Inferencia Estadística

Transcripción

1 Iferecia Etadítica 1

2 I Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

3 Capítulo 6. Itroducció a la Iferecia Etadítica 6.1 Itroducció El pricipal objetivo de la Etadítica e iferir o etimar caracterítica de ua població que o e completamete obervable (o o iterea obervarla e u totalidad) a travé del aálii de ua parte de ella a la que llamamo muetra. La razoe por la que geeralmete e trabaja co muetra o pricipalmete: - Ecoómica. - Tiempo: i la població e muy grade llevaría tato tiempo aalizarla que icluo la caracterítica de iteré podría variar e ee período. Por ejemplo, la taa de paro. - Detrucció: la medició de cierta caracterítica podría llevar a la detrucció del idividuo. Por ejemplo, al etudiar la upervivecia de cierto aimale a u tratamieto. Lo que e hace etoce e aalizar la muetra y extrapolar cocluioe dede la muetra a la població. Ahora bie, para coiderar válida e la població la cocluioe obteida e la muetra, éta ha de repreetar bie 3

4 alapoblació(muetra repreetativa). Por lo tato, la elecció de la muetra e de uma importacia, y para ello hay divero método (método de muetreo). Cuado e ituye que la caracterítica e etudio puede preetar valore homogéeo e la població, ua forma de obteer ua muetra repreetativa e eligiédola al azar. A ete método de elecció de la muetra e le llama muetreo aleatorio imple y e el má ecillo. Otro método de muetreo o: muetreo itemático, muetreo por cuota, muetreo etratificado, muetreo por coglomerado, etc. El muetreo itemático e ua alterativa al muetreo aleatorio imple. Coite e litar a lo idividuo de la població y eleccioar a lo idividuo para la muetra de k e k a partir de u idividuo eleccioado al azar de etre lo k primero, para u k determiado. El muetreo etratificado tiee etido cuado la caracterítica e etudio o e homogéea e la població, preeta alta variabilidad. Etoce la població e divide e ubpoblacioe o etrato, ditito etre í y detro de lo cuale la caracterítica e comporta de ua forma homogéea. E cada etrato e eleccioa ua muetra aleatoria imple, co tamaño e fució del tamaño del etrato, y la uió de todo lo idividuo eleccioado e cada etrato cotituye la muetra de la població. Por ejemplo, i opechamo que la caracterítica e etudio e la població, como podría er la opiió acerca de lo método aticoceptivo, puede variar e fució de la edad, la elecció de la muetra debería hacere a partir de etrato de edad. El muetreo por coglomerado coite e dividir la població e ubpoblacioe parecida etre í y heterogéea iteramete, de forma que cada coglomerado icluya toda la variabilidad preete e la població. El muetreo por cuota e utiliza geeralmete como alterativa al muetreo etratificado, e má barato y o requiere ulitadodeidividuoparacadaetrato. Laelecciódelamuetradebe hacere implemete repetado ua cuota (o porcetaje) de idividuo co ua determiada caracterítica, e proporció a la cuota de idividuo co tale caracterítica e la població. Por ejemplo, upogamo que la opiió acerca de método aticoceptivo puede variar ademá de por edad por exo. Ua alterativa a la diviió de la població e etrato de edad y exo, i coo- Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

5 cemo la proporció de cada exo y la ditribució de la edad e la població, e exigir que eta caracterítica aparezca e la mima proporció e la muetra que e la població. Eto coduciría a eleccioar la muetra repetado ua cuota fija de hombre y mujere por grupo de edad. A la proporció de idividuo e la població eleccioado e la muetra e le llama fracció de muetreo, eto e, al cociete etre el tamaño muetral y el tamaño de la població. La Iferecia Etadítica e puede claificar e iferecia paramétrica e iferecia o paramétrica. La iferecia paramétrica tiee lugar cuado e cooce la ditribució de la variable de etudio e la població, y el iteré recae obre lo parámetro decoocido de la mima. La iferecia o paramétrica tiee lugar i o e cooce la ditribució y ólo e upoe propiedade geerale de la mima. Nootro o cetramo e la iferecia paramétrica, y uetro objetivo erá iferir o etimar parámetro poblacioale a partir de la iformació que o proporcioa ua muetra. Supogamo que etudiamo ua variable X =Nivel de glucoa e agre e ayua e ua població de diabético y abemo que preeta ua ditribució N(µ, 8), dode µ e u parámetro de la ditribució y e decoocido. Ademá abemo que coicide co la media poblacioal, µ = E(X). De haber medido la caracterítica X e todo lo idividuo de la població, claramete cooceríamo el valor de µ. Como o e el cao, debemo hacero ua idea acerca del valor de µ e bae a la iformació que o proporcioa ua muetra eleccioada al azar de la població. Lo problema de iferecia que puede dare o: de etimació, e lo que e buca u valor (etimació putual) para µ o u cojuto de valore poible para el mimo (etimació por itervalo de cofiaza), y de cotrate, cuyo objetivo e comprobar i e cierta o fala cierta hipótei formulada obre el parámetro µ. E ete tema vemo cómo etimar putualmete y por itervalo de cofiaza u parámetro. E el tema iguiete etudiamo cotrate de hipótei. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

