INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II. JULIO CÉSAR LONDOÑO ORTEGA

Transcripción

1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II JULIO CÉSAR LONDOÑO ORTEGA

2 MODELOS DE FILAS DE ESPERA

3 Introducción a la Teoría de Colas Ejemplos de la teoría de Colas La espera de los pasajeros en la sala para abordaje en un aeropuerto, La cantidad de inventario de producto en proceso almacenado temporalmente en espera de ser procesado, La espera de pacientes en la recepción de un consultorio, La cola de camiones esperando a ser atendidos por personal especializado en los muelles de cargue y descargue en cierto centro de despachos, Observe que en general las esperas aquí señaladas no son del todo deseables, siendo en todo caso ideal que la espera de los clientes sea nula y que por tanto no existan colas.

4 Introducción a la Teoría de Colas El desear que los usuarios de un sistema nunca tengan que esperar, etc., es algo que generalmente se queda sólo en deseos, ya que en la practica es difícil de lograr. Lo que si se puede hacer es minimizar la espera En la mayoría de sistemas empresariales la condición de no cola o no espera es algo que se lograría con muy altos niveles de eficiencia, donde normalmente el costo de lograr esa eficiencia es mayor que el costo asociado a las citadas esperas. Entonces, es bastante pertinente estudiar los indicadores del sistema de espera en cuestión, siempre tratando de mejorar la eficiencia global.

5 Definiciones Una cola es una línea de espera y La teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen balance entre costos del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

6 Otros Elementos a considerar Proceso de Llegada: representa la forma en que la llegada de clientes ocurre. Un dato importante que se maneja en el proceso de llegada es el Tiempo entre Llegadas de clientes, el cual puede ser determinístico (constante), o probabilístico (asociado a cierta distribución de probabilidad). También se considera si las llegadas de clientes son individuales o por grupos (batches), en cuyo caso se debe tener el dato del tamaño del batch.

7 Proceso de Llegada de Clientes Sea la variable aleatoria X igual al número de clientes que llegan al sistema de espera por unidad de tiempo. Si esta variable discreta se distribuye Poisson, entonces: P( X k ) si k 0,1,... T k T e k!, = número promedio de llegadas por unidad de tiempo T = número promedio de llegadas en un intervalo especifico de tiempo T Se cumple que el tiempo entre dos llegadas consecutivas se distribuye exponencial con media b =1/

8 Ejemplo de proceso de llegadas Cuál es la probabilidad de que dos clientes lleguen en los próximos 10 min. Por ejemplo, suponga que es igual a 20 clientes por hora, entonces, la probabilidad de que lleguen dos clientes en los próximos 10 minutos, viene dada por: P( X 2 ) 1 k T T e 20* k! 2 e 6 2! 20* * Cuál es la probabilidad de que lleguen tres clientes en la próxima hora si en las tres horas anteriores llegaron nueve? P( X 3) k T 9* 1 T e k! 3 e 3 3! 9* Se debe hacer reflexión acerca de la perdida de memoria del sistema

9 Proceso de Llegada de Clientes Sea la variable aleatoria Y el tiempo entre llegadas. Esta variable continua tiene la siguiente función de probabilidad: P(Y t ) e t / b b,t 0 P(Y t ) e T, t 0 Si el número de eventos (llegadas) en un momento dado se distribuye Poisson con una tasa media de eventos λ (eventos por unidad de tiempo), entonces el tiempo entre dos eventos consecutivos (tiempo entre llegadas) se distribuye exponencial con media 1/ unidades de tiempo. (o al revés).

10 Otros Elementos a considerar Proceso de Atención: El proceso de atención se representa generalmente por el tiempo que tarda la atención de un cliente o Tiempo de Servicio. Este tiempo puede ser determinístico, es decir, cualquier cliente es atendido en un tiempo exactamente igual, o probabilístico, en cuyo caso debe definirse la distribución de probabilidad del tiempo de atención de un cliente. También se define si la atención se hace individual o por batches.

