MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES II NOTAS DE TEORÍA DE COLAS

Transcripción

1 INTITUTO TECNOLÓGICO DE TEIC MATERIA: INVETIGACION DE OERACIONE II NOTA DE TEORÍA DE COLA DEARTAMENTO DE INGENIERIA INDUTRIAL ELABORADO OR: M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELI

2 INTRODUCCIÓN Ua ituació de cola eta báicamete caracterizada por u flujo de cliete arribado a ua o ma etacioe de ervicio. La etacioe de ervicio o difícile de programar óptimamete por la preecia del elemeto aleatorio e la forma de arribo y ervicio. Ua teoría matemática que etudia o aaliza eta ituacioe e la teoría de cola, la cual etá baada e la decripció de la forma de arribo o ervicio por la apropiada ditribucioe de probabilidad. La teoría de cola o e ua técica de optimizació, e ua herramieta aalítica que provee ua iformació ma efectiva acerca del problema. U procedimieto para tratar lo problema de teoría de cola e reumido e lo cuatro pao iguiete : ) Defia y relacioe la variable de la ituació co el propóito de decribir el problema ) Deriva la ditribucioe aociada uado lo dato dipoible y uado la prueba etadítica apropiada. 3) Ue la ditribucioe para decubrir la caracterítica operativa que decribe al itema como u todo. 4) Mejora el fucioamieto del itema a travé del uo apropiado de modelo de deciió y baádoe e la caracterítica operativa de la ituació. CARACTERÍTICA DE LO MODELO DE COLA U itema de cola e epecificado completamete por 6 pricipale caracterítica :. Iumo o arribo (iterarribo, ditribució de arribo) cotate, o cotate.. alida o ervicio (ditribució de ervicio), cotate, o cotate. 3. Caale de ervicio 4. Diciplia de ervicio 5. Máximo umero de cliete permitido e el itema 6. Tipo de fuete. A.- CARACTERÍTICA DE ENTRADA.- Tamaño de la població. --Fiita o ifiita.- Etadítica del tiempo etre arribo (media, variabilidad, y ditribució) 3.- Actitud del cliete --paciete, impaciete 4.- Llegada e grupo o idividual B.- CARACTERÍTICA DE LA COLA.- Tamaño de la cola --fiita o ifiita--.- Diciplia (.E..., U.E..., Tiempo de proceamieto meor, Aleatorio, G, rioridad, Otro) 3.- Número (ua o má cola) C.- CARACTERÍTICA DEL ERVICIO

3 .- Dieño de la facilidad --erie, paralelo, mixta-- U ervidor, ua fae, U ervidor, múltiple fae Múltiple ervidore, ua fae Múltiple ervidore, múltiple fae Etadítica de la taa de ervicio (media, variabilidad, y ditribució) D.- FUNCIÓN OBJETIVO.- Miimizar la combiació de lo coto, del tiempo ocioo de lo cliete eperado e la líea y de lo ervidore..- Miimizar la combiació de lo coto, del tiempo perdido de lo cliete eperado e la líea y lo del alario de la gete que provee el ervicio. 3.- Criterio Heurítico.- El promedio de cliete que erá ervido e determiado tiempo, igú cliete requerirá eperar má que cierto periodo epecificado de tiempo. E.- ENFOQUE DE OLUCIÓN.- Matemático.- La taa de ervicio y la taa de arribo (ditribucioe) o aproximada por ditribucioe etádar..- imulació - Etadítica coceriete a la taa de tiempo de arribo y de ervicio o iterada por la imulació de MONTE CARLO de ditribucioe hitórica o ditribucioe aumida. Ejemplo de itema de Cola ituació Arribo ervidore roceo de ervicio Icripció ecolar Etudiate Coordiador Curo aigado y forma firmada upermercado Cliete Caja de pago (cajero) Nota de compra y pago Baco Cliete Cajero Depoito, retiro, cambio de cheque, pago de ervicio, etc. Crucero de calle Automóvile emáforo ao cotrolado a travé de la iterecció Coultorio médico aciete Doctor y aitete Tratamieto Mateimieto de equipo Equipo decompueto Mecáico Equipo reparado Termial de autobue Autobue Adee Carga y decarga

4 Líea de eamble roducto Trabajadore de eamble roducto eamblado Oficia de correo Correo a eviar Oficiita de correo roceo y evío del correo Itercambiador Telefóico Llamada Equipo de itercambio electróico Coexió realizada Caeta de herramieta Trabajadore Caetero alida y etrega de herramieta Termial aérea Avioe ita de aterrizaje Aterrizaje y depegue de avioe EJERCICIO DE TEORIA DE COLA.- Baado e u compreió de cada uo de lo iguiete itema de cola, decriba el ervidor, el cliete, la orgaizació, la diciplia, abadoo y/o cambio e la cola, y el proceo de ervicio. a. Caeta de cobro e ua autopita b. Cotrol del tráfico e ua iterecció por u emáforo. c. El ervicio de taxi e u hotel. d. Elevadore de u edificio. e. ervicio de fotocopiado e u egocio de ete tipo. f. Claificació de correpodecia e el ervicio potal. g. ervicio médico e u hopital h. Avioe aterrizado e u aeropuerto. i. Líea telefóica de emergecia. j. U retaurate. k. U itema de computo de tiempo compartido..- Decriba ua ituació e la cual la epera o el retrao e peligroo para la productividad. Dicuta como la ituació puede er mejorada. 3.- Ejercicio: Viajado por la cola eleccioe cico itema a viitar y obervar. Cotete la iguiete preguta. ea cocio;. Decriba lo ervidore y lo proceo del ervicio. Cuato ervidore hay?. Decriba a lo cliete. 3. Elabore u diagrama de la cofiguració del ervicio y la orgaizació de la cola. 4. Regitre el tiempo de ervicio para cico cliete coecutivo. Decriba lo factore que ifluecia el tiempo de ervicio. 5. Cuete y regitre el úmero de cliete que arriba uceivamete e itervalo de miuto. Decriba lo factore que ifluecia lo arribo al itema.

