INTRODUCCIÓN Y AGRADECIMIENTOS

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1 ÍNDICE

2 INTRODUCCIÓN Y AGRADECIMIENTOS El preente trabajo pretende er el egundo de lo do que han de er entregado para optar al título de Diplomado en Etudio Avanzado DEA por la Univeridad Autónoma de Madrid UAM habiendo ido el primero Etudiamo diferente reultado relacionado con la ditribución de lo número primo, la función zeta, ditribucione de u cero, etcétera, diponiendo lo reultado en lo capítulo que comentamo brevemente a continuación Capítulo : Repao de la Publicación Original de Riemann En ete capítulo introductorio recorremo la única publicación que Bernhard Riemann hizo en teoría de número, jutificando alguno pao y comentando todo aquello que no eté claro o que ea incorrecto No daremo prueba ehautiva de cada uno de lo pao, ino que iremo dando referencia a otra parte del trabajo La idea e permitir eguir la idea originale de Riemann de forma encilla evitando en la medida de lo poible el perderno en lo detalle Capítulo : Reultado Auiliare Damo demotracione riguroa y eplicacione detallada de todo lo pao incompleto en el original de Riemann Etá organizado en eccione numerada que e correponden con la referencia dada en el capítulo Capítulo 3: Teorema de lo Número Primo En la do primera eccione pueden encontrare do demotracione completa del teorema de lo número primo: una uando teoría de Fourier y la otra utilizando únicamente método de variable compleja En la última ección de ete capítulo reumimo otra ocho demotracione alternativa de ete teorema

3 Capítulo 4: Ditribución de Cero para la Función Zeta de Riemann Ete último capítulo conta de cinco eccione en la que etudiaremo eencialmente cómo e ditribuyen lo cero de la función zeta de Riemann en la banda crítica, y cómo el conocer dicha ditribución no permite obtener información de cómo e ditribuyen lo número primo dentro de lo entero Apéndice : Reultado Auiliare Breve eplicacione de todo aquello reultado teorema o teoría importante que e han uado en la demotracione a lo largo del preente trabajo Apéndice : Trabajo Original de Riemann Para que ea má encillo el hacer conulta incluimo una traducción al inglé del trabajo original de Riemann Ete trabajo e encuentra diponible en Internet y e la referencia [] Bibliografía AGRADECIMIENTOS AQUÍ La notación que e emplea en ete trabajo e má o meno etándar, alvo quizá un poco en el primer capítulo intentando acercarno al original de Riemann de forma que la comparacione con el Apéndice fueen má encilla Haremo eplícito alguno ímbolo por i pudieen reultar confuo: ℜ denota la parte real del número complejo ℑ e la parte imaginaria del número complejo 3 [ ] Función parte entera: el mayor entero menor o igual a 4 { } Función parte fraccionaria: { } [ ] 5

4 Hay que eplicar la notación y la de Landau Sobre la notación de Landau, ver ecc 98 de [E] pág 99

5 Capítulo : Reviión del Trabajo de Riemann Introducción En 859 Bernhard Riemann publica u único trabajo en teoría de número E un trabajo de una profundidad etraordinaria que no orprende, entre otra mucha coa, por u actualidad alvo alguna cuetión notacional menor E uno de eo cláico que aparecen como referencia en mucho libro y artículo y cuya influencia e deja entir hoy en día de forma notable debido, fundamentalmente, a la famoa hipótei de Riemann Varia rama de la matemática contemporánea han urgido para dar repueta o ampliar idea epueta en ete trabajo y ha ido también uno de lo motore má importante para u poterior dearrollo Como curioidad incluimo una breve decripción de alguno problema y teoría matemática y fíica relacionada: referir a conequence of the Riemann Hypothei Incluir un breve reumen aquí Uno de lo foco de invetigación má activo en la actualidad en teoría de número gira entorno a una de la afirmacione que aparece en u publicación y que todavía queda por demotrar: la conocida como hipótei de Riemann Éte e eguramente el problema abierto má importante, o al meno el má famoo, que actualmente tienen planteada la matemática Hay vario premio para aquél o aquello que conigan demotrar u veracidad (curioamente el premio no e hará efectivo i e encuentra un contraejemplo de forma numérica) Véae, por ejemplo, la página del Intituto Clay de Matemática en wwwclaymathorg El título original en epañol del trabajo de Riemann e puede traducir por algo aí como obre la ditribución de número primo menore que una

6 cantidad dada (el original en alemán Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben gröe) Puede encontrare una traducción al inglé del original alemán en el Apéndice de ete mimo trabajo Eiten etupenda publicacione que cuentan con muchíimo detalle la vida y obra de B Riemann, por lo que en ete trabajo no haremo cai ningún comentario hitórico Para ituar al autor diremo que actualmente B Riemann etá coniderado, junto con Euclide, I Newton, L Euler y K F Gau, como uno de lo matemático má importante e influyente de toda la hitoria En ete capítulo hacemo un eguimiento de la publicación de Riemann comentando brevemente alguno punto que pueden parecer ocuro, pero que admiten una eplicación encilla Todo aquello que requieran de una eplicación má profunda, o má larga, e dejarán para el capítulo egundo Lo que pretendemo e que en un primer etudio tengamo una viión general de la idea originale del autor impidiendo, en la medida de lo poible, perderno en lo detalle Siguiendo eta diviión, ería recomendable realizar una primera lectura de ete capítulo ignorando la referencia, de forma que e obtenga una viión global Poteriormente, y una vez que hayamo aimilado la idea de Riemann, podríamo realizar una egunda lectura reviando cada una de la referencia en profundidad Riemann divide u trabajo en do parte que diferencia claramente: en la primera introduce todo lo concepto y fórmula que neceitará poteriormente en la egunda, donde hace un dearrollo en el que pretende dar una fórmula que aproime eactamente la función de ditribución de lo número primo Anticipándono un poco diremo que deafortunadamente u dearrollo no e uficientemente riguroo y ni iquiera podemo coniderar que diee una demotración acetable del teorema de lo número primo, ya que una parte importante de u trabajo decana en la aún no probada hipótei de Riemann Reumimo brevemente el equeleto del trabajo de Riemann, iguiendo u

