TEMA N 3.- TEORÍA DE COLAS

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1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI EXTENSIÓN REGIÓN CENTRO-SUR ANACO, ESTADO ANZOÁTEGUI TEMA N 3.- TEORÍA DE COLAS Asignatura: Investigación Operativa I Docente: Ing. Jesús Alonso Campos 3.1 Introducción Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. 3.2 Componentes de los sistemas de colas Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio. Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola está vacía. De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. 3.3 Procesos de nacimiento y muerte pura Proceso de nacimiento puro El proceso de nacimiento puro es un proceso de tipo Poisson que corresponde a un sistema en el cual en el tiempo se suceden nacimientos (llegadas) y en ningún momento se produce la muerte (salidas) o el abandono de los elementos del sistema. Bajo estas consideraciones, el proceso se caracteriza porque la probabilidad de que en el intervalo (t, t + Δt) se produzca un nacimiento, será igual Proceso de muerte pura Un proceso de muerte pura se caracteriza porque corresponde a un proceso de Poisson en el cual se asume que se producen solamente abandonos del sistema en el tiempo y en ningún momento ocurre la incorporación de elementos al sistema. Si en el momento t en el sistema se tenían n unidades, entonces este proceso se caracteriza porque la probabilidad de que se produzca una muerte en el intervalo (t, t+δt) será igual.

2 3.4 Modelos de colas con llegadas y salidas combinadas Notación de Kendall y Lee En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características básicas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a/b/c):(d/e/f), donde: Elemento Significado Observaciones Distribución de probabilidad del a tiempo entre llegadas de las transacciones. b Distribución de probabilidad del tiempo de servicio. Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D: constante. E k : distribución Erlang con parámetro k. G: cualquier tipo de distribución. GI: distribución general independiente. H: distribución hiperexponencial. M: distribución exponencial. c Número de servidores - d Orden de atención a los clientes Los símbolos utilizados en este campo son: PEPS: primero que entra, primero que sale. UEPS: último que entra, primero que sale. SIRO: orden aleatorio. PR: con base en prioridades. DG: en forma general. e Número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo - instante de tiempo. f Tamaño de la fuente de llamadas Modelo generalizado de Poisson La meta inmediata del modelo generalizado es deducir una expresión para P n que es la probabilidad que haya exactamente n clientes en el sistema como una función de λ n la tasa de llegada y de µ n la tasa de salida. Este modelo es de estado estable (no dependen del tiempo) para la línea generalizada de Poisson con c servidores en paralelo. Las siguientes definiciones son utilizadas para analizar la operación de las líneas de espera con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema: L s = número esperado de clientes en el sistema. L q = número esperado de clientes en la cola o fila. W s = tiempo estimado de espera en el sistema. W q = tiempo esperado de espera en la cola o fila.

3 3.5 Líneas de espera especializadas de Poisson Modelos con un solo servidor Modelo (M/M/1) : (DG/ / ) Este es un modelo con un sólo servidor, sin límite en la capacidad del sistema o de la población. Se supone que las tasas de llegadas son independientes del número en el sistema, es decir, λ n = λ. Similarmente, se supone que el servidor completa su servicio a una tasa constante, es decir, µ n = µ. A partir de esta suposición básica, se pueden aplicar varias fórmulas para describir las características de operación del sistema Modelo (M/M/1) : (DG/N/ ) La única diferencia con el modelo anterior es que el número máximo de clientes permitidos en el sistema es N, es decir, la longitud máxima de la cola de espera es N Modelos con varios servidores Modelo (M/M/c): (DG/ / ) En este modelo los clientes llegan con una tasa constante λ y un máximo de c clientes son atendidos simultáneamente. La tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a µ. Al usar c servidores paralelos se acelera la tasa de servicio. Si el número de clientes en el sistema n es igual o excede a c, la tasa combinada de servicio es igual a cµ. Por otra parte, si n es menor que c, la tasa combinada de salidas es de nµ Modelo (M/M/c): (DG/N/ ), c N La única diferencia con el modelo anterior es que el número máximo de clientes permitidos en el sistema es N, es decir, la longitud máxima de la línea de espera es N c Modelo (M/M/ ) : (DG/ / ) (modelo de autoservicio) En este modelo, el número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es también un servidor. Este es normalmente el caso en los establecimientos de autoservicio Modelo (M/M/R) : (DG/K/K), R < K (modelo de servicio de máquinas) El entorno para este modelo es el de un taller con K máquinas. Cuando se descompone una máquina, se llama a un mecánico para hacer la reparación. Se supone que todas las descomposturas y los servicios siguen una distribución de Poisson. Este modelo se diferencia de todos los anteriores por tener una fuente finita de clientes. Eso se puede visualizar si se considera que cuando todas las máquinas del taller están descompuestas, no se pueden generar más solicitudes de servicio. En esencia, sólo las máquinas que están funcionando se pueden descomponer, por lo que tienen el potencial de generar llamadas de servicio.

4 Ejercicios para resolver en clase: Función exponencial y de Poisson 1. Los clientes llegan a un restaurante de acuerdo a una distribución de Poisson a la tasa de 20 por hora. El restaurante abre a las 11 am. Determine lo siguiente: a. La probabilidad de que haya 20 clientes en el restaurante a las 11:12 am, dado que hubo 18 a las 11:07 am. b. La probabilidad de que llegarán nuevos clientes entre las 11:28 am y las 11:30 am, dado que el último cliente llegó a las 11:25 am. 2. El tiempo entre llegadas en una oficina de correos es exponencial, con valor medio de 0.05 hora. La oficina abre a las 8:00 a.m. a. Escriba la distribución exponencial que describa el tiempo entre llegadas. b. Determine la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina hasta las 8:15 a.m. c. Son las 8:35 a.m. El último cliente entró a las 8:26 a.m. Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 a.m.? Y de que no llegue hasta las 8:40 a.m.? d. Cuál es la cantidad promedio de clientes que llegan entre las 8:10 y las 8:45 a.m.? Modelo de nacimiento puro 1. Libros que se ordenaron con anterioridad llegan a la biblioteca de una universidad según una distribución de Poisson a la tasa de 25 unidades por día. Cada repisa de la estantería puede dar cabida a 100 libros. Determine lo siguiente: a. El número estimado de repisas que se llenarán con nuevos libros cada mes (de 30 días). b. La probabilidad de que se necesitarán más de diez estantes de libros cada mes, dado que un estante de libros tiene cinco repisas. 2. Una universidad administra dos líneas de autobuses en su campus: la roja y la verde. La roja da servicio al lado norte y la verde al lado sur, y hay una estación de transbordo que une a las dos. Los autobuses verdes llegan al azar (de acuerdo con una distribución de Poisson) a la estación de transbordo cada 10 minutos. Los rojos llegan al azar cada 7 minutos. a. Cuál es la probabilidad de que dos autobuses lleguen a la estación durante un intervalo de cinco minutos? b. Un alumno, cuyo dormitorio es vecino a la estación, tiene una clase dentro de 10 minutos. Cualesquiera de los autobuses lo llevará al edificio de su salón. El viaje en autobús dura 5 minutos, y después tiene que caminar unos 3 minutos para llegar a su salón. Cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo a su salón? Modelo de muerte pura 1. Se utilizan las existencias de un inventario de 80 artículos según una distribución de Poisson a la tasa de 5 unidades por día. a. Determine la probabilidad de que no se utilicen diez artículos durante los dos primeros días. b. Especifique la probabilidad de que no quede ni un solo artículo al cabo de cuatro días. c. Determine el número promedio de artículos utilizados en un período de cuatro días.