5 6. i uted oberva abadoo y/o cambio de la cola decriba el proceo. 7. Regitre la fecha y la hora. ETADO TRANITORIO Y ETADO ETACIONARIO U aálii de teoría de cola requiere el etudio del comportamieto del itema a travé del tiempo. U itema e u etado traitorio cuado u caracterítica operativa (comportamieto) varía co el tiempo. Eto uele ocurrir e lo etado iiciale de operació del itema, dode u comportamieto depede todavía de la codicioe iiciale. Nuetro iteré e el de la operació a largo plazo, dode el comportamieto del itema e idepediete del tiempo. A eto lo llamaremo etado etacioario del itema, y eto o puede er alcazado cuado la taa de arribo e mayor que la taa de ervicio, au i cuado el tiempo tracurrido ea muy grade. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN Numero de cliete e el itema. (t) robabilidad e el etado traitorio de que exactamete cliete eté e el itema e el tiempo t aumiedo que el itema iició u actividade (operacioe) al tiempo cero. robabilidad e el etado etacioario que exactamete cliete eté e el itema. Taa promedio de arribo (umero de cliete/uidad de tiempo). Taa promedio de ervicio (umero de cliete/uidad de tiempo). Numero de ervidore e paralelo. / Iteidad de trafico / Factor de utilizació para facilidade de ervicio w tiempo eperado de epera por cliete e el itema. wq tiempo eperado de epera por cliete e la cola. L Numero promedio de cliete eperado e el itema. Lq Numero promedio de cliete eperado e la cola. Fracció promedio de tiempo que el itema etá ocupado (ocupado e defiido como uidade eperado o iedo ervida). Coiderado como el úmero de uidade promedio que etá iedo ervida e cualquier puto de tiempo. Relació etre w, wq, L y Lq L L q + ; L w ; Lq wq y ademá : wq w ; w wq+ Tiempo de iterarribo eperado (uidade de tiempo / uidad) Tiempo de ervicio eperado (uidad de tiempo/ uidad)

6 Factor de utilizació fracció de tiempo e que etá ocupado lo ervidore. ROCEO DE NACIMIENTO Y MUERTE La mayoría de lo modelo upoe que la llegada y alida ocurre de acuerdo a ete proceo. Ete proceo ocurre completamete al azar y u taa de promedio de ocurrecia depede úicamete del etado del itema. otulado de acimieto Dado que el itema e ecuetra e el etado E para (,,,....) e el itate t, la probabilidad de que exactamete ocurra u acimieto durate el itervalo t + Δt e: ( Δt) + ( Δt) o otulado de muerte Dado que el itema e ecuetra e el etado E para (,,,....) e el itate t, la probabilidad de que ocurra exactamete ua muerte durate el itervalo t + Δt e : ( Δt) + ( Δt) o Exite cuatro forma de que exita cliete e el itema e el tiempo t+δt (, ): a) U acimieto Δt( Δt) b) Ua muerte Δt( Δt) c) Nigú acimieto i muerte ( Δt)( Δt ) d) U acimieto, ua muerte ( Δt)( Δt) Etado e el uceo de robabilidad mometo t t+δt E- U acimieto ()( t Δt)( Δ t) E+ Ua muerte + ()( t Δt)( Δ t) E Niguo ()( t Δt )( Δ t) E Ambo ()( t Δt)( Δ t) Ahora la probabilidad de que haya cliete e el itema erá la uma de la cuatro probabilidade. ( t + Δt) ()( t Δt)( Δt) + () t Δt( Δt) + ()( t Δt)( Δt) + () t Δt Δt + Decartado la ifiiteimal del orde Δt y dividiedo todo por Δt.

7 ( t + Δt) ( t) Δt ()( t ) + () t + () t + y cuado Δt tiede a cero lim Δt ( t + Δt ) () t d () t Δt dt d() t dt ( + ) () t + () t + () t + Ete dearrollo e aplico para el cao ara determiar el cao epecial dode, implemete vemo que cuado, - (t) e igual a cero. Ademá... i el itema etá vacío y o e puede hablar de muerte. Nuetra ecuació diferecial para ete cao dode e covierte e: do() t () t o() t () t + () t dt Etoce la probabilidad de cliete e el itema e cero y uetra expreió e covierte e () t () t, Aí;,, 3,.., ubtituyedo valore de o, e lugar de,,...,, 3,... De acuerdo a lo coocimieto de probabilidad ubtituyedo valore de,, utituyedo valore por y acado o como factor comú teemo 3 *( )

8 Aplicado a la erie geométrica , cuado > y < etoce teemo o, o o Ete modelo ha ido dearrollado co u itema de cola de u ervidor y ua fae, e el etado etacioario. Notació de Kedall De la relacioe expueta e el apartado aterior e deprede que i coocemo la erie: { t } { } k k y el úmero de caale teemo toda la iformació ecearia para decribir la cola. or eo, para decribir u itema de cola e emplea la otació de Kedall, que coite e u grupo de letra y úmero de la forma: A/B//m/d/e dode cada uo de lo dígito tiee el iguiete igificado: A deiga el proceo de llegada; má cocretamete, decribe el tipo de ditribució del tiempo etre llegada. i ete proceo e markoviao de tipo oio-expoecial, e ete lugar e colocará la letra M. i el proceo e determiítico, e colocará la letra D y la letra G i la llegada o de otro tipo. B deiga el proceo de ervicio; e decir, decribe la ditribució del tiempo de ervicio y, por tato, de la alida del itema. e colocará la letra M i ete proceo e markoviao, D i e determiítico y G i e de otro tipo. E todo lo cao upodremo que la duració del tiempo de ervicio e idepediete de la ditribució de la llegada. m d úmero de caale de ervicio ó úmero de ervidore. úmero máximo de uuario imultáeo que e admite e el itema. i eta capacidad e ifiita, e omite. diciplia de la cola, e decir, proceo de deciió de cuál de lo uuario e epera va a paar a recibir ervicio, tal y como e decribió e la págia 3. or omiió e coidera ua cola tipo FIFO.

9 E població fiita o ifiita de dode proviee lo cliete CAO: CAO U olo ervidor a) Llegada oio y tiempo de ervicio Expoecial E ete modelo lo cliete erá atedido por orde de llegada E (FIFO). Ademá o exitirá limitacioe e cuato a la catidad de cliete que el itema oporta (puede er atedido ifiito cliete). Defiiremo el trabajo e el itema a la legada de u cliete e u itate t como la uma de lo tiempo remaete de ervicio de todo lo cliete e el itema e ee itate. o o o o... o o y ( ),,,... olució para el etado etacioario

10 NUMERO EERADO DE CLIENTE EN EL ITEMA (L) L i ip i abemo que oo i i o + o o i o( ) dode ( ) ( ) de la erie geométrica / Obteemo d( ) ( ) ( )( ) d ( ) ( ) y utituyedo e o ip o ( ) i i ( ) ( ) Número medio de cliete e el itema: L ; aí; L de eto obteemo Número medio de cliete e la cola: Lq L, Lq ( )

11 Tiempo promedio que paa u cliete e el itema Tiempo promedio que paa u cliete e al cola L W Wq ( ) La probabilidad de que u cliete pae determiado tiempo e el itema e calcula de la maera iguiete: { } ( ) t Wq> t e, para t { } ( ) t W> t e, para t Ejemplo: La vetailla de u baco realiza la traaccioe e u tiempo medio de miuto. Lo cliete llega a la vetailla co ua taa de cliete por hora. i e upoe que la llegada o de oio y lo ervicio expoeciale, e pide: a) orcetaje de tiempo e que el cajero etá ocioo. b) Tiempo medio de etacia de lo cliete e la cola. c) Fracció de cliete que debe eperar. i la ateció a lo cliete dura u promedio de miuto, podemo decir que la taa de ervicio e de 3 cliete por hora. Como 3 < podemo afirmar que el itema e etacioario. E eta ituació, el porcetaje de tiempo que el cajero etá ocioo e igual a la probabilidad de que o haya igú uuario e el itema: luego el cajero etará ocioo u 33.33% del tiempo. El tiempo medio que u uuario paa e la cola e: W q ( ) 3 e decir, 4 miuto. or último, la fracció de cliete que debe eperar e:. 667 Hora

