REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

Transcripción

1 REGRESIÓN CORRELACIÓN Método Etadítico Aplicado a la Auditoría Sociolaborale Francico Álvarez González francico.alvarez@uca.e DISTRIBUCIONES BIVARIANTES El etudio de la relación exitente entre do variable e conduce a la conideración imultánea de amba variable etadítica. Tal ditribución de la do variable e denomina bivariante. La preentación de lo dato experimentalmente obervado puede hacere : a) Mediante lo pare ( i, i ) : ( 1, 1 ), (, ), ( 3, 3 ),... b) Tabla imple de frecuencia : c) Tabla de frecuencia de doble entrada : n 1 1 n m n 1 n 11 n n 1m n 1 n n m n n n n n n n1 n n n nm Ditribucione marginale : Son la obtenida de la ditribución bivariante, al coniderar de forma independiente cada una de la do variable. De ella obtendremo lo parámetro de centralización y diperión caracterítico : media y deviación típica.,,,,, Covarianza : Ete índice de variación conjunta de e e define como : ni. ( i )(. i ) ni. i. i i i. N N nij. ( i )(. j ) nij. i. j i j i j N N para tabla imple de frecuencia. entrada. Si 0 expreará que la variable e on independiente. RECTAS DE REGRESIÓN para tabla de frecuencia de doble Repreentando lo pare de obervacione (,) como punto en un plano carteiano, obtenemo el denominado diagrama de diperión o nube de punto. Por recta de regreión o de ajute entendemo la recta que má e aproxima a lo punto repreentativo de la obervacione (,). El método de lo mínimo cuadrado proporciona un itema de obtención de tale recta, etableciendo que ea mínima la uma de lo cuadrado de la eparacione exitente entre cada punto y la recta. Según e conideren eta eparacione en vertical (lo repreentado en la figura) o en horizontal, e obtienen, repectivamente, la recta de regreión de obre y de obre. Regreión y correlación (F. Álvarez) - 1

2 RECTA DE REGRESIÓN DE SOBRE ' a + b. a ordenada en el origen b coeficiente de regreión de obre pendiente de la recta de regreión tangente del ángulo que forma con el eje horizontal. ' prediccione de para el valor obervado. Lo coeficiente a y b de la recta de regreión de obre e obtienen reolviendo el itema : a. a. N f. + + b b.. n. n. n. n.. el cuál tiene como olución : b a b. RECTA DE REGRESIÓN DE SOBRE ' a' + b'. a' ordenada en el origen b' coeficiente de regreión de obre pendiente de la recta de regreión. ' prediccione de para el valor obervado. Lo coeficiente a' y b' de la recta de regreión de obre e obtienen igualmente al reolver : o directamente : a'. a'. N f. + + b b'. '. n. n. b' a' b'. n. n.. Otro procedimiento de cálculo implificado permite obtener lo coeficiente de regreión del iguiente modo : b. ( )(. ) ( ) b '. ( )(. ) ( ) Si utilizamo puntuacione diferenciale : x y, la recta de regreión pierden el término independiente (ordenada en el origen a y a' ) al er la media nula, iendo u expreión : y' b.x x' b'.y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON La recta de regreión e la que paa má cerca de la obervacione, pero no no indica i paa muy cerca o no de ella. Hemo de definir una medida del grado de aociación o relación entre amba variable, lo cuál, en término de recta de ajute, indicará la bondad de la mima. Tal coeficiente e denomina coeficiente de correlación, definido por Pearon del iguiente modo : r b. b' ya que : r b. b'.... Según la expreione finale obtenida para b y b', podemo también calcularlo como : r. ( )(. ) ( ). [ ][ ( ) ] La expreión conduce a la iguiente relacione (in má que multiplicar y dividir por o por ) : r b r b. '. De aquí reulta que, i e trabaja con puntuacione tipificada (la deviacione típica on iguale a 1) : r b b' y la recta de regreión on : z' r.z' ; z' r.z' El coeficiente de correlación toma iempre valore comprendido entre -1 y 1 : -1 r 1 Proporción de varianza explicada por r Coeficiente de determinación ( R ) (Suele expreare en %, lo cuál e obtendría: R r x 100 ) - Regreión y correlación (F. Álvarez)