11 Otros Elementos a considerar Numero de Servidores: Un sistema puede tener un solo servidor o varios en paralelo como el caso de algunas entidades financieras. Puede, además existir sistemas de servidores en serie, con una común o en cambio varias colas. Número de Servidores que el Sistema puede tener

12 Otros Elementos a considerar Número de Servidores que el Sistema puede tener

13 Otros Elementos a considerar Capacidad del Sistema: Un sistema de espera se dice que tiene capacidad infinita cuando no tiene restricciones respecto al tamaño de la cola. La cola se vuelve de capacidad finita por motivos de restricciones de espacio. Por ejemplo, la cola de ordenes de compra en un Departamento de Compras (documentos a procesar) es de capacidad infinita, ya que físicamente es posible almacenar un gran número de ordenes de compra pendientes por procesar en un archivador o en un archivo electrónico en el computador. Caso contrario, en un banco pueden no caber más de 50 personas en fila

14 Otros Elementos a considerar Disciplina de Atención: La forma en que se seleccionan los clientes de la cola con el fin de atenderlos. Lo usual es que se use la disciplina FIFO o atención en orden de llegada. Otra estrategia es con, el enfoque de prioridad y otra aleatoria. El análisis de sistemas de espera a través de la Teoría de Colas se justifica mayormente en virtud de que los mencionados sistemas operen en forma aleatoria: la llegada de un cliente y su tiempo de atención no se conocen con anticipación, o son totalmente probabilísticos.

15 Proceso de Salida de Clientes El número de clientes atendidos por unidad de tiempo se distribuye Poisson con media μ (promedio de clientes servidos por unidad de tiempo), si W es la variable aleatoria, se tiene que la probabilidad de que W sea igual a k, viene dada por: T ( T) e P( W k), si k k! k 0,1,... El tiempo entre dos salidas consecutivas o el tiempo de servicio se distribuye exponencial con parámetro b=1/μ unidades de tiempo. t e f( Z t), t b b 0 t f( Z t) e, t 0

16 Preguntas de Análisis Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? Cuánto demora el Servidor en atender al cliente o en procesar un producto? Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila? Cuántos recursos o servidores deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? Los clientes esperaran en una fila o en varias filas? Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o productos puedan esperar?

17 Simbología General Servidores c = Número de servidores. = Tasa de servicio o el número promedio de clientes que se atienden por unidad de tiempo. Disciplina de atención a clientes (FIFO, LIFO, Prioridad Aleatoria). Colocación de los servidores (en Paralelo, en Serie o en Red). Atención individual o en grupos.

18 Clientes Simbología General n = Número de clientes en el sistema (tanto en fila como en los servidores) N = Número máximo permisible de clientes en el sistema = Tasa de Llegadas o Número promedio de llegadas de clientes por unidad de tiempo Población finita o infinita Llegadas individuales o en grupos

19 Simbología General Cola Lq = Número promedio de clientes en cola L = Número promedio de clientes en el sistema (en cola y en servicio) Tamaño de la Cola (Finita o Infinita) Forma de Salir de la Cola.

20 Indicadores para Evaluar el Rendimiento de un Sistema de Colas Relacionados con el Tiempo W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema (tanto en cola como en servicio) Wq = Tiempo promedio de espera de un cliente en cola Otros Indicadores: U = utilización de los servidores o número de clientes promedio atendidos por servidor por unidad de tiempo r = intensidad de tráfico del sistema

21 Indicadores para Evaluar el Rendimiento de un Sistema de Colas Relacionados con el Número de Clientes: L = Número promedio de clientes en el sistema Lq = Número promedio de clientes en la cola Pw = Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. Po = Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema. Pd = Probabilidad de negación de servicio, o probabilidad de que un cliente que llega no pueda entrar al sistema debido que la cola esta llena