7 orden de epoición: Definición y continuación analítica a todo el plano complejo de la función Propiedade báica de la función zeta: no e multivaluada, tiene un único polo imple en y e anula en lo entero pare negativo 3 Enunciado y demotración de la ecuación funcional 4 Fórmula aintótica para el número de cero que la función relacionada con la tiene en la banda crítica 5 A partir de la fórmula anterior jutifica la factorización de como producto de u raíce 6 Introducción de f y F : funcione que no permiten etudiar la ditribución de lo número primo 7 Relación de eta funcione con la zeta de Riemann 8 Fórmula eplícita para la función y aparición del logaritmo integral 9 Fórmula eplícita para f, obtenida a partir de la que e comenta en el punto anterior Fórmula eplícita para F a partir de la obtenida para f uando inverión de Möbiu Mejora de la aproimación de Gau y Legendre y poible continuacione de u trabajo Lo que í conigue Riemann aunque de forma no riguroa e mejorar la etimacione y propueta heuríitica que aparecen en lo trabajo de Gau y otro autore (referimo al lector a [P] por ejemplo) y etablecer de nuevo de forma no riguroa una fórmula eacta para la función de ditribución de lo número primo como dearrollo en erie de funcione del tipo logaritmo integral En mi opinión, u mayor aportación fue aclarar en qué entido el logaritmo integral aproima la ditribución de lo primo dentro de lo entero, etableciendo de eta forma un conteto adecuado para el etudio del problema, y orientando en gran medida una buena parte de la invetigación poterior hata

8 nuetro día Hecho Preparatorio: Propiedade Báica Riemann parte de la identidad de Euler que relaciona lo número entero con la uceión de lo primo () n n p primo p La demotración e encilla e ingenioa, conecuencia del teorema fundamental de la aritmética (lo entero e decomponen de manera eencialmente única como producto de primo), por lo que paamo a demotrarla a continuación y definimo de pao la función Empezamo partiendo de la fórmula para la erie geométrica aplicada a la función p n, donde repreentamo la uceión de lo número primo por { p, p, p 3, } p pn m n m y por lo tanto N p k k n j N,j donde lo entero {n N,, n N,, n N, 3, } on todo aquello que pueden er factorizado como producto de potencia de lo primo p k con k,, N Haciendo N obtenemo la identidad de Euler

9 El principal problema e que de eta manera tenemo la función definida ecluivamente para ℜ, aí que nuetro próimo objetivo junto con Riemann e definirla para todo valor complejo y probar, de pao, que tiene únicamente un polo imple en y e finita para todo valor finito de la variable Lo coneguimo a partir de la definición de la función : () e d Uno de lo poco cambio notacionale que comentamo en la introducción tiene lugar aquí En la época de Riemann e repreentaba a la función gamma uando una pi mayúcula y la definición era levemente ditinta La relación entre amba e batante encilla:, e decir, traladamo una unidad a la derecha en el eje de abcia En lugar de, conideramo la integral e n d a partir de la que e igue, uando la igualdad y aplicando el cambio de variable t n ddt / n, la iguiente cadena de identidade: e n d e t t n n d n Ahora hacemo el umatorio en n y, uando la fórmula para una erie geométrica de razón e, obtenemo por fin la epreión 3 Obervemo que lo cambio de umatorio con integración etán plenamente jutificado por la convergencia aboluta de la erie Recordemo que debido a la definición de la funcione utilizada hata ahora etamo uponiendo de manera implícita que ℜ

10 (3) e d Eta epreión e válida únicamente cuando ℜ, con lo que por ahora no hemo coneguido nada Lo que e le ocurre a Riemann e coniderar la epreión e d a partir de la cual obtiene la identidad 4 La jutificación completa de dicha identidad e un poco larga aí que la preentamo en la ección de (4) e d ien donde e el camino definido en la figura En dicha ección jutificamo detalladamente por qué 4 no da la etenión a todo el plano complejo de la función Jutificamo también la iguiente propiedade de la función : no e multivaluada, tiene un único polo en y 3 e anula cuando e un entero par negativo (que por definición on lo conocido como cero triviale) 3 Ecuación Funcional Riemann continúa enunciando y demotrando lo que actualmente e conoce

11 como la ecuación funcional de (e la fórmula 34 que podemo encontrar un poco má adelante) Llama la atención el hecho de que dé do demotracione diferente de eta fórmula ya que Riemann era un matemático muy económico en u publicacione (parco en eplicacione y demotracione) Eta brevedad en u epoicione hace que la tarea de eguir u idea y ratrear la procedencia de éta ea batante complicado en general En ete entido recomendamo la referencia [E], en la que el autor hace epoicione muy completa, comparando con trabajo anteriore de otro autore y del propio Riemann Nootro ahora vamo a fijar nuetra atención en la relación de la fórmula de Poion con la función zeta, intentando de eta forma ver de dónde pudo etraer Riemann u inpiración En la ección 3 pueden encontrare la do demotracione completa que Riemann dio de la ecuación funcional En cierto entido e puede decir que la ecuación funcional para la función zeta no e má que la aplicación de la fórmula de Poion a la función f La anterior afirmación y lo cálculo que reproducimo a continuación deben er entendido como orientativo, e decir, poco riguroo No no vamo a preocupar en eceo por demotrar dónde on aplicable la fórmula ino olamente por etablecer formalmente relacione entre la funcione en la que etamo intereado Empezamo calculando la tranformada de Fourier de la función f r ℝ e ir d r ℝ f : y e iy dy r en

12 r En la egunda igualdad, dentro de la uceión de identidade anteriore, hemo hecho el cambio de variable y r d dy / r para hacer aparecer la función gamma Poteriomente hemo uado 4 y en la última identidad hemo utilizado alguna propiedade báica de la función gamma (véae la ección A5 del Apéndice ) Obervar que la operacione anteriore on válida al meno cuando r y ℜ Uando la notación, aplicando la fórmula de Poion a la función y coniderando la identidade anteriore, obtenemo la ecuación funcional para la función zeta de Riemann: (3) Como ya hemo comentado anteriormente, la identidade y cálculo precedente deben entendere ólo a nivel formal, ya que cuando uno de lo lado de la igualdad 3 converge, el otro no tampoco en ℜ De hecho la ecuación funcional no e puede demotrar in alguna forma de continuación analítica, de forma que Riemann neceitó argumentar de forma má cuidadoa aplicando la fórmula de Poion a funcione de decaimiento rápido Eligió como funcione de decaimiento rápido la familia de la gauiana probablemente debido a que utiliza una identidad que atribuye a Jacobi y que e válida preciamente para eta funcione En u trabajo hace referencia a una publicación de Jacobi donde, curioamente, no aparece eplícitamente dicha identidad, ino en otro documento [J] en el que Jacobi atribuye eta identidad a Poion Definimo la función pi mediante la fórmula:

13 e n (3) n La identidad de Jacobi a la que no referimo e (33) / Eta función no tiene abolutamente nada que ver con la que introduciremo en la ección 5 La demotración no e muy complicada una vez abemo que la tranformada de Fourier de y g e e g y e y La ecuación funcional para la función zeta e enuncia de mucha forma diferente dependiendo de la aplicación que e le quiera dar o incluo de quién la vaya a utilizar (véae otra en A57, por ejemplo) Una de la forma má comune e la ya ecrita anteriormente y que repetimo para futura referencia: (34) Eencialmente 34 no etablece una imetría con repecto a la linea vertical ½ Dicha imetría debe entendere en el entido de que conocido el comportamiento en la parte derecha de ea línea, conocemo el comportamiento en la parte izquierda y vicevera 4 Número de Cero y Factorización Para finalizar eta primera parte de u trabajo, a la que Riemann denomina preparatoria, define una nueva función a partir de que conidera má adecuada para hacer cálculo Etablece do hecho importante para ella:

14 el número de cero que eta función tiene en la banda crítica hata altura T y u factorización como productorio de u raíce Riemann empieza haciendo el cambio de variable it / donde la variable t puede tomar de nuevo valore complejo y define (4) t / La anterior definición urge a partir de la ecuación funcional depué de multiplicar por /, ya que de otra forma tendríamo do polo, uno para y otro para véae la identidad 34 Para llegar a la identidad 4 hemo uado una de la propiedade báica de la función gamma, a aber, que A partir de la definición 4 coneguimo de nuevo una función entera que tiene lo mimo cero que la función zeta de Riemann pero cuya epreión para la ecuación funcional e mucho má compacta: Para verlo bata con utituir 4 en 3 Nootro, al igual que el reto de lo trabajo poteriore a la publicación de Riemann, uaremo la variable en lugar de la t propueta en dicho trabajo, e decir, no haremo el cambio de variable que Riemann propone La única diferencial utancial reide en el hecho de que al hacer / it la banda crítica paa de er { ℂ } al conjunto B { t ℂ i / t i / } El cambio de variable, como tranformación, gira / radiane en entido horario y deplaza media unidad en dirección vertical la variable independiente t Seguramente Riemann hizo u cambio penando en la hipótei de Riemann: para que aí lo cero de fueran reale

15 figura 4 Depué de una erie de operacione que podemo encontrar detallada en la ección 4, Riemann llega a la epreión: { (43) t 4 d[ 3 / ' ] d /4 co t } log d Continúa u trabajo haciendo do afirmacione que neceitan una pequeña eplicación: la primera e que la integral anterior etá acotada Eto lo podemo ver obervando que e una función del tipo e t, de forma que por má que derivemo eguiremo obteniendo una función de decaimiento rápido, con lo que la integral erá convergente (obervar que la parte del coeno etá acotada en valor aboluto por ) La egunda afirmación que hace Riemann e que 43 e puede dearrollar como erie de potencia en t : la variable t ólo aparece dentro de la función coeno, que e par Paamo ahora junto con Riemann a etablecer una fórmula que no permita etimar el número de cero que denotaremo por N T de la función t en la banda crítica B dentro del intervalo [,T ] Hoy en día e conoce como fórmula de Riemann von Mangoldt, ya que fue éte último quien dio la primera demotración completa en el año 95 (habían paado 46 año

16 dede la publicación del original de Riemann) (44) N T T log T T La demotración de eta fórmula puede encontrare en la ección 5 Por fin llegamo a la parte que ha traído y igue trayendo a lo matemático de cabeza durante prácticamente iglo y medio: la famoa hipótei de Riemann (que mejor debiéramo llamar conjetura de Riemann, pero no voy a er yo a eta altura quien le cambie el nombre) A continuación podemo encontrar una traducción libre del original de Riemann al epañol La he hecho baándome en do traduccione al inglé (véane la referencia), aí que epero haber ido relativamente fiel al original Riemann e eprea, má o meno, en lo iguiente término: Uno de hecho encuentra aproimadamente ete número de raíce entre eta cota y e muy probable que toda la raíce ean reale A uno dede luego le gutaría tener una demotración riguroa de ete hecho, pero he dejado de lado la búqueda de eta demotración depué de alguno intento en vano porque no e neceario para el próimo pao en mi invetigación Eplicamo brevemente ete enunciado: como él ua la definición 4 para la función t, La banda crítica e ahora el intervalo [ i /,i / ], y e por eo que él dice lo de que toda la raíce ean reale (normalmente en lo libro encontramo el enunciado toda la raíce tienen parte real ½ ) Donde aparece uno de hecho encuentra aproimadamente ete número de raíce e refiere a lo que nootro ahora conocemo como fórmula de Riemann von Mangoldt, e decir 44 Por último Riemann etablece una fórmula que decompone la función t

17 como producto de u raíce Una vez má una jutificación completa de eta decompoición llevó batante tiempo e hizo que Hadamard dearrollae u teoría de funcione entera y u teorema de factorización Una epoición introductoria, aunque uficientemente detallada, puede encontrare en la referencia bibliográfica [C] o en la ección A7 en el Apéndice de ete mimo trabajo Nootro a continuación daremo una jutificación poco riguroa de eta decompoición A la fórmula que queremo llegar e a 45 Repreentaremo por a la raíce de la ecuación 4, t, mientra que uaremo la letra griega rho,, para la raíce, e decir, in hacer el cambio de variable que propone Riemann en u trabajo La relación que eite entre amba repreentacione de la familia de raíce e encilla: i / Siguiendo el original de Riemann y realizando el cambio de variable que él propone llegaremo a: t log (45) log t log Eencialmente eto lo podemo entender de la iguiente manera: todo polinomio con coeficiente en ℂ (teorema fundamental del álgebra) e decompone en factore lineale Lo término independiente en lo monomio on preciamente la raíce del polinomio (e la típica repreentación de un polinomio como producto de u raíce ) Algo muy imilar e lo que hacemo aquí: (46) t C t j j Eto no convergerá porque el término contante e no va a ir a infinito i dearrollamo el producto, aí que por una cuetión meramente notacional lo epreamo como en 47 Tendremo que normalizar la raíce para que la igualdad e mantenga: por abuo de notación en ambo cao llamamo a la raíce j

