Introducción al Análisis de la Varianza

Transcripción

1 Itroducció al Aálisis de la Variaza F. Javier Cara Uiversidad Politécica de Madrid Curso 013/14

2 Distribucioes import. e Aalisis de la Variaza Sea X 1, X,...,X, Y 1, Y,...,Y m, variables aleatorias idepedietes co distribució X i, Y j N(0, 1) i, j. Se defie: Distribució χ (ji-cuadrado) co grados de libertad: (X1 + X + +X) χ Propiedades: E[χ ] =, Var[χ ] =, χ m +χ = χ m+ (χ m,χ idepedietes). Distribució t studet co grados de libertad: Y i ( X 1 +X + +X ) 1 N(0, 1) ( χ ) 1 = t Distribució F co m y grados de libertad: Y 1 +Y + +Y m m X 1 +X + +X χ m m χ = F m, 1

3 Muestras Sea {x 1, x,...,x } ua muestra aleatoria simple de ua variable aleatoria X co fució de desidad de probabilidad dada. Se defie la media muestral como x = x 1 + x +...+x = Se defie la variaza muestral como x i i=1 s = (x 1 x) +(x x) +...+(x x) = Se defie la variaza muestral corregida como (x i x) ŝ i=1 = = 1 1 s (x i x) So variables aleatorias ya que toma diferetes valores segú la muestra seleccioada. Por lo tato podemos calcular su media, su variaza y su fució de desidad de probabilidad. i=1

4 Distribució de la media muestral (pobl. ormal) Sea {x 1, x,...,x } ua muestra aleatoria simple de ua variable aleatoria X co fució de desidad de probabilidad X N(µ,σ ). Esperaza de la media muestral E[ x] = E[x 1]+E[x ]+...+E[x ] Variaza de la media muestral = µ = µ Var[ x] = Var[x 1]+Var[x ]+...+Var[x ] = σ = σ Fució de desidad de probabilidad de la media muestral La fució de desidad de x es ua ormal, ya que la combiació lieal de ormales es otra ormal: x N ) (µ, σ 3

5 Distribució de la variaza muestral (ormal) Se tiee que: (x i x) = i=1 Por tato (x i µ+µ x) = i=1 (x i µ) +(µ x) +(µ x) (x i µ) i=1 i=1 (x i x) = i=1 (x i µ) (µ x) i=1 (x i µ) = i=1 (x i x) +(µ x) i=1 Dividiedo por σ (x i µ) = s + ( x µ) i=1 ( xi µ i=1 σ ) = s σ + ) ( x µ σ/ 4

6 Distribució de la variaza muestral (ormal) Se tiee que x i µ σ x N N(0, 1) ) (µ, σ ( ) xi µ χ σ i=1 ( x µ σ/ ) χ 1 Por tato, de acuerdo co las propiedades de la χ s σ χ 1 Además, se tiee que cumplir que x y s so idepedietes Por último [ ] s E σ = 1 E[s ] = 1 σ [ ] s Var σ = ( 1) Var[s ] = ( 1) σ 4 5

7 Distrib. de variaza muestral corregida (ormal) Sea {x 1, x,...,x } ua muestra aleatoria simple de ua variable aleatoria X co fució de desidad de probabilidad X N(µ,σ ). Sabemos que s σ χ 1 ŝ = 1 s Por tato ( 1)ŝ χ 1 σ [ ] ( 1)ŝ E = 1 E[ŝ ] = σ σ [ ] ( 1)ŝ Var σ = ( 1) Var[ŝ ] = σ4 1 Luego la variaza muestral corregida es u estimador cetrado de la variaza. 6

8 Comparació de dos tratamietos (test de la t) Se desea comparar dos tratamietos para reducir el ivel de colesterol e sagre. Se seleccioa 0 idividuos y se asiga al azar a dos tipos de dietas, A y B. La reducció cosequida después de dos meses es: Dieta A Dieta B So igual de efectivas las dos diestas o hay ua más efectiva? 7

