7) Un total de 1000 estudiantes participaron en una prueba de ortografía. T indica la cantidad de palabras con faltas de ortografía

Transcripción

1 Teoría de Colas Ejercicios: 1) Cuál es la estructura básica de un modelo de colas? 2) Que relaciones existen entre L, W, Lq y Wq. 3) Enuncie las Características de la población con acceso o en busca del servicio. 4) Explique a que se refiere la siguiente expresión: Sistema de colas "(i/ii/iii) : (iv/v/vi)". 5) En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de un avión cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar; aparentemente la distribución real es Poissoniana. Los aviones reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos que no se les puede dar permiso de inmediato debido al tráfico. El tiempo que toma el controlador de tráfico ayudar a que un aeroplano aterrice, varía de acuerdo con la experiencia del piloto; se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determínense: a) El número medio de aterrizajes. (µ). b) El número medio de arribos. (λ). c) La probabilidad de que un avión que llega esté en tierra en menos de 10 minutos después de pedir por primera vez permiso para aterrizar. (permanezca menos de 10 minutos en el sistema (W(t)).) d) La probabilidad de que haya más de tres aviones esperando servicio. (P3 = ρ3 (1 - ρ)). e) El número esperado de aviones en espera (tanto los que esperan como los que son atendidos (L)). f) El número promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que aún se encuentran en movimiento. (La longitud media de la cola, que excluye los clientes en servicio (L q )). g) Porcentaje de ocupación de la pista. (ρ). h) Que conclusiones puede sacar partiendo de los cálculos anteriores para determinar el número óptimo de pistas que deberían estar en servicio. 6) La cantidad de reclamos telefónicos realizados por hora en la oficina de atención al cliente de la empresa CIC S.A. sigue una distribución de Poisson con promedio de 20 reclamos por hora. a) Calcule la probabilidad de que se realicen exactamente 60 reclamos entre las 10 y las 12 a.m. b) Determine el promedio y la desviación estándar del nº de reclamos solicitados entre las 9 a.m. y las 13 p.m. c) Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos llamados consecutivos sea entre 1 y 3 minutos. 7) Un total de 1000 estudiantes participaron en una prueba de ortografía. T indica la cantidad de palabras con faltas de ortografía y N k indica la cantidad de estudiantes con k palabras erradas. Los resultados se dan en el siguiente cuadro. Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga k palabras con falta de ortografía? K N k ) La tabla muestra el número de días f durante un período de 50 días, durante los cuales X coches tuvieron accidentes en una ciudad. Ajustar los datos a una distribución de Poisson. Nº de Accidentes, X Nº de días, f ) Se distribuyó el número de clientes que visitaron la oficina de un joven abogado diariamente durante sus primeros 100 días de práctica de la siguiente manera: Nº de Clientes Nº de días Determine la bondad del ajuste de estos datos por una distribución de Poisson. 10) Se han observado los siguientes tiempos entre llegadas, en minutos: 0,01; 0,07; 0,03; 0,08; 0,04; 0,10; 0,05; 0,10; 0,11; 1,17; 1,50; 0,93; 0,54; 0,19; 0,22; 0,36; 0,27; 0,46; 0,51; 0,11; 0,56; 0,72; 0,29; 0,04; 0,73. Parece razonable concluir que estas observaciones provienen de una distribución exponencial? INVESTIGACION OPERATIVA 1

2 11) Supongamos que el tiempo entre llegadas de colectivos a la facultad esta distribuida en forma exponencial, con una media de 60 min. Si arribamos a la facultad en un instante elegido al azar, Cuál es el tiempo promedio que tendremos que esperar el autobús? 12) Debido a las falencias en la entrega de las boletas para el pago de un cierto impuesto, los directivos del organismo que la emiten, han dispuesto a su personal para que entreguen los mismos en las instalaciones de la municipalidad de la ciudad. Se estima que el personal podrá atender a tres contribuyentes, en promedio, cada 15 minutos. Determinar la probabilidad de: a) Atender consultas de 10 contribuyentes en 20 minutos. b) Atender consultas de 15 contribuyentes en 40 minutos. c) Atender menos de 5 consultas en 30 minutos. d) No atender consultas en 30 minutos. 