2.- Tablas de frecuencias Los datos obtenidos en estadística se organizan en unas tablas, llamadas tablas de frecuencias.

Transcripción

1 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TEMA 5.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Terminología etadítica Etadítica decriptiva E la ciencia que etudia conjunto de dato obtenido de la realidad. Eto dato on interpretado mediante tabla, gráfica y otro parámetro como la media, moda, varianza, etc. Población E el conjunto formado por todo lo elemento que queremo etudiar. Por ejemplo, i vamo a etudiar el peo de lo jóvene de 16 año nacido en Epaña, la población ería preciamente el conjunto formado dicho jóvene Variable etadítica E la caracterítica que queremo etudiar de la población. Hay ditinto tipo de variable etadítica Cualitativa Si lo valore on cualidade. Por ejemplo, partido político preferido, color del pelo, etc. Cuantitativa Si lo valore on número. Por ejemplo, nº de hermano, etatura, peo, edad, temperatura, etc. Dicreta Cuando lo valore on ailado. Por ejemplo, nº de hermano, edad, etc. Continua Cuando entre do valore, aunque etén muy próximo entre í, iempre e poible tomar otro valor. Por ejemplo, la temperatura, el peo, etc..- Tabla de frecuencia Lo dato obtenido en etadítica e organizan en una tabla, llamada tabla de frecuencia. Tabla de frecuencia para dato ailado Edade de un grupo de alumno de alumno F i h i H i % 30% % 55% % 90% % 95% % 100% Suma total 0 = n - 100% - Tabla de frecuencia para dato agrupado Nota en un examen de un grupo Clae F i h i H i [,3) % 15% [3,4) 5 10% 5% [4,5) % 40% [5,6) % 65% [6,7) % 80% [7,8) 4 0 0% 100% Total 0 = n - 100% - repreenta lo valore que hay en lo dato. En el cao de dato agrupado, la clae on lo intervalo e llama frecuencia aboluta y repreenta la vece que aparece cada valor en lo dato En el cao de dato agrupado, fi repreenta el nº de dato que hay en el intervalo o clae F i e la frecuencia aboluta acumulada y e calcula umando uno a uno lo valore de la columna. h i e llama frecuencia relativa y e calcula dividiendo cada valor fi entre el nº total de dato y e exprea en % H i e la frecuencia relativa acumulada y e calcula umando uno a uno lo valore de la columna h i.

2 3.- Gráfico etadítico Diagrama de barra Se repreentan lo valore en un eje horizontal y para cada valor e dibuja una barra cuya altura ea la frecuencia de que e quiera repreentar. La barra deben er de la mima anchura y debemo dibujarla eparada. Uniendo lo extremo uperiore de la barra por u punto medio, e obtiene una línea quebrada llamada polígono de frecuencia Número de hijo de un grupo de matrimonio Total 50 = n El diagrama de barra e uele utilizar para variable dicreta con poco valore y para variable cualitativa Hitograma E imilar al diagrama de barra, ólo que la bae de cada barra e el intervalo de la tabla de frecuencia y por tanto no hay epacio entre la barra. Nota de 0 alumno en un examen: Uniendo lo extremo uperiore de la barra por u punto medio, e obtiene la línea quebrada llamada polígono de frecuencia. Lo hitograma e utilizan cuando lo dato lo agrupamo en intervalo Página

3 Diagrama de ectore Para dibujar el diagrama de ectore e dibuja un círculo y e divide en tanto ectore (queito) como valore haya en lo dato. Deporte preferido por un grupo de 30 alumno Deporte h i (en %) Ángulo del ector Balonceto % de 360º = 144º Natación % de 360º = 36º Fútbol % de 360º = 108º Ninguno 6 0 0% de 360º = 7º Total % 360º El diagrama de ectore e uele utilizar para variable dicreta con poco valore y para variable cualitativa Ejercicio 1 A lo 00 alumno y alumna de º y 3º de E.S.O. de un Intituto le preguntamo obre el nivel máximo de etudio que eperan realizar. El reultado e el reflejado en el iguiente gráfico de ectore: Paa eta información a una tabla de frecuencia y a un diagrama de barra 4.- Parámetro etadítico La media aritmética E la uma de todo lo dato dividida entre el número total de dato, n. (x ) i Se calcula por la fórmulax= if, donde n ignifica uma. Nota en un examen de un grupo de amigo = (x fi) = 59 = 5, n Total 10 = n 59 Si lo dato etán agrupado en intervalo, e toma como el punto medio del intervalo. Ete valor e llama marca de clae Gato menual en, en teléfono móvil, de un grupo de jóvene clae [10, 11) 10,5 4 4 [11, 1) 11, [1, 13) 1,5 7 87,5 [13, 14) 13,5 3 40,5 Total 0 = n 39 Página 3 = (x fi) = 39 = 11,95 n 0

