Medidas de dispersión

Transcripción

1 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Medida de diperió por Oliverio Ramírez La medida de tedecia cetral aalizada e la ituació aterior, dirige u iteré al comportamieto de lo dato e relació a u valor cetral pero e olvida de la forma e la que lo dato varía o e dipera. La medida de diperió e ecarga de etudiar el comportamieto de todo lo dato y cómo e ditribuye alrededor de u valor cetral, la media aritmética. Detro de la medida de diperió e ecuetra: el rago, la deviació media, la deviació etádar y la variaza. Oberva a qué e refiere. Rago E Leó, Guaajuato, ua familia de fabricate de calzado e dedica a producir excluivamete zapato para adulto. La talla (logitud del pie e cetímetro) que maeja e zapato para mujer o la iguiete: Talla (e cetímetro) Tabla. Talla de Zapato. Dato Ficticio. Ramírez 009 De eta lita de talla de calzado, cuál e la talla meor?, cuál e la talla mayor? Al obervar la tabla te podrá percatar que la talla meor que maeja eta familia de fabricate de calzado e.5 y la talla mayor e 7. A partir de eta iformació e puede decir que la variació e la talla de lo zapato, dede la talla meor hata la talla mayor e: UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

2 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 A la variació o diferecia etre el dato mayor y el dato meor de u cojuto de dato u obervacioe e le llama Rago. Como puede ver, co ólo idetificar el valor mayor y el meor, e poible calcular el rago. El Rago e defie como: La diferecia etre lo dato mayor y meor del cojuto. (Karmier, 006:57) Oberva otro ejemplo La iguiete ditribució de frecuecia co itervalo muetra iformació acerca de peroa que acude a u club deportivo e ua ciudad froteriza de acuerdo a u edade. Itervalo de Edade Número de peroa f Tabla. Tabla de itervalo de clae. Ramírez 009. De eta tabla e aprecia que el valor mayor e 76, el meor e 4, por lo que el rago e: Rago e decir, la diferecia de edade de la peroa que acude al club deportivo e máximo de 34 año. UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

3 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Ejemplo: Uo de lo problema que aqueja a la juvetud e el coumo de droga o alcohol a tempraa edad. E ua comuidad co ua població o mayor a 3000 habitate e realizó ua ecueta a 85 habitate y e le pegutó a lo ecuetado i coumía alcohol. Para el aálii de lo dato, lo ecuetado fuero agrupado por edade; el reultado de la ecueta e preeta a cotiuació: Edade Peroa que coume alcohol Tabla 3. Tabla de itervalo de peroa que coume alcohol. Dato ficticio. Ramírez 009 Cuál e rago de edade que e coideró para la ecueta?. Deviació media Como vite, el rago ólo coidera do dato: el dato mayor y el dato meor. Si embargo, e coveiete cotar co otra medida de diperió de lo dato repecto a la media e la que e tome e cueta toda la obervacioe. 3 UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

4 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 La deviació media e el promedio de la ditacia (o diferecia) etre toda la obervacioe y la media aritmética. Se ua para medir la variabilidad de u cojuto de dato y e calcula mediate la iguiete ecuació: Para ua muetra: Para ua població: (Kazmier, 006:59) D. M D. M X X X µ N Ejemplo: Se tiee el cojuto 5, 0, 5, 0 5, 30, 35, cuya X 0 X X X X N 7 X X D. M e el promedio de la diferecia de lo dato co repecte a la media aritmética. Ua deviació media meor a 8.57 (por ejemplo el dato 5, cuya diferecia co la media e 5) o idicaría que lo dato e ecuetra má cercao a u media aritmética. Si la deviació media fuera cero (como el dato 0) igificaría que toda la obervacioe o idética a la media aritmética. La deviació media obteido idica que lo dato de la variable e epara 8.57 e promedio de la media aritmética. Eta medida de diperió cada vez e utiliza meo, pero aú puede ayudar a compreder el igificado de la iguiete medida de diperió: la variaza y la deviació etádar. 4 UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

