1. OBJETO Y MOTIVACIÓN de los SISTEMAS de ESPERA. Ejemplos.

Transcripción

1 Sesión 3.a TEORIA DE COLAS INTRODUCCIÓN y PROPIEDADES BÁSICAS 1. OBJETO Y MOTIVACIÓN de los SISTEMAS de ESPERA. Ejemplos. 2. ESTRUCTURA DE LOS S.E. Características de los componentes. Proceso de llegadas y de servicio. Notación de KENDALL-LEE 3. MAGNITUDES FUNDAMENTALES de los S.E. Tiempo de espera por cliente. Comportamiento de un S.E. 4. FORMULA de LITTLE. Resultado de Little y ocupación media del S.E. 5. ESTADO ESTACIONARIO. Valores medios a largo término.

2 OBJETO Y MOTIVACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ESPERA A menudo se presenta la situación en que los elementos de una población solicitan, en instantes de tiempo diferentes, un servicio el cual es ofrecido por un sistema S que tan sólo puede atender simultáneamente a un número limitado de peticiones. Habitualmente se da la circunstancia de que, estando el sistema S totalmente ocupado, se producen nuevas peticiones de servicio las cuales no pueden ser atendidas inmediatamente y por tanto éstas deben esperar a ser atendidas. CONFLICTO: cuál de las peticiones que permanecen a la espera pasará a ser atendida en 1 er lugar? Se establece una regla para decidir la primera petición que pasará a ser atendida de entre las que esperan servicio. Típicamente: por antigüedad de la petición. SE FORMA ASÍ UN SISTEMA DE ESPERA

3 EJEMPLOS COTIDIANOS PERSONAS QUE ACUDEN A UNA TIENDA PARA COMPRAR UN PRODUCTO EN LA QUE HAY UN NÚMERO LIMITADO DE EMPLEADOS QUE ATIENDEN A LOS COMPRADORES. AUTOMÓVILES QUE ENTRAN EN UNA ESTACIÓN DE PEAJE DE UNA AUTOPISTA. SISTEMA INFORMÁTICO CON UNA IMPRESORA EN UN CENTRO DE TRABAJO DONDE DEBEN IMPRIMIRSE LOS DOCUMENTOS DE LOS EMPLEADOS. OFICINA BANCARIA CON UN NÚMERO LIMITADO DE VENTANILLAS PARA ATENDER A LOS CLIENTES DEL BANCO.

4 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS SISTEMAS DE ESPERA (S.E.) Control de Entrada Cola Sistema de servicio Población Sistema de Espera COMPONENTES: POBLACIÓN de CLIENTES: GENERA CLIENTES/PETICIONES DE SERVICIO CONTROL de ENTRADA: CRITERIO QUE PERMITE O DENIEGA LA ENTRADA DE LOS CLIENTES SISTEMA de ESPERA: COLA: Lugar físico donde se espera servicio. SISTEMA DE SERVICIO: Lugar donde se recibe el servicio. POLÍTICA DE SERVICIO: REGLA QUE DETERMINA CUÁL DE LOS CLIENTES EN ESPERA ("HACIENDO COLA") PASARÁ A SER ATENDIDO PRIMERO.

5 CARACTERÍSTICAS de los COMPONENTES de los S.E. POBLACIÓN de CLIENTES: Finita o Infinita. FINITA. Correspondiente a S.E. cerrados: Hay siempre N clientes (población+s.e.) Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población Población Sistema de Espera INFINITA: Correspondiente a S.E. abiertos. Tras salir del S.E. el cliente sale al exterior (se pierde) Población Sistema de Espera Exterior

6 CARACTERÍSTICAS de los COMPONENTES de los S.E. CAPACIDAD del S.E.: Finita o Infinita INFINITA: No hay limitación para el número de clientes N(t) que en un momento dado t puede contener el S.E. FINITA (K): El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser K Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde: Si N (t) < K Población Si N (t) = K Sistema de Espera La capacidad del S.E. es una forma natural de control de entrada.

7 SISTEMA DE SERVICIO: CARACTERÍSTICAS de los COMPONENTES de los S.E. Integrado por una o más unidades de servicio (servidores) en número s. Generalmente los servidores se suponen idénticos entre sí. Cada uno de los servidores sólo puede atender un cliente a la vez. Al finalizar un servicio el servidor queda libre y selecciona un cliente de entre los que esperan en la COLA de acuerdo con la "POLÍTICA de SERVICIO". POLÍTICA DE SERVICIO: FIFO (First In First Out) LIFO (Last In First Out) Al azar

8 CARACTERÍSTICAS COMUNES EN LOS S.E. Tiempo de permanencia en el S.E. = tiempo de espera (en cola) + tiempo de servicio Tiempo de espera en cola Tiempo de servicio Instante de entrada en el S.E. Tiempo de permanencia en el S.E. Instante de salida del S.E. Proceso de llegadas: Los instantes en los que se producen las peticiones son aleatorios: (P.ej. los instantes de llegada de los clientes a una tienda) Modelización: τ 1 τ 2 τ 3 τ k-1 τ k Proceso de servicio: Los tiempos de servicio son también aleatorios: (v.a. continua) t Intervalo τ entre llegadas: Proceso de renovación