6 6. Etimació putual El problema de etimació putual, egú cométabamo coite e aigar u valor a u parámetro poblacioal (media, variaza, proporció) e bae a la iformació que o proporcioa ua muetra eleccioada al azar de la població. Ejemplo 6.1: Supogamo que queremo etudiar el ivel de glucoa e agre e ayua e diabético, y eta variable X igue ua ditribució N(µ, σ), iedo µ y σ la media y deviació típica poblacioal repectivamete, y decoocida al o haber podido o o haber medido eta variable obre toda la població diabética. Tedremo que etimar u valor para µ y σ. Co ete fi, eleccioamo ua muetra aleatoria de diabético, y X 1,..., X ería lo ivele de glucoa correpodiete a cada idividuo. E pricipio X 1,..., X o variable aleatoria, idepediete, co ditribució N(µ, σ), y paa a er úmero e el mometo e que a cada uo de eo idividuo le medimo el ivel de glucoa e agre. A lo reultado obteido, x 1,..., x, e le llama realizació de la muetra (X 1 = x 1,..., X = x ). No cetramo e la etimació del parámetro µ. Cómo etimarlo a partir de la muetra?. Como µ e la media poblacioal, parece lógico poder etimarla a partir de la media muetral. La media muetral viee dada por X = X X y, al er utilizada para etimar la media poblacioal µ, recibe el ombre de etimador de µ. E ua variable aleatoria, y por lo tato preetará ua ditribució de probabilidad. E el mometo que coideramo la realizació de la muetra x 1,..., x paa a er u úmero: y x e la etimació putual de µ. x x x =, µ = x, Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

7 Si lo ivele de glucoa obervado para 10 idividuo que cotituye la muetra o: 163,10,146,131,18,130,146,109,115,10, etoce µ = = Aálogamete, el mejor etimador para la variaza poblacioal σ variaza muetral S, cuya expreió e e la S = X (X i µ) i=1, 1 y e la etimació putual de σ, = Para la muetra aterior reulta: X (x i x) i=1 1 σ = = Si lo que queremo e etimar ua proporció p de idividuo e la població que verifica ua determiada codició, el mejor etimador para p e la proporció muetral, dada por p = X, iedo X el úmero de idividuo que verifica tal codició e la muetra. Aí por ejemplo, la proporció de diabético co u ivel de glucoa mayor que 110 mg/l e etima e: p = 8 10 =0.8 Lógicamete, al etimar u parámetro o caracterítica poblacioal por u parámetro muetral geeralmete cometemo u error, al que e deomia error de muetreo. Siempre debemo acompañar a ua etimació de ua medida de u preciió. A la deviació típica del etimador e le llama error típico de Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