12 L q L 3 Ejemplo: Ua tieda de alimetació e atedida por ua peroa. La llegada de cliete lo ábado e u proceo de oio co ua taa de peroa por hora y lo cliete o atedido egú ua política FIFO co u tiempo medio de ervicio de 4 miuto. e pide: a) robabilidad de que haya cola. b) Logitud media de la cola. c) Tiempo promedio de epera e cola. d) robabilidad de que el cliete eté meo de miuto e la tieda. La taa de ervicio e de 5 cliete por hora. Como <, el itema e etable co 3. La probabilidad de que haya cola e: t [ () > ] o + ( ) La logitud media de la cola erá: L q El tiempo promedio de epera e cola: W q 333. Hora ( ) 5 5 e decir, de 8 miuto. or último, la probabilidad de que u cliete etá meo de miuto e la tieda e la probabilidad de que el tiempo de epera má el de ervicio ea meore que, lo cual tiee ua,. or tato: [ ] ditribució expoecial co parámetro ( ) ( ) ( ) t 5 3 T< e e CAO ERVIDORE MÚLTILE E ete cao, u modelo co ervidore paralelo ( ) e coiderado, tal e el cao que cliete pueda etar iedo ervido imultáeamete. E aumido que todo lo caale tiee la mima ditribució de ervicio (EXONENCIAL) co taa de promedio y por uidad de tiempo. La taa de arribo tiee ua ditribució de oio.

13 La derivació de la ecuacioe difereciale para ete modelo e la mima que para el modelo de u ervidor excepto que la probabilidad de ervicio durate u itate Δt e aproximadamete Δ para < y Δt para por eto cuato Δt tiede a e el cao etacioario teemo: -o +, - - ( + ) + (+) +, < < - - ( + ) + +, (-) Coideremo el comportamieto del itema! ; para < 3!! ( ) ( ) ( ) ( 3 ) 3 ( )!

14 . ( )! ( ) ( ) 3 + o! Etoce para cuado: + * o! aí;! E el cao de ervidore múltiple exitirá ete cuado > y < etoce Lq α ( ),dode! i hacemo - j, tedremo que Lq j,,dode Lq j + j j j! j + j! ( ) j j j d ( j ) ( ) j! j + j j!!... + j, j d como la erie geométrica coverge cuado < etoce; d d ( ) ( ) j ( ) j j, parcialmete obteemo j d 3 j. ( ( ) d α ar ( ) 3... j j e Lq ( ) j or lo que utituyedo ( )! j ( j ) j

15 Teemo que el úmero promedio de cliete e la cola e!( ) Lq abemo que Lq Wq etoce el tiempo promedio que paa u cliete e la cola e!( ) Wq ; dode abiedo que, w wq + y que L Lq + e puede obteer W y L Como; i ; ; etoce ;!! + α!! + α que,, ya aí j E j j α α aplicado uevamete la erie geométrica, teemo que;!! + La probabilidad de que u cliete pae determiado tiempo e el itema e calcula de la maera iguiete:

16 t o e ( t) W { > t} e +! ( ), para t ( ) t Wq { > t} Wq { } e, para t { } ( ) t Wq> t j ( e ), para t dode J ( ) ( ) o! ( ) e la probabilidad de que todo lo ervidore eté ocupado Aí; { t} Wq> ( )! ( ) ( ) o t, para t e Dode t Cuado --, e debe reemplazarce por t Ejemplo: E u baco exite cuatro líea de ervicio y lo cliete que arriba al itema e ue a la cola má corta. Lo cliete llega aleatoriamete a ua taa de 6 por hora. Cada ervidor puede ateder la traaccioe a ua taa de 8 por hora. El ervicio tiee diciplia FIFO y exite epacio uficiete e el etacioamieto del baco para dar cabida a lo carro. Debido a que exite ormalmete 4 líea de ervicio e paralelo que trabaja idepedietemete uo del otro e puede dividir la taa de llegada equitativamete etre la cuatro líea. e tiee 4 líea cada ua co 4 y 8. L carro e el itema

17 e deea ivetigar u uevo arreglo para reducir el tiempo de epera para lo cliete e el ervicio de la caja. Normalmete lo cliete e ue a aquella líea má corta. Ete procedimieto o iempre trabaja bie, debido a la diferecia e lo tiempo de ervicio, algua líea tiede a movere má rápido que otra. Muy eguido etoce, u cliete que eleccioa ua líea corta debe eperar u periodo grade de tiempo i el cliete de adelate tiee que realizar larga traaccioe. e ha ivetigado la forma e que el baco podría maejar el problema. Ua forma ería teer ua ola líea de epera. Cada cliete etoce e mueve (acude a la caja) a la primera caja que e deocupe y el iguiete cliete de él paa a er el primer cliete e la líea. Comparado el actual co el propueto procedimieto el criterio de deciió erá el tiempo promedio que u cliete pae e la cola. Arreglo Actual Arreglo propueto w hora, 4 5 mi/ liea Lq L carro e la liea Lq wq hora 7.5 miuto 8 e la liea i e aalizara el cao de caale múltiple dode exite ua ola líea para lo cuatro ervidore tedríamo 4 o.34 Lq ( itema ocupado)* Lq.739 carro / liea! o (itema ete ocupado) ( ) ( ).739! 3

18 4.34() Lq.739carro e la liea! ( ) 4! 4 L + Lc carro e el itema Lq.739 wq.9hora o.654 mi uto 6 L w hora o 8.5 mi uto i comparamo Wq de 7.5. mi. para 4 líea idividuale co Wq de.54 miuto para ua líea, teemo u drático mejoramieto e el ervicio. + α! !! Coto de u itema de Líea de Epera La obteció de L, L q, W y W q a travé de lo modelo de acimieto y muerte permite tomar deciioe de itema de líea de epera. Eta deciioe uele expreare e térmio de