9 Cotraste de Hipotesis Vamos a represetar los datos de la tabla por y ij, dode i: dieta (i = 1, ), j: idividuo (j = 1,,...,10). Por ejemplo, y 4 = 13.0 La media de los datos correspodietes a la dieta A se va a represetar como ȳ 1, y la media de los datos correspodietes a la dieta B como ȳ ȳ 1 = 10 y 1j 10 = 43.1, ȳ = 10 y j 10 = 9.3 Necesitamos las siguietes hipótesis 1. Normalidad: y 1j N(µ 1,σ 1), y j N(µ,σ ). Homocedasticidad: σ 1 = σ = σ 3. Idepedecia: Cov[y ij, y kl ] = 0 Ya podemos expresar matemáticamete lo que os pide el problema H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ 8

10 Variaza muestral ŝ t Teemos que La distribució de las medias muestrales es: ) ) ȳ 1 N (µ 1, σ, ȳ N (µ, σ La distribució de las variazas corregidas es 1 Además vamos a defiir ( 1 1)ŝ 1 σ χ 1 1, ( 1)ŝ σ χ 1 ŝ t = ( 1 1)ŝ 1 +( 1)ŝ dode = 1 + 9

11 Distribució de ŝ t Operado Por las propiedades de la χ ( )ŝt σ = ( 1 1)ŝ1 σ + ( 1)ŝ σ ( )ŝ t σ χ ] ( )ŝ E[ t = E[ŝt ] = σ σ Var[ ( )ŝ t σ ] t σ4 = ( ) Var[ŝ ] = ŝ t es u estimador cetrado de σ, a diferecia de ŝ 1 y ŝ 10

12 Distribució de ȳ 1 ȳ Recordad las propiedades de la esperaza y de la variaza: sea x e y dos variables idepedietes Por tato E[a+bx + cy] = a+be[x]+ce[y] Var[a+bx + cy] = b Var[x]+c Var[y] E[ȳ 1 ȳ ] = E[ȳ 1 ] E[ȳ ] = µ 1 µ Var[ȳ 1 ȳ ] = Var[ȳ 1 ]+Var[ȳ ] = σ 1 + σ La combiació lieal de ormales es otra ormal [ ]) ȳ 1 ȳ N (µ 1 µ,σ

13 Solució del cotraste de hipótesis (1) Por tato teemos que (ȳ 1 ȳ ) (µ 1 µ ) N(0, 1) 1 σ ( )ŝ t σ Pero σ es descoocida. Operado (ȳ 1 ȳ ) (µ 1 µ ) σ [ ( )ŝ t σ ( ) ] 1 χ N(0, 1) [ χ ] 1 ( ) = t Simplificado obteemos el estadístico del cotraste (ȳ 1 ȳ ) (µ 1 µ ) t 1 ŝ t Ya podemos resolver el cotraste! 1

14 Solució del cotraste de hipótesis () Cotraste de hipótesis H 0 : µ 1 µ = 0 H 1 : µ 1 µ 0 Si H 0 es cierta, µ 1 µ = 0 t 0 = ȳ1 ȳ 1 ŝ t t Si t 0 t ; α No se rechaza H 0 Si t 0 > t ; α Se rechaza H 0 13

15 Solució del cotraste de hipótesis (problema) Co los datos del problema 1 = 10, = 10, = 0 ȳ 1 = 43.1, ȳ = 9.3, ŝ 1 = , ŝ = ŝ t = ( 1 1)ŝ 1 +( 1)ŝ = t 0 = ȳ1 ȳ = ŝ t α = 0.05 t 18;0.05 =.1009 < t 0 Se rechaza H 0 α = 0.01 t 18;0.005 =.8784 > t 0 No se rechaza H 0 Podemos calcular el p-valor p valor = P(t >.6965 t t 18 )+P(t <.6965 t t 18 ) = p valor < α se rechaza H 0 p valor > α o se rechaza H 0 14

16 Itervalo de cofiaza Tambié podemos calcular el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias P t ; α (ȳ 1 ȳ ) (µ 1 µ ) t ;α 1 ŝ = 1 α t µ 1 µ (ȳ 1 ȳ )±t ; α ŝt Co los datos del problema α = 0.05 µ 1 µ (3.0480, 4.550) α = 0.01 µ 1 µ ( , ) Si el itervalo cotiee al cero, etoces o se puede rechazar que µ 1 µ = 0 15

