Tema 4: Programación lineal con variables continuas: método del Simplex

Transcripción

1 Tema 4: Programación lineal con variable continua: método del Simple Obetivo del tema: Reolver de forma gráfica un problema de programación lineal continuo Etudiar la forma equivalente de repreentación de lo problema de programación lineal Aprender lo concepto báico de álgebra lineal neceario para reolver programa lineale continuo Reolver un problema de programación lineal continua por enumeración ehautiva de olucione báica. Reolver un problema de programación lineal continua utilizando la verión algebraica del método del imple Reolver un problema de programación lineal continua utilizando la verión tabular del método del imple

2 Reolución de problema de programación lineal En ete tema abordamo la forma de reolver problema de programación lineal continua. El obetivo fundamental e entender la naturaleza del problema el perfil computacional a que dan lugar eto método. Dede un punto de vita práctico lo procedimiento manuale de reolución no tienen mucho interé porque ho día eiten abundante herramienta informática que implementan de manera mu eficiente eto procedimiento, como etudiamo en el tema anterior, permiten utilizarlo dede potente lenguae de modelado. dld Aunque el tema e centra fundamentalmente en el algoritmo del Simple, propueto por Dantzig en 947, comenzaremo introduciendo el método de reolución gráfico, que reulta mu intuitivo para entender la correpondencia entre la verión puramente algebraica de eto problema u repreentación geométrica. A continuación etudiaremo una erie de tranformacione que no van a permitir llevar lo problema de programación lineal a una forma etándar, que e el punto de partida del algoritmo del Simple. Depué etudiaremo el concepto de olución báica factible, que uega un papel fundamental en la reolución de lo problema de programación lineal, a que una olución óptima erá iempre una olución báica factible ademá porque el número de olucione báica factible de un problema lineal continuo e finito, lo que acota coniderablemente el procedimiento de búqueda de la olución. Ante de abordar de manera precia el método del Simple utilizaremo un eemplo para introducir de manera má intuitiva lo concepto fundamentale que operan en ete algoritmo. A continuación etudiaremo lo fundamento teórico del método lo criterio de operación que reumiremo en una verión algebraica del algoritmo del Simple. Depué lo aplicaremo a un eemplo. Depué veremo la verión tabular de ete algoritmoque implifica u utilización manual la aplicaremoal mimo eemplo. Finalmente introduciremo lo método que e utilizan para obtener una olución báica factible inicial para el método del Simple cuando ha que introducir variable artificiale en el problema originalpara llevarlo a u forma etándar. 2

3 Reolución gráfica La reolución gráfica de lo problema de programación lineal no e mu práctica porque ólo e puede aplicar cuando el número de variable e de 2 o. Sin embargo e batante útil para interpretar viualmente lo concepto procedimiento utilizado poteriormente. Para reolver gráficamente un problema de programación lineal eguimo lo iguiente pao: ) Dibuamo la región factible utilizando la ecuacione de la recta que reultan de convertir la retriccione en igualdade. 2) Determinamo lo punto etremo de la región factible: punto de interección entre la recta que pertenecen a la región factible. ) Evaluamo la función obetivo en lo punto etremo determinamo el de valor óptimo Ete mimo problema lo utilizaremo Vamo a reolver gráficamente el iguiente problema: Maimizar z 2 poteriormente para ilutrar lo retante método de reolución uetoa : 2 8 dvar float+ 2 8 dvar float+ 242 maimize *+2* 24 ubect to OPL {, 2* + <= * + * <= 42 * + <= 24 } (,4) z = 28 La interección de la recta de io cote (en verde) con la región factible determina la olucione factible de igual cote. Moviendo eta recta de forma paralela en el entido creciente de z, e puede determinar también la olución al problema: última interección de la recta con lo punto etremo. (6,6) z = (,2) z = // olution (optimal) with obective = = (,) z = (8,) z = 24

