Solución al Primer Parcial de Introducción a la Investigación de Operaciones Fecha: 11 de mayo de 2002

Transcripción

1 Solución al Primer Parcial de Introducción a la Investigación de Operaciones Fecha: de mayo de 22 INDICACIONES Duración del parcial: 4 hrs. Escribir las hojas de un solo lado. No se permite el uso de material ni calculadora. Numerar las hojas. Poner nombre y número de cédula en el ángulo superior derecho de cada hoja. Escribir en la primera hoja el total de hojas entregadas. Las partes no legibles del examen se considerarán no escritas. Las respuestas equivocadas a las preguntas de múltiple opción y Verdadero o Falso restan puntos. x N n x n N x x + x < n nx n x < 2 ( x ) n x x n Pregunta 8 Puntos (2 2 ) a) Explicar la notación de Kendall para filas de espera y los valores típicos de sus diferentes parámetros. Sea una fila de espera a la que llegan clientes según un proceso de Poisson de tasa 3 llegadas/hora en la que hay tres servidores y el tiempo de servicio es exponencial con promedio hora. Supongamos que hay lugar para un sólo cliente en espera (tamaño de la fila ); si llegan más clientes cuando el sistema está ocupado se pierden (se retiran sin esperar el servicio). b) Modelar como un proceso de nacimiento y muerte (dar espacio de estado y parámetros). c) Estudiar la estabilidad de la fila y de ser posible calcular la distribución estacionaria. d) Calcular la tasa media λ de entrada real de clientes al sistema (sólo aquellos que son atendidos). e) Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema de los clientes que son atendidos. f) Calcular el número medio de servidores desocupados. Pregunta 2 5 Puntos (.5.5 2) a) Definir Proceso de Conteo. b) Definir Proceso de Conteo Homogéneo c) Definir Proceso de Conteo de Crecimientos Independientes d) Definir Proceso de Poisson e) Mostrar que un Proceso de Poisson es una Cadena de Markov de Tiempo Continuo Homogénea y dar el espacio de estados y generador infinitesimal en función de los parámetros λ i y µ i del proceso.

2 Pregunta 3 8 Puntos ( ) Se desea modelar el comportamiento de dos personas A y B jugando a Piedra Papel y Tijera (juego infantil en el cual dos participantes eligen independientemente y de manera simultánea una de estas tres opciones y se determina el ganador según este esquema: Piedra rompe (gana) a Tijera Tijera corta (gana) a Papel Papel envuelve (gana) a Piedra). Las dos personas observadas presentan el siguiente comportamiento (suponemos independiente de cualquier otra información sobre la forma pasada de jugar): Última elección del adversario Próxima elección de la persona A Probabilidad Piedra Piedra Piedra Tijera Piedra Papel Tijera Piedra Tijera Tijera Tijera Papel Papel Piedra Papel Tijera Papel Papel Última elección del adversario Próxima elección de la persona B Probabilidad Piedra Piedra Piedra Tijera Piedra Papel Tijera Piedra Tijera Tijera Tijera Papel Papel Piedra Papel Tijera Papel Papel a) Modelar el comportamiento conjunto de ambos jugadores como una cadena de Markov: dar el espacio de estados y la matriz de transiciones. b) Dibujar el grafo asociado; estudiar sus clases de equivalencia; y clasificar los estados (recurrencia transitoriedad periodicidad). c) Supongamos que en la primer ronda se observa que el jugador A juega Piedra y el jugador B juega papel. Calcular la distribución de probabilidad de los estados de la cadena para el resultado de la cuarta ronda. d) Supongamos que en la primer ronda se observa que ambos jugadores eligen Tijera. Calcular para las primeras 3 rondas el porcentaje de veces en que gana el jugador A gana el jugador B o empatan. 2