19 miimizació de lo coto aociado a la epera. ara cualquier itema de epera tedremo do tipo de coto: Coto de ervicio y coto de epera. i el tamaño de la cola etá limitado, tedremo tambié coto de abadoo. Coto de ervicio erá directamete proporcioale al úmero de ervidore e paralelo que etablezcamo e el itema. uele caracterizare co el parámetro C, que exprea lo coto de ervicio por ervidor para u determiado periodo de tiempo: De ete modo, tederemo: Coto de ervicio C um/período Al exprear lo coto de ervicio de ete modo, upoemo que icurrimo e coto de ervicio por el hecho de dipoer del ervidor, idepedietemete de que efectivamete eté e ervicio o o. i icurrimo e eto coto el ervidor etá ocupado, tederemo: Coto de ervicio Taa de utilizació del ervidor C um/periodo Dicha taa de utilizació erá igual a para lo modelo de uivero fiito y cola o limitada. ara el reto de lo modelo, deberá calculare e cada cao. Coto de Epera La preocupació por el dieño de u itema de líea de epera upoe la exitecia de cierto coto de epera, aociado al úmero medio de uidade e el itema. Dicho coto puede iterpretare e térmio de pérdida de calidad de ervicio, poible reduccioe de veta futura debido al largo tiempo de epera e experiecia ateriore, etc. e caracteriza por el parámetro C e, que o e má que el coto de ervicio por uidad e el itema para u determiado periodo de tiempo. Dicho coto de epera valdrá: Coto de epera C e L um/periodo Lo coto de epera tambié depede del úmero de ervidore, pero de maera idirecta: u aumeto del úmero de ervidore iducirá ua reducció del úmero promedio de uidade e el itema L, e fució del itema que etemo tratado. Coto de Abadoo Etre otra utilidade, de lo modelo de cola fiita permite repreetar u comportamieto de abadoo del itema por parte de la uidade, i el tamaño de la cola e demaiado grade. Ma cocretamete, e upoe que la uidade que abadoará el itema i, cuado éta llega al itema, el tamaño de la cola e k. e trata de uo coto de aturaleza parecida a lo de epera, auque e ocaioe puede iterpretare como reduccioe de veta actuale (por abadoo). e caracteriza por C a que e el coto de abadoo por uidad para u periodo de tiempo determiado. ara u determiado periodo de tiempo, la uidade que abadoa el itema valdrá: Uidade que abadoa k Dode repreeta la taa de llegada al itema referida al periodo coiderado. La taa de etrada al itema erá, etoce: Coto de abadoo C a k

20 M/M/ Ejemplo: U operario que trabaja e ua fábrica, debe obteer u herramieta de u almacé. U promedio de operadore por hora arriba al almacé e buca de de parte. E la actualidad el almacé e atedido por u depediete a quié e le paga $6 por hora y a quié le toma u promedio de 5 miuto ateder la demada de u operario. Debido a que al operador e le paga $ por hora, cada hora que el operario paa e el almacé le cueta a la fábrica $. La fábrica eta decidiedo etre cotratar o o ( a $4 por hora) a u ayudate. i e cotrata u ayudate, al depediete le tomará u promedio de 4 miuto procear la demada de lo operario. Coidere que lo tiempo de ervicio etre arribo o expoeciale. e deberá cotratar al ayudate? Coto eperado Coto del ervicio Coto de epera + Hora Hora Hora Coto de epera Coto de epera No. promedio de cliete * Hora Cliete Hora Coto promedio de epera $ Hora promedio que el * Hora Operario-Hora cliete paa e el itema Aí; Coto promedio de epera Coto promedio de epera W y W Cliete Hora Como y µ cliete por hora y W.5hora, teemo que: Coto del ervicio/hora $6 y Coto promedio de epera (.5) $5 or lo que i ayudate, el coto eperado por hora e 6+5 $56. Co el ayudate y µ5 cliete por hora y W.hora 5 Ahora el coto del ervicio/hora $ y Coto promedio de epera (.) $. or lo que co ayudate, el coto eperado por hora e + $3. or lo aterior el ayudate deberá er cotratado, debido a que e ahorra 5- $3 por hora, que e ma de $4 por hora de alario que cueta el ayudate. M/M/ Ejemplo: El gerete de u baco debe determiar cuato cajero deberá trabajar lo viere. El gerete cree que por cada miuto que u cliete pae e epera, e icurre e u coto de epera de $.5. U promedio de cliete por miuto arriba al baco.. E promedio le toma a u cajero miuto ateder la traacció de u cliete. Le cueta al baco $9 por hora cotratar a u cajero. El tiempo etre arribo y de ervicio o expoeciale. ara miimizar la uma de lo coto de ervicio y epera, cuato cajero deberá cotratar el baco para que trabaje lo viere? y µ3 cliete por hora y >. 4 Como < debe er mayor a 4 *3 Coto eperado de eervicio Coto de epera + Miuto Miuto

21 Debido a que a cada cajero e le paga 9/6 $.5 por miuto, Coto eperado de eervicio $.5 Miuto Como e el ejemplo aterior, Coto de epera No. eperado de cliete Coto de epera + Miuto Miuto Miuto ero Coto de epera/cliete $.5 W q Debido a que cliete arriba por miuto, Coto de epera/miuto (.5W q ) $*W q 7 ara 5,.8 W q. miuto.5*5 Coto de epera/miuto.(.)$. Y para 5 Coto total eperado.5*5 +. $8.6 Debido a que 6 tiee u coto de ervicio de 6*.5 $9, co 6 cajero o e tiee u coto total meor que co 5 cajero. Teiedo 5 cajero atediedo e óptimo. Diciédolo de otra maera, poiedo otro cajero adicioal puede ahorrar al baco a lo máximo $. por miuto e coto de epera. Como el coto de u cajero adicioal de de $.5 por miuto, o puede er óptimo cotratar ma de 5 cajero. Ademá del tiempo eperado de u cliete e el itema, e de iteré la ditribució de tiempo de epera de u cliete. or ejemplo, i todo lo cliete que tiee que eperar ma de 5 miuto e la caja de u upermercado decide cambiar a otra tieda, la probabilidad que u dado cliete e cambie a otra tieda iguala a (W>5). ara determiar eta probabilidad, e eceario coocer la ditribució del tiempo de epera de u cliete. ara u itema M/M/ e puede motrar que; t e w ( > t) e + ( j> ) W ( > t) ( j ) e q ( ) t ( ) ara ilutrar eto coidere e ejemplo aterior e que 5,.8, o.897, y µ.5 cliete por miuto como J ( ) ( ) o! ( ), etoce ( ) 5* W ( > ) ( j 5) e.55* e.4 q 5 ( ) 5! (.8) 5*.8 *.897 J ( 5).557