18 t (47) t C j j Ahora hemo de obervar que, por la ecuación funcional, la raíce on imétrica con repecto al eje imaginario (conjugada), con lo que podemo ecribir j t (48) t j, donde hemo aplicado que t / t / t / Si por último etraemo el logaritmo de 48 obtendremo la fórmula que aparece en el trabajo de Riemann Podemo penarlo de otra manera: eencialmente de lo que e trata e de caracterizar a la función a travé de u cero y ingularidade, e decir, como la función log tiene la mima ingularidade que alvo que on de tipo logarítmico en lo mimo punto que y no tiene ninguna otra ingularidad, entonce log tendrá la mima que la uma formal log La concluión e que i la uma anterior converge y e comporta cerca de tan bien como log, entonce la uma anterior y la función log difieren en, a lo umo, una contante aditiva Haciendo obtenemo el valor log para eta contante Hallando la eponencial no queda la fórmula que etablece Riemann, que igual que 48: El punto que aparece como má ocuro en eta demotración e la convergencia del umatorio: la convergencia e condicional (no aboluta) por lo que hemo de epecificar un orden Dicho orden e el correpondiente a poner

19 de forma creciente la raíce en función de la magnitud de u módulo Demotrar entonce la convergencia depende de probar que la denidad vertical de la raíce e del tipo log T / Para encontrar una prueba detallada de eta última afirmación referimo al lector a la ección 5 Para ver que la función no e anula para ℜ uamo la repreentación ' n n, Cuya demotración puede conultare al comienzo de la ección 3 Como el miembro derecho la erie e convergente para ℜ e tiene que la función zeta no e puede anular Uando la ecuación funcional vemo que lo mimo ocurre para ℜ (alvo lo cero triviale, véae la ección 3) Eta banda que no queda en la que parecen etar ubicado el reto de lo cero e lo que e conoce como banda crítica Reumimo lo que Riemann ha hecho en u trabajo hata el momento En primer lugar ha definido la función zeta que ya había definido Euler pero en lugar de uar variable real, utiliza variable compleja Poteriormente etiende la definición de dicha función a todo el plano complejo y demuetra lo que conocemo actualmente por ecuación funcional A continuación hemo jutificado una fórmula para el número de raíce que tiene la función (equivalentemente, la función zeta) en la banda crítica hata altura T y, para concluir, hemo dado un dearrollo para la función como producto infinito A lo largo del preente trabajo, en epecial en la próima ección, veremo el para qué de cada uno de eto reultado 5 Función de Ditribución de lo Primo Riemann da por concluida la parte introductoria o preparatoria de u trabajo y comienza a etudiar la ditribución de lo número primo Hata ahora hemo

20 preentado una erie de funcione y hemo etablecido alguna de u propiedade má importante Eta funcione y u propiedade la uaremo en lo que reta de capítulo para etablecer la ley que igue la ditribución de lo primo y el orden del error que cometemo La idea báica e la que ha perdurado dede entonce en el enfoque analítico del problema de la ditribución de lo primo: partimo de una ecuación integral para que interpretamo como la tranformada de Fourier de cierta otra función f A continuación depejamo f en dicha ecuación (hablando en término de tranformada de Fourier, invertimo el operador) de forma que no quede f en función de Reulta que la f tiene mucho que ver con la ditribución de lo primo, como veremo poteriormente Empezamo definiendo la función que no va a repreentar la ditribución de lo número primo Sea F una función tal que cuando no ea primo no dé el número de primo menore que él, y cuando ea igual a un primo incremente dicho valor en media unidad, e decir, F { p ℕ { p ℕ { p primo, p } p primo, p } i no e primo i e primo } de tal forma que cuando la función de ditribución tenga un alto, ea válida la iguiente identidad: F F F Recordemo que vamo a uar erie de Fourier y que cuando una erie de ete tipo aproima una función con un alto finito, en ee punto la erie converge al valor medio Éte e otro itio en el que la notación ha quedado un poco defaada en el original: actualmente eta función no uele repreentare mediante F, ino por Tenemo la iguiente identidade cuya demotración e trivial:

21 p p d, p p d, En la ecuación tomamo logaritmo de forma que no queda: (5) log log p p p p 3 p 3 p p p En la última igualdad hemo uado el dearrollo en erie de Taylor de la función logaritmo, recordamo la fórmula log 3 3 El dearrollo e válido i de forma que obtenemo una primera retricción de lo valore a lo que la fórmula erá aplicable: p log p e log p ℜ En realidad el conjunto de valore en el que e válida la identidad 5 e algo má retringido ℂ ℜ a ya que cada término de la erie en la última igualdad de 5 etá acotado debido a la iguiente etimación: p p p p p a ib p p a p p a p Definimo ahora la función que uaremo para el etudio de la ditribución de lo primo y la que hemo utilizado en lo comentario introductorio a eta ección f n n F n F F F 3 3

22 Eta e la función que invertiremo uando Fourier poteriormente y que etá íntimamente relacionada con Dicha relación e la que vamo a probar en lo próimo párrafo: log (5) f d De nuevo Riemann deja mucho detalle al lector ya que, como veremo inmediatamente, probar eta identidad no e trivial Hemo coniderado el incluir la demotración de 5 en ete capítulo y no en el iguiente como hemo hecho con el reto porque no parece muy intructivo el razonamiento, ademá de er una de la identidade fundamentale en el trabajo de Riemann Empezamo nuetra demotración con la iguiente obervación: F p, F p, 3 F p3, iempre que no ea un primo Eto e porque al coniderar aquella potencia n éima de primo que no ecedan al número, hemo de tener n en cuenta ólo lo primo que ean anteriore a La iguiente fórmula e ahora encilla de demotrar, bata con dearrollar lo umando: f m 3 F F F m 3 p m Para terminar la demotración de 5 uaremo la fórmula de umación de Abel (apéndice, ección A3) aplicada a log log log p 3 p p p 3

