Tests de Hipótesis basados en dos muestras. ESTADÍSTICA (Q) 23. TESTS E INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS POBLACIONES

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1 57 3. TET E INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA DE DO POBLACIONE U test de hipótesis para dos muestras es similar e muchos aspectos al test para ua muestra. e especifica ua hipótesis ula, e la mayoría de los casos se propoe que las medias de las dos poblacioes so iguales y se establece la hipótesis alterativa (ui o bilateral). e especifica u ivel de sigificació α. e calcula el p-valor: la probabilidad de obteer datos cuyas medias muestrales difiere tato o más que la diferecia observada cuado H 0 es verdadera. i esta probabilidad es pequeña (meor que α ) se rechaza H 0 y se cocluye que la diferecia observada o es atribuible al azar y las medias de las dos poblacioes so diferetes. El estadístico del test depederá de la estructura de los cojutos de datos. E particular es importate establecer si los datos correspode a muestras apareadas o idepedietes. 3. MUETRA APAREADA La característica distitiva de las muestras apareadas es que para cada observació del primer grupo, hay ua observació relacioada e el segudo grupo. Este diseño es más complejo que el de muestras idepedietes (secció 3.) pero lo presetamos e primer térmio porque se puede aplicar, co sólo tomar diferecias, todos los procedimietos que hemos visto para ua muestra. Las muestras apareadas se obtiee cuado se realiza comparacioes sobre ua misma uidad experimetal: - se determia e la misma uidad la cocetració de ua sustacia co dos métodos diferetes. - se estudia u mismo idividuo ates y después de u tratamieto. Ejemplo : Iteresa decidir si ua dieta escasa e calorías produce u cambio e la tesió media de dióxido de carboo arterial e pacietes co problemas respiratorios cróicos Tesió de dióxido de carboo arterial (mm Hg) e pacietes co problemas respiratorios PACIENTE ANTE DEPUÉ DIFRENCIA

2 58 Qué se observa? MEDIA DEVÍO MINIMO CUARTIL If MEDIANA CUARTIL up MAIMO Hay ua gra superposició, de más del 50%, etre los dos cojutos de datos. Parece haber ua leve reducció del dióxido de carboo después de la dieta. Los valores dióxido de carboo de u mismo paciete está relacioados. Llamemos i = cocetració de CO del paciete i ates de realizar la dieta i = cocetració de CO del paciete i después de realizar la dieta Defiimos ua ueva variable, la diferecia etre las cocetracioes de u paciete. D i = i i. D i > 0 la cocetració de CO del paciete i se redujo al realizar la dieta. D i = 0 la cocetració de CO del paciete i se matuvo igual. D i < 0 la cocetració de CO del paciete i aumetó al realizar la dieta. Cuado graficamos el box-plot y el histograma de la variable diferecia observamos que e la mayoría de los pacietes la cocetració de CO se redujo al realizar la dieta 3.. Cosideracioes geerales bajo Normalidad de las diferecias

3 59 ea ( i, i ) ( i ) las observacioes realizadas sobre uidades experimetales, para cada par ( i, i ); D i = i - i Modelo D,..., D v.a.i.i.d N(μ D, σ D) co μ D = μ -μ No realizamos igú supuesto sobre la distribució de cada variable, solamete sobre la diferecia. Luego D μ D ( ) ( μ ~ t μ ) ~ t D D dode Di i= D = = y D ( Di D) i= = Veremos a cotiuació que si iteresa realizar u test o costruir u itervalo de cofiaza para diferecia de medias co muestras apareadas, hay que realizarlo co los mismos procedimietos desarrollados para ua muestra tomado las diferecias. 3.. Tests e itervalos de cofiaza para diferecias de medias co datos apareados. U itervalo de cofiaza de ivel - α para μ - μ, IC(μ - μ ) está dado por ± t, α / U test para la hipótesis ula: H 0 : μ - μ = δ (o equivaletemete H 0 : μ D = δ) estará basado e el siguiete D Estadístico del test ( ) δ T = D ~ t- bajo H 0 Observació: El test basado e el estadístico aterior se deomia test t apareado para diferecia de medias. Regió de rechazo de ivel α para cada tipo de hipótesis alterativa y su p-valor Tipo de Regió de Rechazo p-valor Hipótesis alterativa de ivel α a) Ha: μ - μ δ T t p = P(T T obs ), α / b) Ha: μ - μ > δ T t,α p = P(T T obs ) c) Ha: μ - μ < δ T t,α p = P(T T obs )