22 or lo que el baco el gerete puede etar eguro que la probabilidad de que u cliete tega que eperar má de miuto e muy pequeña. Ejemplo: La CIA de traporte Maíz-Trigo carga barco co trigo arroz, maíz y otro grao, para er eviado a altamar. La compañía o e propietaria de lo barco que carga, ya que ólo e ecarga de cargar lo grao a lo barco iempre que alguo llegue para olicitarlo. No exite u caledario fijo para la llegada de lo barco porque la llegada difiere de acuerdo a lo coto de lo grao, codicioe iteracioale etc. or eto e aume que lo barco llega aleatoriamete, a ua taa promedio de uo por día. Debido a la retricció e la capacidad y a la cofiguració de la carga, la compañía o puede aegurar exactamete cuato tiempo llevara cargar u barco. Eta retricció igifica que mietra el barco eté eperado y mietra eté iedo cargado la tripulació del barco eta ocioa. Ya que la gaacia del propietario del barco depede del tiempo que el barco pae e el muelle (itema) y ademá de que la compañía vede grao debido al exceo del mimo, la compañía ha acordado pagar a cada propietario de barco $ /día que el barco pae e el itema (e epera de carga o iedo cargado). Ete pago e para compear al propietario del barco por la pérdida de gaacia mietra el barco eta iedo cargado e el muelle de la compañía. De acuerdo a lo archivo u equipo de carga de 3 hombre puede cargar a razó de ¼ de barco/día. Lo equipo puede trabajar juto i iterferecia etre lo equipo, tal que la reultate taa de carga e: Barco cargado/día (um. de equipo)(/4 barco/día/equipo), e deea determiar cuato equipo o eceario para cargar lo barco tal que el coto total ea miimizado. Coto total Σ pago/día + pago a lo equipo de carga Lo trabajadore por equipo cueta a la compañía $/trab/hr (8 hora/día) por jorada. ea M No. De equipo, y el Coto Total 4M + L Como y M( 4) y como : < etoce 4 < ; < ; ai M > 5 M M 4 Numero De Equipo M(/4) /M(/4)< 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4 /4 etoce 4/5 4/6 4/7 4/8 4/9 4/ M > 4 o /5 /3 3/7 / 5/9 6/ L 4 4/3 4/5 /3 Lq 6/5 4/3 6/ / 6/45 4/5 w 4 4/3 4/5 /3 wq 6/5 4/3 6/ / 6/45 4/5 Coto de empleado Coto de epera Coto total

23 La compañía miimizará coto utilizado 8 equipo. Ejemplo: upógae el cao e que la compañía Maíz y Trigo, tiee la oportuidad de retar ua italació de ervicio adicioal (muelle) a u coto de $5/dia. Eta italació tiee la mima caracterítica que la italació de la compañía y la eficiecia de lo empleado erá la mima. La compañía deea determiar i eria ma barato retar la italació o permaecer úicamete co la propia. m < ; < ; 4 m < ; debe er mayor a, m ( ¼ ) Coto total coto de empleado + pago a barco + pago reta; CT (m)(4) + L + 5 No. De equipo por italació Numero de Equipo por italació η 3/4 5/4 6/4 4/3 ½ /5 /6 o (it. Ocupado) Lq L Wq W Coto de empleado ago de barco ago reta Coto total El coto meor para italacioe e de $3753 y utiliza 4 equipo/italació. Ete coto e mayor que el de utilizar ua italació $3753 > $9 Etoce o e coveiete retar otra italació. MODELO DE FUENTE FINITA Modelo de fuete fiita para u ervidor E ete modelo e coidera que el tamaño de la població e fiito, por ejemplo; e el cao del ervicio a u grupo de maquia de ua fabrica. Deotamo a M como el umero de uidade e la població (tamaño de la població). Lo reultado iguiete o para el etado etacioario, co tiempo de llegada oio y tiempo de ervicio expoecial para u ervidor.! M M ( M )! M!,,3... ( M )!

24 + Lq M ( ) M ( + )( ) L M ( ) M ( ) Lq ( po) + Lamda Efectiva ( M L ) eff Modelo de fuete fiita para ervidore Ete modelo e tambié coocido como MODELO DE ERVICIO ARA MAQUINARIA. Ete itema tiee u total de N maquiaria y e le da ervicio co mecáico ( M ) co tiempo de llegada oio y tiempo de ervicio expoecial. M M M! + +! L M eff Lq + eff ( M ) M M o!! M o < M dode Lq ( ) eff ( M j) j ( M L) L M para calcular W y W q M j e el umero eperado de ervidore ocioo La medida W y W q e puede derivar del L uado la fórmula obteida ateriormete. W L / eff, W q L q / eff dode eff (M-L) Ejemplo: Diez maquia etá iedo atedida por ua grúa aérea: Cuado ua maquia termia u carga, la grúa e llamada para decargar la maquia y para italarle ua ueva carga de ua aérea adyacete de almaceamieto. El tiempo maquia de carga e aume er Expoecial co ua media de 3 miuto. El tiempo dede el mometo que la grúa e mueve a ervir a la maquia hata que la ueva carga e italada e tambié Expoecial co media de miuto. a) Ecuetre el porcetaje del tiempo que la grúa eta ocioa. b) Cuál e el úmero eperado de maquia e epera del ervicio de la grúa? a).- 6/3; 6/6; % tiempo que la grúa eta ocioa o ()(.8).8%

25 b).- Lq M + ( ) + (. 8) !!!! 3! ( ) o (.33) (.33)... (.33).8 ( )! ! 8! 7!! Wq., W.68 L L q 6 eff (M-L)(-7)6, WL/ eff 7/6.67, WcLc/ eff 6/6 Ejemplo: mecáico etá atediedo 5 maquia e u taller. Cada maquia e decompoe de acuerdo a ua ditribució oio co ua media de 3 por hora. El tiempo de reparació por maquia e expoecial co media de 5 miuto. a).- Ecuetre la probabilidad de que lo mecáico eté ocioo. Que u mecáico ete ocioo. b).- Cual e el umero eperado de maquia ocioa que o etá iedo ervida? 3/4.75 a).- o 5!!! ( 5 ) ( 75. ) 5 5! ( 75. ) 3 ( 5 )!! ( 75) (. )! (. )(. ) 4!!. { mecáico ocioo} o.435 { mecáico ocioo} o. 644 b).- Lq 5 5 Lq 3 ( ) ( ) + (3 ) 3 + (4 ) 4 + (5 ) 5 ( ) ! (.75) 5 4! (.75) ! 4! 5 5 5! (.75) !

26 5 Lq ( ) (.74) + (.43) + 3(.766) M ( M ) 5o o eff LLq+ eff.9+7/4.66 WqLq/ eff.9/4.98 WL/ eff.66/7.38 MODELO DE COLA FINITA Reultado e el etado etacioario para u ervidor Co tiempo de llegada oio y tiempo de ervicio expoecial, o e permite que la cola exceda de u úmero M de cliete y todo lo cliete que llega mietra la cola etá llea ale y o vuelve. (Capacidad total del cliete e el itema; lo que etá iedo atedido má lo que etá eperado er atedido) i,,,... M i M ara u modelo M/M//GD/M/, el etado etacioario exitirá aú í. Eto e debe a que i, la capacidad fiita del itema previee que el umero de cliete e el itema crezca ifiitamete. ara M + ; dode ; para,,,3.., M M + M + ( M + ) M L ; cuado ; Lq L ( ) M + ; para M+, M+,+.. Eto reultado o valido para < ; i tiede a lo reultado coicide co el origial.