23 m p m m p lim m m p m p m La última identidad la ecribimo de eta manera porque queremo aplicar la fórmula de Abel al umatorio má interno Obervemo que etamo en la hipótei de dicho teorema, pero en lugar de hacer la umación con repecto a una variable muda repreentada por una n o cualquier otra letra, la hacemo con repecto a p m, e decir, aplicamo la fórmula de umación de Abel haciendo la iguiente utitucione: ap m m, A a p m m m p p, m iendo el valor de a en el reto de lo cao, e decir, a n n p Conúltee el ignificado de eta notación y la correpondiente funcione en el apéndice, ección A3 m Tenemo pue que: lim m p m p m lim lim m p m [ t m p t m ] dt Al er el primer umando igual a cero cuando porque ℜ, no queda que

24 lim m p m [ t m p t m ] dt, luego m lim p m m m [t m p t [ t m m p t m ] m dt ] dt t f t dt Meter el umatorio dentro de la integral e jutifica por la convergencia aboluta de la integral, aí que, reumiendo, hemo obtenido: (53) log f d y hemo vito que la identidad tiene validez en el conjunto { ℂ ℜ }, con lo que hemo terminado de demotrar 5 Riemann paa ahora a etudiar la ecuación (54) g h d log Ya que d log d /, al cambiar la medida hemo de cambiar también lo

25 límite de integración y Lo que pretendemo e invertir la tranformada manteniendo la parte real de contante, obteniendo de eta forma algo del tipo (55) i h y a i g y d a i Riemann no e preocupa en aboluto de i e poible aplicar la fórmula de inverión de Fourier en ete cao o no En concreto, una vez hecho el cambio de variable et que no permite eprear nuetra ecuación 53 de forma má adecuada (má parecida a la forma habitual en la que olemo ver la tranformada de Fourier), obervamo que la función f et e a t, a, que no quedae muy buena dede el punto de vita de erie de Fourier: alto finito, idénticamente cero i t y tiende a cero má rápido que cualquier polinomio cuando t No hace falta ningún teorema ofiticado de erie de Fourier para ver que podemo aplicar el teorema de inverión La integral 55 repreenta, para un valor de y donde la función h y tenga un alto, el valor medio entre lo do valore de h y a ambo lado de la dicontinuidad E por eto que definimo en u momento F de forma que tuviee ete alto Queda jutificada por tanto la iguiente identidad: (56) f y a i i a i log y d Obervemo que en prácticamente todo lo trabajo poteriore al de Riemann obre la ditribución de primo no e ua la función log, ino u derivada Eto no llevaría a hacer un dearrollo imilar al que hemo venido haciendo hata aquí, pero con la diferencia de que debemo uar en lugar de la función f, definida por la fórmula (57) n n, con

26 n log p { m i n p con m ℤ en otro cao }, iendo n el ímbolo de von Mangoldt Eta función que acabamo de definir no tiene nada que ver con la que hemo introducido en la ección 3 Deafortunadamente el uo de la mima letra para la do funcione e etándar Ahora no queda claro cuál e la relación entre la ditribución de lo número primo y la función zeta Si regreamo a la eccione anteriore y repaamo la funcione que introdujimo allí con Riemann y la propiedade que enunciamo y demotramo, veremo por dónde pretende continuar: manipular la integral y hacer aparecer el logaritmo integral, de forma que obtengamo una erie en la que el primer término ea dicha función Una vez hecho eto podremo etimar el orden del error que cometemo i etimamo el orden de la erie que no queda al coniderar todo lo término de dicha erie alvo el primero Eto, al meno dede un punto de vita epeculativo como e el de ahora, debiera darno el orden correcto del error en la aproimación que Gau propuo 6 Manipulacione en la Ecuación Integral En eta ección lo único que haremo erá, a partir de una erie de manipulacione má o meno complicada, llegar a una ecuación que no relacione la función f con el logaritmo integral Li Por comodidad para el lector volvemo a ecribir la ecuación 4: / Uando lo que enunciamo y demotramo en la eccione, 3 y 4, depejando, utituyendo y etrayendo logaritmo obtenemo la iguiente identidad:

27 (6) log + log log log log log Obérvee que i uáemo el cambio de variable que Riemann propone, el umatorio que incluye a la raíce en la fórmula anterior ería: log / Volviendo obre un comentario anterior (el párrafo que igue a la fórmula 56) fijémono en la que etá diviendo al logaritmo de la función zeta en dicha fórmula: éta e la razón por la que no e utiliza 4, ino la má cómoda 43 El problema que e no preenta e que al utituir 6 en 56 obtendremo epreione para la integrale que no erán convergente Por ejemplo, i no fijamo en el término / log, no daría lugar a una integral del tipo i a i u log d e e du que no e convergente Riemann propone reolver el problema de divergencia de la erie integrando por parte, de forma que no queda la iguiente cadena de identidade: f y i a i a i log y d

28 i [ a i a i log y log y a i i log y [ ] a i d [ y d log log y d a i log ] d ] y d d a i Para jutificar la última igualdad ólo hay que hacer un etudio encillo de lo do denominadore y lo do numeradore encerrado entre corchete de la parte a evaluar entre a i y a i, ya que al er a vemo que todo etá acotado meno la en el primer denominador Tenemo por tanto que a i (6) f i log [ d log ] d d a i Al utituir 6 en eta última epreión cada uno de lo umando tendrá la forma 63, donde la e una variable que en cada cao utituiremo convenientemente de forma que recuperemo lo repectivo umando a i (63) ± i log a i d [ log d ] d Uno de lo cinco umando, el término log, no tiene la forma 63 Operando normalmente obtenemo para ete cao que u valor e