3 Interpretación : r Aociación de la variable Bondad del ajute próximo a 0 Variable independiente o no relacionada Mala recta de ajute. No paa cerca de la linealmente obervacione. próximo a 1 Variable relacionada directamente (cuando una Buena recta de ajute. Creciente (pendiente b aumenta la otra también) y b' poitiva) próximo a -1 Variable relacionada inveramente (cuando una Buena recta de ajute. Decreciente (pendiente aumenta la otra diminuye) b y b' negativa) OTROS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN r Coeficiente de correlación ϕ (phi) : El iguiente procedimiento e puede utilizar cuando la do variable e on dicotómica. 1 0 Aignemo lo valore 0 y 1 a amba variable y realicemo el recuento 1 a b repreentado en la tabla de la izquierda. 0 c d El coeficiente de correlación ϕ toma el valor : ϕ Coeficiente de correlación bierial puntual r bp : ad bc ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) El iguiente procedimiento e puede utilizar cuando una variable e continua y la otra dicotómica. Supueta continua : r bp 1 0. pq. Siendo : 1 la media de lo valore de que e correponden con un 1 en. 0 la media de lo valore de que e correponden con un 0 en. la deviación típica de (coniderado u valore globalmente). p la proporción de uno en. q1-p la proporción de cero en. Coeficiente de correlación por rango de Spearman ρ : El iguiente procedimiento e puede utilizar cuando la do variable on ordinale (reordenacione de una erie de elemento). 6. d ρ 1 ( N 1) Siendo d la diferencia entre lo valore de e. Lo coeficiente de correlación anteriore no on má que una adaptación del coeficiente de correlación de Pearon para tipo epeciale de variable. En conecuencia, u valor coincide con el que habríamo obtenido iguiendo el procedimiento de Pearon (r); por ello, u interpretación e la etablecida para r. Regreión y correlación (F. Álvarez) - 3

4 OBSERVACIÓN PRÁCTICA En el preente tema e igue la metodología cláica y lo procedimiento habituale de cálculo. No obtante, ante la dificultade que pueden obervar alguno alumno, RECOMIENDO e iga el proceo decrito en la preentación REGRESIOPPS 4 - Regreión y correlación (F. Álvarez)

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6 EJERCICIOS RESUELTOS 1 La tabla iguiente contiene lo reultado de la calificacione en Matemática () y Lengua () de un grupo de 40 alumno de Secundaria. n a) Obtenga la recta de regreión de obre. 3 b) Obtenga la recta de regreión de obre. 1 c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal d) Calcule e interprete el coeficiente de determinación Tabla de cálculo : n n. n. n. n. n a) Recta de regreión de obre ' 9 ' ( )(. ) b 0' ( ) a b. ' 9 0' 711. ' 3 ' 1436 b) Recta de regreión de obre.. ( )(. ) b' ( ) a' b'. ' 3 0' ' 9 0' c) Coeficiente de correlación de Pearon. Conocido lo coeficiente de regreión puede calculare como : d) R. 0'96 Recta de regreión de obre : ' ' '711. Recta de regreión de obre : ' -0' '9633. r b. b' 0' ' ' 879 Exite una elevada relación entre la calificacione en Matemática y Lengua. Dicha relación e poitiva (directa); e decir, alumno con alta calificacione en Matemática e correponden con alta calificacione en Lengua, y a la invera. Podemo afirmar que la recta de regreión obtenida on buena recta de ajute. E decir, exprean con una elevada aproximación la relación matemática (lineal) exitente entre la calificacione en Matemática y Lengua. La proporciona : r 0'879 0'684. E decir el 68'4%. 6 - Regreión y correlación (F. Álvarez)

