VARIABLE ALEATORIA UNIFORME

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María del Pilar Páez Robles
hace 6 años
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1 VARIABLE ALEATORIA UNIFORME

2 DEFINICIÓN Se dice que una variable X tiene una ditribución uniforme en el intervalo [a;b] i la fdp de X e: 1 i a x b f(x)= b-a 0 en otro cao Demotrar que la FDA etá dada por 0 i x < a x a F(x)= i a x b b a 1 i x > b

3 FDP Y FDA DE LA VARIABLE ALEATORIA UNIFORME F(x) f(x) 1 b a 1 a b x a b x fdp FDA

4 EJEMPLO Lo trene de cierta línea de ubterráneo corren cada media hora entre la medianoche y la ei de la mañana. Cuál e la probabilidad de que un hombre que entra a la etación a una hora al azar, durante ee período tenga que eperar por lo meno 20 minuto? La variable aleatoria T: tiempo, en minuto, hata el iguiente tren, etá ditribuida uniformemente en el intervalo [0;30] P( T 20) f ( t) dt dt La probabilidad ólo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación del mimo.

5 ESPERANZA Y VARIANZA Demotrar que i X tiene ditribución uniforme en [a;b], entonce: b-a 2 a+b E(x)= V(x)= 2 12

6 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Eta ditribución: uele er el modelo de fenómeno aleatorio que miden el tiempo que trancurre entre la ocurrencia de do uceo. Ejemplo: La variable aleatoria X repreenta el tiempo que trancurre hata la primera ocurrencia en el proceo de Poion (λ) El tiempo que tarda una partícula radiactiva en o el tiempo que puede trancurrir en un ervicio de urgencia, para la llegada de un paciente.

7 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Se dice que X, que toma todo lo valore no negativo, tiene una ditribución exponencial, con parámetro 0 Si u fdp etá dada por: - e x i x f(x) 0 i x <

8 VERIFICAR QUE ES UNA LEGÍTIMA FDP: e u b x f ( x) dx e dx lím du b b lím e b 1 1 La FDA etá dada por: F(x) 1 1 e x i x 0 F(x) 0 i x<0 Demotrar la caracterítica numérica de la función exponencial: 1 1 Ex ( ) V(x)= 2 x

9 APLICACIONES La ditribución de vida durante la cual cierta marca de computadora funciona eficazmente, e decir, el tiempo en hora, de duración hata la primera falla, e exponencial con una vida media de 360 h. Cuál e la probabilidad de que una computadora funcione eficazmente: a) Meno de 180 h? b) Má de 720 h? Ft () t 1 e i t ET ( ) i t < 0 360

SOLUCIÓN 1.180 360 a) P(T<180)= F(180)=1-e 0.3935 1 720.

10 SOLUCIÓN a) P(T<180)= F(180)=1-e b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1-1 e e 0,1353

11 RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y EXPONENCIAL

12 RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y EXPONENCIAL Sea X el número de partícula emitida por una fuente radioactiva. Si e abe que el número eperado de demiione en una hora e de 30 partícula. a) Cuál e la probabilidad de que ean emitida al meno 2 partícula en un lapo de 1 minuto? b) Cuál e la probabilidad de que el tiempo entre emiione uceiva ea al meno de 3 minuto?

13 RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y EXPONENCIAL k. e 30.1 a) X : nº de partìcula en 1min P( X k), 0.5 k! 60 P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1 1 0,91 0,09 b) T : tiempo (min) hata que ocurre la prox emiion, o 30.3 Y : n partìcula emitida en 3min, (1.5). e P( T 3) P( Y 0) !

Cuál e la probabilidad de que el micro llegue ante de lo 70 minuto de epera?

14 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL El número de llegada de micro a una terminal e una variable de Poion con parámetro 5 por hora. Una perona etá eperando el micro hace má de 60 minuto. Cuál e la probabilidad de que el micro llegue ante de lo 70 minuto de epera? P( t < 70 / t > 60) = e e e. e e e ( e 1) e e e F(10) P( t 10) e

15 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en egundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( F F t F x P t x P x t x P t t a t e e e e e e e e e e 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 t x P t F e t La ditribución exponencial no tiene memoria : P( x< + t / x> ) = P( x< t )

Gau (1777-1855) ditribución normal, gauiana o de Laplace- Gau.

16 Ditribución normal Sin duda la ditribución continua de probabilidad má importante, por la frecuencia con que e encuentra y por u aplicacione teórica, e la Pierre Simon de Laplace ( ) Karl F. Gau ( ) ditribución normal, gauiana o de Laplace- Gau. Fue decubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. Llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gau (1809), en relación con la teoría de lo errore de obervación atronómica y fíica.

17 Razone principale para u etudio 1) Numeroo fenómeno pueden aproximare mediante eta ditribución: Caractere morfológico de individuo (perona, animale, planta,...) de una epecie (talla, peo, diámetro, perímetro,...). Caractere ociológico, por ejemplo: conumo de cierto producto por un mimo grupo de individuo, puntuacione de examen,... Caractere fiiológico, por ejemplo: efecto de una mima doi de un fármaco. Errore cometido al medir cierta magnitude. Y en general cualquier caracterítica que e obtenga como uma de mucho factore 2) Se ua para aproximar ditribucione de variable dicreta: Como la binomial o la de Poion e aproximan a la normal. Ditribucione binomiale con n >10 y (np > 5) y (n(1-p) > 5). 3) Proporciona la bae de la inferencia etadítica por u relación con el tlc

18 DISTRIBUCIÓN NORMAL Se dice que x que toma todo lo valore reale, tiene una ditribución normal, i u fdp etá dada por: 1x 2 1 f(x) e 2 con - < x < y 0 2

19 NOTACIÓN 2 x N, u fdp etá dada por 1x 2 1 f(x) e 2 con - < x < y 0 Ejercicio: verificar que e una fdp legítima x t 2 e dx e dt t 1 2 e dt 2 2 no e puede obtener de forma finita Integral de Poion 2 1

20 Principale caracterítica de la ditribución Normal E una curva uniforme con ordenada iempre poitiva, definida para todo real x. Tiene forma de campana, e decir, e monótona creciente hacia ambo lado del máximo, y e aintótica al eje de la abcia E imétrica con repecto de la recta x= donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo ). Para x tendiendo a, el límite f(x) =0. La función tiene un máximo en x =. Lo punto de inflexión tienen como abcia lo valore. Verificar eta propiedad.

21 Caracterítica de la ditribución Normal Punto de inflexión -, Mo, Me + +

22 Ditribución normal con para ditinto valore de σ La deviación típica e un factor de ecala. p(x) x 2.50

23 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La media e puede interpretar como un factor de tralación.

24 CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS Demotrar que: E( x) y V( x) 2

25 OTRAS PROPIEDADES En toda ditribución Normal e comprueba que: P( μ-2 σ X μ+ 2 σ ) = 0,955 P( μ-3 σ X μ+ 3 σ ) = 0,9973 que on intervalo má precio que la acotación detchebychev (0,75 y 0, 88, repectivamente). Si Y = a X + b, iendo X ~ N (μ, σ²), entonce Y ~ N (a μ+ b, a²σ²)

26 UN POCO DE HUMOR

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