29 a i i log a i log d log De hecho Riemann en u trabajo referimo al lector al apéndice comete un error un poco tonto, ya que log no e el valor de ete término i hacemo el cambio de variable que él propone Si no quedamo con la variable entonce ería correcto, en cuyo cao habría que ecribir log que e el valor correpondiente; pero de hecho Riemann hace un cambio de variable y paa a utilizar la función i t / véae la fórmula 4 con lo que el término que él ecribe log debiera er en realidad log / El primero en percatare de ete error fue Genocchi etando Riemann aún vivo Para un análii má detallado invitamo al lector a la ección 6 del primer capítulo de la referencia [E] El único término que no queda claro que tenga la forma 63 e el correpondiente a log / A partir de la definición de la contante de Euler y de la fórmula de Weiertra para la función e un ejercicio encillo demotrar la igualdad 64 en la que vemo claramente que ete término también cumple lo anteriormente enunciado (64) log lim M [ M log n logm n ] Tenemo por tanto que (65) d log d n d log n d Recordamo que la contante de Euler viene definida por la fórmula

30 lim [ N N n n log N ] Lo que no interea ahora e poder calcular eactamente el valor de la epreión 63 y relacionarla con el logaritmo integral Nootro preentamo aquí directamente el reultado y referimo al lector a la ección 4 para ver todo lo detalle La olución que allí encontramo depende del igno de la parte real de : i éta e negativa tenemo que a i (66) i log d [ log ] d d a i log d C, mientra que i e poitiva no queda a i (67) i log a i d [ log d ] d log d C A continuación vamo a aplicar la fórmula 66 y 67 a cada uno de lo cinco umando de 6 Poteriormente, juntando toda la epreione, obtendremo una de la fórmula centrale de todo nuetro dearrollo: 68 Ya hemo comentado anteriormente el valor para el término log, que no queda él mimo El término log / deaparece al dividirlo por y derivar, con lo que no contribuye a la uma: ya hemo terminado con lo do primero En el cao de log la vale, con lo que no queda el logaritmo integral E decir, el término principal en el dearrollo que etamo bucando

31 logd Li La fórmula anterior debemo entenderla como valor principal de la integral en el entido de Cauchy, que e define como: Li lim dt log t logdtt Paamo ahora al término log / En ete cao aplica la fórmula 66 con n Sutituyendo en 65 no queda una erie geométrica de primer término 3 / log y razón Operando y teniendo en cuenta el igno y lo límite de integración obtenemo d log El último término que no queda e el que ale de la decompoición de como producto de u raíce (la que tienen parte real poitiva) En la mayor parte de lo que reta de trabajo uaremo la repreentación de la raíce in hacer el cambio de variable propueto por Riemann, e decir, la familia repreentada por rho Ete dearrollo puede hallare en la referencia [E]; nootro para facilitar el eguimiento del original eguiremo la propueta de Riemann, por lo que en lo párrafo que vienen a continuación uaremo la alfa, eto e, habiendo hecho el cambio de variable propueto por Riemann Empezamo pue por decomponer la uma de cuadrado como uma por diferencia: log / log / i log / i

32 Para poder aplicar la fórmula 66 y 67 ólo tenemo que traladar en media unidad la variable independiente, e decir, hacer el cambio de variable / con lo que la raíce también e traladarán en media unidad Aplicamo la fórmula ante mencionada con i / en el primer cao y i / en el egundo, de manera que la contribución de ete último término erá Li / i Li / i Ecribiéndolo en función de la rho la epreión e: [ Li Li ] ℑ Ya ólo no reta ponerlo todo junto para obtener la epreión que bucábamo: la que no relaciona la ditribución de lo primo y el logaritmo integral, o lo que e lo mimo, una fórmula que aproima la ditribución de lo primo dentro de lo entero (68) f Li [ Li Li ] ℑ + d log + C Hemo comentado anteriormente que en u trabajo Riemann etablece incorrectamente la contante C log, ya que iguiendo u notación tendría que haber ecrito C log / En cualquier cao, y i no quedamo con la definición para en lugar de la que ua Riemann / i t, el valor eacto e log log

33 7 Concluión Hemo llegado por fin al punto en el que tenemo una epreión para la ditribución de lo número primo relacionando éta con el logaritmo integral Ahora podemo depejar F y ecribirla en función de f uando la fórmula de inverión de Möebiu 7 Recordemo que Riemann repreenta por F la cantidad de primo que hay hata el número : ya comentamo anteriormente que hoy en día e repreenta habitualmente uando para eta aplicación la notación La fórmula de inverión de Möbiu dice que i f e una función que viene epreada en la forma n n f entonce (7) F m F n m m f m, Una demotración de 7 puede encontrare en el Apéndice, ección A4 en ete mimo trabajo También pueden conultare la referencia [P] o la ección 9 del capítulo de [E] En la fórmula 68 tenemo cuatro término El principal Li crece a medida que aumenta la El último la contante permanece fija El tercero la integral va diminuyendo a medida que la variable tiende a infinito No queda únicamente el umatorio en la raíce de parte imaginaria poitiva, a la que nootro repreentamo con la letra griega rho Riemann llamó erróneamente a ete término periódico, ya que de hecho u comportamiento e ocilatorio no e encillo de probar que ocila a medida que aumentamo la variable Riemann propone una nueva aproimación que pretende mejorar la propueta

34 por Legendre y Gau: no quedamo ólo con el término principal en 68 el logaritmo integral e ignoramo el reto Ete término e el único que utituimo en 7, de manera que obtenemo (7) F Li n Li Li n n Li n Li Li Li Li Empíricamente 7 e demuetra como batante mejor aproimación que la propueta por Legendre y Gau (e decir, aproimar por el logaritmo integral, que e lo que en el capítulo 3 denominaremo teorema de lo número primo) La idea e que lo término ocilatorio que hemo ignorado eperamo e cancelarán uno con otro en mayor o menor medida Mientra má cancelación haya, mejor aproimación erá 7 Incluimo a continuación una tabla en la que podemo obervar cómo la nueva aproimación mejora coniderablemente la que teníamo de Legendre y Gau En media, en el rango que hemo coniderado, la mejora e de un 75% aproimadamente Eta tabla e un etracto de la que podemo encontrar en [L], y que viene parcialmente reproducida en [E] Error Riemann: R Error Gau: G Reducción error ( R /G} 3 3 7% 9 93% 3 55 % % % %