27 L M M + { ( M + ) + M } M + ( )( ) L M, cuado M Número de arribo por uidad de tiempo que ecuetra el itema ocupado y e va y o etra eff (- M ) Numero de arribo promedio por uidad de tiempo que actualmete etra al itema ) ( ) eff ( M eff M eff ( M Dode ) + y eff e el umero de ervidore eff eff ocioo, y eff L Lq Lq L La medida de Lc, W y Wq e puede derivar del L uado la fórmula obteida ateriormete. M W L / eff, W q L q / eff Reultado e el etado etacioario para ervidore (>) Eto o ua exteió directa del modelo de u ervidor co lo iguiete parámetro. i M N i i M i M + ( ( ) ) + para..!!( ) ( ).. M + + para!! i,,...,! i M! i M i y M etoce Lc

28 L α i M > ( ) etoce ( ) ( )( ) ( )! para / M M Lq M Lq ( M )( M + )! para / eff L Lq + ( eff ) Lq + L + Lq + ; L w eff y Lq wq eff Ejemplo: e etá haciedo plae para abrir ua pequeña etació para lavar automóvile y debe decidire cuáto epacio dejar para lo automóvile que epera. e etima que lo cliete llegaría aleatoriamete (e decir, de acuerdo co u proceo de etrada oio ) co ua taa media de uo cada 4 miuto, a meo que el área de epera ete llea, e cuyo cao el cliete e llevaría u automóvil a otra parte. El tiempo que puede atribuire al lavado de u automóvil tiee ua ditribució Expoecial co ua media de 3 miuto. Compáree la fracció eperada de cliete poteciale que e perdería, debido a u epacio de epera iadecuado, i e tuviera a) cero, b) do, o c) cuatro epacio ( i icluir el del automóvil que e etá lavado). 5 c/hora; c/hora; ; 75. a).- M (Cero epacio) 75. o o fraccio decliete poteciale quee pierde ( ) 4.86% de lo cliete e pierde. b).- M3 (Do epacio ) 75. o ( )

29 p.75 4 (.75) ( )( ) (.75) o o % de lo cliete e pierde c).- M5 (Cuatro epacio).75 o.3483 (.75) (.34)(.75).896 (.34)(.565).77 3 (.34)(.48) (.34)(.364) % de lo cliete e pierde.7

30 Ejemplo Ejemplo: Ua ucural bacaria tiee do caja igualmete eficiete, capace de ateder u promedio de 6 operacioe por hora co tiempo reale de ervicio que e oberva expoeciale. Lo cliete llega co ua taa de por hora. Determiar: a) robabilidad de que haya má de 3 uuario imultáeamete e el baco. b) robabilidad de que alguo de lo cajero eté ocioo. c) robabilidad de que u cliete permaezca má de 3 miuto e la cola. Teemo u itema co uuario por hora, 6 ervicio por hora y. Como e verifica que <, podemo afirmar que el itema e etacioario. Etoce, la probabilidad de que haya má de tre uuario e: dode abemo que: ( ) > 3 3 de forma que: + +! +!! ! ! !! 4 6 ( ) > La probabilidad de que uo de lo cajero eté ocioo e: ( ) < La fució de ditribució del tiempo de epera e cola e

31 i t < FT () t ( T ) q q t i t! ( ) t e + FT () i t > q (! ) ( ) dode deberemo exprear la taa de llegada y la de ervicio e uidade por miuto: uuario por miuto uuario por miuto or tato, la probabilidad de que u cliete permaezca má de tre miuto e la cola e: dode 3( ) e T ( q > 3) T ( q 3) + FT () q (! ) ( ) F Tq y etoce, la probabilidad pedida e: 6 ().99.45! 6 T ( > 3) 6 ( ) [ e ]

32 Ejemplo: Ua oficia etatal de traporte tiee 3 equipo de ivetigació de eguridad vial cuyo trabajo coite e aalizar la codicioe de la carretera cuado e produce u accidete mortal. Lo equipo o igualmete eficiete y cada uo detia u promedio de día a ivetigar y realizar el iforme correpodiete e cada cao, co u tiempo real aparetemete expoecial. El úmero de accidete mortale e carretera igue ua ditribució de oio co taa media de 3 accidete por año. Determíee: a) Número medio de accidete cuya ivetigació o ha comezado. b) Tiempo medio dede que e produce u accidete hata que e empieza a ivetigar. c) Tiempo medio dede que e produce u accidete hata que fializa la ivetigació. d) Número medio de accidete cuya ivetigació aú o ha termiado. Etamo ate u itema de cola co taa de llegada 3 accidete por año o, lo que e lo mimo, 8. accidete por día, co taa de ervicio 5. ivetigacioe por día y co C 3 caale de ervicio. El úmero medio de accidete cuya ivetigació aú o ha comezado e el úmero medio de uuario e cola: dode Lq.9555 ( )!( ) (.5.8) +!! Aí pue, el úmero de accidete cuya ivetigació aú o ha comezado e: Lq El tiempo medio dede que e produce u accidete hata que e empieza a ivetigar e el tiempo medio de epera: W q Lq dia 8.

33 El tiempo medio dede que e produce el accidete hata que fializa la ivetigació e el tiempo medio de permaecia e el itema: W + W q. 455 dia or otra parte, el úmero medio de accidete cuya ivetigació aú o ha fializado e el úmero medio de uuario e el itema: L W Ejemplo: Ua clíica caia tiee 3 veteriario para vacuar perro. El úmero de perro que llega a la clíica igue ua ditribució de oio co ua taa media de por hora. El tiempo medio empleado e vacuar a cada perro e de miuto. Determiar: a) orcetaje de tiempo co la ala de vacuació vacía. b) Tiempo medio de epera. c) Tiempo medio de permaecia de lo perro e la clíica. d) Número medio de perro e la clíica. e) robabilidad de que u perro epere má de miuto para er vacuado. Etamo ate u itema de cola co ua taa de llegada de uuario por hora, ua taa de ervicio de 3 ervicio por hora y co 3 caale de ervicio. Como e cumple que < podemo afirmar que el itema e etacioario. El porcetaje de tiempo co la ala de vacuació vacía e: +!! E decir, el porcetaje de tiempo co la cola vacía e: 67. %

34 El tiempo medio de epera e: W q Lq dode Lq (! ) ( ) ( 9) 3 luego el tiempo medio de epera erá de: 4 W q 6. hora. 386 egudo El tiempo medio de permaecia e la clíica e: 4 W + W q hora. 64 miuto 3 El úmero medio de perro e la clíica e: 4 L W Y, por último, la probabilidad de que u perro epere má de miuto e: T > T ( > 667. ) T ( < 667. ) 6.667( ) e T ( T.667) ( T.667) > > < + FT () q 6 ( )!( ) dode e eceario exprear la taa de llegada y de ervicio e uidade por miuto: Etoce: perro por miuto 5. perro por miuto

35 () !.5 q T F y, etoce, la probabilidad de que u perro epere má de miuto e: ( ) [ ] ( ) T e > Ejemplo: E u taller cabe cuatro máquia que o reparada por do mecáico. La máquia llega al taller como promedio ua vez cada tre hora y el tiempo medio de reparació e de 45 miuto. Cuál e el úmero medio de máquia etropeada e el taller? E evidete que e trata de u itema co K e igue verificado que, como.5 < el itema e etacioario teemo:!! K