8 etimació. Lapreciió del etimador e igual a la ivera del error típico de etimació. E el cao de la media el error de muetreo viee dado por E = µ X y el error típico por σ. La preciió e la etimació depede fudametalmete del tamaño de la muetra () y de la variabilidad e la població (σ ). A mayor tamaño muetral meor error o mayor preciió y a mayor variabilidad mayor error.o meor preciió. E la etimació de la proporció poblacioal, el error de muetreo e E = p p r p(1 p) y el error típico de la etimació viee dado por. 6.3 Ditribucioe de muetreo (poblacioe ormale) Decíamo que al er el etimador de u parámetro poblacioal ua variable aleatoria, preetará ua ditribució de probabilidad. Vemo a cotiuació alguo reultado que idica la ditribució de la media muetral, la variaza muetral y la proporció muetral e ua població ormal. Tambié e obtiee la ditribucioe de la diferecia de media muetrale, cociete de variaza muetrale y diferecia de proporcioe muetrale e do poblacioe ormale e idepediete Media muetral Sea X 1,..., X ua m.a.. de ua població X co ditribució N(µ, σ). Etoce, X = X µ X σ N µ,, al er combiació lieal de variable ormale e idepediete. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

9 6.3. Variaza muetral Sea X 1,...,X ua m.a.. de ua població X co E(X) =µ y Var(X) = σ.eletadíticovariaza muetral e defie como X (X i µ) S = i=1 1 Sea X 1,..., X ua m.a.. de ua població X co ditribució N(µ, σ). Etoce: ( 1)S χ 1 y X y S o idepediete. σ Diferecia de media muetrale Sea X 1,..., X 1 ua m.a. de ua població X, e Y 1,..., Y ua m.a.. de ua població Y. Supoemo que la poblacioe X e Y o idepediete y co ditribucioe ormale N(µ 1,σ 1 ) y N(µ,σ ) repectivamete. Se puede preetar lo iguiete cao: (a) σ 1,σ coocida: oequivaletemete X Y N Z = (b) σ 1 = σ = σ decoocida: T = µ 1 µ, X Y (µ 1 µ ) q σ σ X Y (µ 1 µ ) q 1 S p σ 1 + σ, 1 N(0, 1) t 1 +, iedo ( 1 1)S1 S p = +( 1)S 1 + y S1 y S la variaza muetrale de X e Y repectivamete. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

10 6.3.4 Cociete de variaza muetrale Sea X 1,..., X 1 ua m.a. de ua població X, e Y 1,..., Y ua m.a.. de ua població Y. Supoemo que la poblacioe X e Y o idepediete y co ditribucioe ormale N(µ 1,σ 1 ) y N(µ,σ ) repectivamete. Etoce, S1 σ F = 1 S F 1 1, 1 σ Etudiamo ademá la ditribució de ua proporció muetral y de la diferecia de do proporcioe muetrale, co muetra procedete de poblacioe idepediete. Proporció muetral Sea X 1,..., X ua m.a.. de ua població X. Sea p la proporció de ividuo e la població que preeta ua determiada caracterítica, y p la proporció muetral. Etoce, r p(1 p) p N(p, ) Nota: El úmero de idividuo que preeta la caracterítica e la muetra igue ua ditribució B(, p), que co uficietemete grade e puede aproximar a ua N(p, p p(1 p)). Porlotato,laproporció muetral igue tambié ua ditribució Normal co lo parámetro arriba idicado. Diferecia de proporcioe muetrale Sea X 1,..., X 1 ua m.a. de ua població X, e Y 1,..., Y ua m.a.. de ua població Y. Supoemo que la poblacioe X e Y o idepediete. Deotamo por p 1 y p la proporcioe poblacioale y por p 1 y p la correpodiete proporcioe muetrale. Etoce: p 1 p p 1 (1 p 1 ) N p 1 p, + p (1 p ) 1 1 Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

11 Por lo tato: Z = p 1 p (p 1 p ) q N(0, 1) p 1(1p 1) 1 + p(1p) Etimació por Itervalo de Cofiaza Ua alterativa a etimar putualmete u parámetro poblacioal y epecificar la preciió de la etimació e dar u itervalo de poible valore etre lo cuale tiee que etar el parámetro co ua determiada preciió. Eta e la idea de u itervalo de cofiaza. U itervalo de cofiaza e defie como u itervalo de valore etre lo cuale e ecuetra el parámetro co u cierto grado o ivel de cofiaza, que fija el ivetigador y al que deotamo por 1 α. E eta ecció e da la expreió del Itervalo de Cofiaza para ua media, variaza y proporció de ua població ormal, aí como para la diferecia de media, cociete de variaza y diferecia de proporcioe de do poblacioe ormale e idepediete Itervalo de Cofiaza para media, variaza y proporcioe - Itervalo de cofiaza para la media de ua ormal Sea X 1,..., X ua m.a.. de X N(µ, σ). Variaza coocida (σ 0) Variaza decoocida µ µ x ± σ 0 z 1 α x ± S t 1 α,1 - Itervalo de cofiaza para la variaza de ua ormal Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

