Interrogación (25 Ptos.) Conteste verbalmente las siguientes preguntas :

Transcripción

1 P. Universidad Católica de Chile Dpto. de Ingeniería de Sistemas Modelos Estocásticos Profesor Alvaro Alarcón 07 de Septiembre de 2009 Interrogación (25 Ptos.) Conteste verbalmente las siguientes preguntas : a) Cuál es la expresión de la desviación estándar de un Proceso de Poisson No Homogéneo? (5 puntos) En un proceso de Poisson no homogéneo depende del tiempo, por lo tanto b) Qué pasa con el Coeficiente de Variación de un Proceso de Poisson Homogéneo a través del tiempo? Justifique. (5 puntos) El coeficiente de variación, o dispersión relativa a la media, disminuye a través del tiempo, ya que la media crece proporcionalmente con el tiempo y la desviación estándar sólo lo hace con la raíz del tiempo. Matemáticamente: Donde se ve claramente, que si permanece constante (Poisson homogéneo), al aumentar el tiempo el coeficiente de variación disminuye. c) Cómo se comporta el tiempo hasta que se quiebre un vaso, contado desde ahora, en comparación de como se comportaba al momento de su compra? Cómo se comporta el tiempo hasta la próxima falla humana de un piloto aéreo, contado desde ahora, en comparación de como se comportaba al recibir su licencia? (5 puntos) El evento de quebrarse un vaso se puede modelar según un proceso de Poisson, por lo que el tiempo hasta que se quiebra un vaso contado desde ahora se comporta de la misma forma que al momento de su compra, ya que esta distribución no tiene memoria y por lo mismo existen incrementos independientes. En cambio, los pilotos van aprendiendo a medida que pasa el tiempo, (el evento envejece), por lo que la distribución sí tiene memoria y por ende no hay Incrementos Independientes. Además no hay Incrementos Estacionarios, dado que los parámetros de la distribución de tiempos entre eventos van cambiando con el aprendizaje. La respuesta también podría apoyarse con un gráfico:

2 d) Ilustre en un gráfico tiempo/unidades la evolución de la demanda acumulada y el stock de un producto de la temporada de invierno de una multitienda. El inicio de la temporada es el 01 de febrero, mientras que su término (medio) es el 01 de agosto, con un período de liquidación (tiempo en que normalmente se puede acabar la mercadería) entre el 01 de julio y el 01 de septiembre. Dibuje la demanda media a través de la temporada y las colas de la distribución del número de producto faltante al inicio de la liquidación o sobrante a su término. Asimismo grafique bajo el eje del tiempo la distribución del instante en que se agota el stock, el cual al inicio de la temporada alcanzaba N unidades. (5 puntos)

3 e) Como sabemos la agregación o suma de aleatoriedad disminuye el coeficiente de variación, se manifiesta este razonamiento en el proceso que resulta de la convergencia de dos Procesos de Poisson iguales? Justifique. (5 puntos) Si, ya que el proceso que resulta de dos procesos de Poisson iguales de media µ y desviación estándar, es un proceso de Poisson de media 2µ y de desviación estándar. De esta manera, se pasa de un coeficiente de variabilidad a uno. Por lo que se puede ver que en la situación planteada también disminuye el coeficiente de aleatoriedad.

4 2.- (25 Ptos.) Suponga que a un paradero de taxis colectivos, llegan pasajeros de acuerdo a un Proceso de Poisson con tasa media λ. Asuma que siempre hay al menos un taxi para tomar pasajeros. Cada taxi inicia su recorrido al completar cuatro pasajeros. a) Si se sabe que en la primera hora de operación llegaron 86 personas al paradero, cuál es la probabilidad que lleguen 43 en la siguiente media hora? (7 puntos) Es claro que por la propiedad de Incrementos Independientes lo que haya sucedido hasta ahora no afecta el futuro. Y por la propiedad de incrementos estacionarios, no importa el instante en que nos encontramos, sólo el largo del intervalo, entonces: También se consideró correcto usar 30 (minutos) en vez de 0,5 (horas), ya que no se especifican las unidades de la tasa λ. b) Qué distribución tienen los tiempos entre salida de los taxis? (6 puntos) La salida de los taxis está determinada por la llegada de 4 pasajeros cuyos tiempos distribuyen exponencial(λ), luego el tiempo de salidas entre taxis distribuye Gamma (λ,4) c) A qué proceso estocástico corresponde el proceso que cuenta la salida de los taxis? (6 puntos) A un proceso de conteo cuyo tiempo entre eventos distribuye Gamma(λ,4). No es un Proceso de Poisson Simple, Homogéneo ni Compuesto. También es correcto decir que es un Proceso de Renovación. d) Tiene incrementos independientes el proceso que cuenta la salida de los taxis? (6 puntos) No, ya que la probabilidad de l siguiente suceso depende de cuánto tiempo ha pasado desde el anterior. Es decir, a medida que pasa el tiempo es más probable que ocurra el siguiente evento porque es más probable que hayan llegado los 4 pasajeros al taxi.