4 60 Ejemplo : e ha observado, para 8 pacietes co problemas respiratorios cróicos, ua diferecia de 6.5 mm Hg e las medias muestrales de la tesió de dióxido de carboo. e quiere decidir si esta diferecia es estadísticamete distita de cero a ivel α = No se rechaza el supuesto de Normalidad de las diferecias (p-valor =0.6670) que requiere el test t. Hipótesis ula: H 0 : μ - μ = 0 o hay diferecia etre la media de la cocetració de CO e la població de todos los posibles pacietes co problemas respiratorios cróicos ates de realizar la dieta y después de realizarla. El valor observado del estadístico del test es: ( x y) t obs = = =. 70 s D.3 8 Para u test a dos colas, de la tabla de la distribució t co 7 (-) grados de libertad, obteemos que el valor - p se ecuetra etre 0.0 y Por lo tato se rechaza la hipótesis de igualdad de medias a ivel 5% (p < 0.05). El cuadro siguiete muestra los resultados del test t aterior, dados por el tatistix: tatistics -> Oe, Two, Multi-sample Tests -> Paired T Test PAIRED T TET FOR ANTE - DEPUE NULL HPOTHEI: DIFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HP: DIFFERENCE <> 0 MEAN TD ERROR.36 LO 95% CI UP 95% CI.78 T.70 DF 7

5 P e obtiee, imediatamete, u itervalo de 95% de cofiaza para la diferecia de medias de dióxido de carboo, ANTE - DEPUÉ, e pacietes sometidos a ua dieta escasa e calorías: ( 0.78,.7 ). No cotiee al cero. Por lo tato se rechaza la hipótesis de igualdad de medias a ivel 5% (p < 0.05). Utilizado el p-valor = se llega a la misma coclusió, los datos provee suficiete evidecia a ivel 0.05 para decidir que la tesió media de dióxido de carboo arterial e pacietes co problemas respiratorios cróicos se modifica mediate ua dieta escasa e calorías Test del sigo y el Test de ragos sigados de Wilcoxo para dos muestras apareadas El test del sigo y el test de ragos sigados de Wicoxo permite decidir si la mediaa poblacioal de la variable diferecia es cero o es u valor especificado. Los procedimietos so idéticos a los presetados para ua muestra, aplicados a las diferecias D i = i - i dode ( i, i ) ( i ) so las observacioes realizadas sobre uidades experimetales. Para el test del sigo úicamete debe satisfacerse el supuesto de idepedecia de cada par de observacioes. Para el test de Wilcoxo debe agregarse los supuestos de cotiuidad simetría de la diferecia. Ejemplo cot. Las tablas siguietes muestra los resultados de aplicar el test del sigo y el test de ragos sigados de Wilcoxo a los datos de pacietes co problemas respiratorios cróicos. IGN TET FOR ANTE - DEPUE NUMBER OF NEGATIVE DIFFERENCE NUMBER OF POITIVE DIFFERENCE 7 NUMBER OF ZERO DIFFERENCE (IGNORED) 0 PROBABILIT OF A REULT A OR MORE ETREME THAN OBERVED p-valor (ua cola) A VALUE I COUNTED A A ZERO IF IT ABOLUTE VALUE I LE THAN CAE INCLUDED 8 MIING CAE 0

6 WILCOON IGNED RANK TET FOR ANTE - DEPUE 6 UM OF NEGATIVE RANK UM OF POITIVE RANK EACT PROBABILIT OF A REULT A OR MORE ETREME THAN THE OBERVED RANK ( TAILED P-VALUE) 0.07 NORMAL APPROIMATION WITH CONTINUIT CORRECTION.00 TWO TAILED P-VALUE FOR NORMAL APPROIMATION TOTAL NUMBER OF VALUE THAT WERE TIED NUMBER OF ZERO DIFFERENCE DROPPED 0 MA. DIFF. ALLOWED BETWEEN TIE CAE INCLUDED 8 MIING CAE 0 Observació. i los supuestos para realizar el test de t se satisface éste test es más potete, para u ivel dado, que las correspodietes alterativas o paramétricas. iedo el test de ragos sigados de Wilcoxo más potete que el test del sigo. 3. TET E INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA DE DO POBLACIONE NORMALE: MUETRA INDEPENDIENTE - VARIANZA IGUALE Ejemplo : e utilizaro dos métodos para determiar el calor latete de fusió del hielo. Iteresa saber si los métodos difiere. La tabla muestra el calor total absorbido por el hielo al pasar de ua temperatura de -7 o C a agua 0 o C e calorías por gramo de masa.