9 NOTACIÓN de KENDALL-LEE X/Y/s/[K]/[N] Sigla que especifica el proceso de llegadas Sigla que especifica la v.a. tiempo de servicio de un servidor Número de servidores. Idénticos entre sí, con tiempo de servicio Y Capacidad del S.E. (Opcional). Si no aparece se entiende K= X, Y M - v.a. exponencial. D - v.a. degenerada E[τ]=T, Var[τ]=0. E n - v.a. n-erlang. G - v.a. cualquiera (tiempos correlacionados entre sí o no) GI - v.a. cualquiera. Tiempos mútuamente independientes. Población. (Opcional). Si no aparece se entiende N=

10 EJEMPLOS M/M/2 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ exponencial, Proceso de servicio: tiempos de servicio iguales en cada servidor aleatorios y exponenciales, s=2 servidores, K=, N=. M/M/2/8 Igual que el anterior pero como máximo 8 clientes en el S.E. M/M/1/./4 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ exponencial, Proceso de servicio: tiempo de servicio v.a. exponencial, s=1 servidor, K=, N=4. M/D/1 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ exponencial, Proceso de servicio: tiempos de servicio constantes, s=1 servidores, K=, N=. GI/M/1 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ cualquiera, Proceso de servicio: tiempo de servicio v.a. exponencial, s=1 servidor, K=, N=.

11 MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E. SERVIDOR w n w q,n C n-1 C n w Cn+1 n+2 C n+2 x n x n+1 x n+2 τ n - Tiempo entre llegada del cliente n y n+1. COLA Cn Cn+1 Cn+2 TIEMPO w n - Tiempo de permanencia en el S.E. del cliente n. w q n - Tiempo de permanencia en cola. del cliente n N(t) τ n τn+1 C n C n+1 C n+2 t x n - Tiempo de servicio del cliente n. N (t) - Número de clientes en el instante t en el S.E. N q (t) - Número de clientes en el instante t en Cola. P n (t) = P (N(t) =n)

12 MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E. COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones: 1. En promedio la afluencia de clientes al S.E. sobrepasa la capacidad de trabajo del Sistema de Servicio: N(t) N(t) PRESENTA UNA TENDENCIA CRECIENTE t 2. El Sistema de Servicio tiene suficiente capacidad de trabajo frente a la afluencia de clientes: N(t) N(t) puede crecer en ocasiones, pero el S.E. siempre retorna al estado 0 (vacío) t

13 MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E. Tiempo medio de espera por cliente en el S.E. Tiempo medio de espera por cliente en Cola. Número de llegadas en [0,t]: e(t) Tasa media de llegadas en [0,t], Tasa media de llegadas a largo término: Teorema de renovación

14 MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E. Resultado de Little. Para cualquier N(t) posible se verifica: Ocupación media (nº medio de clientes) del S.E. a lo largo del tiempo. N(t) Análogamente, para cualquier N q (t) posible se verifica:

15 FÓRMULA DE LITTLE Situación 2. siempre existe un número ilimitado de intervalos I o =[t', t''] con N(t)=0, t I o. 3 N(t) t

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17 λ FÓRMULA DE LITTLE λ λ Cola S.S. S.E. W s = Tiempo de permanencia medio en el S.S. L s = Longitud media de clientes en el S.S. 5 ecuaciones, 6 incógnitas: L, L q, L s, W, W q, W s ( λ se supone conocida )

18 Definición: Existe el e.e. cuando: ESTADO ESTACIONARIO (E.E.) P n : Interpretación: fracción del tiempo que el sistema está en el estado n. Si se conocen P n, n=0,1, K ( ) pueden calcularse L, L q Mediante las fórmulas de Little pueden determinarse el resto de magnitudes.

19 Para L q : ( Sistema de Servicio: s servidores ) Tasa media λ de llegadas al S.E. : Puede ocurrir que el tiempo entre llegadas τ sea v.a. con distribución dependiente del estado N del sistema. Ejemplo: los clientes de una tienda llegan con menos frecuencia si observan que la tienda está muy llena (N alto) τ i1 τ i2 τ i3 τ ik τ ik t N=i 1 N=i 2 N=i 3 N=i k t

20 Práctica 3. Comportamiento de la cola M/M/1. Estimación de los parámetros de entrada Objetivo: Se dispone de una muestra de los tiempos entre llegadas a un S.E. y de los tiempos de servicio del servidor de este S.E. En ambos casos el tamaño de la muestra es de 1000 observaciones. Se sabe que corresponden a distribuciones exponenciales de tiempo. Se pretende: a) Verificar mediante el test de χ 2 que efectivamente corresponden a una distribución exponencial. b) Obtener los intervalos de confianza para la tasa de llegadas por unidad de tiempo (parámetro λ de la distribución exponencial del proceso de llegadas) y para el factor de carga ρ del S.E. c) Simular mediante la macro mm1.mtb el comportamiento del S.E. comparando las magnitudes L, W, Wq obtenidas mediante la simulación con los que proporciona la teoría de colas.