5 2. La empresa ABC adquiere un producto X, el cual presenta una demanda que sigue una distribución de Poisson con media de 8 unidades diarias. Cada inicio de semana, se recibe un nuevo pedido alcanzando un nivel de inventario de 50 unidades. Internamente, se manejan las siguientes políticas de trabajo: La empresa labora de lunes a sábado y se mantiene cerrada el domingo. Cuando el nivel de existencias llega a 10 unidades, el Departamento de Ventas introduce un nuevo pedido de 50 unidades, a fin de poder contar con inventario suficiente. Dado la naturaleza del artículo, es necesario eliminar toda la existencia que se encuentra en el almacén al finalizar la semana de trabajo. Por lo tanto, usted debe determinar: a. Probabilidad de disponer con la cantidad mínima de inventario al final de la semana. b. Probabilidad de hacer un pedido el día miércoles (día 3). c. Número esperado de unidades al finalizar la semana. d. Probabilidad de agotarse la existencia disponible después de 4 días. e. Probabilidad de que no ocurran retiros durante el primer día. f. Inventario promedio que se mantiene en existencia hasta el quinto día. Modelo generalizado de Poisson 1. En una peluquería se atiende a un cliente cada vez, y tiene tres sillas para los clientes que esperan. Si el lugar está lleno, los clientes van a otra parte. Las llegadas siguen una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. El tiempo de un corte de pelo es exponencial, con 15 minutos de promedio. Determine lo siguiente: a. Las probabilidades de estado estable. b. La cantidad esperada de clientes en la peluquería. c. La probabilidad de que los clientes vayan a otra parte por estar lleno el local. 2. En una línea de espera dada, el sistema no puede atender a más de cuatro clientes. La tasa de llegadas es de 10 por hora y la tasa de salidas es de 5 por hora. Ambas tasas son independientes del número n en el sistema. Suponga que los procesos de llegada y salida siguen una distribución de Poisson. Determine lo siguiente: a. El conjunto de ecuaciones de equilibrio que describen el sistema. b. Las probabilidades de estado estable. c. El número esperado de clientes en el sistema. Modelo (M/M/1):(DG/ / ) 1. A través de los años, el detective Rodríguez del Departamento de Policía de cierta ciudad, ha tenido un éxito fenomenal en la solución de cada caso que se le presenta. Sólo es cuestión de tiempo para que pueda resolver cualquier caso. Rodríguez admite que el tiempo en cada caso es "totalmente aleatorio", pero en promedio cada investigación dura aproximadamente semana y media. Los delitos en la tranquila ciudad no son muy comunes. Suceden al azar, con una frecuencia de uno cada cuatro semanas. Rodríguez pide un ayudante con quien compartir la pesada carga de trabajo. Analice la petición del detective Rodríguez para ayudarle a determinar la cantidad promedio de casos que esperan ser investigados y el porcentaje de tiempo en el que está ocupado el detective. 2. Al servidor de una empresa, se envían programas de distintos departamentos con una tasa de 10 por minuto, a fin de ser ejecutados. El tiempo promedio de ejecución de

6 cada programa es de 5 segundos. Los tiempos de llegada y ejecución siguen una distribución exponencial. a. Qué proporción de tiempo está el servidor desocupado? b. Cuál es el tiempo total que debe esperar un programa en el sistema para salir? c. Cuál es el número promedio de programas en la cola? d. Determine la cantidad estimada de programas que existen en el sistema. Modelo (M/M/1):(DG/N/ ) 1. Los pacientes llegan a una clínica según una distribución de Poisson a una tasa de 30 pacientes por hora. La sala de espera no da cabida a más de 14 pacientes. El tiempo de auscultación por cada paciente es exponencial con una tasa media de 20 por hora. a. Determine la tasa efectiva de llegadas a la clínica. b. Cuál es la probabilidad de que un paciente que llegue a la clínica no tendrá que esperar? Hallará un asiento desocupado en la sala? c. Cuál es el tiempo de espera estimado para que un paciente pueda salir de la clínica? 2. Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar servicio a automóviles. Se estima que los autos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson a la tasa de 2 cada 5 minutos y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila de 6 automóviles. Otros autos que llegan pueden esperar fuera de este espacio, de ser necesario. Los empleados tardan 1.5 minutos en promedio en surtir un pedido, pero el tiempo de servicio varía en realidad, según una distribución exponencial. Determine lo siguiente: a. La probabilidad de que el establecimiento esté inactivo. b. El número esperado de clientes en espera, pero que no se les atiende en ese momento. c. El tiempo de espera calculado hasta que un cliente pueda hacer su pedido en la ventanilla. d. La probabilidad de que la línea de espera será mayor que la capacidad del espacio que conduce a la ventanilla de servicio a automóviles. Modelo (M/M/c):(DG/ / ) 1. Cierta empresa usa tres cajeros los sábados. El tiempo entre llegadas y el de servicio a los clientes tienen una distribución exponencial. Los clientes llegan a razón de 20 por hora y el tiempo de servicio es de 6 minutos en promedio. Los clientes forman una sola fila y son atendidos por el primer cajero disponible. Encuentre: a. Probabilidad de que no haya clientes esperando a ser atendidos. b. El número esperado de personas en la fila. c. El tiempo de espera previsto en la fila. d. Número esperado de personas en el sistema. 2. Se tiene una estación de servicio que posee dos bombas, localizada en un punto privilegiado de la ciudad y con un servicio excelente. Cada 5 minutos, siguiendo una distribución exponencial, llega un cliente. Suponiendo que la estación de servicio está abierta desde las 6:00 am hasta las 9:00 pm, y que la tasa de servicio es de 15 clientes por hora, de acuerdo a una distribución de Poisson: a. Cuál es la tasa de ocupación del sistema? b. Cuál es la probabilidad de que el sistema esté completamente lleno?