17 Fució t.test de R Resolver este problema co R es muy secillo: > dietaa<-c(51.3,39.4,6.3,39.0,48.1,34.,69.8,31.3,45.,46.4) > dietab<-c(9.6,47.0,5.9,13.0,33.1,.1,34.1,19.5,43.8,4.9) > > t.test(dietaa,dietab,var.equal=true) Two Sample t-test data: dietaa ad dietab t =.6965, df = 18, p-value = alterative hypothesis: true differece i meas is ot equal to 0 95 percet cofidece iterval: sample estimates: mea of x mea of y

18 Cotraste de igualdad de variazas Al pricipio adoptamos la hipótesis de igualdad de las variazas. Podemos comprobar si esa hipótesis es válida mediate el siguiete cotraste H 0 : σ 1 = σ Sabemos que H 1 : σ 1 σ ( 1 1)ŝ 1 σ 1 χ 1 1, ( 1)ŝ σ χ 1 Operado Simplificado ( 1 1)ŝ 1 /σ 1 ( 1 1) ( 1)ŝ /σ ( 1) χ χ 1 1 = F 1 1, 1 ŝ1 /σ 1 ŝ /σ F 1 1, 1 17

19 Cotraste de igualdad de variazas Cotraste de hipótesis H 0 : σ 1 /σ = 1 H 1 : σ 1 /σ 1 Si H 0 es cierto σ1 = σ y por tato F 0 = ŝ 1 ŝ F 1 1, 1 Si F 0 [F 1 1, 1,1 α, F 1 1, 1, α ] No se rechaza H 0 Si F 0 [F 1 1, 1,1 α, F 1 1, 1, α ] Se rechaza H 0 18

20 Itervalo de cofiaza para σ 1 /σ Teemos que ŝ1 /σ 1 ŝ /σ F 1 1, 1 El itervalo de cofiaza es { } P F 1 1, 1,1 α ŝ 1 /σ 1 ŝ F 1 /σ 1, 1, α = 1 α σ1 [ŝ ] 1 ŝ F 1, 1 1;1 α, ŝ 1 ŝ F 1, 1 1; α σ 19

21 Itervalo de cofiaza (problema) Co los datos del problema 1 = 10, = 10, = 0, ŝ 1 = , ŝ = F 0 = = α = 0.05 F 9,9;0.975 = 0.484, F 9,9;0.05 = No se rechaza H 0 Itervalo de cofiaza σ1 [ ] , = [0.3339, ] σ 0

22 Fució var.test de R > dietaa<-c(51.3,39.4,6.3,39.0,48.1,34.,69.8,31.3,45.,46.4) > dietab<-c(9.6,47.0,5.9,13.0,33.1,.1,34.1,19.5,43.8,4.9) > > var.test(dietaa,dietab) F test to compare two variaces data: dietaa ad dietab F = , um df = 9, deom df = 9, p-value = alterative hypothesis: true ratio of variaces is ot equal to 1 95 percet cofidece iterval: sample estimates: ratio of variaces

23 Comparació de dos tratamietos (ANOVA) Vamos a resolver el problema de la comparació de dos tratamietos mediate otro procedimieto coocido como aálisis de la variaza. Este método cosiste básicamete 1. Propoer u modelo matemático para los datos del problema. Formular cotrastes de hipótesis sobre los parámetros del modelo que os permita resolver el problema de partida 3. Resolver los cotrastes descompoiedo la variaza de los datos segú diferetes compoetes

24 Modelo ( tratam.) y ij represeta el dato j-ésimo dato del grupo o tratamieto i (i = 1, ). Se adopta el siguiete modelo para los datos dóde y ij = µ i + u ij, i = 1,, j = 1,..., i µi : media del grupo i (parte determiista, igual para todo el grupo) uij : diferecia etre el dato y ij y la media del grupo µ i (parte aleatoria, depede de cada dato) Co las siguietes hipótesis 1. Normalidad: y 1j N(µ 1,σ 1), y j N(µ,σ ) y ij N(µ i,σ i ), i = 1,, j = 1,..., i Esta codició es equivalete a u ij N(0,σ i ), i = 1,, j = 1,..., i. Homocedasticidad: σ 1 = σ = σ 3. Idepedecia: Cov[y ij, y kl ] = 0 3