13) Se supone que hay en promedio, un error tipográfico por cada 10 páginas, en las pruebas de cierto libro. Hallar la probabilidad de que en un capítulo de 20 páginas se encuentren: (1) Ningún error. (2) No más de dos errores. (3) Más de dos errores n f ) La universidad trata de decidir cuantos terminales de ordenador debería comprar para satisfacer las necesidades de su personal contratado y de los estudiantes. Existe la posibilidad de conectar hasta ocho terminales al ordenador principal. El Departamento de Servicios de un ordenador ha analizado, a partir de 1000 registros, la cantidad de usuarios que requirieron las facilidades del ordenador cada hora y los correspondientes tiempos de servicio. La tablas muestran el pa- t < trón de entrada (donde n es el f número de llegadas por hora y f la frecuencia esperada/1000) y los tiempos de servicio tomados de los registros (donde t es el registro de tiempos en minutos y f la frecuencia). El centro del ordenador opera 24 horas diarias, durante los siete días a la semana, y existe un tiempo despreciable de averías del ordenador. Que se debe recomendar?. 15) El propietario de un restaurante observó que, a largo plazo, los clientes utilizaron una cabina telefónica cada cinco minutos durante las horas pico y que el tiempo medio de conversación era de cuatro minutos. Supongamos que las llegadas siguen el modelo de Poisson y que el tiempo de servicio se distribuye en forma exponencial; entonces, se desea determinar los siguientes valores relevantes de este sistema: a) El número medio de llegadas (λ). b) El número medio de servicios (µ). c) Porcentaje de ocupación de la cabina telefónica (ρ). d) La probabilidad que cuando un cliente llega a la cabina pueda llamar inmediatamente (P 0 = ρ 0 (1 - ρ)) e) La probabilidad que un cliente espere solo en la cola para hacer la llamada telefónica. (P 1 = ρ 1 (1 - ρ)) f) La probabilidad que un cliente sea segundo en la cola para hacer la llamada telefónica. (P 2 = ρ 2 (1 - ρ)) g) El número esperado de clientes en el sistema, tanto los que esperan como los que son atendidos (L). h) La longitud media de la cola, que excluye los clientes en servicio (L q ). i) El tiempo medio que un cliente que llega permanece en el sistema, incluyendo el tiempo de servicio (W). j) El tiempo de espera medio que un cliente utiliza en la cola, excluyendo el tiempo de servicio (W q ). k) Podemos afirmar que el tiempo medio que un cliente utiliza en el sistema es la suma del tiempo de espera medio en la cola y el tiempo medio que un cliente invierte en el servicio? l) La probabilidad de que un cliente permanezca más de 10 minutos en el sistema (W(t)). m) La probabilidad de que un cliente permanezca más de 10 minutos en la cola sistema (W q (t)).. n) Que conclusiones puede sacar partiendo de los cálculos anteriores para determinar el número óptimo de cabinas telefónicas a instalar 16) Un gerente tiene que decidir cuál de los dos obreros emplear: X o Y. Se sabe que las frecuencias de las reparaciones de la máquina siguen una distribución de Poisson, con un promedio de una descompostura por hora. Se estima el costo no productivo de cada máquina ociosa en $ 250 por hora. El obrero X pide $ 20 e Y pide $ 12 por hora, respectivamente. Se sabe también que las tasas de medias de reparación de X e Y son 2 y 1,2 máquinas por hora, respectivamente. El gerente desearía saber si es más conveniente emplear el obrero más caro, pero más veloz, X. INVESTIGACION OPERATIVA 2

3 17) Una firma manufacturera que produce un bien de alta calidad tiene un promedio de 24 piezas del equipo a ser reparadas cada semana. La probabilidad de descompostura de una pieza del equipo es aproximadamente constante, de modo que las llegadas se distribuyen según la ley de Poisson. El tiempo de reparación se acerca a una distribución exponencial. El costo de oportunidad de tener una descompostura del equipo se estima en $ 150 por día. La firma cuenta con dos talleres de reparación, para elegir: A y B. El taller A requiere $ para instalación, pero el taller B cuesta $ Ambos talleres requieren un costo laboral anual de $ de operación. Además A puede reparar máquinas a una tasa de 30 por semana y B a una tasa de 60. Finalmente, se estima que ambas inversiones tienen una vida económica de cuatro años. Por motivos de simplicidad, ignoraremos las cargas de intereses y los rendimientos de la inversión. En estas circunstancias, Que taller debe decidir comprar la firma? 