5 3.- (25 Ptos.) Una nueva colección de modelos de zapatillas se compone (por simplicidad) de un único modelo con dos colores. Cada uno de los colores es demandado según un Proceso de Poisson con tasa media lambda y dispone de un stock de M unidades (en total 2M unidades). Mientras están disponibles ambos colores los productos de venden a un mismo precio (de temporada) P T, mientras que al acabarse alguno de ellos, la colección (el otro color) entra en liquidación, vendiéndose a un precio de liquidación P L. El costo del producto en cualquiera de sus colores es el mismo, C. Nota : Distribución Binomial Negativa m + n 1 p( n) = p m ( 1 p) n n donde n es el número de experimentos fallidos antes del m-esimo éxito. a) Determine expresiones para la distribución de la cantidad de productos a vender a precio de temporada y para la distribución de la cantidad de productos a vender a precio de liquidación. (8 ptos) Se nos dice que hay M zapatillas de cada color, por lo tanto es un total de 2M zapatillas. Además se nos dice que cada color es demandado según un P. Poisson con tasa media λ, es decir, el proceso completo tiene tasa 2λ. Sea K el número de productos vendidos a precio de temporada Ahora, para los productos vendidos a precio de liquidación. Sea J el número de productos vendidos a este precio

6 b) Establezca una expresión para el valor esperado del margen (ingresos menos costos de venta) obtenido por la venta del total de la colección. (8 ptos) En este caso se tiene que el margen es condicional a la renta de M+n productos vendidos a precio temporada Luego, descondicionando c) Encuentre una expresión para la distribución del tiempo hasta el inicio de la liquidación?. (5 ptos) Sea Z el tiempo hasta el inicio de la liquidación, como sabemos que el tiempo entre eventos distribuye exponencial con tasa media 2λ (por convergencia de eventos), el distribución condicional para Z va a ser: Enseguida, se tiene que d) A qué tasa (pesos/ tiempo) se generó el margen de este negocio. (4 ptos) Para obtener la tasa media a la que se generó el margen del negocio, es simplemente dividir la E{margen} por E{tiempo} Obteniendo así Luego, lo importante de explicitar de estos términos, es que

7 Opcional (5 Ptos) e) Argumente en términos cuantitativos como se comportaría el margen de la colección anterior en función de un mayor surtido de colores. Lógicamente si se tiene más colores y de cada uno M unidades, el margen va a aumentar. Pero la gracia de la pregunta es verlo desde el punto de vista proporcional y cuánto de este margen corresponde a venta de productos a precio de temporada y cuánto a venta de productos a precio de liquidación. La media del proceso (mínimo entre más modelos) se va a desplazar hacia la izquierda (achichar),así lo que corresponde a ventas a precio de temporada disminuirá y quedando un porcentaje mayor por vender a precio de liquidación.

8 4.- (25 Ptos.) Considere un producto alimenticio perecible recién fabricado y con plazo de vencimiento T. El producto se vende a un precio P y tiene un costo C, siendo demandado según un Proceso de Poisson con tasa media lambda. a) (12 Ptos.) Establezca una expresión para el margen medio obtenido de la comercialización de un lote de producto de tamaño N. Los datos del problema son: D(t): Proceso de conteo de la demanda D(t) ~ Poisson(λ) M(T): margen hasta T C: Costo unitario N: tamaño del lote El margen del intervalo T dado que la demanda es n está dado por la llave: Se sigue de inmediato la expresión para su valor medio: Conocemos la distribución de la demanda: Con lo que finalmente el margen queda:

9 b) (8 Ptos.) Explique verbalmente y con ayuda de un diagrama de las celdas de cada columna de una planilla de cálculo como encontraría por prueba y error el tamaño del lote que maximiza el margen esperado. A B C D 1 N =λ*t 2 =suma(d4:d500) 3 n Pn Margen Margen/n * Pn 4 0 =exp(-b$1)*(b$1)^a4)/fact(a4) =Si(A4<=A$1,nP-NC, PN-PC) =B4*C4 5 1 =exp(-b$1)*(b$1)^a5)/fact(a5) =Si(A4<=A$1,nP-NC, PN-PC) =B5*C5 6 2 =exp(-b$1)*(b$1)^a6)/fact(a6) =Si(A5<=A$1,nP-NC, PN-PC) =B6*C Se debe variar N en una planilla de cálculo y anotar el valor de E(M(T)) de cada iteración. Al final se elige el máximo y se aprecia cuál es el N que lo provoca. ( El 500 de la celda D2 es un número donde los sumandos siguientes dejen de ser relevante para la suma.) c) (5 Ptos.) Explique e ilustre mediante el diagrama de la hoja de cálculo anterior como extendería el cálculo del margen esperado si el producto cambiara a otro bien como un producto perecible de moda (asuma sin valor residual al término de la temporada) en que el largo de la temporada, por razones climáticas que atrasaran su inicio, pudiera tener una distribución con cuatro duraciones distintas. Habría que repetir cuatro veces la misma planilla anterior, en la misma hoja o en hojas distintas, en cada una usando cada uno de los cuatro valores de T, obteniendo un margen condicional en cada caso (análogas a la celda D2 de la planilla anterior) y luego hacer la suma ponderada de las celdas análogas a la D2 por la probabilidad de cada uno de los cuatro valores de T.