12 Media coocida (µ 0 ) Media decoocida P (x i µ 0 ) σ i=1 χ, 1 α ; σ " ( 1)S χ 1 α ;1, P (x i µ 0 ) i=1 χ α ; # ( 1)S χ α ;1 - Itervalo de cofiaza para la diferecia de media de do poblacioe ormale e idepediete Sea X 1,..., X 1 ua m.a.. de X N(µ 1,σ 1 ) y Y 1,..., Y ua m.a.. de Y N(µ,σ ), idepediete. Variaza coocida Variaza decoocida pero iguale (σ ) µ 1 µ µ 1 µ x y ± z1 α r σ1 + σ 1 x y ± t1 α ;1+ S p r co S p = ( 1 1)S 1 +( 1)S Itervalo de cofiaza para el cociete de variaza de do poblacioe ormale e idepediete Media coocida Media decoocida σ σ 1 σ σ 1 P (y i µ ) i=1 P 1 i=1 " S F α (x i µ 1 ) 1 F α ;1,, ; 11, 1 S 1 P i=1 1 P i=1 (y i µ ), S F 1 α ; 11, 1 S 1 (x i µ 1 ) 1 F 1 α # ;1, - Itervalo de cofiaza para ua proporció Sea X 1,..., X ua m.a.. de X Beroulli(p). p p ± z 1 α p(1 p) Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

13 - Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioe Sea X 1,..., X 1 ua m.a.. de X Beroulli(p 1 ) y Y 1,..., Y ua m.a.. de Y Beroulli(p ). p 1 p p 1 p p t (1 p T ) p t (1 p T ) ± z 1 α +, 1 iedo p T = 1p p Ejemplo 6.: E ua ecueta de 1500 peroa e ha obteido que preeta depreió el 3%. Se quiere calcular u itervalo de cofiaza para la proporció de peroa co eta efermedad e la població, p, al 99.5% de cofiaza. El itervalo de cofiaza para p al (1 α)100% de cofiaza e: p(1 p) p ± z 1 α p(1 p) = p z 1 α, p p(1 p) + z 1 α Se oberva que: - El itervalo depede de la muetra eleccioada - La amplitud del itervalo depede del error típico de etimació de p, p(1 p), y mide por lo tato la preciió de la etimació. Cocretamete, el error cometido e la etimació de p por p viee dado por E = p p p(1 p) y e meor o igual que z 1 α co ua probabilidad (1 α). - A mayor tamaño muetral, meor amplitud, y por lo tato mayor preciió e la etimació. Aímimo, cuato mayor e el ivel de cofiaza, mayor e el itervalo. y meor preciió e obtiee. Iterpretació: De 100 itervalo que obtuviéramo, al poder er cada itervalo ditito egú la muetra eleccioada al azar, (1-α) 100 de ello cotedría el verdadero valor de p. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

14 E ete cao el ivel de cofiaza e del 99.5%, por lo que 1-α =0.995 y z 1 α = z =3. La proporció muetral e p =0.3 y el tamaño de la muetra = El I.C. para p al 99.5% e etoce: p(1 p) p ± z 1 α =[0.3 ± 0.036] = [0.84, 0.356] Por lo tato, la proporció de idividuo co depreió e la població etará etre el 8.4% y el 35.6%, co ua cofiaza del 99.5%. E la etimació de p por p etamo cometiedo como mucho u error de co ua probabilidad de Cuál debería er el tamaño de la muetra i e quiere que el error cometido al etimar la proporció ea meor de 0.05 co ua probabilidad 0.95?. Sabemo que el error de etimació E = p p e meor o igual que p(1 p) z 1 α co ua probabilidad de (1 α). E ete cao 1-α =0.95 y α =0.05. E coecuecia, el tamaño de muetra para obteer u error e la etimació iferior o igual a 0.05 co ua probabilidad 0.95 debe er: p(1 p) r 0.3(1 0.3) z 1 α =1.96 =0.05 µ 1.96 = 0.3(1 0.3) 0.05 Ejemplo 6.3: Queremo etudiar la ifluecia que puede teer el tabaco e el peo de lo iño al acer. Para ello e coidera do grupo de mujere embarazada, 35 o fumadora y 7 fumadora, y e obtiee lo iguiete dato obre el peo de u hijo X (e Kg): Madre o fumadora: 1 =35 Madre fumadora: =7 x1 =3.6 S 1 =0.5 x =3. S =0.8 E ambo grupo lo peo de lo recié acido procede de eda ditribucioe ormale e idepediete, y upoemo que de idética variaza. Obteemo u itervalo de cofiaza al 95% para el peo medio e cada grupo y u itervalo de cofiaza para la diferecia de peo medio. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