36 ! ! ! Etoce, el úmero medio de máquia etropeada e el taller e: [ ] 4 L E Formulario de Teoría de Cola Variable Caal imple Caal Múltiple Iteidad de tráfico orcetaje del tiempo que el ervidor eta ocioo robabilidad de ( ) que haya ara <! cliete e el itema ara > ( )! Numero L eperado de ( ) cliete e el itema L + i (! ) ( ) L ( itema Ocupado)* + - Numero eperado de L cliete e la ( ) L q i (! ) ( ) cola Lq ( itema Ocupado)* -

37 Tiempo promedio que paa u cliete e el itema Tiempo promedio que u cliete paa e la cola robabilidad de que haya cero cliete e el itema robabilidad d que u cliete tega que eperar e la cola ma de t miuto robabilidad d que u cliete tega que eperar e el itema ma de t miuto L W W L q q ( ) L q W W W i! ( ) + (! ) ( ) (! ) ( ) q L (! ) ( ) W q i! ( ) +!! +!! { } ( ) t Wq> t e { } ( ) t W> t e { t} Wq> ( )! ( ) ( ) o t e t o e ( t) W { > t} e +! ( )

38 ( itema Ocupado) * ( ) i! - ( ) ( itema Ocupado)! ( ) ( ) i Tabla de Valore de o dado /µ y el umero de ervidore Modelo M/M/ Numero de ervidore /µ

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41 Ejercicio.-Utilizado la otació de kedall, decriba cada ua de la iguiete ituacioe de líea de epera: A) Etudiate que llega al azar para utilizar ua maquia copiadora y cada etudiate hace ua ola copia. R. M/D/ B) Botella que ale de ua líea de eamble a ua taa cotate para ipecció, el tiempo de ipecció e de duració aleatoria y hay cuatro ipectore. R. M/D/4 C) Etudiate que llega al azar a ua oficia de regitro previo para el trimetre de otoño. El tiempo de regitro e de duració aleatoria y exite u aeor dipoible para el regitro. R. M/M/.- ara uar ua maquia cajera automática de u baco, llega cliete al azar a ua taa de 5 por hora. Repoda la iguiete preguta A) Cual e la probabilidad de que llegue ma de tre cliete a olicitar ervicio durate u período de ua hora?. B) Cual e la probabilidad de que igú cliete olicite ervicio durate ua hora? C) De tre? 3.- upoiedo que la maquia cajera maeja requiicioe de ervicio e forma aleatoria a ua taa promedio de cliete por hora, repoda la iguiete preguta. /hora (t>t) e -t A) Cual e la duració promedio del tiempo de ervicio al cliete?. B) Cual e la probabilidad de que e requiera que u cliete epere ma de miuto para er atedido?. C) A que porcetaje de lo cliete e le atederá e meo de 3 miuto?. 4.- upoga que para la maquia cajera automática de lo do problema ateriore, lo cliete llega al azar y el tiempo eceario para dar ervicio a u cliete e tambié aleatorio, upoga ademá que la taa de llegada e de 5 por hora y la taa de ervicio e de por hora, repoda la iguiete preguta: 5/HORA /HORA / / A) Cual e la probabilidad de que a u cliete e le atieda de imediato, a u llegada, e la cajera automática?. B) Cual e el promedio de tiempo que u cliete ivierte co la cajera automática (tato e epera del ervicio como recibiédolo?). C) Trace la gráfica de co repecto a, e dode umero de cliete e el itema, marque la gráfica el valor eperado de. D) E promedio, cuato cliete e ecuetra eperado e la líea para que la cajera automática lo atieda. 5.- Comete i cada ua de la iguiete ituacioe de líea de epera e ajuta a la coideracioe del modelo M/M/ o M/M/.

42 A) U retaurate de comida itatáea co múltiple poicioe de ervicio. La poicioe e abre coforme e eceario. B) U retaurate de comida itatáea co ua ola fila de ervicio, por la cual debe paar todo lo cliete para hacer y recibir u pedido (de diferete volume y complejidad). C) E u baco, la vetailla para automovilita. D) Ua italació para lavado de automóvile co ua ola fila que coduce a italacioe múltiple de lavado. E) E ua tieda de abarrote grade e u poblado uiveritario y que tiee múltiple caja de alida. 6.- La líea rápida del upermercado EL TRUEQUE atiede olo cliete co artículo o meo, y como reultado, e mucho má veloz para eto cliete que la fila ormale. El gerete, Bor Acho, a etudiado eta fila y a determiado que lo cliete llega a ua taa aleatoria de por hora y que, e promedio, el tiempo de ervicio para u cliete e de u miuto. upoiedo que la taa de ervicio tambié e aleatoria, repoda la iguiete preguta. A) Cuale o y para la caja rápida? B) E promedio, a cuato cliete e eta atediedo o etá eperado? C) E promedio, cuato debe de eperar u cliete ate de poder retirare? 7.- E el motrador de libro de la pricipal biblioteca de la uiveridad de Huicholadia llega etudiate al azar (lo colore de la ecuela o egro y azul). E el motrador de alida debe de abrir cualquier bola, portafolio, etc., que traiga para que el depediete verifique i o hay robo de libro, revita, o documeto. El tiempo que e requiere para hacer eta verificació e de duració aleatoria debido al diferete úmero de libro y bola que lo etudiate lleva. e ha determiado que la taa promedio de llegada e de etudiate por hora y que el tiempo promedio para realizar la reviió de la bola e de u miuto. A) Que valore tiee y para ete problema? B) Cual e el factor de utilizació? C) Que tiempo le llevara a u etudiate e promedio paar por la reviió de bola?. D) E promedio, cuato etudiate e ecuetra eperado e la fila e cualquier mometo? E) Durate que fracció de tiempo etará libre el empleado que revia la bola para poder dedicare a etudiar? 8.- El auto ciema Lo Arroyo tiee tre taquilla, cada ua de la cuale atiede ua fila de cliete. Lo automóvile llega al auto ciema a ua taa total de 9 automóvile por hora y cada taquilla puede ateder 4 automóvile por hora. Tato la llegada como lo ervicio o por completo aleatorio. Co bae a eta iformació repoda la iguiete reguta: A) Que tipo de iformació de líea de epera e eta?. (ea precio) B) Cual e la probabilidad de que, i coideramo ua ola de la taquilla, e ecuetre deocupada?; cual e la probabilidad de que ete atediedo a tre automóvile o haya tre automóvile eperado e la fila?