7 METODO_A METODO_B Para los datos correspodietes al método A podemos observar simetría detro de la caja y la cola de los valores altos u poco corta. E los datos del método B hay ua leve asimetría hacia los valores mayores más marcada detro de la caja. Los dos cojutos de datos preseta variabilidad similar. Vemos tambié que hay diferecias e la posició relativa de los dos cojutos de datos, el 75% de los datos mayores del método A es mayor que el 75% de los datos meores del método B. Vamos a evaluar más formalmete esta diferecia mediate itervalos de cofiaza y tests de hipótesis. Plateo geeral Cosideraremos el caso e que teemos dos cojutos de observacioes Normales idepedietes etre si y tambié etre los dos grupos, co igual variaza. Es decir que las observacioes satisface el siguiete modelo. Modelo:, L,, L, m i.i.d i.i.d N ( μ, σ ) idepedietes N ( μ, σ ) Etoces ~ N ( μ, σ /) ~ N ( μ, σ /m) ~ N ( μ μ y, σ ( + )) m Nos iteresa costruir tests e itervalos de cofiaza para μ μ. y a) σ coocido ) ( μ μ ) σ + m ( ~ N (0,)

8 64 Por lo tato, u itervalo de cofiaza de ivel - α para μ - μ está dado por ± z α / σ + m U test para la hipótesis ula: H 0 : μ - μ = δ estará basado e el siguiete ( ) δ Estadístico del test Z = ~ N (0,) σ + m bajo H 0 Regió de rechazo de ivel α para cada tipo de hipótesis alterativa Tipo de Hipótesis alterativa a) Ha: μ - μ δ b) Ha: μ - μ > δ c) Ha: μ - μ < δ Regió de Rechazo de ivel α Z Z z α / z α Z z α p-valor p = P(Z Z obs ) p = P(Z Z obs ) p = P(Z Z obs ) b) σ descoocido, lo debemos estimar. Hemos supuesto que las variazas de las dos poblacioes de iterés so iguales. Por lo tato y so dos estimadores de σ. Parece razoable obteer ua úica estimació tomado u promedio pesado de ambos estimadores. Le daremos más peso al estimador que se obtuvo co la mayor catidad de observacioes. p ( ) + ( ) ( ) + ( m ) i i i= i= = = + m + m m Puede demostrarse que si se satisface el, L, i.i.d N ( μ, σ ) Modelo: idepedietes, L, m i.i.d N ( μ, σ ) (8) etoces

9 65 ( ) ( μ p + m μ ) ~ t + m U itervalo de cofiaza de ivel - α para μ - μ está dado por ± t+ m, α / p + m U test para la hipótesis ula: H 0 : μ - μ = δ estará basado e el siguiete ( ) δ Estadístico del test T = ~ t+ m- p + m bajo H 0 Observació: El test basado e el estadístico aterior se deomia test t para diferecia de medias Regió de rechazo de ivel α para cada tipo de hipótesis alterativa y su p-valor Tipo de Hipótesis alterativa a) Ha: μ - μ δ Regió de Rechazo de ivel α T t + m-, α / p-valor p = P(T T obs ) b) Ha: μ - μ > δ T t +m-,α p = P(T T obs ) c) Ha: μ - μ < δ T t +m-,α p = P(T T obs ) Observacioes La hipótesis ula más utilizada es H 0 : μ - μ = 0. Cuado o se rechaza H 0 : μ - μ = 0 decimos que o existe evidecia a ivel α para decidir que las medias muestrales difiere sigificativamete. Cuado sí se rechaza H 0 : μ - μ = 0 a favor de a) Ha: μ - μ 0 -> decimos que las medias muestrales difiere sigificativamete. b) Ha: μ - μ > 0 -> decimos que las media muestral del grupo () es sigificativamete mayor que la del grupo ().