5 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Variaza La variaza muetral puede coiderare como el promedio de lo cuadrado de la diferecia etra cada dato y la media aritmética del cojuto. La variaza e repreeta co el ímbolo. (Kazmier, 006:60) Matemáticamete: ( x x) + ( x x) + ( x x) + + ( x x) 3 Si uamo la otació de umatoria, la variaza e calcula co: i ( x x) i La variaza poblacioal e repreeta co el ímbolo σ σ y u expreió matemática e ( x µ ) + ( x µ ) + ( x µ ) + + ( x ) 3 µ N E forma abreviada queda: σ i ( x µ ) i N Coidera otro etudiate UVEG. Fabiola, quie etudia co Lui, obtuvo e el mimo cuatrimetre la iguiete calificacioe: 9., 8.3, 7.6, 8.9 y 7.5. Cuál e la variaza de la calificacioe de Mercede? Primero debe calcular la media aritmética: x ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

6 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 E ete cao la variaza de la calificacioe de Fabiola e uidade cuadrada. Qué igificado tiee? Si habláramo de kilogramo, la variaza etaría e kilogramo cuadrado? Lo aterior e cierto: ua devetaja de la variaza e que e trata de u etadítico cuya uidade e ecuetra elevada al cuadrado. Para olucioar ete icoveiete e recurre a la deviació etádar, que e implemete la raíz cuadrada de la variaza por lo que la uidade de eta medida de diperió o etá elevada al cuadrado. La deviació etádar La deviació etádar e la medida de diperió má frecuete por er la má práctica. (Kazmier 006:60) Podemo defiirla, dado que ya coocemo la variaza, como la raíz cuadrada de la variaza, eto e, la deviació etádar muetral e: i ( x x) i De la mima forma, la deviació etádar poblacioal e: σ σ σ i ( x µ ) i N La deviació etádar, por defiició, e la raíz cuadrada de la variaza de tal maera que i e cooce éta, para calcular la deviació, implemete e le extrae raíz a la variaza. Ejemplo: Volvamo al cao de Fabiola, quie obtuvo u promedio de calificacioe de 8.3 co ua variaza de La deviació etádar de la calificacioe de Fabiola e: UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

7 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 E decir, la calificacioe de Fabiola varía e promedio puto. Ejemplo: Arturo e u agricultor que coecha adía, peó 6 adía y u reultado fuero: 4.5, 5., 4.8, 6., 5.8 y 6.3 kilogramo. Cuál e la variaza y la deviació etádar de lo peo de la adía de Arturo? Lo primero que debe calcular e la media aritmética: Luego la variaza: x ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Nuevamete para calcular la deviació etádar ólo calculamo la raíz cuadrada de la variaza Tato la variaza como la deviació etádar, mide la forma e que e dipera lo dato alrededor de la media aritmética. Si embargo, ua de la devetaja de la variaza e que u reultado o uidade al cuadrado. E el cao de Arturo, la variaza fue 0.53 kilogramo al cuadrado. La deviació etádar e cambio fue 0.78 kilogramo, que tiee má etido e el cao de la adía. Ejemplo: Rafael pretede veder algua cabeza de gaado por lo que decidió pear 5 de ella. Lo peo de 5 aimale regitrado por Rafael e kilogramo fuero: 385, 396, 405, 398, 45. Cuál e el peo promedio de lo 5 aimale?, cuál e la deviació etádar de lo peo de lo 5 aimale? La media aritmética e x Kilogramo. 5 7 UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

8 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 La variaza e calcula mediate: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) La deviació etádar por tato e: Depué de termiar lo cálculo, eta lito para repoder la preguta que e formularo e u pricipio: Cuál e el peo promedio de lo 5 aimale? El peo promedio fue de kilogramo Cuál e la deviació etádar de lo peo de lo 5 aimale? La deviació etádar e Otra implicació importate de la deviació etádar e el hecho de que la mayoría de lo dato e ecuetra e u itervalo de x ±, eto idica que la mayor parte de lo peo de lo aimale e ecuetra etre y De hecho, 3 de lo 5 peo de lo aimale e ecuetra e ete rago: 396, 405 y 398. Variaza y deviació etádar de ua ditribució de frecuecia Recuerda el cambio que ufrió la fórmula de la media aritmética de dato o ordeado cuado e utilizó para dato orgaizado e ditribucioe de frecuecia? x x x f x De la mima maera, la fórmula de la deviació media, la variaza y la deviació etádar e verá afectada por la frecuecia aboluta (f). 8 UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

