CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Transcripción

1 Estadística: Cotraste de hipótesis 1 CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. Cotraste de hipótesis sobre la media poblacioal Se parte de ua població supuestamete ormal de media y desviació típica N(, ); se tipifica mediate la ormal N(, 1). Si e esa població se hace u muestreo de tamaño y se obtiee ua media x distita de, esa diferecia etre y x puede supoerse que es debida al azar (hipótesis ula, H : = la media verdadera sigue siedo la misma) o, por el cotrario, sospechar que la media poblacioal ha cambiado (hipótesis alterativa, H 1 :, > o < la media real es distita, es mayor o es meor que la supuesta hasta el mometo). El cotraste de hipótesis es el istrumeto que permite decidir si esas diferecias puede iterpretarse como simples fluctuacioes debidas al azar, o bie, so de tal importacia, que requiere ua explicació distita. Ambas opcioes se estima co técicas similares a las de itervalo de cofiaza. Como allí, las coclusioes se formulará e térmios de probabilidad, pues, hay riesgo de error. Esto es, puede decidirse que o hay diferecias, habiédolas; o, por el cotrario, asegurar que las hay, si haberlas. Dado que ambos errores puede cosiderarse graves, estadísticamete hay que estar muy seguros de la afirmació que se hace. Por ello, la probabilidad co la que se opte por ua u otra hipótesis debe ser grade, geeralmete superior a,9. Esa probabilidad se deomia ivel de cofiaza, que se deota por 1 ; el valor es la sigificació del cotraste. Cuado e ua població se hace u muestreo de tamaño y se obtiee ua media x distita de, el cotraste sobre la media puede adoptar ua de las tres formas siguietes: Cotraste bilateral Se platea cuado se sospecha que la media ha cambiado. Se formula como sigue: Hipótesis ula H : = Hipótesis alterativa H 1 : Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si x / 2, / 2 O sea, x está fuera del itervalo de cofiaza de. Esto equivale a admitir que la media ha cambiado. Si se tipifica, el itervalo de aceptació será / 2, / 2, x siedo el estadístico de cotraste:. /. Se rechaza H cuado / 2, / 2 Observacioes: 1) Se rechaza H cuado queda detro de la regió crítica. No se rechaza e caso cotrario. 2) Al rechazar H se admite H 1, y viceversa. José María Martíez Mediao

2 Estadística: Cotraste de hipótesis 2 Cotraste uilateral izquierdo (cola izquierda) Se platea cuado se sospecha que la media ha dismiuido. Se formula como sigue: Hipótesis ula H : Hipótesis alterativa H 1 : < Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si x E este caso, el área se toma ítegra e la cola izquierda de la campaa. Si se tipifica, la regió de aceptació de H es (, +). Se rechaza H cuado. Por tato, la regió de aceptació de H 1 es (, ). x El estadístico de cotraste es / x Puede observarse que x. / Cotraste uilateral derecho (cola derecha) Se platea cuado se sospecha que la media ha aumetado. Se formula como sigue: Hipótesis ula H : Hipótesis alterativa H 1 : > Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si x E este caso, el área se toma ítegra e la cola derecha de la campaa. Si se tipifica, la regió de aceptació de H es,, x siedo el estadístico de cotraste:. / Se rechaza H cuado. Si cae detro del itervalo de aceptació,,, se sigue dado por buea la media atigua, : o se tiee evidecia estadística, co el ivel de cofiaza exigido, de que la media ha aumetado. E cosecuecia, o puede aceptarse la hipótesis alterativa H 1, cuya regió de aceptació será,. x Como puede observarse: x / Observació: Que o se admita H 1 o sigifica que sea falsa; idica que o hay la suficiete evidecia estadística como para rechazar H. José María Martíez Mediao

3 Estadística: Cotraste de hipótesis 3 Ejemplos: 1. Admitamos que la estatura media de las chicas españolas de 18 años se ajusta a ua ormal N(164, 9), e cm. Supogamos que e Extremadura se toma ua muestra de tamaño 64 de chicas de esa edad, resultado ua estatura media de 166 cm. Se puede afirmar, co ua sigificació =,5, que la estatura media de las chicas extremeñas es diferete de la de las chicas españolas e su cojuto?. Solució: Las hipótesis so: H : = 164 H 1 : 164 Para, = 9 y =,5 ( /2 = 1,96), el itervalo de cofiaza es: ,96, 164 1,96 = (164 2,2, ,2) = (161,8, 166,2) Como la estatura media de las chicas extremeñas, x = 166, cae detro de ese itervalo, o se puede rechazar la hipótesis ula. Por tato, se supoe que los cambios so debidos al azar Si se tipifica: 1,778. 9/ 64 Como 1,778 1,96, 1,96, o puede rechazarse H ; por tato o puede admitirse que la estatura media de las chicas extremeñas es diferete. 2. Cosideramos la misma població N(164, 9). Supogamos ahora que e Adalucía se toma ua muestra de tamaño 36 de chicas de esa edad, resultado ua estatura media de 162 cm. Se puede afirmar, co ua sigificació =,5, que las chicas adaluzas so más bajas que las chicas españolas e su cojuto? Solució: Las hipótesis so: H : 164 H 1 : < Para = 164, = 9 y =,,5 ( = 1,654), 164 1,645 = 161, Como la media obteida para las chicas adaluzas, x = 162 > , o puede rechazare la hipótesis ula. Por tato, admitimos que la diferecia es debida al azar Si se tipifica: 1,333. 9/ 36 Se rechaza H cuado. Como 1,333 > 1,654 o puede rechazarse H ; por tato o puede admitirse que la estatura media de las chicas adaluzas es meor que la del total de las chicas españolas. José María Martíez Mediao

4 Estadística: Cotraste de hipótesis 4 3. Cosideramos la misma població N(164, 9). Supogamos que e el País Vasco se toma ua muestra de tamaño 64 de chicas de esa edad, resultado ua estatura media de 166 cm. Se puede afirmar, co ua sigificació =,5, que las chicas vascas so más altas que las chicas españolas e su cojuto? Solució: Las hipótesis so: H : 164 H 1 : > Para = 164, = 9 y =,5 ( = 1,654), 164 1,645 = 165, Como la estatura media de las chicas vascas, x = 166 > 165,85, se admite la hipótesis alterativa; esto es, que las chicas vascas so más altas Si se tipifica: 1,778. 9/ 64 Se rechaza H cuado. Como 1,78 > 1,654 se rechaza H ; por tato puede admitirse que la estatura media de las chicas vascas es mayor que la del total de las chicas españolas. Observació: E los tres ejemplos hemos cotrastado diferecias iguales, de 2 cm e cada caso; si embargo el resultado es diferete. La diversidad de solucioes etre el ejemplo 1 y 3 se fudamete e el distito cotraste, bilateral e el 1, uilateral e el ejemplo 2. La distita solució etre el ejemplo 2 y 3 es debida al diferete tamaño de las muestras. Errores de tipo I y de tipo II Cuado se realiza u cotraste admitimos o rechazamos ua de las dos hipótesis, H o H 1. Esta decisió se toma e térmios probabilísticos, e cosecuecia está sujeta a errores, que puede ser: Error de tipo I: Se rechaza la hipótesis ula, H, siedo verdadera. Al rechazar H (siedo verdadera) se admite H 1 (que es falsa). La probabilidad de cometer u error de tipo I es, el ivel de sigificació. Error de tipo II No se rechaza la hipótesis ula, H, siedo falsa. Al aceptar H (siedo falsa) se rechaza H 1 (siedo verdadera). La probabilidad de cometer u error de tipo II dismiuye aumetado. José María Martíez Mediao

5 Estadística: Cotraste de hipótesis 5 2. Cotraste de hipótesis sobre la proporció de la població Cuado e ua població se hace u muestreo de tamaño y se obtiee, para u determiado atributo, ua proporció pˆ distita de p = p, que era la proporció coocida (se parte por tato de ua biomial B(, p)), el cotraste sobre esa proporció puede adoptar ua de las tres formas siguietes: El objetivo y el plateamieto es aálogo al idicado para la media. Hipótesis ula, H : p = p Hipótesis alterativa, H 1 : p p, p > p o p < p. La proporció de la media muestral es pˆ. Si se tipifica, el estadístico de cotraste: pˆ p p 1 p Cotraste bilateral Se platea cuado se sospecha que la proporció ha cambiado. Se formula como sigue: Hipótesis ula H : p = p Hipótesis alterativa H 1 : p p pq pq Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si pˆ p /2, p /2 O sea, cuado pˆ está fuera del itervalo de cofiaza de p. Esto equivale a admitir que la proporció ha cambiado. Si se tipifica, la regió de aceptació de H es / 2, / 2. Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si. E este caso, se admite H 1. / 2, / 2 Cotraste uilateral (cola izquierda) Se platea cuado se sospecha que la proporció ha dismiuido. Se formula como sigue: Hipótesis ula H : p p Hipótesis alterativa H 1 : p < p Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si pˆ p pq pq p pˆ Esto equivale a admitir que la proporció ha dismiuido. E este caso, el área se toma ítegra e la cola izquierda de la campaa. Si se tipifica, la regió de aceptació de H es,. Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si. Esto equivale a admitir que la proporció ha dismiuido. José María Martíez Mediao

6 Estadística: Cotraste de hipótesis 6 Cotraste uilateral (cola derecha) Se platea cuado se sospecha que la proporció ha aumetado. Se formula como sigue: Hipótesis ula H : p p Hipótesis alterativa H 1 : p > p Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si pˆ p pq pq pˆ p Esto equivale a admitir que la proporció ha aumetado. E este caso, el área se toma ítegra e la cola derecha de la campaa. Si se tipifica, la regió de aceptació de H es, Se rechaza H, co u ivel de sigificació, si. Esto equivale a admitir que la proporció ha aumetado. Ejemplos: 4. La proporció de u determiado atributo de ua població es p =,3. Tres ecuestadores distitos hace muestreos diferetes, co los resultados que se idica: a) Ecuestador A. Para = 36, obtiee pˆ =,38 y afirma que la proporció ha cambiado co u ivel de sigificació =,5. b) Ecuestador B. Para = 1, obtiee pˆ =,28 y afirma que la proporció ha dismiuido co u ivel de sigificació =,1. c) Ecuestador C. Para = 9, obtiee pˆ =,33 y afirma que la proporció ha aumetado, para u ivel de sigificació =,5. Solució: El cotraste e cada uo de los casos es: a) Cotraste bilateral H : p = p =,3 H 1 : p,3 El itervalo de cofiaza, para = 36, p =,3y =,5, es,3, 7,3, 7,3 1,96,,3 1, = = (,3,15,,3 +,15) = (,15,,45) Como pˆ =,38 está detro del itervalo de cofiaza o se puede rechazar H : o hay pruebas suficietes para la admitir que la proporció ha cambiado.,38,3 Si se tipifica, el estadístico de cotraste es 1,47.,3, 7 36 Como 1,47 ( 1,96, 1,96) o puede rechazarse H. b) Cotrate uilateral (cola izquierda) H : p p =,3 H 1 : p <,3 Para = 1, p =,3 y =,1 (,1 = 1,28), el valor de pq,3, 7 p,3 1,28 =,3,59 =,241 1 José María Martíez Mediao

7 Estadística: Cotraste de hipótesis 7 Como pˆ =,28 >,241, o puede rechazarse H : o hay evidecia estadística de que la proporció haya dismiuido., 28,3 Si se tipifica, el estadístico de cotraste es, 436.,3, 7 1 La regió de aceptació de H es 1, 28, +. Como,436 1, 28, + o puede rechazarse H. c) Cotraste uilateral (cola derecha) H : p p =,3 H 1 : p >,3 Para = 9, p =,3 y =,5, el valor de pq,3, 7 p,3 1,645 =,3 +,25 =,325 9 Como pˆ =,33 >,325, se admite que la proporció ha aumetado: se acepta H 1.,33,3 Si se tipifica, el estadístico de cotraste es 1,964.,3, 7 La regió de aceptació de H es, 1,645 por tato se acepta H 1 : la proporció ha aumetado 9. Como 1,964, 1,645 Observació: E las siguietes figuras se da ua explicació gráfica de cada caso. se rechaza H ; E los dos primeros casos, la proporció de la muestra cae detro de la regió de aceptació de H ; e el tercer caso, sale de la regió de aceptació, luego se rechaza H. Obsérvese cómo al aumetar el tamaño muestral se estrecha la campaa; e cosecuecia, diferecias más pequeñas puede teer mayor sigificació. José María Martíez Mediao