25 Estimació parámetros del modelo ( tratam.) El modelo depede de 3 parámetros: medias µ i y σ Para estimar estos parámetros utilizamos el método de máxima verosimilitud La fució de desidad para ua observació cualquiera es [ y ij N(µ i,σ ) f(y ij µ i,σ 1 ) = exp 1 ] πσ σ (y ij µ i ) La fució de desidad para todas las observacioes, supoiedo que so idepedietes i [ f(y µ,σ 1 ) = exp 1 ] πσ σ (y ij µ i ) dode Y = [y 11 y ], µ = [µ 1 µ ]. Esta fució es la fució de verosimilitud. E la práctica trabajamos co el logaritmo de la verosimilitud L(µ,σ ) = log f(y µ,σ ) = log(πσ ) 1 σ i (y ij µ i ) 4

26 Estimació parámetros del modelo ( tratam.) Los estimadores de los parámetros so aquellos que hace máxima la fució de verosimilitud: L(µ,σ ) µ i = σ i (y ij µ i ) ( 1) = 0 ˆµ i = i y ij i = ȳ i i = 1, L(µ,σ ) σ = σ + 1 σ 4 ˆσ = i (y ij µ i ) = 0 i (y ij ȳ i ) 5

27 Propiedades de ˆµ i ( tratam.) Estimador Esperaza Variaza ˆµ i = i y ij i E[ˆµ i ] = E[y i1]+e[y i ]+...+E[y ii ] = iµ = µ i i i Var[ˆµ i ] = Var[y i1]+var[y i ]+...+Var[y ii ] i = iσ i = σ i La fució de desidad de probabilidad de ˆµ i es ua ormal ya que es combiació lieal de ormales: ) ˆµ i N (µ i, σ i 6

28 Propiedades de ˆσ ( tratam.) Teemos ˆσ = Por tato i (y ij ȳ i ) ˆσ σ = 1 = 1 (y 1j ȳ 1 ) + (y j ȳ ) ( ) y1j ȳ 1 ( yj ȳ + σ σ ( ) y1j ȳ 1 1 ( ) y1j ȳ 1 N(0, 1) χ σ σ 1 1 ya que solo 1 1 so idepedietes. Efectivamete ȳ 1 = 1 y 1j 1 ) 1 1 y 1j 1 ȳ 1 = 0 (y 1j ȳ 1 ) = 0 Luego dados 1 1 valores de y 1j ȳ 1 σ, el último está dado ya que todos suma cero. 7

29 Propiedades de ˆσ ( tratam.) Por el mismo razoamieto Por tato dóde Por tato ˆσ σ [ ] ˆσ E σ ( yj ȳ σ ) χ 1 χ 1 1 +χ 1 = χ = 1 + = E[ˆσ ] = σ [ ] ˆσ Var = ( ) Var[ˆσ ] = σ ( ) σ 4 Luego el estimador de la variaza NO es cetrado! 8

30 Residuos del modelo ( tratam.) Modelo y ij = µ i + u ij Estimació de las medias: ˆµ i = ȳ i Se defie los residuos e ij como las estimacioes de u ij e ij = û ij e ij = y ij ˆµ i e ij = y ij ȳ i Los residuos del modelo o so idepedietes ya que i i e ij = y ij i ȳ i = 0, i = 1, Es decir, la suma de los residuos e cada grupo i es ula. Dados i 1 residuos e cada grupo, el último queda determiado porque suma cero. Se llama grados de libertad de los residuos al úmero de residuos idepedietes, es decir,. 9

31 Variaza residual ( tratam.) Se defie la variaza residual ŝ R como Por tato ˆσ = ŝ R = i eij i (y ij ȳ i ) i = eij ˆσ = ŝ R ( )ŝr σ χ ] ( )ŝ E[ R = E[ŝR] = σ σ Var[ ( )ŝ R σ ] = ( ) Var[ŝ R ] = σ4 Luego ŝ R es u estimador cetrado de σ y es el que elegimos 30