22 Notación de Kendall-Lee Esta notación es aplicable a servidores en paralelo y fue propuesta en 1951 por Kendall y mejorada en 1953 por el trabajo de Kendall-Lee

23 Notación de Kendall-Lee La simbología A/ B /C : D /E /F, intenta caracterizar plenamente a un sistema de espera con servidores en paralelo, donde: A: Distribución probabilística de las llegadas: M (Poisson), D (determinística), Ek (Erlang), G (General). B: Distribución del tiempo de servicio: M (Exponencial), D (determinística), Ek (Erlang), G (General). C = Número de servidores en paralelo: c = 1, 2, 3,..., infinito D = Disciplina de servicio: FIFO, LIFO, Aleatoria, Prioridad, Disciplina General-DG. E = Número máximo admitido de clientes en todo el sistema: N, Infinito F = Tamaño de la población de clientes: FINITO (K), Infinito

24 Modelos de una cola y un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/E k /1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

25 Relaciones entre medidas de rendimiento Tiempo promedio en el sistema Tiempo promedio de espera Tiempo promedio de servicio Número promedio de clientes en el sistema W W q 1/ Número promedio de llegadas por unidad de tiempo L W Tiempo promedio en el sistema Número promedio de clientes en la cola Número promedio de llegadas por unidad de tiempo Tiempo promedio en la cola E L q s Wq

26 Modelo M/M/1 L L q 2 ( ) W 1 W q ( ) P ( 1 n ) n P( L n ) n1 P(W t ) e ( 1 )t P(W q t ) e ( 1 )t t 0, 1 Tasa deutilización

27 Ejemplo Práctico Manolo Jiménez, está preocupado por el desempeño de su negocio un taller automotriz. Para ver qué puede hacer para resolver el problema, le pide ayuda a un experto en teoría de colas. Después de una primera toma de tiempos se obtiene la siguiente información: Las llegadas al taller se producen de forma aleatoria, según una distribución Poisson de media 4 llegadas al día (1 día = 8 horas de jornada laboral). La tasa de atención a clientes es 1,75 clientes por hora Se cuenta con un solo equipo para reparar los automóviles. Además del vehículo que está reparando, sólo caben 3 más en el taller. Si llegan más, debe estacionarlos en la vía pública, con el consiguiente deterioro en la calidad de servicio. Los vehículos se retiran del taller inmediatamente después de ser reparados.

28 Ejemplo Práctico Con estos datos, se solicita un análisis inicial de la situación. a) Qué fracción de tiempo estará el taller en funcionamiento? 0. 5 La fraccion de tiempo en funcionamiento % b) Cuál es el número promedio de clientes en espera de reparación de su vehículo? Numero de clientes en cola L q 0 2 c) Cuál es el número promedio de vehículos esperando a ser reparados (incluye el que está siendo atendido)? 1 Numero de clientes en el sistema L Lq / ( ) ( )

29 Ejemplo Práctico d) Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse vehículos en la calle? Es la probabilidad P(2)- P(x 4) 1 P(0)- P(1)- de que haya cuatro o mas P(3)- P(4) X10 clientes en el sistema e) Cuánto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el vehículo llega al taller hasta que se acaba la reparación? Tiempo promedio en el sistema W f) Cuánto tiempo transcurrirá, en promedio, desde que el vehículo llega al taller hasta que comienza la reparación? Tiempo promedio en colaw q Lq

30 Modelo M/M/1: ejemplo Un lavadero de carros puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema.

31 9, 12, L 3clientes 1 W 0. 33hr P 0 ( 1 ) 0. P( L 3) Modelo M/M/1: ejemplo L 2. clientes q ( ) 25 W q 0. 25hrs ( ) También equivale a P(W 30 ( 1 )t 12( ) / 60 ) e e P(W q 12( ) 30 ( 1 )t / 60 ) e e

32 Modelo M/M/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 16 clientes por hora que son atendidos por una caja. La caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola