05/04/2011 Diana Cobos

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1 Diana Cobo a cola on frecuente en nuetra vida cotidiana: En un banco En un retaurante de comida rápida Al matricular en la univeridad o auto en un autolavado 2

2 En general, a nadie le guta eperar. Cuando la paciencia llega a u límite, la gente e va a otro lugar. Sin embargo, un ervicio muy rápido tendría un coto muy elevado. E neceario encontrar un balance adecuado 3 Una cola e una línea de epera. a teoría de cola e un conjunto de modelo matemático ue decriben itema de línea de epera particulare. El objetivo e encontrar el etado etable del itema y determinar una capacidad de ervicio apropiada 4 2

3 Exiten mucho itema de cola ditinto. Alguno modelo on muy epeciale Otro e ajutan a modelo má generale Se etudiarán ahora alguno modelo comune Otro e pueden tratar a travé de la imulación 5 Un itema de cola puede dividire en do componente principale: a cola. a intalación del ervicio. o cliente o llegada vienen en forma individual para recibir el ervicio 6 3

4 o cliente o llegada pueden er: Perona Automóvile Máuina ue reuieren reparación Documento Entre mucho otro tipo de artículo 7 Si cuando el cliente llega y no hay nadie en la cola, paa inmediatamente a recibir el ervicio. Si no, e une a la cola. E importante eñalar ue la cola no incluye a uien etá recibiendo el ervicio 8 4

5 a llegada van a la intalación del ervicio de acuerdo con la diciplina de la cola Generalmente la diciplina de la cola e: primera entrada, primera alida. Pero pueden haber otra regla o cola con prioridade 9 Sitema de cola legada Cola Diciplina de la cola Intalación del ervicio Salida 0 5

6 Sitema de cola legada Cola Servidor Salida Sitema de cola Servidor Salida legada Cola Servidor Salida Servidor Salida 2 6

7 Sitema de cola Cola Servidor Salida legada Cola Servidor Salida Cola Servidor Salida 3 legada Sitema de cola Cola Servidor Cola Servidor Salida 4 7

8 . Coto de epera: E el coto para el cliente al eperar Repreenta el coto de oportunidad del tiempo perdido Un itema con un bajo coto de epera e una fuente importante de competitividad 5 2. Coto de ervicio: E el coto de operación del ervicio brindado. E má fácil de etimar. El objetivo de un itema de cola e encontrar el itema del coto total mínimo 6 8

9 El tiempo ue trancurre entre do llegada uceiva en el itema de cola e llama tiempo entre llegada El tiempo entre llegada tiende a er muy variable El número eperado de llegada por unidad de tiempo e llama taa media de llegada () 7 El tiempo eperado entre llegada e / Ejemplo Si la taa media de llegada e = 20 cliente por hora, entonce el tiempo eperado entre llegada e / = /20 = 0.05 hora o 3 minuto 8 9

10 E neceario etimar la ditribución de probabilidad de lo tiempo entre llegada. En la mayoría de lo cao eta ditribución e exponencial. Eto depende del comportamiento de la llegada 9 a forma algebraica de la ditribución exponencial e: P( tiempo de ervicio t) e t Donde t repreenta una cantidad expreada en unidade de tiempo (hora, minuto, etc.) 20 0

11 P(t) 0 Media Tiempo 2 a ditribución exponencial upone una mayor probabilidad para tiempo entre llegada peueño. En general, e conidera ue la llegada on aleatoria. a última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la iguiente 22

12 E una ditribución dicreta empleada con mucha frecuencia para decribir el patrón de la llegada a un itema de cola. Para taa media de llegada peueña e aimétrica y e hace má imétrica y e aproxima a la binomial para taa de llegada alta 23 Su forma algebraica e: k e P( k) k! Donde: P(k) : probabilidad de k llegada por unidad de tiempo : taa media de llegada e = 2,

13 P 0 legada por unidad de tiempo 25 El número de cliente en la cola e el número de cliente ue eperan el ervicio. El número de cliente en el itema e el número de cliente ue eperan en la cola má el número de cliente ue actualmente reciben el ervicio. 26 3