10 66 Volvamos al ejemplo del calor de fusió del hielo. ea i = calor total absorbido por el hielo e la repetició i-ésima cuado se utiliza el método A i = calor total absorbido por el hielo e la repetició i-ésima cuado se utiliza el método B upogamos a demás que las repeticioes se realiza e codicioes idep. e idéticas. upuesto de ormalidad de los datos. Hemos visto que los datos del método B tiee ua leve asimetría hacia los valores mayores y los de A la asimetría es más leve aú y hacia los valores meores. Puede estos alejamietos de la distribució Normal deberse a variacioes aleatorias? Los p-valores de los estadísticos de hapiro-wilk resulta mayores que 0.0 para los dos métodos, o rechaza el supuesto de Normalidad de para cada cojuto de datos.

11 67 upuesto de homogeeidad de variazas. Los boxplots os permite supoer que los dos cojutos de datos proviee de poblacioes co igual variaza. Evaluaremos posteriormete este supuesto mediate u test de hipótesis. Podemos realizar u test t para muestras idepedietes. Las hipótesis de iterés e este problema so: H 0 : μ - μ = 0 H a : μ - μ 0 Co el tatistix (tatistics -> ummary tatistics -> Descriptive tatistics) obteemos la media y el desvío de los datos correspodietes cada uo de los métodos. VARIABLE N MEAN D METODO_A METODO_B De la tabla aterior resulta: =3 m=8 x = , y = , s =0.045 s = Por lo tato s + 7 s s p = = y s p =

12 y el valor observado del estadístico del test es (x y) 0 ( ) 0 T obs = = = 3.8 s p Regla de decisió a ivel α = 0.05: Rechace H 0 si T t 9,0.05 =.09 Coclusió: Las medias de las observacioes del método A y del método B difiere sigificativamete, es decir que la diferecia observada o es atribuible al azar. Podemos realizar el test t para diferecia de medias utilizado el tatistix para la hipótesis alterativa H a : μ - μ 0 tatistics -> Oe, Two, Multi-sample Tests -> Two ample T-Test TWO-AMPLE T TET FOR METODO_A V METODO_B AMPLE VARIABLE MEAN IZE.D..E METODO_A E-03 METODO_B (A) DIFFERENCE NULL HPOTHEI: DIFFERENCE = 0 (B) ALTERNATIVE HP: DIFFERENCE <> 0 AUMPTION T DF P 95% CI FOR DIFFERENCE EQUAL VARIANCE (C) (0.033, ) (D) UNEQUAL VARIANCE (0.007, 0.067) F NUM DF DEN DF P TET FOR EQUALIT OF VARIANCE CAE INCLUDED MIING CAE 5 (A).E. =.D. / (Tamaño de la muestra) = / 8 = 0.0 (B) Hipótesis. (C) Valor observado del estadístico (T), grados de libertad (DF) y p-valor (P) del test que supoe variazas iguales para las hipótesis idicadas e (B). (D) Itervalo de cofiaza para μ μ, basado e el estadístico que supoe igualdad de variazas. Completaremos el aálisis de esta salida después de abordar el tema de la homogeeidad de variazas. Test F de homogeeidad de variazas

13 69 Este test solo es válido bajo el supuesto de Normalidad de los datos Modelo:, L,, L, m i.i.d i.i.d N ( μ, σ ) idepedietes N ( μ, σ ) etoces / σ F = ~ f, m / σ distribució F de Fisher co - grados de libertad del umerador y m- grados de libertad del deomiador Hipótesis: H 0 : σ = σ versus H a : σ Estadístico del test: F = ~ f, m Regió de rechazo: F = f, m, α / σ ó F = f, m, α / dode f, m, α / es el valor crítico α/ (deja u área α/ a derecha bajo la curva de desidad f, m ). Cuado H 0 es verdadera el estadístico tiede a tomar valores muy cercaos a mietras que si H 0 es falsa, el estadístico tiede a tomar valores alejados de. Cuado H 0 es verdadera el estadístico del test tiee ua distribució deomiada F de Fisher que depede de dos parámetros: los grados de libertad del umerador ( ) y los grados de libertad del deomiador (m ). Esta distribució está tabulada. tatistix permite calcular probabilidades bajo la misma (tatistics -> Probability Fuctios) y provee el p-valor para el test de igualdad de variazas e forma automática. P-VALOR: el p-valor de este test geeralmete se cosidera a dos colas porque estamos tratado de detectar apartamietos de H 0 e cualquier direcció. 3.3 TET E INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA DE DO POBLACIONE NORMALE: MUETRA INDEPENDIENTE - VARIANZA DEIGUALE

