Julio Deride Silva. 27 de agosto de 2010

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1 Estadística Descriptiva Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de agosto de 2010

2 Tabla de Contenidos Estadística Descriptiva Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de agosto de 2010

3 Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

4 Representaciones Gráficas Outline 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

5 Representaciones Gráficas Introducción Con las medidas estudiadas anteriormente, una muestra ha sido analizada desde un punto de vista descriptivo, exclusivamente a través del estudio cualitativo de estadísticos representativos. Es así, como se ha estudiado la forma en que una variable aleatoria toma valores para una muestra y se ha descrito con medidas de tendencia central, dispersión, simetría y apuntamiento. Para finalizar el estudio descriptivo, es necesario hacer una revisión de las distintas representaciones gráficas, que entreguen una intuición visual, precisa y concisa del comportamiento de una variable aleatoria.

6 Histogramas y Diagramas de Barra. Outline 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

7 Histogramas y Diagramas de Barra. Histogramas y Diagramas de Barra. Estos gráficos consisten en representar las clases en el eje de las ordenadas y la frecuencias (absolutas o relativas, simple o acumulada) en el eje de las abscisas. Si se utiliza la frecuencia simple, entonces el histograma se dirá diagrama direfencial. Para frecuencias acumuladas, se dirá diagrama integral. Se dice diagrama de barra cuando la variable en estudio sea del tipo cualitativa o discreta. Finalmente, hablaremos de histogramas cuando la variable en estudio sea cuantitativa continua. En este último caso, se complementa el gráfico con el poĺıgono de frecuencias, correspondiente a la unión de los segmentos de rectas que unen la frecuencia de cada clase, desde su respectiva marca de clase, como se ilustra en la figura 1.

8 Histogramas y Diagramas de Barra. Histograma Figura: Histograma y poĺıgono de frecuencia.

9 Histogramas y Diagramas de Barra. Construcción Para la construcción de histogramas, se considera el siguiente criterio: el área que ocupa cada una de las barras debe ser proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa, simple o acumulada). Es así como, en los histogramas, si cada intervalo de clase tiene igual ancho, sólo se debe satisfacer que la altura sea proporcional a la frecuencia, considerando que lo típico es usar directamente la frecuencia como altura. Para graficar más de una muestra, se utilizan barras adyacentes, y frecuencias relativas, para aislar el efecto del tamaño de cada una.

10 Diagrama de sectores y tortas. Outline 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

11 Diagrama de sectores y tortas. Diagrama de sectores y tortas. Este tipo de diagrama consiste en dividir un círculo en la cantidad total de clases, de manera tal que cada sector circular contenga un área proporcional a la frecuencia relativa. Esto es, el ángulo central de la clase i, α i, debe cumplir la siguiente relación α i 2π = n i n, donde n i corresponde a la cantidad de observaciones en la clase i y n el tamaño de la muestra (ver figura 2).

12 Figura: Diagrama de tortas. Estadística Descriptiva Diagrama de sectores y tortas. Ejemplo

13 Diagrama de sectores y tortas. Observaciones Si se desea comparar dos poblaciones, se utilizan semi-círculos, donde los radios deben capturar las diferencias en los tamaños de la muestra. Para obtener una relación entre los radios, se establece que el área de cada semi-círculo sea proporcional al tamaño de la muestra respectiva. Esto es, sean dos muestras, de tamaño n 1 y n 2 respectivamente. La relación que deben cumplir sus radios es π 2 r2 1 π 2 r2 2 = n 1 n 2 r 1 = r 2 n1 n 2

14 Diagrama de sectores y tortas. Ejemplo

15 Pictograma. Outline 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

16 Pictograma. Pictograma Este diagrama corresponde a dibujos alusivos a la variable en estudio, donde su construcción es tal que el área de cada dibujo sea proporcional a la frecuencia. Por ejemplo, si analizamos el ingreso, un pictograma se nota en la figura 4

17 Pictograma. Pictograma Figura: Pictograma.

18 Boxplot o gráfico de cajas. Outline 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

19 Boxplot o gráfico de cajas. Boxplot Es un tipo de representación usada para resumir información muestral. Para cada muestra se construye el diagrama de la siguiente forma: 1 Se ubica una caja, ya sea vertical u horizontal, entre los cuartiles Q 1 y Q 3. 2 Con una ĺınea se unen a la caja los percentiles P 2,5 y P 97,5, respectivamente. 3 Se marca la mediana Q 2 dentro de la caja. 4 Se denota con un punto las observaciones x min y x max. Finalmente, el dibujo se realiza como en la figura 5

20 Boxplot o gráfico de cajas. Ejemplo Boxplot Figura: Boxplot.

21 Diagramas de Tallo-Hoja. Outline 1 Representaciones Gráficas 2 Histogramas y Diagramas de Barra. 3 Diagrama de sectores y tortas. 4 Pictograma. 5 Boxplot o gráfico de cajas. 6 Diagramas de Tallo-Hoja.

22 Diagramas de Tallo-Hoja. Tallo-Hoja Una forma de representación alternativa para un conjunto de observaciones es el Diagrama de Tallo-Hoja del cual se muestra un ejemplo en el cuadro PROF Número de Hojas Tallo Hojas : : : : : 5

23 Diagramas de Tallo-Hoja. Elementos Este diagrama contiene la siguiente información: Tamaño de la muestra: Es la suma de la cantidad de hojas. En el ejemplo n = = 30. Rango: Es la diferencia entre el último valor y el primero. En el ejemplo, R = 9,5 5,1 = 4,3. Mediana: Se encuentra en el tallo (ĺınea) donde no se señala profundidad. En el ejemplo, corresponde a la observación número 15, y por lo tanto, x = 6,9. La profundidad indica la cantidad de hojas por bajo y por sobre el tallo de la mediana correspondiente a cada tallo. En el ejemplo, Prof(5) = 11, Prof(7) = = 14, Prof(8) = = 6, Prof(9) = 1.

24 Diagramas de Tallo-Hoja. Construcción 1 Ordenar los datos de menor a mayor. 2 Calcular la cantidad de ĺıneas que tendrá el diagrama mediante L = [10 log 10 n], representando n el tamaño de la muestra y [x] la parte entera de x. 3 Estimamos el intervalo de valores para cada ĺınea según r = R L, redondeando a la potencia de 10 más próxima, siendo R el rango de la muestra.

25 Diagramas de Tallo-Hoja. Diagrama Prof: Para cada fila, excepto en la ĺınea central que contiene la mediana, muestra la máxima profundidad correspondiente a los datos de la fila. Número de Hojas: Indica la cantidad de hojas de cada tallo (fila). Tallo: Los tallos están ordenados, en columna, desde la menor observación x min y la mayor x max ; y en ĺıneas separadas, aparecen todos los valores posibles de tallos dentro del rango observado, con la precisión dada por los intervalos calculados anteriormente. Hoja: Se representa el dígito de cada observación correspondiente a cada tallo. Así, por ejemplo, la primera observación de la muestra aparece en la primera ĺınea, y así sucesivamente.

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