7 De la ditribución bivariante iguiente : a) Obtenga la recta de regreión de obre. b) Obtenga la recta de regreión de obre. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal. d) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. Obtenemo la ditribucione marginale de y de totalizando la frecuencia en fila y columna : 0 1 Σ Σ n n. n. n n. n La uma de lo producto de por hemo de obtenerla directamente de la tabla proporcionada :. nij. i. j i j Como puede obervare, ólo realizamo lo producto correpondiente a frecuencia y valore de variable no nulo Utilicemo la media y varianza de e, aí como la covarianza, en lo cálculo olicitado ' ' ' 1739 ' 404 0' ' nij. i. j i j. N N 8 3 Covarianza.. 4' '8696 1' 1078 a) Recta de regreión de obre : b 1' ' 4607 a b. 0' 8696 ( 0' 4607). 4' 1739 ' 79 ' 404 ' '79-0'4607. b) Recta de regreión de obre : ' b' ' 007 a' b'. 4' 1739 ( ' 007). 0' 8696 ' ' 48 ' ' '007. c) Coeficiente de correlación : b. b' 0'4607. '007 ± 0' Utilizando la expreión r ( )( ) 9648 podemo tener duda en cuanto al igno del coeficiente de correlación. Ete igno e el de b y b', ya que e el que proporciona la covarianza. 1' 1078 Calculado como r 0' 9648 no e planteará tal dificultad.. ' ' 486 Regreión y correlación (F. Álvarez) - 7

8 d) Coeficiente de determinación : E el cuadrado del coeficiente de correlación, repreentando la proporción de varianza explicada por la variable (en el ajute de obre ). R r ( 0'9648) 0' 9309 La variable explica el 93'09% de la varianza de. Sólo el 6'91% no e atribuible a. 3 De la iguiente ditribución bivariante : [0,1) [1,) [,3] a) Calcule e interprete el valor de la covarianza. b) Obtenga la recta de regreión de obre. c) Obtenga la recta de regreión de obre. d) Calcule el coeficiente de correlación lineal y el de determinación. Totalizando fila y columna obtendremo la ditribucione marginale de e : 0' 1' ' n n. n. n n. n ' ' 1' ' 10 1 ' ' 1' 31' n ' +..1' + 1..' ' ' ' ' +.4.1' ' 90 a) Covarianza : i j ij i j n... N N ij i j i j 90 Covarianza.. 3.1' 4' 4' 0 Interpretación : La variable on independiente. Siendo nula la covarianza, también lo erán lo coeficiente de regreión, el coeficiente de correlación y el de determinación, dado que en u cálculo interviene la covarianza en el numerador. Al er nulo lo coeficiente de regreión, a coincidirá con la media de y a' con la de. b) Recta de regreión de obre : 0 b 0 a b ' 0. '. ' ' 1' c) Recta de regreión de obre : 0 b' 0 a' b' ' 3 ' 3 d) Coeficiente de correlación y de determinación : Como e indicó en el apartado a), al er nula la covarianza, ambo coeficiente también lo on : 8 - Regreión y correlación (F. Álvarez)

9 0 r b. b' r 0 R r Se deea etudiar la relación entre la calificacione obtenida en un tet (puntuado de 0 a ) y el exo del alumno que lo realiza. Lo reultado obervado fueron : Tet Sexo Nº de alumno 1 Varón 3 1 Hembra 1 Varón Hembra 4 3 Varón 3 4 Hembra 4 Varón 1 Hembra 1 Varón a) Mida el grado de aociación exitente entre la do variable mediante el coeficiente má adecuado. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearon y compare u valor con el calculado en el apartado anterior. a) Siendo dicotómica la egunda variable, calcularemo el coeficiente de correlación bierial puntual : Denominando a la variable exo (aignamo : 1Hombre ; 0Mujer) y a la variable puntuación en el tet, procederemo a lo cálculo neceario para u obtención. Ello no conduce a calcular la media de lo valore de que e correponden con un 1 y con un 0 en ( 1 y 0 ) de forma eparada, aí como la deviación típica de. La iguiente tabla facilitan nuetra operacione : n n. n. 1 n n. 1 0 n n q p N ' ' 0909 p 0 ' q 0 ' 1 p ' 9091 ' ' ' ' ' 773 3' 0909 Con eto : rbp. pq.. 00 '. ' 0131 ' 1' 343 b) Coeficiente de correlación de Pearon : El propóito de ete apartado no e otro que comprobar que efectivamente coinciden lo coeficiente de correlación de Pearon y bierial puntual. Calculemo la media y deviación típica de, aí como la covarianza: Regreión y correlación (F. Álvarez) - 9

