ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL VARIABLES BIDIMENSIONALES

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL VARIABLES BIDIMENSIONALES Hata ahora la erie etadítica etudiada etaban aociada a variable etadítica unidimenionale, e decir e etudiaba un olo carácter de la población. Sin embargo, en ocaione e útil coniderar a la vez vario caractere de una mima población: la etatura, la edad el peo de un grupo de niño; el ueldo la cualificación de un conjunto de aalariado; la etenión el número de habitante de lo paíe europeo, la inverión en publicidad la facturación de cierta emprea, etc. Nootro reduciremo el etudio de una población a do caractere, teniendo aí variable etadítica bidimenionale. La variable etadítica bidimenionale la repreentamo por un par (X,Y) donde X e una variable etadítica unidimenional que toma lo valore,,,... e Y e otra variable unidimenional que toma lo valore,,,... PARÁMETROS ESTADÍSTICOS BIDIMENSIONALES Al igual que la variable etadítica unidimenionale, la bidimenionale también e pueden eprear mediante una tabla. En ete cao, e pueden hacer do tipo de tabla: imple de doble entrada. Ejemplo C: La calificacione de alumno en Matemática Fíica han ido la iguiente: X=Calificación Matemática Y=Calificación Fíica Número de alumno Página /

2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Eta información puede diponere en una tabla de doble entrada: X Y Nootro uaremo una tabla imple imilar a la uada hata ahora: i i f i i f i i f i i f i i f i i i f i Obérvee que hemo añadido una columna nueva ( i i f i ) con el fin de calcular un nuevo parámetro etadítico llamado: Página /

3 Covarianza Se llama covarianza de una variable bidimenional (X;Y) a la media aritmética de lo producto de la deviacione de cada una de la variable repecto a u media repectiva. Se repreenta por u epreión e: ( ) ( ) f f N N i i i i i i Lo cálculo que normalmente haremo on lo iguiente (para la tabla anterior): i f i 9, i f i, i f i 6 (,),8 i f i 9 (,),8,8,,8,96 (i ) (i ) f i i i f i 9 (,) (,), N Correlación Regreión Al realizar un etudio de do o má variable obre un mimo colectivo, normalmente e hace para averiguar i eite alguna relación o dependencia entre ella. A ete hecho e le conoce con el nombre de correlación. Una vez conocida la correlación que eite entre la do variable, trataremo de encontrar una función matemática que relacione la do variable, de tal manera que conocido un valor de una de ella, ea poible calcular, con maor o menor aproimación (dependiendo del grado de correlación), el correpondiente valor de la otra. Eto e denomina regreión. Para encontrar la poible dependencia que eite entre la do variable no vamo a fijar en el diagrama de diperión o nube de punto, que no e má que la repreentación gráfica en el plano carteiano de lo pare ( i, j ). Veamo vario ejemplo: Página /

4 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Ejemplo D: La nota de 8 alumno en Matemática Fíica on: Matemática: Fíica: Ejemplo E: Se han claificado familia con arreglo al número de hija e hijo obteniéndoe lo iguiente reultado: Hijo: 6 Hija: Cuando algún valor e repite e puede dibujar un punto má grueo o, como hemo hecho aquí dibujar vario punto junto. Ejemplo F: Durante en un año, en un enao clínico, e han anotado la cantidad diaria de medicamento uminitrado (en miligramo) a una erie de enfermo el porcentaje de curación aociado, obteniéndoe lo iguiente dato: Doi (en mg): % curación Página /