14 a capacidad de la cola e el número máximo de cliente ue pueden etar en la cola. Generalmente e upone ue la cola e infinita. Aunue también la cola puede er finita 27 a diciplina de la cola e refiere al orden en ue e eleccionan lo miembro de la cola para comenzar el ervicio. a má común e PEPS: primero entrada, primera alida. Puede dare: elección aleatoria, prioridade, UEPS (última entrada primera alida), entre otra. 28 4

15 El ervicio puede er brindado por un ervidor o por ervidore múltiple. El tiempo de ervicio varía de cliente a cliente. El tiempo eperado de ervicio depende de la taa media de ervicio () 29 El tiempo eperado de ervicio euivale a /. Ejemplo: Si la taa media de ervicio e de 25 cliente por hora, entonce el tiempo eperado de ervicio e / = /25 = 0.04 hora, o 2.4 minuto 30 5

16 E neceario eleccionar una ditribución de probabilidad para lo tiempo de ervicio. Hay do ditribucione ue repreentarían punto extremo: a ditribución exponencial (=media) Tiempo de ervicio contante (=0) 3 Una ditribución intermedia e la ditribución Erlang Eta ditribución poee un parámetro de forma k ue determina u deviación etándar: k media 32 6

17 Si k =, entonce la ditribución Erlang e igual a la exponencial. Si k =, entonce la ditribución Erlang e igual a la ditribución degenerada con tiempo contante. a forma de la ditribución Erlang varía de acuerdo con k 33 P(t) k = k = 8 k = k = 2 0 Media Tiempo 34 7

18 Ditribución Deviación etándar Contante 0 Erlang, k = Erlang, k = 2 / media 2 media Erlang, k = 4 Erlang, k = 8 Erlang, k = 6 /2 media / 8 media /4 media Erlang, cualuier k / k media 35 Notación de Kendall: A/B/c A: Ditribución de tiempo entre llegada B: Ditribución de tiempo de ervicio M: ditribución exponencial (Markoviana) D: ditribución degenerada (tiempo contante) E k : ditribución Erlang. G: ditribución general (permite cualuier ditribución arbitraria. c: Número de ervidore 36 8

19 En principio el itema etá en un etado inicial. Se upone ue el itema de cola llega a una condición de etado etable (nivel normal de operación). Exiten otra condicione anormale (hora pico, etc.). o ue interea e el etado etable. 37 Para evaluar el deempeño e buca conocer do factore principale: El número de cliente ue eperan en la cola. El tiempo ue lo cliente eperan en la cola y en el itema. 38 9

20 =Número eperado de cliente en la cola = Número eperado de cliente en el itema. =Tiempo eperado de epera en la cola. =Tiempo eperado de epera en el itema

21 Suponga ue una etación de gaolina a la cual llegan en promedio 45 cliente por hora, tiene capacidad para atender en promedio a 60 cliente por hora. Se abe ue lo cliente eperan en promedio 3 minuto en la cola. a) Cuále on la medida de deempeño de la etación de gaolina? 4 a) Taa media de llegada: =45 cliente por hora =45/60 = 0.75 cliente por minuto. b) Taa media de ervicio: =60 cliente por hora =60/60 = cliente por minuto 42 2

22 3min 3 4min cliente cliente 43 Suponga un retaurant de comida rápida al cual llegan en promedio 00 cliente por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 50 cliente por hora. Se abe ue lo cliente eperan en promedio 2 minuto en la cola. a) Calcule la medida de deempeño del itema

23 Beneficio: Permiten evaluar ecenario Permite etablecer meta Notación: P n : probabilidad de tener n cliente en el itema P( t) : probabilidad de ue un cliente no epere en el itema má de t hora 45 Dada la taa media de llegada y la taa media de ervicio, e define el factor de utilización del itema. Para ue no e forme demaiada cola e reuiere ue < Su fórmula, con un ervidor y con ervidore, repectivamente, e: 46 23

24 Con bae en lo dato del ejemplo anterior, = 0.75, = El factor de utilización del itema i e mantuviera un ervidor e = / = 0.75/ = 0.75 = 75% Con do ervidore ( = 2): = / = 0.75/(2*) = 0.75/2 = 37,5% 47 M/M/: Un ervidor con llegada de Poion y tiempo de ervicio exponenciale M/G/: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución general de tiempo de ervicio M/D/: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución degenerada de tiempo de ervicio M/E k /: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución Erlang de tiempo de ervicio 48 24