4 Forma equivalente de un problema de programación lineal En el tema vimo que la forma general de un problema de programación lineal continuo era la iguiente: Maimizar ó Minimizar z cc 22 cn ueta a : a a a óób 2 2 n n a a a óób n n 2 am am amnn óób, 2,, n 2 2 n Vamo a analizar una erie de tranformacione que convierten el problema en otro equivalente, entendiendo como equivalente otro problema que tiene la mima valore para la variable de deciión función obetivo. Maimización minimización E evidente que iempre e cumple la iguiente relación: Máimo c c c Mínimo c c c 2 2 n n 2 2 n n Luego un problema de maimización iempre podemo convertirlo en uno de minimización equivalente vicevera. Por tanto no e pierde generalidad i uponemo que iempre el problema e de maimización. Para trabaar con uno de minimización bata cambiar lo igno de lo coeficiente de la función de cote reolver el problema de maimización reultante. El mínimo bucado erá el opueto del máimo obtenido. Variable no retringida Como en la maoría de lo problema la variable de deciión repreentan cantidade fíica, u no negatividad aparece de forma natural. Sin embargo ha ocaione en la que e neceario tratar con variable de deciión que puedan tomar valore poitivo negativo, por eemplo, en problema de fluo para epecificar el entido del mimo. Eta variable e denominan no retringida. Si e una variable no retringida iempre podemo utituirla por la diferencia de do variable no negativa, reultando un problema equivalente pero con má variable: con, 4

5 Cambio de igualdad a deigualdad Una retricción de igualdad de la forma: a a a b i i2 2 in n i podemo utituirla por do retriccione de deigualdad de la forma: ai ai2 2 ainn bi a a a b i i2 2 in n i la egunda podemo utituirla por otra del mimo entido que la primera cambiando de igno ambo miembro: ai ai2 2 ainn bi aa ab i i2 2 in n i Cambio de deigualdad a igualdad: variable de holgura Una retricción de deigualdad de la forma: a a a b i i2 2 in n i podemoutituirlapor otra retricción de igualdadintroduciendo una nueva variable no negativa denominada de holgura: a a a b con i i2 2 in n n i n Análogamente, una retricción de deigualdad de la forma: a a a b i i2 2 in n i podemo utituirla por otra retricción de igualdad introduciendo una nueva variable de holgura: a a a b con i i2 2 in n n i n 5

6 Forma canónica de un problema de programación lineal Teniendo en cuenta la tranformacione anteriore, un problema lineal iempre podemo tranformarlo en uno equivalente de maimizacióncon todala retriccione de tipo denominado forma canónica: Maimizar z c c c ueta a : 2 2 a a a b 2 2 n n a a a b n n 2 n n am am22 amnn b, 2,, n Forma etándar de un problema de programación lineal Dela mimamaneraun problema de programación lineal iempre podemo tranformarlo en u equivalente en forma etándar en el que ólo eiten retriccione de igualdad: Maimizar z c c 2 2 cn n ueta a : a a2 2 a nn b a2 a222 a2nn b2 am am22 amnn bm, 2,, n En forma matricial la forma etándar de un problema de programación lineal adoptaría la forma general: a A b c a A a a a n am a mn n b m c a n m T Maimizar z c a a n b c ueto a A b E evidente que aunque haamo utilizado la mima notación paralamatriza lo vectore b,, c en la do forma canónica etándar, cuando un mimo problema e lleva a amba forma e obtienen en general matrice vectore diferente. 6

7 Eemplo de pao a la forma etándar Vamo a tranformar el iguiente problema de programación lineal en otro equivalente que etá en la forma normal. Maimizar z 2 uetoa : , Para ello introducimo la tre variable de holgura hd,, que convierten la deigualdade en igualdade: En forma matricial ería: Maimizar z 2 uetoa : 2 h d 24 hd,,,, 2 8 Maimizar 2 h ueto a : 2 h = d d 7