18) Un taller tiene un depósito para las herramientas requeridas por los mecánicos del taller. Se han presentado quejas de los supervisores de que sus mecánico pasan demasiado tiempo esperando a ser atendidos en el depósito de herramientas, por lo que parece que debería haber más despachadores. Por otro lado, la administración ejerce presion por reducir gastos en la planta, y esta reducción conduciría a tener menos despachadores. Para resolver estas presiones conflictivas, se ha realizado un estudio de IO para determinar con exactitud cuántos despachadores debe tener el depósito de herramientas. Después de recopilar algunos datos sobre el equipo de IO ha concluido que los tiempos de llegadas de los clientes es de 120/hora y el tiempo de atención es de 80/hora. El costo total para la compañia por cada despachador es de $20/hora el valor del mecánico ocupado es de $48/hora por lo tanto el equipo necesita encontrar el numero de despachadores para minimiza el costo total, CT= $20 S + $48 L. 19) A un cajero bancario o automático solo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: a) Cuál es la probabilidad de que el cajero automático se encuentre vacío? b) Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno? c) Se considera que un vehículo que está ocupando el cajero automático, no está en la cola esperando. d) Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo en el servicio? e) En promedio, cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? 20) Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos buscando partes. En la actualidad el almacén está a cargo de un empleado a quien se le pagará 6 dólares/h y gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares /h. Cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Está ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares/h. un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante el almacenista solo tardará un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de herramientas. Suponga que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el tiempo entre llegadas. Se debe contratar al ayudante? 21) En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen distribución exponencial y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquería está llena no entran. El peluquero tarda un promedio de 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribución exponencial. a) En promedio cuántos cortes de pelo por hora hará el peluquero? b) En promedio cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra? 22) Un banco tiene dos cajeros. Llegan al banco un promedio de 80 clientes por hora y esperan en una sola cola que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita para atender a un cliente es 1,2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Calcule: a) Número esperado de clientes en el banco. b) Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco. c) La fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado. 23) El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por cada minuto que un cliente pasa en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo de 5 ctvos de dólar. Al banco llega un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero se tarda dos minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al banco le cuesta 9 dólares por hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. Se desea saber: a) Para reducir al mínimo la suma de los costos de servicio y los de demora, cuántos cajeros deben trabajar en el banco los viernes?. b) Para s = 5, cuál es la probabilidad de que el cliente tenga que esperar en la cola durante mas de 10 minutos INVESTIGACION OPERATIVA 3