4 La media ponderada Se calcula cuando lo dato tienen ditinto peo o importancia Tre exámene tienen ditinto peo: el primero vale 1, el egundo, y el tercero 3. Un alumno obtiene calificacione de 9, 4 y 8, repectivamente. Qué nota le debe poner el profeor? Se multiplica cada nota por u peo y e divide entre la uma de lo peo. Media ponderada: = 41 = 6,8. Luego, le debe poner un 6, La moda (Mo) E el valor que má e repite en lo dato. La moda e el valor xi que tiene mayor frecuencia aboluta. Si lo dato etán agrupado en intervalo e toma el intervalo de mayor frecuencia (intervalo o clae modal). Puede haber má de una moda o puede que no haya moda porque todo lo valore tengan la mima frecuencia aboluta. = Equipo de fútbol preferido Nº de perona Madrid 1 Granada 7 Barcelona 1 Málaga 6 Hay do moda, Madrid y Barcelona. La mediana (Me) E el dato que etá jutamente en medio, cuando tenemo todo lo dato ordenado de menor a mayor Cálculo de la mediana cuando hay poco dato - Si el nº de dato e impar, la mediana e el dato central Edade de 9 perona: 15, 1, 17, 15, 14, 14, 17, 15, 15 Ordenando lo dato: 1, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 17, 17 Me = 15 - Si el nº de dato e par, la mediana e la media aritmética de lo dato centrale Nota de 1 alumno: 7, 4, 6, 5, 7, 7, 8, 5, 8, 4, 4, 5 Ordenando lo dato: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8 Me = 5,5 Cálculo de la mediana cuando hay mucho dato En ete cao, la mediana e mayor que el 50% clae [,3),5 15 Nota en Inglé de 0 alumno: [3,4) 3,5 5 Me = 5,5 [4,5) 4,5 40 [5,6) 5,5 65 [6,7) 6,5 80 [7,8) 7,5 100 Lo cuartile Cuando lo dato etán ordenado de menor a mayor, lo cuartile on tre valore Q 1, Q, Q 3 que dividen a lo dato en 4 parte iguale El primer cuartil, Q 1, e mayor que el 5% El egundo cuartil, Q, e mayor que el 50%. E decir, Q = Me El tercer cuartil, Q 3, e mayor que el 75% H i El rango intercuartílico (RI) e la ditancia entre Q 1 y Q 3 RI: Q 3 Q 1 Página 4

5 Si lo dato etuvieen agrupado en intervalo e toma como la marca de clae H i clae Nota en Inglé de 0 alumno: [,3),5 15 Q 1 = 4,5 Q = Me = 5,5 Q 3 = 6,5 RI = 6,5 4,5 = [3,4) 3,5 5 [4,5) 4,5 40 [5,6) 5,5 65 [6,7) 6,5 80 [7,8) 7,5 100 Diagrama de caja Lo cuartile e uelen repreentar en un diagrama, llamado diagrama de caja Para dibujar el diagrama de caja, e calculan lo valore mínimo y máximo de aí como lo cuartile. Depué e dibuja una caja, cuyo extremo on Q 1 y Q 3, que indica donde e concentran el 50% de lo dato y una línea central que marca la mediana. Eta repreentación no permite aber qué dato on atípico y i la ditribución de dato e imétrica repecto de la mediana: i la caja etá deplazada hacía la izquierda o hacía la derecha repecto de la mediana ignifica que la ditribución de dato e aimétrica. Para la nota en Inglé expueto anteriormente, el diagrama de caja ería: Lo percentile Cuando lo dato etán ordenado de menor a mayor, lo percentile on 99 valore P 1, P, P 99 que dividen a lo dato en 100 parte iguale. Por ejemplo, P 1 upera el 1%, P upera el %, etc. Ejemplo: P 5 upera el 5%. Luego P 5 = Q 1 P 50 upera el 50%. P 50 = Q = Me P 75 upera el 75%. Luego P 75 = Q 3 Lo decile Cuando lo dato etán ordenado de menor a mayor, lo decile on 9 valore D 1, D, D 9 que dividen a lo dato en 10 parte iguale. Por ejemplo, D 1 upera el 10%, D upera el 0%, etc. D 5 upera el 50%. Luego D 5 = Q = Me Página 5