8 Concepto báico de programación lineal Dado el iguiente problema de programación lineal continua en la forma etándar: T Maimizar z c ueto a A b definimo lo iguiente término: a a n b c A b c a a b c m mn n m n a a A a a a n a m Solución factible: valore de que atifacen toda la retriccione, incluida la de no negatividad Solución factible óptima: la olución factibleque proporcionael óptimopara la funciónobetivo ae o matriz báica: una matriz cuadrada de dimenión rango m etraída de la columna de A Matriz no báica: matriz reidual N formada por la columna de A que no etán en Variable báica: la m variable de aociada a la columna de Variable no báica:lan m retante variable N de Solución báica Si epreamo la matriz A elvector decompueto en variable báica no báica tenemo: A N A b e puede ecribir como: N b obien: NN b N N i hacemo N, e convierte en cua olución e que e la olución báica de aociada a A b b b A b Una olución báica erá, pue, una olución del problema lineal en la que n m variable de deciión toman valor cero. Solución báica factible: una olución báica que ademá e factible, e decir Función de cote de una olución báica factible c c c z N 8

9 Correpondencia: punto etremo < > olucione báica factible La olucione báica factible de un problema lineal etándar e correponden con lo punto etremo de la región factible: 2 b 4 b b 2 b i i. b p p i on p bae factible 2 p i Para entender má intuitivamente eta correpondencia conideremo el problema anterior: Maimizar z 2 ueto a : 2 h d 24, Punto etremo Variable nula Variable no nula A,, h, d,, hd h, C, d,, h D d, h,, E, h,, d Cada punto de la región factible ACDE viene identificado por una tupla de valore para,,h,,d = C Lo valore de la variable e dan la coordenada del punto en el plano (,) Lo valore de la variable h,,d dan la eparación del punto (,) a la recta definida por la retricción ió correpondiente. = d= D Lo punto ituado obre la arita del polígono que forma la región factible tienen una componente nula. Lo punto etremo del polígono (vértice) que etán obre do retriccione (interección de do recta) tendrán do variable nula por tanto erán olucione báica factible. A = h= E 9

10 Eemplo de correpondencia: punto etremo < > olucione báica factible Ma z= a ,, 2 Forma etándar Ma z= a A c b T T T [ ] 2 2 [ ] [5 5 5] n n! 6! N º máimo de olucione báica 2 m m!( n m)!!! ólo 8 tienen invera on factible : 5 5 bae ( 2 ) b= Toda la ub matrice i de A de orden on ingulare alvo la 8 correpondiente a la iguiente variable báica: 2 Punto etremo Solucione báica factible (,5,5) (,5,) (5,5,) (,,5) (,,) (5,,) (555) (5,5,5) (5,,5) * * * báica no báica ( 2 ) ( ) ( ) (5 5 5) 2 2 ( ) ( ) (5 5 ) 2 2 ( ) ( ) (5 5) 2 2 ( ) ( ) (5 ) 2 2 ( ) ( ) ( 5 5) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) ( ) ( ) ( 5) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2

11 úqueda ehautiva de olucione báica El teorema fundamental de la programación lineal aegura que i un problema de programación lineal tiene olución óptima finita, entonce neceariamente eite un punto etremo de la región factible en el que alcanza dicha olución óptima. Por tanto ete reultado reuelve teóricamente el problema de la programación lineal, pueto que la olución e puede encontrar eaminando el valor de la función obetivo en un número finito de punto. Vamo a utilizar ete reultado para obtener el punto etremo óptimo del anterior problema de programaciónlineal: Maimizar z 2 h d ueto a : 2 h = 8 2 = 42 d = 24 hd,,,, 2 8 Maimizar 2 h ueto a : 2 h = d d La matriz de ete problema admite ub matrice cuadrada de X candidata a punto etremo de la región factible: ( h d) n 2 n! 5! 542 m A= 2 m!( nm)!!2! 22 Eta ub matrice on la iguiente:

12 Enumeración de la olucione báica factible Vamo a calcular cada una de la olucione báica factible el valor correpondiente de la función obetivo: b z c T h d no factible porque h e negativa no factible porque d e negativo h factible: z, = 6, = 6 no factible porque h on negativo d factible: z =, =, = h factible: z 24, = 8, =. 4. h 4. d factible: z = 28, =, = d 6 no factible porque e negativo h h 24.5 d 9 d 24 no factible porque h d on negativo factible: z, =, = Sólo 5 on báica factible, la que produce valor máimo a la función de cote e: z =, =, = 2 2

13 Método del Simple Hemo vito que el teorema fundamental de la programación lineal permite reolver eto problema eaminando el valor de la función obetivo en un número finito de punto. Sin embargo, el número de punto etremo de un problema puede er mu elevado por lo que e hace necearia alguna etrategia que eamine lo punto etremo de una manera eficiente, e decir, que recorra a er poible en primer lugar lo má prometedore como candidato a óptimo, que diponga de un criterio que determine que e ha alcanzado la olución óptima in haber realizado un recorrido completo de todo punto etremo. El método del implereúne eta caracterítica a que parte de un punto etremo inicial cualquiera(olución báica factible) mediante uno criterio mu precio opera de forma iterativa paando de un punto etremo a otro adacente (ólo e diferencia en una variable que en uno e báica el otro no) que meora (o por lo meno no empeora) la función obetivo de procedencia, alcanzado la olución óptima en un número finito de pao. Solución óptima Iteracione del método imple Solución báica factible inicial E evidente que cuanto meor ea la olución báica de partida má eficiente reultará el método, llegándoe ante a la olución óptima.

14 Introducción al método del imple Vamo a introducir el método del imple de una manera intuitiva utilizando el eemplo anterior en forma etándar: Epreión matricial: Maimizar z = +2 ueto a : 2+ +h = = d=24,, h,, d T c Maimizar z ueto a A b c T T 2 h d b T [ ] 2 A= 2 Partiremo de una bae inicial e iremo paando en uceiva iteracione por bae de meor cote hata alcanzar el óptimo ) Elección de una bae inicial El algoritmo del imple parte de una olución báica factible inicial correpondiente a un punto etremo de la región factible. En nuetro cao, aprovechando la variable de holgura introducida, reulta fácil obtener una olución báica haciendo = e = reolviendo el itema = = 2 h = 8 reultante en h, d : que correponde a la bae: de =42 A= 2 d=24 z= h= =8 2 (,) z = =422 Podemo reecribir el itema de ecuacione depeando la variable báica: d = 24 z=++2 Se oberva que e poible meorar z introduciendo o en la bae acando h, o d. Introduciremo que aporta má que a z ( frente a 2). 4

15 ) Primera iteración Introducir en la bae ignifica que aumentamo u valor de cero a un valor poitivo. E evidente que cuanto maor ea ete valor maor aportación hará a z. Sin embargo, el valor de no debe alir de la región factible, lo que ignifica que debe repetar la retriccione, incluida la de no negatividad. Pueto que va a eguir fuera de la bae eguirá valiendo = tendremo: d e la variable que determina el máimo valor que 8 puede aportar a la función obetivo, 8 h = 8 2 h h = 8 2 =42 2 = 42 2 d = 24 d d = 24 8d d h = = 2 =42-2 8=26 d=24-8= z = +2 = 8 = 24 =8 = h = Min,, Min 9,2, Cuando dea la bae. Por tanto hemo acado a d de la bae hemo introducido a. Lo nuevo valore de la variable erán: Depeemo en el itema la variable báica: =26 d= z= 24 (,) z = (8,) z = 24 h = 8 2 = 42 2 d = 24 z=++2 h =8-2 (24--d)- = 42-2 ( d) - = (24--d) z=(24--d) +2 h = d =26 = d =8- - d z=24+-d Se oberva que e poible meorar z introduciendo en la bae acando a h o. 5

16 2) Segunda iteración Introducir en la bae ignifica que aumentamo u valor de cero a un valor poitivo. E evidente que cuanto maor ea ete valor maor aportación hará a z. Sin embargo, el valor de no debe alir de la región factible, lo que ignifica que debe repetar la retriccione, incluida la de no negatividad. Pueto que d va a eguir fuera de la bae eguirá valiendo d = tendremo: h = 2 - =26-7 =8- h h = 2-6 = 26-7,4 = 8-24 Min 6,,4, h h Cuando dea d la bae. Por tanto t hemo acado a h de la bae hemo introducido id a. Lo nuevo valore de la variable erán: =6 h = 2-6 = =6 =26 =26-7 6=2 h= h =2 (6,6) z = =8-6=6 d= (,) z = z = +2 = = (8,) z = 24 z= Depeemo en el itema la variable báica: h = d = d =8- - d z=24+-d =6-h+2d = 2+7h - 4d =6+h-d z=-h+d Se oberva que e poible meorar z introduciendo d en la bae. 6

17 ) Tercera iteración Introducir d en la bae ignifica que aumentamo u valor de cero a un valor poitivo. E evidente que cuanto maor ea ete valor maor aportación hará d a z. Sin embargo, el valor de d no debe alir de la región factible, lo que ignifica que debe repetar la retriccione, incluida la de no negatividad. Pueto que h va a eguir fuera de la bae eguirá valiendo h = tendremo: =6+2d = 6 +2d d =2-4d =2-4d d =6-d = 6 - d d 6 d Min,6 6 = d Cuando dea d la bae. Por tanto t hemo acado a de la bae hemo introducido id a d. Lo nuevo valore de la variable erán: =6+2 =2 = 2-2 = =6-= z = +2 = +2 2 = = =2 h = = d= (,2) z = (6,6) z = z= Depeemo en el itema la variable báica: (,) z = (8,) z = 24 =6-h+2d = 2+7h - 4d =6+h-d z=-h+d = d =+ 7 h = z=-5 h- 4 4 Ya no e poible meorar z pueto que lo coeficiente de la variable no báica on todo negativo. Luego hemo alcanzado el óptimo 7

18 Fundamento del método del imple T Maimizar z c Lo término ( z c ) on lo cote reducido. Determinan la aportación de la variable ueto a A b no báica a la función obetivo a a n b c a A b c a A a a an am a mn n b m c n a m Sea a a2 a m una ubmatriz de A formada por m columna de A de rango m Sean : I, 2,, m= conunto de índice de la columna de J,2,, n I conunto de índice de la columna de A que no etán en A N A b e puede ecribir: N b, o bien : NN b () N N i hacemo N, A b e convierte en b cua olución e : b Supongamo que b de manera que e una olución báica factible Epreión del itema de retriccione con repecto z a la variable no báica (itema eplícito) c cn c cn c b NN b llamando Y= N tenemo: Y b = A partir del itema eplicito e N multiplicando por c la ecuacion anterior tenemo c c Y c retando z =c cnn de la ecuación anterior cnn cyn zc zz ( cn cy ) N zz z z ( cn cy ) N z z (z c ) donde Y [ ] J [ ] I, J J N etraen la concluione teórica necearia para encontrar lo criterio del algoritmo del imple Epreión de la función obetivo con repecto a la variable no báica (itema eplícito) 8

19 Criterio del método del imple Criterio de óptimo La condición necearia uficiente para que una olución báica factible aociada a una bae ea óptima e: Criterio de entrada J ( z c ) Se introduce la variable tal que z c Máimo z c ( z c ) k k k Criterio de alida l Si k e la variable de entrada la de alida erá la l que cumpla Mínimo k I lk k Criterio de no acotación k J ( z c ) con k 9

20 Método del Simple algebraico Supondremo que e trata de un problema que e encuentra en u forma etándar. En cao contrario e introducen la variable necearia para llevarlo a la forma etándar. Maimizar z ueto a A b T c a a n b c A b c a a b c m mn n m n a a A a a a n a m ) El proceo comienza a partir de una bae factible conocida de A. Sea: ubmatriz no ingular de A de dimenión mm (una bae factible b) I conunto de índice de J,2,, n I conunto de índice de A que no etan en 2) Calculamo: ) z a T c ( z c ) J t Si ( z c ) J e una olución báica óptima con z c FIN Si J :( z c ) entonce definimo J J ( z c ) Si J olución no acotada FIN Si J > entonce calculamo k l Cálculo de k : criterio de entrada : Ma z c J z c k k l Cálculo de l : criterio de alida : Min k I k lk Calculamo la nueva bae utituendo la columna l por la columna k Se repite el proceo con la nueva bae 2

21 Eemplo Maimizar z = +2 Maimizar z = +2 ueto a : 2+ 8 forma ueto a : 2++h = etándar 2++ = d = 24,, 2 8 Maimizar i 2 h ueto a: 2 h d d dvar float+ dvar float+ maimize *+2* ubect to { 2* + <= 8 2* + * <= 42 * + <= 24 } OPL // olution (optimal) with obective = = 2 ( h d ) 2 A 2 c T T 2 h d b T [ ] dvar float+ dvar float+ OPL dvar float+ h dvar float+ dvar float+ d maimize *+2* ubect to { 2* + + h == 8 2* + * + == 42 * + + d == 24 // olution (optimal) with obective = = 2 h = = d = 2

22 Eemplo: imple algebraico Una vez llevado el problema a la forma etándar e evidente que lo tre vectore columna de A correpondiente a la variable de holguracontituen una bae factible que utilizaremo como punto de partida del método del imple: ) 2) ( h d ) h b d z 2 c 2 z c z c z c 2 ) Ma z c, z c, 2 entra en la bae h d Min,,,, 9,2,8 8 d dea la bae (,) z = 22

23 Eemplo: imple algebraico Repetimo el proceo con la nueva bae 2: ) ( h ) 2, 6667 h, , b, ,, ),6667,, 6667, ,6667 2, d 2, 6667, 6667 d,,,, z,, c 2 2,, 666 z c 2 d 2, 6667 d 2, 6667, 6666, z c, 666 2, z c, 6666 d d ) Ma z c,, entra en la bae Min,, 6,,444, 24,246 h dealabae, 2,, (,) z = (8,) z = 24 2

24 Eemplo: imple algebraico Repetimo el proceo con la nueva bae : ) 2) ( ) b h d d z 2 c 2 7 z 2 4 c h h d d ) z c z c h h d d Ma z c d entra en la bae d d (6,6) z = 2 6 Min, Min, 6 dea labae 4 (,) ) z = (8,) z = 24 24

25 Eemplo: imple algebraico Repetimo el proceo con la nueva bae 4: ) ( d ) 2,5,5,5, ,75,25 d 4,75,25 42 b,75,25,75, ) ),5,5,5,5,5,5 h 4 h, 75,25,75 4,75,25,25,75,25,75,75,25,25 z,5,75 c 2,75,25 z c 2 h h d d,5,25,25,25 (,2) z = No e poible meorar 2 z c d 2 (6,6) z = (,) z = (8,) z = 24 25

26 Simple tabular Eta verión del Simple permite ituar la información del problema inicial la ditinta iteracione en forma tabular, que reulta má cómodo i el problema e reuelve de forma manual. En el iguiente equema epecificamo la forma de contruir la tabla inicial del método que correponde a la olución báica factible de partida Coeficiente de la variable báica en la función obetivo c cn c variable báica c c n n m m m mn m z c z c z n n Valore de todo lo coeficiente de la función obetivo Nombre de toda la variable del problema Vectore columna aociado con la repectiva variable Valore de la variable báica Valor de la función obetivo Nombre de la variable báica Valore de lo cote reducido: indicadore del imple Eemplo: ( 2 ) Maimizar z = +2 h d ueto a : 2+ +h = 8 h = d = 24 d 24, 2 26

27 Simple tabular: algoritmo ) Si eite algún valor z c que eite poibilidad de meora vamo al pao 2). Si todo z c la actual olución e la óptima el problema FACTILE: FIN 2) Si para algún z c e u vector aociado el problema e NO ACOTADO,, en cao contrario vamo al pao ) ) Selección de la variable de entrada alida: e elecciona como variable de entrada aquella con valor má negativo de k la deignaremo por iendo k la columna pivote. Se elecciona como variable de alida aquella que haga mínima la razón i ik para ik La fila con mínima razón la deignamo por r e denomina fila pivote. El elemento rk e denomina pivote. 4) Cálculo de la nueva tabla: z c a) Se contrue una nueva tabla vacía en la que e utitue la variable báica de alida por la nueva variable báica r k c r por c k b) La fila r de la nueva tabla e obtiene dividiendo la fila r de la precedente por el pivote la columna k de la nueva tabla e forma con cero ecepto el lugar del pivote que e pone a. c) Lo retante elemento de la tabla lo obtenemo retando de lo antiguo el valor de a dado por la iguiente epreión: i i a i i a ( z c) ( z c) a z za e r e i a con ( i r ) e e r ik rk elemento en la fila pivote de la columna elemento de la fila i de la columna pivote 27