4 24) Una empresa de transportes tiene 7 camiones. Un camión se descompone cada 30 días. La empresa tiene su propio taller de mantenimiento con dos mecánicos y cada uno de ellos tarda un promedio de 5 días en reparar un camión. Los tiempos entre descomposturas y los de reparación son exponenciales. a) Calcule el número promedio de camiones en buen estado. b) Calcule el tiempo muerto promedio que pasa un camión en reparaciones. c) Calcule la fracción del tiempo ocioso de determinado mecánico. 25) Las dos últimas cosas que se hacen en un automóvil para completar su ensamble son instalar el motor y poner los neumáticos. Llega un promedio de 50 automóviles/h que necesitan de esas dos tareas. Un trabajador instala el motor y puede atender un promedio de 65 automóviles por hora. Después de instalar el motor, el automóvil pasa a la estación de los neumáticos y espera para que le pongan los neumáticos. En esa estación trabajan tres personas. Cada una trabaja en un automóvil a la vez y puede colocar neumáticos en un automóvil a un promedio de 4 minutos por cada auto. Los tiempos entre llegadas y los de servicio son ambos exponenciales. a) Calcule la longitud promedio de la cola en cada estación de trabajo. b) Determine el tiempo total esperado que pasa un automóvil esperando su turno. 26) Se tienen dos servidores. Del exterior llega un promedio de 8 clientes/h al servidor 1 y un promedio de 17 clientes, también del exterior, al servidor 2. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. El servidor 1 puede atender a una rapidez exponencial a 20 clientes/h, y el 2, a 30 clientes/h, también con rapidez exponencial. Después de terminar sus trámites con el servidor 1, la mitad de los clientes sale del sistema y la mitad va al servidor 2. Al terminar su servicio en el servidor 2, ¾ de los clientes salen y ¼ regresa al servidor 1. a) Que fracción de tiempo está desocupado el servidor? b) Calcule el número esperado de clientes en cada servidor. c) Calcule el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. d) Cómo se modificarían los incisos a) a c) si el servidor 2 sólo pudiera atender a un promedio de 20 clientes/h? 27) En una línea de producción con cinco estaciones en serie, llegan trabajos a la estación 1 según una distribución de Poisson con tasa media λ = 20 por hora. El tiempo de producción en cada estación es exponencial con media de 2 minutos. La salida de la estación y se utiliza como entrada a la estación i + 1. La parte de artículos en buenas condiciones que se producen en la estación i es α i = 0,9 de la entrada total a la misma estación. La parte restante (1 - α i ), son artículos defectuosos y se deben desechar. Nos interesa el tamaño el espacio de almacenamiento entre estaciones sucesivas que darán cabida a todos los artículos que lleguen el (100 β) % del tiempo. Supóngase que α i = 0,9. 28) El presidente de una gran cadena de supermercados, está experimentando con un diseño nuevo de almacén y ha modelado una de sus almacenes así: En lugar del diseño usual del mostrador de revisión, el almacén ha sido remodelado para incluir un salón de revisión. Cuando los clientes han completado sus compras, en el salón con sus canastas de compras. Si todos los cajeros están ocupados, los clientes reciben un número. Ellos estacionan sus canastas y se sientan. Cuando un cajero está libre, se llama al número siguiente y el cliente que lo tiene entra en el mostrador de revisión. El almacén ha sido ampliado de modo que, prácticamente, no hay límite en el número de clientes en el supermercado, tampoco en el número que pueden esperar en el salón, aún durante las horas más ocupadas. La gerencia estima que durante las horas de compras altas, los clientes llegan según un proceso Poisson a una tasa media de 40 cada hora. El cliente ocupa 45 minutos (en términos medios) para cargar su canasta, las cuales aproximadamente se distribuyen exponencialmente. Además el tiempo de revisión y pago también aproximadamente se distribuye exponencialmente con una tasa media de 4 minutos sin hacer referencia del mostrador de revisión en particular (durante las horas de compras más altas, cada mostrador tiene una cajera y una embolsadora, así resulta la tasa relativamente baja de revisión y pago). El presidente quiere determinar lo siguiente: a) Nº mínimo de mostradores de revisión y pago necesarias en operación durante las Hs. de compra más alta? b) Si se decide añadir un mostrador más al número mínimo necesario en operación: i) Cuál es el período medio de espera en el salón? ii) Cuantas personas, en promedio, estarán en el supermercado? 