6 Ejercicio El iguiente gráfico repreenta el polígono de frecuencia relativa acumulada, H i, de lo peo de 40 perona Determina a partir del gráfico, de forma aproximada: a) La mediana b) P 0 c) El percentil que correponde a un peo de 63 kg d) El número de perona que pean má de 66,5 kg Parámetro de diperión El recorrido o rango, R, e la diferencia entre el mayor y el menor valor de La varianza,, e calcula con la fórmula:.fi = n La deviación típica,, e la raíz cuadrada de la varianza: = El coeficiente de variación, CV, e calcula con la fórmula: x CV= En el intervalo (x, x + ) e encuentra, aproximadamente el 68% de todo lo dato En el intervalo (x, x + ) e encuentra, aproximadamente el 95% de todo lo dato En el intervalo (x 3, x + 3) e encuentra, aproximadamente el 99% de todo lo dato Se han agrupado lo hotele de una región por el número de habitacione, obteniéndoe la iguiente tabla: Habitacione número de hotele Rango: = 500 x = = ,095 = 60 = = ,095 C.V. = = 0, x clae [0,100) [100,00) [00,300) [300,400) [400,500) Total n = Página 6

7 Ejercicio 3 Se realiza una etadítica en do centro de eneñanza, uno público y otro privado, referente a la nota global del bachillerato de cada uno de lo alumno que van a acudir a lo exámene de electividad. La ditribucione de frecuencia on la iguiente: Público Nota Alumno [5,6) 60 [6,7) 70 [7,8) 40 [8,9) 0 [9,10) 10 Privado Nota Alumno 5,5 8 6,5 1 7,5 0 8,5 30 9,5 10 a) Un alumno del centro privado tiene una nota global de un 8,5 y otro del centro público una nota de un 7. Cuál de lo do e mejor alumno comparándolo con la media de u Centro? b) Calcula el coeficiente de variación de la do ditribucione. 5.- Ditribucione bidimenionale Concepto de ditribución bidimenional Cuando e quieren etudiar do caracterítica X e Y de una mima población, lo dato que e obtienen on pareja de valore (, y i ). El conjunto de dato (,y i ) e llama ditribución bidimenional Diagrama de diperión o nube de punto E la repreentación gráfica de lo punto (, y i ) Nota de 1 alumno en Matemática y Fíica Alumno a b c d e f g h i j k l Matemática Fíica Interpretación del diagrama de diperión: Correlación Si la nube de punto e concentra en torno a una línea e dice que hay correlación entre la do variable. Se dice que hay correlación lineal i la nube de punto e concentra en torno a una recta. La correlación erá poitiva o directa i la línea e creciente y negativa o invera i e decreciente y erá má fuerte cuanto mayor ea la concentración de lo punto entorno a ea línea. Ejemplo: Correlación lineal directa fuerte Correlación directa débil Correlación invera fuerte Correlación lineal invera débil Página 7