32 El cotraste de igualdad de medias ( tratam.) Problema: so igual de efectivas las dos dietas? Modelo para los datos: Dieta A Dieta B y ij = µ i + u ij, y ij N(µ i,σ ) Solució: (cotraste de igualdad de medias) H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ 31

33 La descomposició de la variabilidad ( tratam.) Para resolver el cotraste hacemos dode ȳ es la media global (y ij ȳ ) = (ȳ i ȳ )+(y ij ȳ i ) ȳ = i y ij = 1ȳ 1 + ȳ Elevado al cuadrado y sumado para todo i, j i i i (y ij ȳ ) = (ȳ i ȳ ) + (y ij ȳ i ) ya que i [(ȳ i ȳ )(y ij ȳ i )] = i (ȳ i ȳ ) i=1 (recordad que los residuos suma cero e cada grupo) e ij = 0 3

34 La descomposició de la variabilidad ( tratam.) Por tato i i (y ij ȳ ) = i (ȳ i ȳ ) + (y ij ȳ i ) i=1 Se deomia variabilidad total a: i VT = (y ij ȳ ) Se deomia variabilidad explicada a: VE = i (ȳ i ȳ ) i=1 Se deomia variabilidad total o residual a: i i VNE = (y ij ȳ i ) = Por tato VT = VE + VNE e ij 33

35 Distribució de VE ( tratam.) Teemos Si µ 1 = µ = µ ) y ij N(µ i,σ ) ȳ i N (µ i, σ ) ȳ i N (µ, σ y además ȳ 1, ȳ so idepedietes porque procede de muestras idepedietes de la misma població. Por tato ) ) (ȳ1 µ (ȳ σ/ µ + 1 σ/ χ ) ) (ȳ1 ȳ (ȳ σ/ ȳ + 1 σ/ χ 1 ya que ȳ = ( 1 ȳ 1 + ȳ )/ i i i (ȳ i ȳ ) i=1 σ = VE σ χ 1 34

36 Distribució de VNE ( tratam.) Teemos VNE = i Por otro lado la variaza residual i ŝ R = eij e ij Por tato ( )ŝ R σ VNE σ χ χ 35

37 Cotraste de la F ( tratam.) Cotraste H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ Si H 0 es cierta VE σ VNE χ 1, σ χ (ésto se cumple siempre para VNE. Para VE, sólo si H 0 es cierta) Ahora podemos costruir el estadístico del cotraste F 0 = VE/σ 1 VNE/σ = VE VNE/( ) χ 1 /1 χ /( ) = F 1, Si F0 F 1, ;α No se rechaza H 0 Si F0 > F 1, ;α Se rechaza H 0 36

38 La tabla ANOVA ( tratam.) Los datos ecesarios para resolver el cotraste se orgaiza e ua tabla coocida como tabla ANOVA: Fuetes de Suma de Grados de Variazas F 0 variacio cuadrados libertad Etre grupos VE 1 VE Residual VNE - VNE/(-) = ŝr TOTAL VT -1 VE VNE/( ) 37

39 Solució del problema ( tratam.) Para uestros datos teemos Tabla ANOVA = 0, ȳ 1 = 43.1, ȳ = 9.3, ȳ = 36. Fuetes de Suma de Grados de Variazas F 0 variacio cuadrados libertad Etre grupos Residual TOTAL α = 0.05 F 1,18;0.05 = < F 0 Se rechaza H 0 α = 0.01 F 1,18;0.01 = > F 0 Se acepta H 0 Podemos calcular el p-valor p valor = P(F > F F 1,18 ) = p valor < α se rechaza H 0 p valor > α se acepta H 0 38

40 Fució aov de R > dietaa<-c(51.3,39.4,6.3,39.0,48.1,34.,69.8,31.3,45.,46.4) > dietab<-c(9.6,47.0,5.9,13.0,33.1,.1,34.1,19.5,43.8,4.9) > datos<-c(dietaa,dietab) > > dieta<-c(rep(1,times=10),rep(,times=10)) > dieta<-factor(dieta) > > modelo<-aov(datos~dieta) > > aova(modelo) Aalysis of Variace Table Respose: datos Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F) dieta * Residuals Sigif. codes: 0 *** ** 0.01 *