7 c. Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema? d. Determine la proporción en que el sistema se encuentre ocioso Modelo (M/M/c):(DG/N/ ) 1. Un centro de cómputo está equipado con cuatro computadoras, todas del mismo tipo y capacidad. El número de usuarios en el centro en cualquier momento es igual a 25. Para cada usuario, el tiempo para escribir un programa e introducir los datos, es exponencial con tasa media de 15 minutos. El tiempo de ejecución para los programas está exponencialmente distribuido con tasa media de 30 por hora. Suponiendo que el centro está en operación sobre una base de tiempo completo, y sin tomar en cuenta el efecto del tiempo que la computadora está parada, encuentre lo siguiente: a. Probabilidad de que un programa no se ejecute inmediatamente que se recibe en el centro. b. Número promedio de programas que esperan su servicio. c. Número esperado de computadoras inactivas. d. Porcentaje de tiempo que el centro está sin trabajo. e. Tiempo promedio hasta que un programa sale del centro. f. Porcentaje de tiempo ocioso por computadora. 2. Una gasolinera cuenta con dos bombas. El carril que llega a ellas puede dar cabida cuando mucho a cinco automóviles, incluyendo los que llenan el tanque. Los que llegan cuando el carril está lleno van a otra parte. La distribución de los vehículos que llegan es de Poisson, con promedio de 20 por hora. El tiempo para llenar y pagar las compras es exponencial, con 6 minutos de promedio. Determine lo siguiente: a. El porcentaje de automóviles que llenarán el tanque en otro lado. b. El porcentaje de tiempo en el que se usa una bomba. c. La utilización porcentual de las dos bombas. d. La probabilidad de que un automóvil que llegue no reciba servicio de inmediato, sino que se forme en la cola. e. La capacidad del carril que asegure que, en promedio, no haya más del 15% de que los vehículos que llegan se vayan a otra parte. Modelo (M/M/ ):(DG/ / ) o modelo de autoservicio 1. A los conductores nuevos se les pide pasar un examen por escrito, antes de hacer las pruebas de manejo. Los exámenes escritos suelen hacerse en el departamento de policía de la ciudad. Los registros de una ciudad de Maturín indican que la cantidad promedio de exámenes escritos es de 100 por día de 8 horas. El tiempo necesario para contestar el examen es de 30 minutos, más o menos. Sin embargo, la llegada real de los aspirantes y el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios. Determine lo siguiente: a. La cantidad promedio de asientos que debe tener el Instituto de Tránsito Terrestre en el salón de exámenes. b. La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que hay en el salón de exámenes. c. La probabilidad de que en un día no se haga examen alguno.

8 2. En una instalación de autoservicio las llegadas ocurren según una distribución de Poisson con media de 50 por hora. Los tiempos de servicio por cliente están exponencialmente distribuidos con media de 5 minutos. a. Encuentre el número esperado de clientes en servicio. b. Cuál es el porcentaje de tiempo que la instalación está inactiva? Modelo (M/M/R) : (DG/K/K), R < K o modelo de servicio de máquinas 1. Un operador atiende a cinco máquinas automáticas. Cuando una máquina termina un lote, el operador la debe restablecer para iniciar el siguiente lote. El tiempo para terminar un procesamiento de lote es exponencial, con 45 minutos de promedio. El tiempo de preparación de la máquina también es exponencial con un promedio de 8 minutos. a. Calcule la cantidad promedio de máquinas que esperan su restablecimiento o que están siendo restablecidas. b. Calcule la probabilidad de que todas las máquinas estén trabajando. c. Determine el tiempo promedio que una máquina está sin trabajar. 2. Dos mecánicos están atendiendo cinco máquinas en un taller. Cada máquina se descompone según una distribución de Poisson con media de 3 por hora. El tiempo de reparación por máquina es exponencial con media de 15 minutos. a. Encuentre la probabilidad de que los dos mecánicos estén ociosos y que uno de ellos esté desocupado. b. Cuál es el número esperado de máquinas inactivas que no se les está dando servicio?