5 Ejemplo G: Se ha dejado caer una canica dede diferente altura (en metro) e ha medido el tiempo que ha tardado en llegar al uelo (en egundo): Altura: Tiempo:,,6,78,9,,,,8,6,,,6,6,69,7,,6,,8,, Ejemplo H: Un jugador de balonceto lanza a canata dede ditinta ditancia (en metro), balone cada vez. Se anotan lo encete dede cada ditancia: Ditancia: Encete:: Dependiendo de cómo e ditribuen lo punto diremo que: a) La correlación e lineal o curvilínea i la nube de punto e condena en torno a una línea recta (ejemplo D, G H) o a una curva (ejemplo F). b) La correlación e débil o fuerte egún el grado de dicha condenación (e fuerte en lo ejemplo F H débil en el ejemplo D). En cao de que la nube de punto e ajute perfectamente a una curva (ejemplo G) la dependencia e llama funcional. c) La correlación e poitiva o directa cuando a medida que crece una variable la otra también crece (ejemplo D G). Será negativa o invera cuando a medida que crece una variable la otra decrece (ejemplo H) En cao de que la nube de punto adopte una forma amorfa no e ajute a ninguna curva (ejemplo E) diremo que no eite correlación e habla entonce de variable incorrelada o independiente. Página /

6 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Nootro no limitaremo a etudiar la correlación lineal, e decir, el grado en que una nube de punto e ajuta a una línea recta. Trataremo de cuantificar ea correlación mediante un parámetro que llamaremo: Coeficiente de correlación lineal (de Pearon) El coeficiente de correlación lineal de Pearon e un número r comprendido entre que mide hata que punto puede repreentare mediante una función del tipo m n (una recta) la correlación eitente entre do variable. Se define como: r Si r e o eite dependencia funcional entre amba variable epreable mediante una fórmula del tipo m n. Si r etá próimo a (repectivamente a ) eite correlación lineal fuerte poitiva (repectivamente negativa) entre la variable. Si r etá próimo a, apena eite correlación lineal entre la variable A partir de la fórmula, e obvio que el igno del coeficiente r viene dado por el igno de la covarianza a que la deviacione típica on iempre poitiva. Por tanto i: correlación directa o poitiva correlación invera o negativa. no eite correlación (variable independiente) A modo de ejemplo lo coeficiente de correlación de Pearon de lo ejemplo vito anteriormente on: Ejemplo D:,77 (correlación lineal moderadamente fuerte poitiva) Ejemplo E: -, (correlación lineal mu débil negativa) Ejemplo F:, (correlación lineal prácticamente ineitente) Ejemplo G:,99 (correlación lineal mu fuerte poitiva) Ejemplo H: -,98 (correlación lineal mu fuerte negativa) Página 6/

7 NOTAS IMPORTANTES: A) El coeficiente de correlación lineal de Pearon irve, como indica u nombre, para detectar únicamente la correlación lineal. Si no fijamo en la nube de punto del ejemplo F, e evidente que la variable etán fuertemente correlacionada in embargo el coeficiente de correlación e tan olo de,. Eto e aí a que la nube de punto no e ajuta a una recta ino a lo que parece er una parábola. E decir: que el coeficiente de correlación ete próimo a ignifica, tan olo, que la nube de punto no e ajuta a una recta. B) El concepto de correlación e delicado. Un error mu común e identificar correlación con caualidad, e decir, penar que i do variable etán correlacionada una e caua de la otra. Aunque en ocaione e dé eta caualidad, no e difícil encontrar ejemplo en lo que no. Supongamo que etudiamo la evolución de la venta de automóvile del conumo de leche en un determinado paí en vía de dearrollo. E poible que encontremo que amba variable etán correlacionada. Quiere eto decir que la compra de un automóvil implica un aumento en el conumo de leche? o, el conumo de leche produce un aumento en la venta de automóvile? Claramente la repueta a eta pregunta debe er negativa. Poiblemente lo que ocurre e que la variación de amba variable e deriva de un tercer factor (por ejemplo la properidad relativa de dicho paí, que hace aumentar tanto la venta de automóvile como el conumo de leche). Supongamo ahora que etudiamo la evolución de la venta de automóvile de lo cao de SIDA en Epaña en la década 99-. E mu poible que eita correlación entre amba variable. Y in embargo e evidente que lo automóvile no producen SIDA má evidente, i cabe, que lo enfermo de SIDA no e compran má automóvile que lo que no padecen ea enfermedad. Ante un cao como ete e uele hablar de correlación fala. Una vez que e ha detectado que eite un alto grado de correlación lineal entre do variable, urge el problema de encontrar la recta que mejor decriba ea correlación, e decir, la recta m n que mejor e ajute a la nube de punto. Dicha recta recibe el nombre de recta de regreión. Página 7/