10 n f. n. n ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 30 r 0' 0909 ' ' 0' ' 131 1' ' La iguiente tabla no muetra la ditribución por exo de un grupo de 167 perona, indicando i fuman o no. Fuma No fuma Hombre 8 1 Mujer a) Calcule el coeficiente de má adecuado para medir el grado de aociación exitente entre el exo y el er o no fumador. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearon y compare u valor con el calculado en el apartado anterior. a) La do variable on dicotómica. El coeficiente epecífico para eta ituación e el coeficiente de correlación ϕ (phi). Dipueta la tabla como igue (totalizando fila y columna) obtenemo : 1 (Fuma) 0 (No fuma) 1 (Hombre) a 8 b (Mujer) c 10 d ϕ ad bc ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) b) Coeficiente de correlación de Pearon : ' n n. n. n. n. n ' 808 0' 808 0' ' 43 0' ' r 0' ' ' 689 0' ' 7307 '. ' Coincidente con el calculado en el apartado anterior, como era de eperar Regreión y correlación (F. Álvarez)

11 6 Doce atleta (A, B, C,..., L) participan en una carrera de 100 metro y en otra de lanzamiento de peo. La claificacione en dicha prueba fueron : 100 metro : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L Peo : K, I, J, L, G, H, F, D, E, B, C, A a) Determine la relación exitente entre la do claificacione en la prueba decrita, mediante el coeficiente má adecuado. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearon y compare u valor con el calculado en el apartado anterior. No encontramo ante do reordenacione ditinta de lo 1 individuo. Calcularemo pue el coeficiente de correlación por el método de lo rango de Spearman. a) Coeficiente de correlación ρ : 6. d '9301 N ρ (Ver tabla iguiente) ( ) ( ) A continuación e ofrecen la tabla auxiliare de cálculo de ρ y r, calculado para comprobar que coinciden. Para el cálculo de ρ Para el cálculo de r d d b) Coeficiente de correlación de Pearon : ' 6' 11' ' ' ' 6' 11' ' ' r 11' '. ' ' 0' ' 41. 3' 41 En efecto coinciden lo coeficiente de correlación obtenido por lo do método. Su alto valor negativo (próximo a -1) no indica que exite una fuerte relación entre la do claificacione en la prueba atlética, quedando mejor claificado en una lo peor claificado en la otra. 7 De lo archivo de la Dirección provincial de Tráfico e han eleccionado lo expediente de 64 conductore, realizando el iguiente recuento en función del exo (M mujer ; H hombre) y el número de multa impueta durante el último año. Sexo M H Nº de multa en el último año Qué concluión puede deducire acerca de la relación exitente entre exo y número de denuncia?. Utilice para ello el índice de aociación má apropiado. Al er dicotómica la variable exo, obtendremo el coeficiente de correlación bierial puntual : Regreión y correlación (F. Álvarez) - 11

12 1 0 M 1 H 0 n n. n. n. 1 n N ' ' 1 p 0' 37 q 0' 6 1 p ' ' ' ' ' ' 0833 ' 1 Con eto : rbp. pq.. 0' 37. 0' 6 0' 831 1' 771 E decir exite una fuerte relación, de entido invero, entre amba variable. Algo que podía advertire al analizar el recuento de la obervacione. 8 Para analizar i exite o no relación entre la calificacione en materia científica y la del área literaria, eleccionamo ocho alumno a lo que ometemo a do prueba (una de cada área). Claificado por orden de puntuación reultó : Alumno P. Científica 3º 6º 7º 1º º 8º º 4º P. Literaria 3º º 7º 4º 1º 8º º 6º Utilizando el índice adecuado etablezca el grado de relación que exite entre la calificacione de dicha área de conocimiento. Calcularemo el coeficiente de correlación ρ (rango de Spearman) al preentare do variable ordinale (do reordenacione de lo 8 alumno). Denominamo e a la variable que proporcionan, repectivamente, la claificacione en la prueba científica y en la literaria. Ordenada la primera, calculemo u diferencia : d d Con ello : 6. d ρ ( N 1) 8. ( 8 1) 0'7143 E decir, exite una alta relación entre la calificacione. Generalmente un alumno con alta calificacione en el área científica tendrá alta calificacione en el área de conocimiento literario. 1 - Regreión y correlación (F. Álvarez)