43 C) Cual e el úmero promedio de automóvile e el itema de líea de epera de cada ua de la taquilla (eperado y iedo atedido)? D) Cual e el tiempo promedio de que u automóvil epera ate de llegar a la taquilla?. E) i el auto ciema decide utilizar ua ola fila para la veta de todo lo boleto e la tre taquilla que caracterítica de operació eperaría uted que cambiara ma y porque? 9.- El cetro de reparació de computadora TV Tec, maeja la reparació de la microcomputadora que vede TV Tec. U problema comú de reparació e la alimetació de uidade de dico. Al llegar la microcomputadora al cetro de reparació e aiga e forma rotatoria a alguo de lo tre técico que para que haga la alieació. or razoe de cotrol de calidad, ua vez que e aiga ua microcomputadora a u técico o e aiga a otro. upoiedo que la taa de llegada y ervicio o aleatoria y de 3 por me y do por día cada técico ( día hábile por me), repoda la iguiete preguta:, 4 A) Cual erá el tiempo promedio para que ua microcomputadora permaezca e el cetro de ervicio? B) E promedio, e cualquier mometo cuata micro etará eperado a cada técico para que le de ervicio? C) Como repodería uted a la preguta ateriore i ua de la microcomputadora que llega paara al primer técico dipoible para que le diera ervicio, e ve de que e aigara e forma rotatoria?.- La compañía arredadora de automóvile MANEJALO opera u propia italació de lavado y limpieza de automóvile para prepararlo para u reta. Lo automóvile llega a la italació de limpieza e forma aleatoria a ua taa de 5 por día. La compañía ha determiado que lo automóvile puede limpiare a u ritmo de por día, e dode e el úmero de peroa que trabaja e u automóvil por ejemplo, i e ecuetra cuatro peroa trabajado la taa de lavado e de 8 automóvile por día. e ha determiado que ete procedimieto de lavado e ajuta a la ditribució expoecial egativa. La compañía le paga a u trabajadore $3 por día y ha determiado que el coto por u automóvil que o ete dipoible para retarlo e de $5 por día. A) Calcule el úmero de empleado que debe ecotrare e la ititució de lavado, para que produzca el meor coto. B) Calcule la caracterítica de operació l. lq, w. wq para el umero de empleado que eligió. COTO TOTAL coto del carro + coto de empleado 3 + 5L

44 Ivetigació de Operacioe II Teoría de Cola.- La compañía de peca Charal.A. utiliza u propio bote camaroero para pecar y depué lo empaca para eviarlo a otra parte cuado otro bote llega durate la temporada, hay que decargarlo ta rápido como ea poible para que pueda volver al mar. El gerete de producció de la compañía. Etima que el coto de que u bote camaroero permaezca deteido e de $5 por hora (eto icluye lo alario al igual que el tiempo de peca) lo trabajadore que decarga lo bote gaa $8 por hora ya ea que eté trabajado o o. i el patró de llegada para lo bote e aleatorio y el tiempo de decarga tambié lo e. Cual e el úmero de trabajadore que la compañía Debe utilizar para decargar lo bote y que produzca el meor coto total? Lo bote llega a ua taa promedio de uo por hora y cada trabajador puede decargar medio bote por hora. por hora cada trabajador / hora * () /3 Coto por barco parado $5 la hora COTO TOTAL coto del barco + coto de empleado 8 + 5L.- E u etudio de u expedio local de veta de hamburguea coocido como WetBack Burger. Lo etudiate del Tec hace la iguiete obervacioe; parece que lo cliete llega a al azar; todo lo cliete e coloca e ua ola fila para hacer y recibir u pedido; debido a diferecia e el volume y la complejidad e lo pedido; la duració del tiempo para ateder a cada cliete e aleatorio. Depué, lo etudiate recopilaro dato obre tiempo de llegada y de ervicio. e obervaro la llegada para período de ua hora y e aotaro lo úmero de llegada durate cada período de miuto durate la hora lo reultado de ete cetro o: INTERVALO LLEGADA ara u muetreo aleatorio de la llegada ateriore, lo tiempo de ervicio (e egudo) fuero: M.C. Hector Martíez Rubi Celi 44

45 Ivetigació de Operacioe II Teoría de Cola upoiedo que eto tiempo de llegada y de ervicio e ajuta de verdad a la ditribucioe de probabilidad de oio y Expoecial egativa: A) Calcule la taa de promedio de llegada y la taa de ervicio. B) Determie la iguiete caracterítica de operació: o,l,lq,w.wq. L,Lq,W, y Wq para 5, 8, 3.- El padre Creecio utiliza e la actualidad do cofeioario co fila para ateder la eceidade de u feligree. e ha obervado que la llegada o aleatoria a u ritmo promedio de 3 peroa por hora y el tiempo de ervicio tiede a er aleatorio tambié, pueto que la catidad de pecado por peroa puede diferir e gra medida, e ha determiado que el tiempo promedio que e permaece e el cofeioario e de 3 miuto. e ha obteido tambié que la llegada e ditribuya e forma equitativa etre la do líea. El padre Creecio eta coiderado cambiar a u itema e el que e utilice ua ola fila que alimete ambo cofeioario. El padre deea aber que itema (el actual o el propueto) coducirá al tiempo promedio má breve e el itema para u feligree. A) itema actual CANAL IMLE M/M/ co líea e paralelo B) itema propueto M/M/ Caal múltiple 4.- La compañía Arredadora Maejalo e eta coiderado añadir u taller de lavado para icremetar u egocio. La ueva taa de llegada e de 8 automóvile por día, e tato que la taa de lavado para cada taller erá de, e dode E e úmero de peroa que trabaja e u auto y e ha determiado que el coto adicioal de la ueva italacioe e $5 diario. A) Bajo eta codicioe, determiae i la compañía debe añadir ua italació adicioal o o. B) Calcule la caracterítica de operació que determie uted que tiee el meor coto. 5.- Acaba de urgir ua ueva oportuidad para la compañía de peca Charal ya que puede retar u muelle adyacete e $ la hora para decargar lo barco durate la temporada fuerte de peca. Determie i eria redituable que la compañía rete ee epacio adicioal de muelle. uede uted upoer que todo lo demá valore igue iedo lo mimo que e el problema origial. 6.- Ua oficia de admiioe de cierta pretigiada Uiveridad procea olicitude de admiió e la bae E. Eta olicitude llega aleatoriamete a ua taa de 5 por día. La ditribució de probabilidad de lo tiempo de ervicio e tal que la deviació etádar e de / de día y la media e de /9 de día: Cual e el tiempo promedio que ua olicitud epera para er proceada? E promedio, cuata olicitude epera er proceada e cualquier mometo? 7.- El Baco Nacioal de Hucholadia eta plaeado italar u variedad epecial de cajero automático e la librería de ua uiveridad local. Ete cajero automático erá epecial porque permitirá olo hacer retiro. ueto que el cajero olo permitirá retiro etra u tiempo de ervicio de 6 eg. i la llegada o aleatoria y a razó de 3 por hora, cual erá el tiempo promedio que u etudiate paara e la fila y haciedo u retiro?, e promedio, cuato etudiate etará e epera de hacer retiro? M.C. Hector Martíez Rubi Celi 45