35 Error Riemann: Reducción error Error Gau: G R ( R /G} % % % % Hemo vito cómo Riemann mejora utancialmente la propueta de Gau, ya que no ólo propone una mejor aproimación, ino que u dearrollo no permite ver y entender de dónde ale el mágico logaritmo integral No obtante Riemann fue batante conciente de la limitacione y problema que u aproimación acarreaba: paamo a comentarlo en má detalle a continuación El reultado má importante en eta publicación de Riemann e la fórmula 68 A partir de ella obtenemo la aproimación 7 y una fórmula analítica eacta 73 para el error que e comete al ignorar lo término ocilatorio: N (73) F n n n N Li n / n Li orden menor n El problema principal e que Riemann no tiene etimación alguna del orden de lo término ocilatorio Li / n De hecho reulta batante orprendente que ean tan pequeño como parecen dar a entender lo etudio empírico llevado a cabo por Lehmer en [L] y otro autore Se puede demotrar que la erie definida por la fórmula Li Li converge condicionalmente, por lo que lo pequeña o lo grande que ea la uma total dependerá de la cancelación de umando, e decir, del igno de cada

36 umando y u contribución Mucho de lo término crecen en valor aboluto como ℜ, log log aí que alguno de ello crecen tan rápido como / log Li que e mayor que Li de forma que eperamo que para un uficientemente 3 grande no ean depreciable frente a Li Riemann e limita a decir en u trabajo que ería intereante etudiar el efecto de lo término ocilatorio en la ditribución de lo primo En [E] e comenta que hata donde abe el autor (H M Edward) nunca e ha llevado a cabo eta labor Siguiendo a Edward eplicamo con un poco má de detalle en qué entido propone Riemann etudiar la aportacione de eto término periódico Si derivamo la epreión 68 para f obtenemo df [ log ℜ co log log log ] d, donde hemo aplicado / i i / co log E evidente que etamo uponiendo la hipótei de Riemann, ya que i no la epreión hubiee ido levemente diferente: co log, donde e la parte real de la raíz correpondiente y u parte imaginaria Por la definición que hicimo de f, la medida df e d multiplicada por la uma de la denidad de primo, la mitad de la denidad de la potencia cadrada de primo, la tercera parte de la denidad de la potencia cúbica de

37 primo, etcétera Vemo que / log no debiéramo conidarlo como una aproimación a la denidad de primo menore que una cantidad dada como ugirió Gau ino a la medida df, eto e, a la denidad de lo primo má la mitad de la denidad de la potencia cuadrada de lo primo, etcétera Dado do número uficientemente grande a b, la aproimación que e obtiene al tener en cuenta un número finito de la raíce b f b f a b dt co log t dt logt t log t a a debiera er una aproimación batante buena ya que por un lado podemo depreciar el término ² dlog, y por otro la integrale para grande ocilan muy rápidamente cuando crece, aí que deben hacer contribucione pequeña Recordemo que i / Riemann propone en u trabajo invetigar el número de que on ignificativo en la epreión anterior, e decir, la influencia de lo término ocilatorio en la ditribución de lo primo 8 Comentario Finale Aquí damo por concluído el análii de la publicación de Riemann; hemo vito lo que hemo ido capace de demotrar y, para terminar, vamo a ver qué queda por probar: alguno agujero han ido rellenado por trabajo poteriore al de Riemann, otro permanecen abierto a día de hoy En primer lugar etá el hecho de que la ecuación i / tiene aproimadamente T / log T / raíce reale en el rango T Ete hecho, i lo interpretamo como que el error relativo cometido tiende a cero

38 a medida que T crece, permanece hoy en día como problema abierto La factorización que hace Riemann de la función e baa en la etimación comentada en el párrafo anterior, con lo que tampoco podemo decir que eta cuetión e etableciera con total rigor Hubo que eperar hata 893 para que Hadamard diera la primera demotración completa de la factorización, y hata 95 para que von Mangoldt probara la etimación para el número de raíce en el intervalo ℑ T La cuetión original, e decir, la validez de la aproimación propueta por Gau uando el logaritmo integral logdt t (8), permanece completamente in reolver en el trabajo de Riemann El problema e equivalente a ver i Li Li No fue hata 896 que Hadamard y de la Vallée Pouin de manera independiente demotraron el teorema de lo número primo, e decir, la fórmula 8, utilizando método alternativo Eta pequeña crítica final en aboluto pretende demerecer el etraordinario trabajo de Riemann, ya que en mi opinión u valor principal ha ido no tanto dar olución a problema, ino plantear adecuadamente y orientar de forma correcta el etudio de la ditribución de lo número primo dentro de lo entero

39 Capítulo : Reultado Auiliare Introducción En ete capítulo hemo decidido incluir demotracione riguroa de todo aquello razonamiento que han quedado pendiente de jutificar en el capítulo, terminando de eta manera nuetro análii detallado del trabajo original de Riemann La epoición de cada uno de lo reultado e inconea en el entido de que no podemo ir leyéndelo uno detrá de otro, ino que debiéramo acceder a ello cuando lleguemo a la correpondiente referencia en el capítulo Para tal fin, lo ideal ería hacer una primera lectura del capítulo obviando la referencia y, una vez hayamo aimilado la idea generale, releer el capítulo iguiendo toda y cada una de ella En la ección demotraremo una erie de propiedade de la función zeta de Riemann tale como que no e multivaluada, que e anula en lo entero pare negativo, encontraremo u único polo y calcularemo el reiduo y probaremo que puede etendere analíticamente a todo el plano complejo Riemann en u trabajo da do demotracione diferente de la ecuación funcional, iendo la epoición eceivamente intética y dejando mucho pao intermedio in jutificar En la ección 3 podemo encontrar amba demotracione detallada La ección 4 la dedicamo a demotrar la fórmula 43 y a partir de la cual Riemann deduce importante propiedade de u función zeta

40 La penúltima ección de ete capítulo, la 5, etudia la denidad vertical de raíce de la ecuación, probando que igue la ley log T Cerramo el capítulo con la ección 6 que bajo el título cálculo intermedio incluye todo lo cálculo que quedaron pendiente en la ección 6 Propiedade Báica de la Función Zeta En eta ección veremo que la función zeta admite una etenión a todo el plano complejo con un polo imple de reiduo en Demotraremo ademá que no e multivaluada y que e anula para valore entero pare negativo Para llevar a cabo eta demotracione Riemann ua la identidad 4 (ver un poco má adelante) Nuetro objetivo inmediato e demotrar dicha identidad y e a lo que dedicaremo lo iguiente párrafo En u publicación Riemann propone coniderar un camino de integración que tenga una forma como la dibujada en la figura Lo realmente importante, como veremo en un momento, e que evitemo que nuetro camino de integración pae por lo polo de la función en realidad la función únicamente tiene un polo en el origen i e entero no poitivo por lo que la gráfica e implemente un ejemplo: debe venir de, ir a y rodear el origen de coordenada

41 γ ε ε γ ε γ ε ε figura Obervemo que el valor de la integral no depende del que elijamo Eto e cierto por el teorema de Cauchy: la integral valdrá cero mientra no contenga algún polo (véae la ección A6 en el apéndice ) Siendo ecrupuloo dede un punto de vita técnico tendremo que aegurarno, para poder aplicar el teorema de Cauchy, de que la función tienda a cero rápidamente Para eto valdría por ejemplo con que ℜ Traduciendo todo eto a nuetro cao tenemo que la integral erá independiente del camino iempre que nuetro camino de integración no encierre ningún múltiplo de i Acabamo de jutificar la fórmula: () e d lim e d Como abemo por la definición de la función logaritmo, el conjunto de valore complejo {z ℂ ℜ z } on ingulare para dicha función Como por definición tenemo que e log,

42 el logaritmo de lo determinamo de forma que ea real para valore negativo de la variable Eencialmente etamo haciendo el cambio de variable z z con lo que {z ℂ ℜ z } e ahora el conjunto de valore ingulare, que e preciamente el que etamo rodeando con Hemo definido el argumento para el logaritmo log log i Arg de la iguiente manera: lim Arg lim Arg, Nuetro próimo pao erá calcular el límite en la fórmula, para lo que dividiremo nuetro camino en tre trozo: C, C y C 3 como e indica en la figura 3 Paamo ahora a calcular la integral para cada uno de lo tre camino Sutituyendo la definición obtenemo la iguiente identidad: e d e log e i Arg e d C ε ε C 3 C figura 3

43 En el camino C El orden del denominador en la integral e e O, con lo que e O ℜ O ℜ De eta forma, i lo integramo a lo largo de podemo etimar la integral multiplicando por la longitud, de forma que no quedará ℜ O e Como el e arbitrario, haciéndolo tender a cero, terminamo En el camino C i Arg e e i Arg d e e e i i e d que tra una poca manipulacione algebraica no queda igual a e e d i 3 En el camino C 3 De manera completamente análoga:

44 i Arg e i Arg e d e i e e e i d Haciendo la correpondiente manipulacione obtenemo una epreión muy imilar: i e d e En reumen, hemo dividido la integral de camino anterior en tre parte y hemo calculado la contribución de cada una de ella Lo ecribimo todo junto en la iguiente cadena de igualdade: e d lim e log e i Arg e e i i e d e e d d ien e d ien No quedamo con el primer y último miembro de la cadena de identidade anterior para llegar a la mima fórmula que aparece en el trabajo de Riemann: (4) e d ien

45 Eta identidad no va a permitir, con un poco de efuerzo adicional, jutificar la afirmacione que hace Riemann en u trabajo; on la tre que tenemo a continuación: La fórmula 4 no etiende la definición de a todo el plano complejo Eto e debe a que la integral del miembro izquierdo en 4 etá definida para todo valor de la variable,, que e puede ver obervando que la integral converge para todo lo valore de la variable, ya que una eponencial crece má rápidamente que una potencia y ademá la función que define e analítica (compleja) porque la convergencia e uniforme en dominio compacto Eta última afirmación podemo demotrarla uando el teorema de Morera: toda integral de una función dada que e anule obre camino cerrado dentro de un dominio define una nueva función analítica en ee dominio La única poible ecepcione ahora on lo cero de la función gamma; eto lo tratamo un poco má adelante Hemo eleccionado la rama de la función logaritmo de manera unívoca, con lo que no e multivaluada La función tiene valor finito iempre que Vamo a probar que efectivamente el valor de la función e finito alvo para Para probar eta afirmación haremo uo junto con la ecuación 4 de una de la ecuacione funcionale que conocemo para la función gamma, / en (véae la ección A5 del Apéndice ) Para empezar repreentaremo el miembro izquierdo de 4 como la uma de lo tre camino C, C y C 3, con lo que obtenemo la iguiente epreión para la función :

46 (5) donde, como ante, I log i e + i d + e I log i e d e d e Por 5 vemo que el único punto conflictivo paa a er, ya que la función zeta etá perfectamente definida para el reto de lo valore entero de la variable, lo que no indica que lo polo de la función gamma e compenan con cero que la integral debe tener en eo mimo punto Cuando hacemo la contribucione del primer y del tercer camino e cancelan mutuamente, quedándono ólo la contribución de la circunferencia Vamo a ver que la función zeta tiene en un polo de orden uno Para ello podríamo calcular directamente el valor del reiduo, o bien obervar que cuando e tiene que ~ Por otro lado dearrollando en erie de Taylor la función eno no quedaría que en ~ Ademá e d ~ e d i Aí que finalmente no queda que ~,

47 3 La función e anula para todo lo entero negativo pare Por último, al tener la función polo de orden uno en lo entero negativo e tiene que ~ C n cuando n Como por Taylor en ~ n vemo que lim n en Deducimo pue que la función debe anulare en lo entero pare negativo 3 Ecuación Funcional Eta ección etá relacionada con la 3, en la que hicimo una erie de comentario obre la ecuación funcional para la ecuación zeta, u relación con la ecuación de Poion, pero dejamo en el aire la do demotracione detallada que Riemann da en u trabajo Hay varia propueta que pretenden eplicar de dónde pudo acar Riemann la inpiración para bucar (y encontrar) la ecuación funcional Una de ella la relaciona con la famoa fórmula de Euler que eprea el valor de la función zeta para lo número pare, tanto poitivo como negativo: n n n Bn n! donde lo Bn on lo llamado número de Bernoulli, que vienen definido como lo coeficiente del dearrollo en erie de potencia