13 9 Un grupo de COU integran 17 alumno de Ciencia y 14 de Letra. De ello repiten curo 16 de Ciencia y ólo de Letra. Calcule el coeficiente de correlación má adecuado para medir el grado de aociación exitente entre la variable decrita. Se trata de analizar la relación que puede exitir entre la epecialidad (Ciencia o Letra) y el er repetidor o no erlo. Siendo la do variable dicotómica, calculamo el coeficiente de correlación ϕ (phi). Dipueta la tabla como igue (totalizando fila y columna) obtenemo : 1 (Repite) 0 (No repite) 1 (Ciencia) a 16 b (Letra) c d ad bc ϕ 0' ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) alta relación entre la variable. 10 A partir de lo ei pare de valore, correpondiente a una variable bidimenional (,), (1, 4), (, ), (3, ), (4, 6), (, 7) a) Calcule la ecuación de la recta de regreión de obre. b) Repreente gráficamente el diagrama de diperión y la recta de regreión. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. Cálculo neceario (realizado en ete ejemplo a partir de la media y varianza de e y de la covarianza) : ' 4 ' 104 ' 34. ' 14 ' 14 ' a) b 07 ' a 4 ' 073 '. 33 ' 3'3 + 0'7. b) Para 0 3'3 (0, 3'3) Para 6'8 (, 6'8) Enlazando lo do punto anteriore obtenemo la gráfica de la recta. Oberve que el punto que tiene por coordenada la media de e (3, '4), e un punto contenido en la recta de regreión. Apreciamo la proximidad de lo punto a la recta de ajute, aí como que dicha recta e creciente (r > 0). Regreión y correlación (F. Álvarez) - 13

14 14 ' c) r 0' ' 04 Elevada relación entre la variable y de igno poitivo. La recta de regreión e una buena función de ajute, iendo creciente (r > 0). Para repreentar gráficamente la recta de regreión, localizamo do punto cualequiera de ella : 3'3 + 0'7. 11 La recta de regreión de obre, calculada en el etudio de la relación exitente entre do variable, tiene por ecuación ' '4-0'9., iendo la varianza de la variable dependiente igual a 1'84. Si la ditribución de la prediccione de tiene como media 3'6 y varianza 1'619936, a) calcule la media y varianza de b) determine la ecuación de la recta de regreión de obre c) obtenga el valor del coeficiente de correlación. Iniciamo aquí una erie de ejemplo que requieren para u reolución el empleo de la diferente relacione funcionale (fórmula para entenderno) tratada en el tema. Reulta de utilidad ecribir la expreione en la que intervienen lo dato uminitrado, utituyendo u valore conocido. Tal vez aí podamo obtener lo que no pida el problema. ' '4 0'9. a b. '4 + 0'9. b 0' 9 1º.- ( ) º.- 1' 84 1' 84 1' 36 3º.- ' 3'6 ' 1' Siendo 3'6 la media de, la expreión de a no permite obtener la media de : 4 ' 36 ' 4 ' + 09 '. 4 ' 36 ' + 09 '. 09 ' La varianza de no puede obtenere de momento (para extraerla del valor del coeficiente de regreión b neceitamo conocer ante la covarianza o el coeficiente de correlación). Partiendo, por ejemplo, de la proporción de varianza explicada (hace referencia a la varianza de la prediccione) : ' 1' r 0' 8804 r 0' 8804 ± 0' ' El coeficiente de correlación erá negativo, ya que lo e el coeficiente de regreión b (b -0'9), luego : r 0'9383. La expreión r b. no permitirá calcular la deviación típica de : r b 0' ' 36. 0' ' 9. 1' 414 1' ' ' Finalmente, calculemo la recta de ajute de obre : b r ' '. 0' ' 9783 a' b'. ( 0' 9783). 3' 6 ' 17 1' 36 Su ecuación e : ' '17-0' La recta de regreión de obre corta a lo eje coordenado en lo punto (0',0) y (0,-0'4), iendo la proporción de varianza no explicada por del '8%. a) Calcule lo coeficiente de correlación y de determinación. b) Siendo, qué pronótico diferencial correponde a una puntuación directa 4?. a) Lo coeficiente de correlación y de determinación e obtienen directamente de la proporción de varianza no explicada : 1 - r 0'8 r 1-0'8 0'744 Luego : Coeficiente de determinación : R r 0'744 Coeficiente de correlación : r 0' 744 ± 0' 867 Para determinar i el coeficiente de correlación e poitivo o negativo e pueden eguir ditinto procedimiento. Uno podría conitir en dibujar la recta de regreión (enlazando lo do punto 14 - Regreión y correlación (F. Álvarez)