41 Comparació de K tratamietos (ANOVA) La vetaja del método de aálisis de la variaza es que se puede geeralizar, se puede utilizar para aálisis más complejos. Por ejemplo, cuado hay más de dos tratamietos: Se desea comparar el redimieto de cuatro semillas: A, B, C, D. U terreo se divide e 4 parcelas similares y se asiga al azar cada semilla a 6 parcelas. Los resultados obteidos so: A B C D Por tato, se quiere comparar 4 grupos o tratamietos. Este problema o se puede resolver co el test de la t. Hay que utilizar aálisis de la variaza. 40

42 Modelo (K tratam.) y ij represeta el dato j-ésimo dato del grupo o tratamieto i (i = 1,...,K ). Se adopta el siguiete modelo para los datos dóde y ij = µ i + u ij, i = 1,...,K, j = 1,..., i µi : media del grupo i (parte determiista, igual para todo el grupo) uij : diferecia etre el dato y ij y la media del grupo µ i (parte aleatoria, depede de cada dato) Co las siguietes hipótesis 1. Normalidad: y ij N(µ i,σ i ), i = 1,...,K, j = 1,..., i Esta codició es equivalete a u ij N(0,σ i ), i = 1,...,K, j = 1,..., i. Homocedasticidad: σ 1 = = σ K = σ 3. Idepedecia: Cov[y ij, y kl ] = 0 41

43 Estimació parámetros del modelo (K tratam.) El modelo depede de K + 1 parámetros: K medias µ i y σ Para estimar estos parámetros utilizamos el método de máxima verosimilitud La fució de desidad para ua observació cualquiera es [ y ij N(µ i,σ ) f(y ij µ i,σ 1 ) = exp 1 ] πσ σ (y ij µ i ) La fució de desidad para todas las observacioes, supoiedo que so idepedietes K i [ f(y µ,σ 1 ) = exp 1 ] πσ σ (y ij µ i ) dode Y = [y 11 y Kk ], µ = [µ 1 µ K ]. Esta fució es la fució de verosimilitud. E la práctica trabajamos co el logaritmo de la verosimilitud L(µ,σ ) = log f(y µ,σ ) = log(πσ ) 1 σ K i (y ij µ i ) 4

44 Estimació parámetros del modelo (K tratam.) Los estimadores de los parámetros so aquellos que hace máxima la fució de verosimilitud: L(µ,σ ) µ i = σ i (y ij µ i ) ( 1) = 0 ˆµ i = i y ij i = ȳ i i = 1,...,K L(µ,σ ) σ = σ 1 σ 4 ˆσ = K i (y ij µ i ) = 0 K i (y ij ȳ i ) 43

45 Propiedades de ˆµ i (K tratam.) Estimador Esperaza Variaza ˆµ i = i y ij i E[ˆµ i ] = E[y i1]+e[y i ]+...+E[y ii ] = iµ = µ i i i Var[ˆµ i ] = Var[y i1]+var[y i ]+...+Var[y ii ] i = iσ i = σ i La fució de desidad de probabilidad de ˆµ i es ua ormal ya que es combiació lieal de ormales: ) ˆµ i N (µ i, σ i 44

46 Propiedades de ˆσ (K tratam.) Teemos K i (y ij ȳ i ) ˆσ = Por tato ˆσ σ = 1 = 1 (y 1j ȳ 1 ) + + K (y j ȳ ) ( ) y1j ȳ σ K ( yj ȳ ( ) y1j ȳ 1 1 ( ) y1j ȳ 1 N(0, 1) χ σ σ 1 1 ya que solo 1 1 so idepedietes. Efectivamete ȳ 1 = i y 1j 1 σ ) i i y 1j 1 ȳ 1 = 0 (y 1j ȳ 1 ) = 0 Luego dados 1 1 valores de y 1j ȳ 1 σ, el último está dado ya que todos suma cero. 45

47 Propiedades de ˆσ (K tratam.) Por el mismo razoamieto Por tato dóde Por tato ˆσ σ K [ ] ˆσ E σ ( yj ȳ σ ) χ K 1 χ χ K 1 = χ K = k = K E[ˆσ ] = K [ ] ˆσ Var = ( K) Var[ˆσ ] = σ σ ( K) σ 4 Luego el estimador de la variaza NO es cetrado! 46