14 70 Modelo:, L,, L, m i.i.d i.i.d N ( μ, σ ) idepedietes N ( μ, σ ) Etoces ~ N ( μ, /) σ σ σ ~ N ( μ μ y, ( + )) m ~ N ( μ, σ /m) Nos iteresa costruir tests e itervalos de cofiaza para μ μ. y a) σ y σ coocidos ( ) ( μ σ σ + m μ ) ~ N (0,) Por lo tato, u itervalo de cofiaza de ivel - α para μ - μ está dado por σ σ ± zα / + m U test para la hipótesis ula: H 0 : μ - μ = δ estará basado e el siguiete Estadístico del test bajo H 0 ( ) δ Z = σ σ + m ~ N (0,) Regió de rechazo de ivel α para cada tipo de hipótesis alterativa y su p-valor Tipo de Hipótesis alterativa a) Ha: μ - μ δ b) Ha: μ - μ > δ c) Ha: μ - μ < δ Regió de Rechazo de ivel α Z Z z α / z α Z z α p-valor p = P(Z Z obs ) p = P(Z Z obs ) p = P(Z Z obs )

15 7 b) σ y σ so descoocidos los estimamos. U test para la hipótesis ula: H 0 : μ - μ = δ estará basado e el siguiete Estadístico del test de Welch ( ) δ T* = + m Este estadístico fue propuesto por Welch atterthwaite quiees demostraro que tiee ua distribució t de tudet co ν grados de libertad aprox. cuado H 0. μ - μ = δ es verdadera. El parámetro ν es siempre meor que +m y se calcula como la parte etera de la siguiete expresió: s s + m ν = parte etera (9) 4 4 s s + ( ) m ( m ) Regió de rechazo de ivel α para cada tipo de hipótesis alterativa y su p-valor Tipo de Hipótesis alterativa a) Ha: μ - μ δ b) Ha: μ - μ > δ c) Ha: μ - μ < δ Regió de Rechazo de ivel α T * t ν, α / T* tν, α T* t ν, α p-valor p = P(T* T* obs ) p = P(T* T* obs ) p = P(T* T* obs ) El valor tν,α/ es el percetil de la distribució t co ν grados de libertad que deja a su derecha u área α/. La úica diferecia que tiee u test basado e el estadístico T* co el test t para dos muestras idepedietes cosiste e que su distribució es t aproximada y los grados de libertad ν se obtiee mediate el cálculo dado e (9).

16 7 Bajo este modelo u Itervalo de Cofiaza de ivel aproximado α para μ μ es s s ( ) ± tν, α/ + m Cosideremos uevamete la última porció de la salida de tatistix para los datos de calor latete de fusió TWO-AMPLE T TET FOR METODO_A V METODO_B NULL HPOTHEI: DIFFERENCE = 0 (B) ALTERNATIVE HP: DIFFERENCE <> 0 AUMPTION T DF P 95% CI FOR DIFFERENCE EQUAL VARIANCE (C) (0.033, ) (D) UNEQUAL VARIANCE(E) (0.007, 0.067) (F) F NUM DF DEN DF P TET FOR EQUALIT OF VARIANCE (G) (H) CAE INCLUDED MIING CAE 5 (E) Valor observado del estadístico del test de Welch que o supoe igualdad de variazas, grados de libertad y p-valor, para las hipótesis idicadas e (B). (F) Itervalo de cofiaza para μ μ, basado e el estadístico que o supoe igualdad de variazas. (G) Valor del estadístico del test para H 0 : σ = σ versus H a : σ σ (H) No se rechaza H 0 (p=0.73) por lo tato, es correcto haber cosiderado el test para variazas iguales cuyos resultados se muestra e (C) y (D).

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