15 conocido) obervando i e creciente (b > 0 y r > 0) o decreciente (b < 0 y r < 0). Aí reulta que e creciente y, por tanto, r 0'867. b) Determinemo la recta de regreión en puntuacione directa y diferenciale : Si la recta de regreión ' a + b. paa por (0',0) y (0,-0'4), ignifica que : - para 0' ' 0 : 0 a + b.0' - para 0 ' -0'4 : -0'4 a + b.0-0'4 a 0-0'4 + b.0' b 0'4 / 0' 0'8 La recta de regreión e : en puntuacione directa : en puntuacione diferenciale : ' -0'4 + 0'8. y' 0'8. x A la puntuación directa 4, le correponde una puntuación diferencial : x 4 1 luego el pronótico diferencial correpondiente e : y' 0'8. x 0'8. (-1) y' -0'8 NOTA : Calculado b 0'8 > 0, concluiremo que el coeficiente de correlación e también poitivo (r 0'867), tal como e dedujo en el apartado a). 13 En un grupo de 10 ujeto e han aplicado do prueba (,). La puntuacione obtenida en fueron dicotomizada por la Mediana formándoe do categoría: alto (A) y bajo (B). Lo reultado on lo iguiente : Sujeto B A B A A B B A A B Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir la relación exitente entre e. n A n A. n B n B. n n. n A B S ; 3; ; 1483 ' r bp A S B 1. pq ' 1483 ' Cierta relación entre la variable, de igno invero. A mayor puntuación en la prueba menor nivel en. 14 La puntuacione directa obtenida por ujeto en la ecala LKS (Ecala de Luca) y la obtenida por eo mimo ujeto en el factor C (Control Social) del PSI on la que figura en la tabla final. a) Encuentre la puntuación pronoticada en LKS de un ujeto cuya puntuación directa en C e 1. b) Encuentre la parte de la varianza de LKS aociada a la variación de C. c) Interprete el reultado obtenido al calcular el etadítico que exprea la relación entre LKS y C. Sujeto A B C D E LKS C LKS C Regreión y correlación (F. Álvarez) - 1

16 a) ; 40 ; S ; S S ; S 6 ; S ' 4 b -0 4 / a 40 - (.1 7) b) r -0 4 / r 0 7 (7 %) a) Alta relación entre la do prueba (r-0 8) y de igno invero. E decir, un ujeto con alta puntuación en LKS tendrá baja puntuación en C 1 La emprea de publicidad VENDEBIEN quiere aber i la aceptación o rechazo dependen del exo. Para ello e encueta a 00 perona de la cuále el 0% on mujere; 40 hombre rechazan el producto mientra que 30 mujere lo aceptan. Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar eto dato. H M Aceptan a60 b30 Rechazan c40 d70 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' Ecaa relación entre la aceptación y el exo. De aceptarla, el mayor rechazo e produce en mujere. 16 a) Etudiando la relación entre la variable e e obtuvieron lo iguiente dato : 119, 130 ', S 10, S 0', r 0' 70, n 10 x xy a) Elena C. obtuvo una puntuación de 130 en. Etime u puntuación en. b) Se etimó la puntuación 1 8 en la variable para Gonzalo S.. Cuál fue u puntuación en la variable?. c) Determinar el valor de S y.x y la deviación típica de la puntuacione pronoticada (S y ). b r y '. 07 '. 0 0' 038 ; a 130 ' 0' 038x119 3' 81 ' 3' 81+ 0' 038. x 10 ' 3' 81+ 0' ' 73 b) c) 17 S. S. 1 r 0 '. 1 0' 7 0' 398 S S S 0' ' 0148 ' S 0' 38 '. ' El gabinete de etudio obre Maletar Social deea conocer i exite relación entre la conumición de droga y la comiión de delito obre la propiedad. Para ello e elecciona una muetra y e comprueba que 0 individuo han conumido algún tipo de droga y a la vez han etado implicado en delito contra la propiedad. Teniendo en cuenta que un 0% de la muetra ha cometido delito contra la propiedad, que 0 no conumen droga ni han etado implicado en delito contra la propiedad y que la muetra contaba de 00 individuo, qué concluión obtendrá el gabinete de etudio?. (Elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado) Regreión y correlación (F. Álvarez)