3 Pregunta 4 3 Puntos( ½ por pregunta) Para cada enunciado marcar si es verdadero o falso. a - El método Monte Carlo permite calcular no solo valores medios sino también errores de estimación de los mismos. b - El método de la transformación inversa permite generar variables aleatorias de distribución continua a partir de una v.a. uniforme () c - El diseño de experimentos se realiza luego de obtener los resultados de las corridas de un modelo de simulación. d - Los números seudo-aleatorios son poco usados en la practica. e - La simulación continua se aplica siempre que el tiempo entre dos eventos sea una variable aleatoria de distribución continua (por ejemplo exponencial). f - Un modelo es un cuerpo de información relativa a un sistema recabado con el fin de estudiarlo. Pregunta 5 6 Puntos (2 2 2 ) a) Definir estado recurrente y transitorio en Cadenas de Markov de Tiempo Discreto. b) Demostrar que un estado i es recurrente si y sólo si ( n) p diverge. c) Demostrar que la recurrencia es propiedad de clase. n ii Pregunta 6 3 Puntos Aplicar el algoritmo de Ford-Fulkerson para determinar un flujo máximo en la siguiente red cuyas capacidades y flujos se indican. 3

4 Pregunta 7 7 Puntos Una arrocera dispone de un embalse desde el cual se bombea agua a cuatro zonas Z Z 2 Z 3 y Z 4 donde se realizan los cultivos. Un esquema de la disposición de las zonas se indica en la figura. Desde el embalse se bombea agua directamente a cada zona de riego y además a ciertos tanques situados en Z y Z 2. Desde los tanques situados en Z y Z 2 puede enviarse agua hacia el tanque situado en Z 4. El agua del tanque de Z 4 es distribuida entre las zonas de riego Z 3 y Z 4. Las siguientes tablas muestran las capacidades de bombeo desde el embase directamente hacia las zonas de riego desde el embalse hacia los tanques y desde los tanques hacia fuera: Zona Zona 2 Zona 3 Zona 4 Desde el embalse directamente hacia las zonas de riego Tanque Tanque 2 Tanque 4 Desde el embalse hacia los tanques 2 5 Desde los tanques hacia fuera 2 3 Además el tanque de Z 2 posee una bomba extra capaz de enviar directamente hasta 2 mil litros a la zona de riego. Las capacidades de almacenamiento de los tanques son las siguientes: Tanque Tanque 2 Tanque 4 Capacidad de almacenamiento Las demandas de cada zona de riego son las siguientes: Zona Zona 2 Zona 3 Zona 4 Demanda de las zonas de riego Todas las capacidades y demandas están medidas en miles de litros. Modelar el problema de satisfacer la demanda de agua de las zonas de riego como un problema de flujos en red. 4

5 Ejercicio ) a) Ver teórico. b) El diagrama de tasas es Es decir las tasas de nacimiento están dadas por: λ n 3 llegadas/hora (para n 3) λ 4 llegadas/hora Y las de muerte por: µ n n servicios/hora (para n 3) µ 4 3 servicios/hora c) La fila es finita y por lo tanto es estable. Para hallar las probabilidades en estado estacionario utilizamos las ecuaciones de balance: 3P P 3P 2P 2 3P 2 3P 3 3P 3 3P P P P2 P3 P4 P 3P P P P O sea ( ) Imponiendo que sea una distribución de probabilidades tenemos: P + 3P + P + P + P Por lo que P 2/. Sustituyendo obtenemos las probabilidades estacionarias: d) La tasa media de llegadas está dado por: λ λ n Pn 3P + 3P + 3P2 + 3P3 + P4 3( P4 ) llegadas/hora n. 5

6 e) La cantidad media de clientes en el sistema está dada por: 4 n npn n P + 2P2 + 3P3 + 4P ( ) Por Little el tiempo medio de permanencia en el sistema es: t s λ n horas 26 f) Cuando el sistema está en el estado N (N < 4) hay (3 N) servidores desocupados. En N4 hay servidores desocupados. Por lo tanto la cantidad media de servidores desocupados es: 3 n ( 3 n) Pn 3P + 2P + P