25 P( t) e n P ( ) n ( ) t P( P( t 0, 2 ( ) ( ) n n) t) e ( ) t 49 A un ervicio de autolavado llegan en promedio 9 auto por hora y e atendido en promedio un auto cada 5 minuto. a. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/M/ b. Cuál e la probabilidad de tener 0 cliente en el itema? c. Cuál e la probabilidad de tener una cola de má de 3 cliente? d. Cuál e la probabilidad de eperar má de 30 min. en la cola? e. Cuál e la probabilidad de eperar má de 30 min en el itema? 50 25

26 9 9, 2, cliente 0.33hr 20min 0 P( P( 0.25hr 5min ( ) 0 P ( ) / 60) e 30 / 60) e ( ) t ( ) t P( cliente ( ) 3 3) A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/M/ b) Cuál e la probabilidad de tener 2 cliente en el itema? c) Cuál e la probabilidad de tener una cola de má de 4 cliente? d) Cuál e la probabilidad de eperar má de 0 min. en la cola? 52 26

27 P ( ) P w 53 Un ervicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. y la taa media de llegada e de 9 auto/hora con una deviación etándar de 2 min. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/G/ a) Cuál e la probabilidad de tener 0 cliente en el itema? b) Cuál e la probabilidad de ue un cliente tenga ue eperar por el ervicio? 54 27

28 cliente ( ).3cliente 0.228hr 3.7 min 0.45hr 8.7 min P 0.25 P w 55 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Suponga = 5 min. a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/G/ b) Cuál e la probabilidad de tener 0 cliente en el itema? c) Cuál e la probabilidad de ue un cliente tenga ue eperar por el ervicio? 56 28

29 2 2( ) 57 Un ervicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. a taa media de llegada e de 9 auto/hora. a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/D/ 58 29

30 .875cliente 2.25cliente 2( ) 0.2hr 2.5 min 0.25hr 7.5min 59 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/D/ 60 30

31 2 ( k ) 2k( ) 6 Un ervicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. a taa media de llegada e de 9 auto/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.) a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/E k / 62 3

32 2.437cliente 2 ( k ).6875cliente 2k( ) hr 6.25 min 0.875hr.25min 63 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Suponga k= 4 a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/E k / 64 32

33 Modelo M/M/ M/G/ M/D/ M/E k / 65 M/M/: ervidore con llegada de Poion y tiempo de ervicio exponenciale. M/D/: ervidore con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución degenerada de tiempo de ervicio. M/E k /: ervidore con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución Erlang de tiempo de ervicio

34 34 )!( ) / (! ) ( )!( ) ( n n P n P Diana Cobo 05/04/ ) ( ) / ( } { 0} { } { / )!( ) / ( } {,!,! n n t t t n n n n n P P e P t P e P e t P n i P P n i P n P Diana Cobo 05/04/20 68

35 a ala de urgencia del HOSPITA GENERA proporciona cuidado médico rápido a lo cao rápido ue llegan en ambulancia ó vehículo particulare. En todo momento e cuenta con un médico de guardia. No obtante debido a la creciente tendencia a uar eta intalacione para cao de emergencia en lugar de ir a una clínica privada cada año el hopital experimenta un aumento continuo en el número de paciente ue llegan a la ala de urgencia. Como reultado e batante común ue lo paciente ue llegan en hora pico (temprano en la tarde) tengan ue eperar turno para recibir el tratamiento del médico. Por eto e ha preentado una propueta para aignar un egundo médico a la ala de emergencia en la hora pico, para ue e puedan atender do cao de emergencia al mimo tiempo. Se ha pedido al ingeniero adminitrador de ete hopital ue e etudie eta poibilidad. El ingeniero adminitrador comenzó por reunir lo dato hitórico pertinente y hacer una proyección de ello al iguiente año. Reconoció ue la ala de urgencia e un itema de línea de epera y aplicó vario modelo de teoría de cola para predecir la caracterítica de la epera en el itema con uno y do médico. 69 Al proyectar lo dato diponible del turno de la tarde hacia el año próximo, e etima ue lo paciente llegarán a una taa media de uno cada media hora con ditribución Poion. Un médico reuiere un promedio de 20 min. para atender un paciente, con ditribución exponencial

36

37 73 Coto Coto total Coto del ervicio Taa óptima de ervicio Coto de epera Taa de ervicio 74 37

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