17 Droga SI Droga NO Delito SI a0 b0 Delito NO c10 d0 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' Ecaa relación entre conumo de droga y comiión de delito. De aceptarla, la mayor comiión de delito e produce en conumidore de droga. 18 Etudiando una muetra de 0 alumno de BUP e obervó que una proporción de 0 10 etaba compueta por alumno hijo único. De lo 0 alumno, una proporción de 0 6 comían en el Colegio. Si abemo que una proporción de 0 04, con repecto al total, on hijo único que no comen en el Colegio. Exite una relación entre er hijo único o no y comer o no en el Colegio?. Halle el coeficiente de correlación que correponda e interprete el reultado. Único SI Único NO Comen SI a3 b7 Comen NO c d18 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) La variable on independiente. No exite ningún tipo de relación entre er hijo único y comer en el colegio. 19 La deviación típica de un determinado grupo de perona en la variable aniedad () e igual a. También conocemo para eta variable la media de lo varone (10) y la de la mujere (). Sabiendo que el índice de aociación entre la variable aniedad y exo e igual a +1, y que el número de varone e uperior al de mujere : a) Qué coeficiente de correlación habrá ido utilizado?. b) Interprete el valor del coeficiente de correlación. c) Calcule la proporción de varone que componen nuetra muetra. a) Bierial puntual (r bp ). Una cuantitativa y la otra dicotómica. b) Relación perfecta. Lo varone preentan alta puntuacione en aniedad y la mujere baja. c) r bp x v x x m. pq pq. pq. 04 ' pq. 016 ' 1 p p p p p p p+ p ± ' 1 ± 06 ' 08 '.( 1 ) 016 ' 016 ' 016 ' 0 p 0 ' La olución e 0 8 al indicar que hay má varone que mujere. 0 Con el fin de etudiar i exite o no relación entre la calificacione en Matemática y en Filoofía de COU, eleccionamo ei alumno. Claificado por orden de puntuación final en cada materia reultó : Alumno Matemática 3º 6º 4º 1º º º Filoofía 3º º 6º 4º 1º º Utilizando el índice adecuado, baado en el concepto de correlación de Pearon, etablezca el grado de relación que exite entre la calificacione de la do aignatura. Calcularemo el coeficiente de correlación ρ (rango de Spearman) al preentare do variable ordinale (do reordenacione de lo 8 alumno). Denominamo e a la variable que proporcionan, repectivamente, la claificacione en Matemática y en Filoofía. Ordenando la primera (), calculamo u diferencia con la egunda : Regreión y correlación (F. Álvarez) - 17

18 Con ello : d d ρ 1 N. d ( 1) 6. ( 6 1) E decir, apena exite relación entre la calificacione. 0' Regreión y correlación (F. Álvarez)