21 3. Simulación del S.E. M/M/1. La simulación puede efectuarse mediante la macro mm1.mtb. K1 = N, número de clientes. K2 = 1/λ, tiempo medio entre llegadas. K3 = 1/µ tiempo medio de servicio. MTB> let K1= 300 MTB> let K2= 10 MTB> let K3= 11 MTB> let K4= 0,9 MTB> exec "mm1.mtb" 4. Presentación de resultados de la macro "mm1.mtb". 1 ( t) = t t L 0 N(τ ) dτ

22 5. Intervalos de confianza para las tasas λ y µ y para el factor de carga ρ = λ/µ. Se dispone de dos muestras t 1, t 2,, t n y s 1, s 2,, s m para los procesos de llegada y de servicio (tiempos distribuidos exponencialmente). Se quiere encontrar un intervalo de confianza de probabilidad 1-α para las tasas de llegada λ y de servicio µ a partir de las dos muestras. El estimador máximo verosímil para λ y µ es: n n m m λˆ =, µˆ = = n t i i=1 T n = m s Dado que T n se distribuye según una ley n-erlang de parámetro θ = λ/k (o también una Gamma(λ, n) ), n 1 2 E[ 2λ t i] = E[ 2λ T n] = 2n 2λ T n ~ Gamma, n = χ 2n i= 1 2 λ n ~ λˆ µ m ~ ˆ µ i i=1 S m λ λ ˆ ρ = ~ F µ ˆ ρ ˆ µ χ, 2 2n χ 2m 2n, 2m Intervalo de confianza al 1-α para λ : λˆ λˆ x, 2n 2n x+ Intervalo de confianza al 1-α para ρ : [ ˆ ρ, ˆ ρ f ] f + La siguiente tabla ilustra los tamaños de muestra necesarios para obtener intervalos de confianza del 95% y la amplitud de los mismos. n=m f- f+ e f (%) x-/2n x + /2n e x (%). 10 0,405 2, ,479 1, ,757 1, ,813 1, ,916 1, ,939 1, ,972 1, ,980 1,019 3

23 6. Test de Bondad de Ajuste de χ 2 Utilizad la macro "x2.mtb" para efectuar un test de bondad de ajuste de χ 2 a una distribución k-erlang a partir de una muestra de tiempos para los procesos de llegadas y/o de servicios a un S.E. Calcula una medida global de la discrepancia entre n i y n e : X 2 = N i= 1 ( ) La variable X 2 se distribuye según una ley χ 2 N m 1, Se rechazará la distribución propuesta si P(x X 2 ) = p-valor < α 7. Procedimiento para usar la macro "x2.mtb": Supongamos, por ejemplo, que se dispone de una muestra para la que las estadísticas básicas son: Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean sample ,914 19,607 19,702 5,990 0,268 Variable Minimum Maximum Q1 Q3 sample 6,607 41,172 15,660 23,373 ni ne ne 2 1) Haced una estimación de los parámetros de la distribución de la que presumiblemente proviene la muestra. 2) Estableced los valores de las constantes k100, k101, k102, k103. MTB> let k100=9,95 MTB> let k101=2 MTB> let k102=500 MTB> let k103=7 Proporciona: - El p-valor en la constante k105 y el resto de constantes k100-k104 bajo las que ha ejecutado. - El valor de X 2 - Gráficos con el histograma de la muestra, la función de densidad de probabilidad para la distribución y el diagrama de barras para las frecuencias n i.

24 (3.b) MODELOS EXPONENCIALES de COLAS INTRODUCCIÓN A LOS PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE. Ecuaciones de equilibrio. Condición de E.E. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: La cola M/M/1. Ilustración del comportamiento. MODELOS DE COLAS EXPONENCIALES. Trabajo de servidores en paralelo. Casos importantes: M/M/s, M/M/s/K, M/M/s/./N. Propiedades. Longitudes medias y Tiempos de permanencia. TEORIA DE COLAS

25 PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE "Nacimiento" indica llegada al S.E "Muerte" indica salida del S.E. Puede ocurrir que el tiempo entre llegadas τ sea v.a. con distribución dependiente del estado N del sistema. τ i1 τ i2 τ i3 τ ik τ ik t 1. Si N () t = n el tiempo entre llegadas τ ~ exp. de parámetro λ n. 2. Si N () t = n el tiempo de servicio ~exp. De parámetro n Sólo una llegada o una salida al/del sistema puede darse en cada instante t. µ.

26 Diagrama de tasas de transición Muestra las posibles transiciones permitidas en el estado del sistema en un instante. Tasas del proceso de llegadas al S.E. λ 0 λ 1 λ 2 λ n-1 λ n λ n+1 n n-1 n µ 1 µ 2 µ 3 µ n µ n+1 µ n+2 Tasas del proceso de servicio en el S.E. La distribución de probabilidades del estado del sistema, N(t), en régimen estacionario es relativamente intuitivo de deducir a partir del diagrama de tasas de transición.