8 Si lo punto etán eparcido in concentrare en torno a ninguna línea, e dice que no hay relación entre la variable o que la correlación e nula. Correlación nula 6.- Parámetro etadítico bidimenionale Media aritmética de X y de Y.f y.f = y= i i n n Centro de gravedad de la ditribución: (x,y) X Varianza y deviación típica de X y de Y x = i.f varianza: i x x y = i.f varianza: i y y n n Y Deviación típica: x = x Deviación típica: y = y Covarianza entre X e Y xyf = i i i xy xy n (x x)(y y) También e puede uar la fórmula i i xy = n Coeficiente de correlación lineal de Pearon r = xy xy Propiedade del coeficiente de correlación 1) El coeficiente de correlación, r, tiene el mimo igno que la covarianza y no irve para medir el grado de relación o dependencia entre la variable X e Y ) 1 r 1 3) Si r = 1 ó r = 1, la nube de punto e ajuta perfectamente a una recta 4) Si r e poitivo, la correlación e poitiva y i r e negativo, la correlación e negativa 5) Cuanto má próximo eté r al 0 má débil e la correlación 6) Cuánto má próximo eté r al 1, má fuerte e la correlación Interpretación de la correlación egún el valor del coeficiente de correlación Tabla de doble entrada Cuando la dato (,y i ) e repiten e uele utilizar una tabla de doble entrada para evitar ecribir la mima pareja varia vece. A un grupo de padre e le ha preguntado por el número de hijo que tienen y el número de hora que ven diariamente la televiión. Lo reultado e han recogido en la iguiente tabla de doble entrada: X = número de hijo, Y = número de hora que ven la televiión. X Y Por ejemplo, la pareja de valore (1,1) aparece 4 vece lo que ignifica que hay 4 padre que tienen 1 hijo y ven la televiión 1 hora Página 8

9 Ejercicio 4 En lo iguiente cao halla la medida bidimenionale e indica el tipo de correlación que hay entre X e Y. a) La talla y lo peo de 10 perona vienen recogido en la iguiente tabla: X = talla (en metro) 1,60 1,65 1,70 1,80 1,85 1,90 1,9 1,75 1,8 1,7 Y = peo (en kg) b) Se han recogido una erie de dato y e ha hecho la iguiente tabla de doble entrada X Y xy x 7.- Recta de regreión Son la recta que mejor e ajutan a la nube de punto de forma que la nube de punto etá muy concentrada en torno a ella. Hay do recta de regreión: Recta de regreión de Y obre X Recta de regreión de X obre Y xy r yx: y y = (x x) x e la pendiente de la recta y e llama coeficiente de regreión de Y obre X La recta de regreión de Y obre X e puede uar para etimar lo que vale y para un valor dado de x. La etimación e má fiable cuanto má fuerte ea la correlación entre la variable y má cerca eté el valor x de lo valore de la ditribución. xy y xy r xy: x x = (y y) y e llama coeficiente de regreión de X obre Y La recta de regreión de X obre Y e puede uar para etimar lo que vale x para un valor dado de y. La etimación e má fiable cuanto má fuerte ea la correlación entre la variable y má cerca eté el valor y de lo valore y i de la ditribución. Propiedade de la recta de regreión 1) La do recta e cortan en el centro de gravedad (x,y) ) Cuánto má fuerte e la correlación menor e el ángulo que forman entre í amba recta. Ejemplo: Correlación débil Correlación fuerte Ejercicio 5 En ditinto modelo de apiradore e ha medido el peo, en kilogramo, y la capacidad útil de la bola, en litro, obteniendo lo iguiente reultado: a) Halla la recta de regreión de Y obre X y de X obre Y. b) Uando la recta que correponda haz la iguiente etimacione e indica i on fiable: b1) La capacidad para un peo de 6,5 kg b) El peo para una capacidad de litro b3) La capacidad para un peo de 10 kg Ejercicio 6 La media de la etatura X de lo habitante de una ciudad e 170 cm y la media de u peo Y e 65 kg. La deviacione típica on 10 cm y 5 kg y la covarianza de amba variable e 40. a) Halla el coeficiente de correlación b) Calcula la recta de regreión de Y repecto de X y de X repecto de Y c) Etima el peo de un individuo de 180 cm de etatura y la etatura de un individuo de 60 kg de peo. Será buena la etimación? Razónalo d) Si quiiéramo etimar el peo de un niño de 50 cm mediante la recta de regreión ería buena la predicción? Página 9