19 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 3 n De la preente ditribución conjunta de la do variable (,) : b) Obtener la recta de regreión de obre en puntuacione diferenciale. 6 b) Obtener la recta de regreión de obre en puntuacione típica.. 6 c) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación De la preente ditribución conjunta de la variable (,) : a) Obtener la recta de regreión de obre b) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación De lo 10 pare de valore que e repreentan en el diagrama de diperión de la izquierda, a) Calcular la recta de regreión de obre. b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal. 4 Edad Hermano n De la ditribución de edade y número de hermano de 40 jóvene : [10,1) 0 3 [10,1) 1 Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal. [10,1) 9 [1,0) 1 [1,0) 10 [0,] 1 3 [0,] La iguiente ditribucione bivariante pretenden etudiar el grado de relación exitente entre la variable : a) Puntuación en un tet de agreividad y exo. b) Claificación (de mayor a menor) egún la nota media obtenida en la aignatura del curo y en una prueba tendente a determinar u coeficiente intelectual. c) Ser bebedor y er fumador. Determine y calcule en cada cao el índice adecuado que permite medir el grado de relación entre la variable decrita. Regreión y correlación (F. Álvarez) - 19

20 (I) Punto Sexo (II) tet Hombre Mujer Alumno [ 0,10) 0 Nota media º 4º º 1º 6º 3º [10,0) 3 C.I. 3º 4º 6º 1º º º [0,30) 11 9 [30,40) 0 (III) Fuman [40,0) 14 9 Sí No [0,60) 6 6 Beben Sí 4 31 No La proporción de varianza reidual, en un ajute de obre, e del '1%. a) Determine dicha recta de ajute abiendo que a una puntuación directa correponde una predicción '1 y que dicha recta corta al eje de ordenada en el punto (0,0'3). b) Calcule el coeficiente de correlación. En el etudio de la relación lineal exitente entre do variable e, abemo que a la puntuacione directa 0 y de le correponden uno pronótico repectivo y Sabiendo que el coeficiente de determinación e del 94 6% y que la variable dependiente tiene por media 8 y varianza 1 36, calcular : a) Ecuación de la recta de ajute. b) Coeficiente de correlación. c) Media y varianza de la variable. Analizamo la edade de 8 perona que acuden a un examen para la obtención del carnet de conducir. Sabiendo que aprueban con edade : 8, 4, 3, 4 y 30 y que lo que upenden tienen 3, 1 y 7 año, determine el coeficiente má adecuado para medir el grado de relación de la edad con la uperación o no del examen. Para lo iguiente pare de valore de la variable e : (1, 4), (10, 7), (1, ), ( 11, 6 ), (14, ), (11, 8 ), (1, 3), (14, 1 ), (10, 9), ( 11, 7) calcular la proporción de varianza que explica el ajute de obre f Determine la varianza de lo errore y de la prediccione, correpondiente al ajute de obre en la ditribución anterior. En un grupo de 10 alumno e han obtenido la calificacione en Anatomía, eparando el ejercicio teórico del práctico. El profeor encargado ordenó tale calificacione de mayor a menor puntuación, encontrando lo reultado iguiente : Alumno Claificación teoría Claificación práctica Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir i exite relación o no entre la calificacione en la do parte del examen. 0 - Regreión y correlación (F. Álvarez)

21 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS '1 0'746 1'96 1'184 0'8448 a) b 1'133 y' 1'133. x b) r 0'909 z y' 0'909. z x c) r 0'863 La proporción de variabilidad explicada por upone el 6'63% de la de. 1'8 0'16 ' 3' 1'04 a) a '6871 b 1'963 ' ' '963. b) R r 0'711 Repreenta la proporción de varianza de explicada por (el 7'11%) ' 8' 4'0 1'8 3'17 a) a 1'9333 b 0'3848 ' 1' '3848. b) r 0'8188 Elevada relación entre la variable (de tipo directo) 16'37 14'394 1' 0'3994 0'466 b) r 0'1944 La variable no etán relacionada linealmente (on independiente) (I) Coeficiente bierial puntual r bp 0'0389 (II) Coeficiente ρ de lo rango de Spearman ρ 0'887 (III) Coeficiente ϕ ϕ - 0'614 a) 0'3 + 0'9. b) r 0'88 a) b) c), 96 r bp (o bien el 83 31%) ; ρ Regreión y correlación (F. Álvarez) - 1

22 - Regreión y correlación (F. Álvarez)