8 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA El procedimiento que e igue e el llamado Método de lo mínimo cuadrado : De entre toda la recta no quedamo con aquella para la cual la uma de lo cuadrado de la ditancia de cada uno de lo punto de la nube a la recta ea la mínima poible De ete modo e llega, uando método matemático uperiore a ete curo, a que: a) La recta paa por el punto (, ) b) Su pendiente e Por lo tanto la recta de regreión de Y obre X tiene por ecuación: ( ) En lo ejemplo anteriore la recta quedarían de la iguiente forma: Ejemplo D (r=,77): Ejemplo E (r=-,): Ejemplo F (r=,): 9 8 =,9 +, = -,9 +,8 =, -, Ejemplo G (r=,99): Ejemplo H (r=-,98):,,6,,8 =,9 +,,, 9 = -, +, Página 8/

9 Si en vez de tomar ditancia verticale la hubiéemo tomado horizontale iguiendo el mimo procedimiento obtendríamo la recta de regreión de X obre Y: ( ) Amba recta paan por el punto (, ) formaran un ángulo tanto menor cuanto maor ea la correlación (e decir, cuanto má próimo eté el coeficiente de correlación a o a ) Aí pue, la do recta erán mu parecida i la correlación e mu fuerte formarán un ángulo cercano a lo 9 i la correlación e mu débil. En nuetro ejemplo F (correlación mu baja) la recta quedarían de la iguiente manera: En cambio, en el ejemplo H (correlación mu fuerte): Página 9/

10 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La recta de regreión para hacer etimacione Una aplicación de la recta de regreión e la obtención de valore eperado de una variable para cierto valore de la otra; e decir, i m n e la recta de regreión de Y obre X e un valor particular de X, el número m o n contitue lo que podríamo llamar el valor eperado de Y para el valor de la variable X. Análogamente, la recta de regreión de X obre Y puede utilizare para hallar valore eperado de X para valore determinado de Y. No obtante lo anterior, dado un valor de una variable, para etimar el valor correpondiente de la otra variable e uelen tener en cuenta la do recta de regreión e da como etimación la media de lo do valore obtenido. Debemo tener en cuenta la iguiente conideracione: A) Evidentemente la etimación erá tanto má fiable cuanto maor ea la correlación. Si la correlación e débil lo valore obtenido deben er tomado con mucha reerva. B) La etimacione deben hacere dentro del intervalo de valore utilizado o mu cerca de ello. Aí, i etudiamo dato obre peo talla de niño menore de 6 año encontraremo que amba variable etán fuertemente correlacionada; por lo que la recta de regreión obtenida no erá mu útil. Sin embargo no tiene mucho entido, a partir de dicha recta, etimar talla a partir de peo (o vicevera) de niño de (por ejemplo) año. Si a pear de todo lo hacemo, la etimacione no erán fiable. Página /

11 Ejemplo C: La calificacione de alumno en Matemática Fíica han ido: X=Calificación Matemática Y=Calificación Fíica Número de alumno Si un alumno ha obtenido un 6, en matemática, qué nota e etima que obtendrá en fíica? Si ha obtenido un 8 en fíica, qué nota e epera que obtenga en matemática?. on fiable eta previione? Eta información puede diponere en una tabla de doble entrada: i i f i i f i i f i i f i i f i i i f i i f i 9, i f i 6 (,),8 i f i, i f i 9 (,),8,8,,8,96 (i ) (i ) f i i i f i 9 (,) (,), N, r,76,,96 correlación moderadamente fuerte poitiva Eto indica que la etimacione que hagamo no on mu fiable, aún aí vamo a realizarla: Recta de regreión de Y obre X, para aber que nota va a acar en Fíica conocida la nota de, ( ),,,8,798,8 Matemática: Para =6, la nota de fíica ería =6, Recta de regreión de X obre Y, para aber que nota va a acar en Matemática conocida la, ( ),,,69,6,8 nota de Fíica: Para =8 en matemática acaría un =7, Página /