28 Eemplo: imple tabular h d h d (,4) z = 28 (,2) z = h d (6,6) z = h h d (,) z = (8,) z = 24 h d 2 d ,

29 Método del Simple : olución báica inicial La variable de holgura introducida para convertir inecuacione en ecuacione no han permitido en el eemplo anterior diponer de una olución báica inicial fácil de coneguir: la correpondiente a la variable de holgura cua matriz báica reultaba er la matriz unidad. Pero i una o má de la retriccione de deigualdad fuee de entido opueto, la variable de holgura habría que introducirla retando, por lo que la correpondiente olución báica no ería factible. Por eemplo, i cambiamo el entido de la deigualdad en la primera retricción del eemplo anterior tendremo: dvar float+ dvar float+ Maimizar z = +2 Maimizar z = +2 dvar float+ z ueto a : 2+ 8 ueto a : 2+ h =8 forma maimize *+2* etándar 2++ = 42 ubect to { d = 24 2*+ >= 8, hd,,,, 2* + * <= 42 * + <= 24 h d h 8 8 // olution (optimal) with obective 5. = b =.4 4 d e una matriz báica pero no e factible a que una de la variable de deciión (h) toma valor negativo ( 8) por lo que no e puede utilizar para iniciar el método del imple. En eto cao podemo introducir variable artificiale en la correpondiente ecuacione para diponer de una bae factible. Por eemplo, introduciendo la variable artificial a en la primera retricción del problema anterior tenemo: Maimizar z = +2 ueto a : 2+ h+ a = = d = 24 Variable artificial a d a 8 8 b d hda,,,,, Variable de holgura Con la introducción de la variable artificial a hemo coneguido de nuevo una bae factible con la que iniciar el método del imple, in embargo en ete cao el problema tranformado no e equivalente. E evidente que una olución factible del problema tranformado en la que la variable a =, erá también una olución factible del problema original. 29

30 Método del Simple : olución báica inicial con variable artificiale Eiten do método para reolver un problema de programación lineal (problema original) que e ha convertido en uno artificial (problema aumentado) con la introducción de variable artificiale: el método de la do fae el método de la penalizacione. Método de la do fae Fae : Se determinar i el problema original e factible en cao afirmativo e calcula una olución factible inicial. Para ello e reuelve el problema que reulta de utituir la función obetivo original por la la uma de la variable artificiale: Minimizar t = a a ueto a : Aa = b a, Si e dipone de una olución báica factible de ete problema auiliar con t = entonce e dipone de una olución báica factible del problema original. Fae 2: Se aplica el método del imple partiendo de la olución báica factible obtenida en la fae, ahora con la función obetivo original. Método de la penalizacione Ete método conite en forzar la variable artificiale a que tomen un valor nulo en la olución óptima introduciendo eta variable en la función obetivo con uno coeficiente M para un problema de minimización M para uno de maimización, iendo M un número poitivo arbitrariamente grande, e decir, un número iempre maor que cualquier otro con el que e compare en la aplicación del método. Por eta razóneledenominacomoelmétodo de la gran M (big M method). Maimizar z = ma c Problema aumentado Problema original Maimizar z = c a a ueto a : A =, ueto a : Aa = b a, a b a T T m M M m M M ) Si uno de lo problema no tiene óptimo finito el otro tampoco lo tiene. 2) Toda olución factible del problema original también lo e del problema aumentado (bata tomar ) a ) Toda olución factible del problema aumentado que no contenga variable artificiale etrictamente poitiva e una olución factible del problema original.

31 Eercicio Dado el iguiente problema de programación lineal: Maimizar z = ueto a : , 2 a) Paarlo a la forma etándar equivalente b) Reolverlo enumerando la olucione báica factible calculando la función obetivo en cada una de ella. c) Reolverlo utilizando el método del imple algebraico o tabular