) χ χ,,,, χ χ ( ) ( ) I, χ, χ,

13 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal Ejemplo e estudia el diámetro de la cocha e ua població de lapas. Tras medir 5 idividuos, se obtiee ua media de 7 mm y ua desviació típica de.6 mm. Calcular u itervalo de cofiaza co de.5 para la variaza del diámetro de las lapas. x Tabla Chi-cuadrado ( ) ( ) I, χ, χ,.95 I 4 4.6, I (63.5,.59)

14 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Hipótesis estadística Proceso de la ivestigació estadística PROBLEMA HIPÓTEI DIEÑO RECOLECCIÓN DE DATO ANÁLII i valor cietífico La hipótesis o se cofirma La hipótesis se cofirma e elimia como explicació e establece ua teoría Aplicació

15 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Hipótesis estadística Hipótesis estadística: Afirmació o cojetura sobre la distribució de ua o más v.a., o bie sobre algua característica de la misma. Es ua afirmació respecto a algua característica de ua o más poblacioes. Hipótesis ula (H ): Hipótesis que se cotrasta (siempre cotiee la igualdad) Hipótesis alterativa (H ): Hipótesis aceptada cuado la evidecia muestral está e cotra de la H U test para cotrastar la H frete a la hipótesis alterativa cosiste e decidir, para cada posible muestra, si aceptamos o rechazamos H ; por lo tato, u test cosistirá e dividir el espacio muestral (cojuto de todas las posibles muestras) e dos regioes: ua regió crítica, o de rechazo de H y ua regió de aceptació de H

16 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis Errores asociados a las hipótesis estadísticas β H : Hipótesis ula H : Hipótesis alterativa Los errores puede ser uilaterales o bilaterales depediedo de la hipótesis estadística

17 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis La posició de la regió crítica depede de la hipótesis alterativa Bilateral H : 4 H : 4 Uilateral Reg. Crit. No rechazo H Reg. Crit. Uilateral H : 4 H : <4 H : 4 H : >4

18 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis i supogo que H es cierta... qué hace u cietífico cuado su teoría o coicide co sus prediccioes? H : 4 H : el resultado del experimeto sería improbable. i embargo ocurrió.

19 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis H : 4 H : 4 Hay evidecia cotra H Rechazo que H sea cierta e rechaza H El experimeto es cocluyete (coocemos ) El cotraste es sigificativo 4... el resultado del experimeto sería improbable. i embargo ocurrió.

20 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis i supogo que H es cierta... i ua teoría hace prediccioes co éxito, queda probado que es cierta? H : 4 H : 4 β? No hay evidecia cotra H No se rechaza H El experimeto o es cocluyete (o coocemos β) El cotraste o es sigificativo el resultado del experimeto es coherete.

21 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis H : 4

22 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis No se rechaza H : 4 H : >4 43

23 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis P-valor Probabilidad de teer ua muestra que discrepe aú más que la uestra Probabilidad de obteer ua muestra más extraña que la obteida P-valor es coocido después de realizar el experimeto aleatorio El cotraste es o sigificativo cuado p-valor> No se rechaza H : 4 P-valor H : >4 P 43

24 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis e rechaza H : 4 e acepta H : >4 5

25 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis El cotraste es estadísticamete sigificativo cuado p-valor< Es decir, si el resultado experimetal discrepa más de lo tolerado a priori P e rechaza H : 4 e acepta H : >4 P 5

26 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis obre Probabilidad de rechazar H cuado es cierta Número pequeño (%, 5%, %), elegido a priori ates de diseñar el experimeto Coocido sabemos todo sobre la regió crítica obre P-valor Probabilidad de obteer u resultado al meos ta extremo como el que realmete se ha obteido Es coocido tras realizar el experimeto Coocido p-valor sabemos todo sobre el resultado del experimeto Rechazamos H (cotraste sigificativo) si P-valor <

27 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Aplicació de los cotrastes a los parámetros de la ormal

28 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Ejemplo Cuado o existe igú tipo de impacto, los iveles de fosfatos e el agua de mar está etoro a.5 M, co ua variaza. Ua actividad atrópica elevada puede causar impactos que haga variar los iveles de fosfatos. Asumiedo que sigue ua distribució ormal, determiar si la bahía de Alicate sufre algú tipo de impacto a partir de los iveles de fosfatos obteidos tras aalizar muestras de agua:

29 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal No se rechaza H si:. Itervalo de cofiaza:. Regió de aceptació: 3. Estadístico experimetal: 4. P-valor: : : H H rechazo No +, rechazo No < exp rechazo No +, rechazo p No > < > P valor p P p Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, coocida x El estadístico a emplear es

30 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal < : : H H < < P valor p > : : H H +, +, > > P valor p Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, coocida No se rechaza H si:. Regió de aceptació:. Estadístico 3. P-valor: No se rechaza H si:. Regió de aceptació:. Estadístico: 3. P-valor:

31 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal H H : : R. Crítica Rechazo Regió de aceptació No rechazo x + R. Crítica Rechazo H H : : >.95.5 Regió de aceptació No rechazo x + R. Crítica Rechazo

32 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal N (,) H H : :.95.5 p-valor p-valor.5 R. Crítica Rechazo exp t Regió de aceptació No rechazo exp t R. Crítica Rechazo H H : : >.95 p-valor.5 Regió de aceptació No rechazo exp t R. Crítica Rechazo

33 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, coocida Ejemplo Cuado o existe igú tipo de impacto, los iveles de fosfatos e el agua de mar está etoro a.5 M, co ua variaza. Ua actividad atrópica elevada puede causar impactos que haga variar los iveles de fosfatos. Asumiedo que sigue ua distribució ormal, determiar si la bahía de Alicate sufre algú tipo de impacto a partir de los iveles de fosfatos obteidos tras aalizar muestras de agua: H H :.5 :.5. Regió de aceptació.66, , (.88, 3. ) No rechazo.66

34 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, coocida. Estadístico experimetal exp <.66.5 exp <.96 No podríamos decir que los iveles de fosfatos esté alterados 3. Mediate el p-valor.56 <. 96 No rechazo p P > ( >.56) P( <.56) p P p valor.6 > No rechazo

35 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, coocida Ejemplo Ua muestra aleatoria de ostras cultivadas e ata Pola muestra u peso medio de 7.8 g. Asumiedo ua desviació estádar de la població de 8.9 g, se puede afirmar que el peso medio de las ostras es mayor de 7 g? Utilizar u ivel de sigificació del 5%. H H : 7 : > 7. Regió de aceptació , +, (, 7.464) Re chazo 7.8

36 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, coocida. Estadístico de cotraste exp < >.645. >.645 Re chazo 3. Mediate el p-valor p valor P > p valor ( >.) P( <.) P p valor.7 <.5 Re chazo El peso medio de las ostras es superior a 7 g co ua seguridad del 95%

37 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal No se rechaza H si:. Itervalo de cofiaza:. Regió de aceptació: 3. Estadístico experimetal: 4. P-valor: : : H H rechazo No t t +,,, rechazo No t t <, exp rechazo No t t +,,, rechazo p No > > > t P valor p t P p * Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, descoocida x tudet t El estadístico a emplear es

38 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal No se rechaza H si:. Regió de aceptació:. Estadístico 3. P-valor: No se rechaza H si:. Regió de aceptació:. Estadístico: 3. P-valor:, < t + t,, +,, t, > t > t P valor p < t P valor p Cotrastes de Hipótesis para la media poblacioal, descoocida < : : H H > : : H H

39 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal H H : : R. Crítica Rechazo t, Regió de aceptació No rechazo x + t, R. Crítica Rechazo H H : : >.95.5 Regió de aceptació No rechazo x + t, R. Crítica Rechazo

40 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Cotrastes de Hipótesis para la variaza poblacioal El estadístico a emplear es χ exp ( ) H H : : No se rechaza H si:. Regió de aceptació: χ χ,,, No rechazo. Estadístico experimetal: χ, ( ) < < χ, No rechazo χ χ 3. P-valor: p > No rechazo ( P( χ < χ ) P( χ > ) p valor mi χ exp, exp

41 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal No se rechaza H si:. Regió de aceptació:. Estadístico 3. P-valor: No se rechaza H si:. Regió de aceptació:. Estadístico: 3. P-valor: < : : H H,, χ +,, s χ, ) ( χ > > : : H H, ) ( χ < < ) ( χ P valor p > ) ( χ P valor p Cotrastes de Hipótesis para la variaza poblacioal

42 Estadística :: T5. Cotrastes para los parámetros de ua població Normal Comado a utilizar co R: Cotrastes para la media de ua pob., de variazas descoocidas: t.test(x, alterativec("two.sided", "less", "greater"), mumedia_hipotetica, cof.level.95)