48 Residuos del modelo (K tratam.) Modelo y ij = µ i + u ij Estimació de las medias: ˆµ i = ȳ i Se defie los residuos e ij como las estimacioes de u ij e ij = û ij e ij = y ij ˆµ i e ij = y ij ȳ i Los residuos del modelo o so idepedietes ya que i i e ij = y ij i ȳ i = 0, i = 1,...,K Es decir, la suma de los residuos e cada grupo i es ula. Dados i 1 residuos e cada grupo, el último queda determiado porque suma cero. Se llama grados de libertad de los residuos al úmero de residuos idepedietes, es decir, K. 47

49 Variaza residual (K tratam.) Se defie la variaza residual ŝ R como ŝr = Por tato K i (y ij ȳ i ) ˆσ = = K i eij K K i eij ˆσ K = ŝ R ( K)ŝR σ χ K ] ( K)ŝ E[ R = K E[ŝR] = σ σ Var[ ( K)ŝ R σ ] = ( K) Var[ŝ R ] = K σ4 Luego ŝ R es u estimador cetrado de σ y es el que elegimos 48

50 El cotraste de igualdad de medias (K tratam.) Problema: tiee igual redimieto las cuatro semillas? Modelo para los datos: A B C D y ij = µ i + u ij, y ij N(µ i,σ ) i = 1,...,K, j = 1,..., i Solució: (cotraste de igualdad de medias) H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 H 1 : Al meos ua es diferete 49

51 La descomposició de la variabilidad (K tratam.) Para resolver el cotraste hacemos dode ȳ es la media global ȳ = (y ij ȳ ) = (ȳ i ȳ )+(y ij ȳ i ) K i y ij = 1ȳ 1 + ȳ + + K ȳ K Elevado al cuadrado y sumado para todo i, j K i K i K i (y ij ȳ ) = (ȳ i ȳ ) + (y ij ȳ i ) ya que K i [(ȳ i ȳ )(y ij ȳ i )] = K i (ȳ i ȳ ) i=1 (recordad que los residuos suma cero e cada grupo) e ij = 0 50

52 La descomposició de la variabilidad (K tratam.) Por tato K i K K i (y ij ȳ ) = i (ȳ i ȳ ) + (y ij ȳ i ) i=1 Se deomia variabilidad total a: K i VT = (y ij ȳ ) Se deomia variabilidad explicada a: K VE = i (ȳ i ȳ ) i=1 Se deomia variabilidad total o residual a: K i K i VNE = (y ij ȳ i ) = Por tato VT = VE + VNE e ij 51

53 Distribució de VE (K tratam.) Teemos Si µ 1 = = µ K = µ ) y ij N(µ i,σ ) ȳ i N (µ i, σ ) ȳ i N (µ, σ y además ȳ 1, ȳ,...,ȳ K so idepedietes porque procede de muestras idepedietes de la misma població. Por tato ) ) ) (ȳ1 µ (ȳ σ/ µ (ȳk + 1 σ/ µ + + σ/ χ K K ) ) ) (ȳ1 ȳ (ȳ σ/ ȳ (ȳk + 1 σ/ ȳ + + σ/ χ K 1 K ya que ȳ = ( 1 ȳ 1 + ȳ + + K ȳ K )/ i i K i (ȳ i ȳ ) i=1 σ = VE σ χ K 1 5

54 Distribució de VNE (K tratam.) Teemos VNE = K i Por otro lado la variaza residual K i ŝ R = eij K e ij Por tato ( K)ŝ R σ VNE σ χ K χ K 53

55 Cotraste de la F (K tratam.) Cotraste Si H 0 es cierta H 0 : µ 1 = µ = = µ K H 1 : Al meos ua es diferete VE σ χ K 1, VNE σ χ K (ésto se cumple siempre para VNE. Para VE, sólo si H 0 es cierta) Ahora podemos costruir el estadístico del cotraste F 0 = VE/σ K 1 VNE/σ K = VE/(K 1) VNE/( K) χ K 1 /(K 1) χ K /( K) = F K 1, K Si F0 F K 1, K;α No se rechaza H 0 Si F0 > F K 1, K;α Se rechaza H 0 54