15 Sea X 1 y X lo peo de recié acido e madre o fumadora y fumadora, repectivamete, co. X 1 N(µ 1,σ 1 ),X N(µ,σ ), idepediete. I.C. al 95% para el peo medio de recié acido e madre o fumadora: µ 1 x 1 ± S,11 1 t 1 α = 3.6 ± 0.5 t ,34 35 I.C. al 95% para el peo medio de recié acido e madre fumadora: µ x ± S t 1 α, 1 = 3. ± 0.8 t 0.975,6 7 I.C. al 95% para la diferecia de media: r µ 1 µ x 1 x 1 ± t 1 α ; 1 + S p Hacemo cálculo itermedio, r ( 1 1)S1 +( 1)S S p = = =0.6473, t 0.975;60 =, y el itervalo reulta: " r # 1 µ 1 µ ± = 0.40.±3316 = [0.068, 0.731], 7 co lo cual e puede decir que exite diferecia igificativa etre ambo peo, y el hábito de fumar e la madre ifluye e el peo de lo hijo. Cocretamete, el peo e que upera u hijo de madre o fumadora al de otro de madre fumadora etá compredido etre lo kg y lo kg, co u ivel de cofiaza del 95%. 6.5 Ejercicio 1. U picólogo realiza u tet para medir el tiempo de reacció de u ujeto. Por experimeto ateriore cooce que el error de medida del tet, dado por u deviació típica e de 0.1 egudo. Cuáta medida debe hacer al ujeto i e deea que co ua probabilidad de 0.99 u error de etimació ea meor que 0.05 egudo?. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

16 . Se cree que la oteoporoi etá relacioada co el exo. Para ello e elige ua muetra aleatoria de 100 hombre mayore de 50 año y ua muetra de mujere e la mima codicioe. Se obtiee que 10 hombre y 40 mujere preeta algú grado de oteoporoi. Qué podemo cocluir co ua cofiaza del 95%?. 3. Se ha medido el volume diario de bili (e litro) de 10 idividuo ao, obteiédoe: 0.98, 0.85, 0.77, 0.9, 1.1, 1.06, 0.89, 1.01, 1.1, 0.77 Obteer u itervalo de cofiaza al 95% para la producció media diaria de bili e idividuo ao. Supoer que la muetra procede de ua població Normal. 4. La catidad míima requerida para que u aetéico urta efecto e ua iterveció quirúrgica fue por térmio medio de 50mg, co ua deviació típica de 10. mg, e ua muetra de 60 paciete. Supoiedo que tal catidad igue ua ditribució Normal: a. Obteer u I.C. al 90% para la variaza poblacioal. b. Obteer u I.C. al 95% para la media poblacioal. 5. Si realizamo ua etimació de u parámetro mediate u itervalo de cofiaza al 90% y obteemo u itervalo de muy poca amplitud, qué e puede cocluir?. Idica razoadamete cuále de la iguiete afirmacioe o verdadera o fala: (a) Va a er muy difícil la obteció de ua etimació fiable. (b) El rago de valore etre lo que etá el parámetro, al 90%, e muy pequeño. (c) De 90 itervalo que hiciéramo co muetra al azar, 90 cotedría el verdadero valor del parámetro. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.

17 (d) Para poder obteer reultado atifactorio, el ivel de cofiaza ha deeruperioral90%. (e) Sieliveldecofiaza hubiera ido del 95% la amplitud habría ido todavía meor y por lo tato mayor la preciió e la etimació. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Etadítica e I.O. Uiveridad de Jaé.