7 7 Ejercicio 3) a) Los estados son parejas (XY) con X e Y en {Pi Pa Ti}. X corresponde a lo jugado por A e Y a lo jugado por B. Es decir E {Pi Pa Ti} {Pi Pa Ti}{(PiPi) (PaPi) (PaPa) (TiPa) (TiTi) (PiTi) (PiPa) (TiPi) (PaTi)} La matriz de transiciones es: P b) El grafo asociado a la cadena es el siguiente: Hay dos CFC. C {(Pi/Pa) (Ti/Pi) (Pa/Ti)} C 2 {(Pi/Pi) (Pa/Pi) (Pa/Pa) (Ti/Pa) (Ti/Ti) (Pi/Ti)} Todos los estados son recurrentes positivos. Además la componente formada por 3 estados tiene período 3 y la otra tiene período 6. c) Dado que se jugó (Pi/Pa) en esta ronda dentro de 3 rondas (es decir en la cuarta ronda) se jugará (Pi/Pa) nuevamente con probabilidad. Es decir dada la distribución de estados al comienzo: Q() (). Tenemos: "! # "! "! # "! # $! # "! # # $! $! # "! $! # $! # $!

8 Q(2) Q() P () Q(3) Q(2) P () Q(4) Q(3) P () Otro modo es observando que P(X 3 (Pi/Pa) X (Pi/Pa)) pues hay un solo camino de largo 3 (es decir una sola evolución en 3 etapas) con origen en (Pi/Pa): X (Pi/Pa) X (Ti/Pi) X 2 (Pa/Ti) X 3 (Pi/Pa). d) De manera similar a la parte c) podemos ver que si Q() () entonces Q(n+6) Q(n). Para las primeras 3 rondas tenemos: Q() Q(7) Q(3) Q(9) Q(25). En estos casos el estado es (Ti Ti) entonces hubo empate. Q(2) Q(8) Q(4) Q(2) Q(26). En estos casos el estado es (Pi Ti) entonces ganó A. Q(3) Q(9) Q(5) Q(2) Q(27). En estos casos el estado es (Pi Pi) entonces hubo empate. Q(4) Q() Q(6) Q(22) Q(28). En estos casos el estado es (Pa Pi) entonces ganó A. Q(5) Q() Q(7) Q(23) Q(29). En estos casos el estado es (Pa Pa) entonces hubo empate. Q(6) Q(2) Q(8) Q(24) Q(3). En estos casos el estado es (Ti Pa) entonces ganó A. Es decir el 5% de las veces hay empate y el 5% de las veces gana A. 8

9 Ejercicio 4) a) Verdadero b) Verdadero c) Falso d) Falso e) Falso f) Verdadero 9

10 Ejercicio 6) En la primer iteración del algoritmo obtenemos el grafo etiquetado del siguiente modo: % & ' % ( ' % & ' % & ' % & ' Hemos encontrado el camino a c e z con holgura 4. Aumentamos el flujo en 4 unidades a lo largo del camino y realizamos una nueva iteración. Obtenemos el siguiente grafo etiquetado: % ( ' % & ' % ( ' % & ) ' % & ' % & ) ' Es decir hallamos el camino a d b c e z con holgura. Aumentamos el flujo en unidad a lo largo de ese camino y realizamos una nueva iteración. Obtenemos el grafo: * % ( ' El corte mínimo es P {a} (PP C ) {(ab) (ad) (ac)}. max ϕ k(pp C ) 7

11 + Ejercicio 7) El siguiente es uno de los posibles modelos para el problema planteado. El modelo de la red de flujo lo damos a través de un grafo ponderado con las capacidades de las conexiones que corresponden y sin un flujo asignado. 3. / Z $ 5. / -. /. / 45. / Z2. / 6. / $ 7. /. / 4. /. / 6. / Z3 2. / 4-. / $ 6. / Z4