9 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Media aritmética Deviació media Variaza Deviació etádar Para dato o agrupado x x X X D. M Para ditribucioe de frecuecia f x x f i i D. M X X ( xi x) f ( xi x) i ( xi x) f ( xi x) Tabla 4. Fórmula de Medida de Diperió. Ramírez 009 i Ejemplo: A partir de lo dato de la iguiete tabla, calcula la deviació media, la variaza y la deviació etádar e ua ditribució de frecuecia co itervalo. Valor medio Frecuecia Clae X f Tabla 5. Tabla de ditribució. Ramírez 009 Para calcular x e eceario geerar la columa cojuto de dato ya la ha reuelto e págia ateriore. X fx f x. Si embargo, la media aritmética de ete Para ecotrar la variaza e coveiete calcular la columa ( x ) i x y luego implemete umarla. 9 UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

10 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Todo eto cálculo puede llevare a cabo e Excel para facilitarlo y evitar errore. Valor Frecuecia medio Clae f x ( x) f x i x x i ( ) Tabla 6. Tabla de ditribució para calcular la Variaza Uo frecuete de la deviació etádar Teorema de Chebyhev Ete teorema fue formulado por el matemático ruo Pafuty Ivóvich Chebyhev. El Teorema de Chebyhev etablece que para cualquier cojuto de dato, al meo % k de la obervacioe e ecuetra detro de k deviacioe etádar, e dode k e cualquier úmero mayor que. Si coideramo deviacioe etádar teemo, (Levi, 998:3) 0.75% 0 UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

11 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Que igifica ete reultado?, para el cao de Arturo, el agricultor que coecha adía, la media aritmética fue X co ua deviació etádar de Lo límite del itervalo erá: X + (0.78) X (0.78) E decir, El 75% de lo peo de la adía coechada por Arturo etará e el itervalo: [ ] Coeficiete de variació Auque la deviació etádar e ua medida de diperió batate útil, ua de u limitate e que cuado e trabaja co do o má ditribucioe de dato co media ditita la cocluioe e toro a la diperió puede o er cierta. Para eto cao e prefiere uar el coeficiete de variació. El coeficiete de variació e defie como la relació etre la deviació etádar y la media aritmética y e etablece como porcetaje. (Levi, 998:4) CV x 00% El coeficiete de variació para el cao de lo peo de la adía de Arturo, tomado e cueta que x 5.45 y 0. 78, ería etoce: CV % 3.36% 5.45 Por otra parte, la media del peo de la cocha del paadero fue X y la deviació etádar (o calculada e el ejercicio) de El coeficiete de variació de la cocha e etoce: CV % 5.4% UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.

12 MB000_MAA4L_Diperió Verió: Septiembre 0 Al comparar lo coeficiete de variació ateriore e poible determiar que la variabilidad del peo de la cocha fue mayor que la variabilidad del peo de la adía. Nota que el peo de la adía etá dado e kilogramo y el peo de la cocha e gramo y eto o fue impedimeto para que e llevara a cabo la comparació. Má adelate e el curo e aaliza la ditribució de probabilidad ormal, que e otra aplicació importate de la deviació etádar. Ahora que ha termiado de reviar el coteido de la actividad de apredizaje 4 Medida de Diperió, e hora de que realice la iguiete actividad co el propóito de evaluar tu apredizaje. Referecia Levi, R Etadítica para admiitradore. da. Edició. Pretice Hall:México. UVEG. Derecho reervado. Eta obra o puede er reproducida, modificada, ditribuida, i tramitida, parcial o totalmete, mediate cualquier medio, método o itema impreo, electróico, magético, icluyedo el fotocopiado, la fotografía, la grabació o u itema de recuperació de la iformació, i la autorizació por ecrito de la Uiveridad Virtual del Etado de Guaajuato.