56 La tabla ANOVA (K tratam.) Los datos ecesarios para resolver el cotraste se orgaiza e ua tabla coocida como tabla ANOVA: Fuetes de Suma de Grados de Variazas F 0 variacio cuadrados libertad Etre grupos VE K-1 VE/(K-1) Residual VNE -K VNE/(-K) = ŝr TOTAL VT -1 VE/(K 1) VNE/( K) 55

57 Solució del problema (K tratam.) Para uestros datos teemos = 4, ȳ 1 = 4.88, ȳ = 18.65, ȳ 3 = 14.13, ȳ 4 = 45.9, ȳ = Tabla ANOVA Fuetes de Suma de Grados de Variazas F 0 variacio cuadrados libertad Etre grupos Residual TOTAL α = 0.05 F 3,0;0.05 = < F 0 Se rechaza H 0 α = 0.01 F 3,0;0.01 = < F 0 Se rechaza H 0 Podemos calcular el p-valor p valor = P(F > F F 3,0 ) = p valor < α se rechaza H 0 p valor > α se acepta H 0 56

58 Fució aov de R > A<-c(9.1,53.7,41.3,54.7,37.,41.3) > B<-c(33.4,33.0,19.,00.0,4.3,0.0) > C<-c(11.1,3.1,17.5,11.8,07.6,13.7) > D<-c(70.4,48.6,30.0,50.7,30.0,45.8) > redimieto<-c(a,b,c,d) > semilla<-c(rep(1,times=6),rep(,times=6),rep(3,times=6),rep(4,times= > semilla<-factor(semilla) > modelo<-aov(redimieto~semilla) > aova(modelo) Aalysis of Variace Table Respose: redimieto Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F) semilla *** Residuals Sigif. codes: 0 *** ** 0.01 *

59 Aálisis de las diferecias etre medias Cuado las medias so diferetes (se rechaza H 0 ) os iteresa coocer cuál es el tratamieto co mayor media y cual es el tratamieto co meor media. Ua opció es calcular los itervalos de cofiaza de cada media. ) y i N (µ i, σ y i µ i σ N(0, 1) i Por otro lado Operado i ( K)ŝ R σ y i µ i ŝ R i χ K t K Luego los itervalos de cofiaza so ŝ R µ i y i ± t K; α i 58

60 Itervalos de cofiaza para las medias Para el problema de las semillas se obtiee (α = 0.05): Semilla y i Lim. If. Lim. Sup. A B C D Gráficamete medias Sem Las semillas A y D tiee u redimieto similar. Sus itervalos se solapa y o podemos asegurar cuál de las dos tiee mayor redimieto. Igual para B y C. Las semillas A y D tiee mayor redimieto que las B y C. 59

61 Cotrastes múltiples Tambié podemos hacer cotrastes dos a dos Para ello utilizamos que Operado H 0 : µ i = µ j H 1 : µ i µ j (ȳ i ȳ j ) (µ i µ j ) N(0, 1) σ 1 i + 1 j ( )ŝ R σ Si la hipótesis ula es cierta χ K (ȳ i ȳ j ) (µ i µ j ) ŝ R 1 i + 1 j t K t 0 = (ȳ i ȳ j ) ŝ R 1 i + 1 j t K 60

62 Cotrastes múltiples (problema) Para el problema de las semillas teemos que hacer los siguietes cotrastes: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D. E geeral, co K tratamietos tedremos ( K ) cotrastes. E la siguiete tabla se idica el p-valor de los cotrastes p-valor = P(t > t 0 t t k )+P(t < t 0 t t k ) p-valor = P(t > t 0 t t k ) cotraste t 0 p-valor A-B A-C A-D B-C B-D C-D Si p-valor < α o se acepta la hipótesis ula. 61

63 Metodología 1. Especificar el modelo. Estimar los parámetros 3. Cotraste ANOVA 4. Itervalos de cofiaza para los parámetros 5. Diagosis de las hipótesis Normalidad Homocedasticidad Idepedecia 6