29) Se tienen tres estaciones de servicio, 1, 2 y 3 con 1, 2 y 1 servidores respectivamente. Del exterior llega un promedio de 1 cliente/h a la estación 1, un promedio de 4 clientes/h a la estación 2 y un promedio de 3 clientes/h, también del exterior, a la estación 3. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Todos los servidores pueden atender a una rapidez exponencial a 10 clientes/h. Después de terminar sus servicios en la estación 1, el 10 % de los clientes se dirigen hacia la estación 2 y un 40 % va a la estación 3. Al terminar su servicio en la estación 2, el 60 % de los clientes regresan a la estación 1 y un 40 % se dirige a la estación 3. Al terminar su servicio en la estación 3, el 30 % de los clientes regresan a la estación 1 y un 30 % va a la estación 2. Se pide: a) Que fracción de tiempo está desocupada el servidor 1? b) Calcule el número de clientes de cada servidor. INVESTIGACION OPERATIVA 4

5 c) Calcule el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. 30) Una línea de subensamblaje de dos estaciones es operada por un sistema de bandas de transporte. El tamaño del producto ensamblado no permite que se almacene más de una unidad en cada estación. El producto llega a la línea de subensamblaje de otra instalación de producción, según una distribución de Poisson con la media de 10 por hora. Los tiempos de ensamblaje en las estaciones 1 y 2 son exponenciales con media de 5 minutos cada uno. Todos los artículos que llegan y que no pueden entrar directamente a a línea de ensamblaje son dirigidos a otras líneas de subensamblaje. Determinar las probabilidades. 31) Una concesionaria de caminos posee tres equipos de investigación de seguridad, los que son requeridos continuamente y cuya misión consiste en analizar las condiciones de la carretera en las cercanías de cada accidente fatal ocurrido en caminos nacionales. Los equipos son igualmente eficientes. Cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el informe de un accidente, con el tiempo real aparentemente distribuido en forma exponencial. Aparentemente, el numero de accidentes fatales en caminos nacionales sigue un proceso poissoniano, con una tasa promedio de 300 por año. Determínese para este proceso, dando sus significados: a. Identifique el sistema. b. Determínese para este proceso, dando sus significados, L, Lq, W y Wq. 32) Un autoservicio de lavado de autos tiene cuatro secciones. En cada una, los clientes pueden lavar y encerar sus autos. Por otro lado, se tiene espacio para un máximo de tres automóviles adicionales cuando las secciones de lavado están ocupadas. Los clientes llegan al servicio siguiendo un proceso poissoniano, a una tasa promedio de 15 por hora. Si no hay espacio para que esperen en terrenos del servicio de lavado, los clientes que llegan deberán irse. El tiempo necesario para dar servicio a un automóvil se distribuye exponencialmente, con una media de 12 minutos. Determinar: a. El Nº promedio de automóviles en el servicio, en cualquier momento dado. b. La tasa promedio a la que se niega entrada al servicio a los automóviles. 33) En una línea de producción suponga que se tienen tres estaciones de servicio, admisión, ajuste y acabado con uno, dos y un servidores respectivamente. Considere que los artículos llegan a la estación de admisión desde una fuente infinita exterior según una distribución de Poisson a un promedio de 1 cada 60 minutos, de igual modo a la estación de ajuste y a un promedio de 1 cada 15 minutos y análogamente y a un promedio de 3 artículos/h, a la estación de acabado. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Todos los servidores igualmente eficientes, demoran 6 minutos en procesar un artículo. Al terminar su servicio en la estación de ajuste, 6 de cada 10 artículos regresan a la estación de admisión y 4 de cada 10 se dirige a la estación de acabado. Después de concluir el servicio en la estación de admisión, el 10 % de los artículos son derivados hacia la otra estación para su ajuste y un 40 % va a otra estación para su acabado. Al terminar su servicio en la estación de acabado, el 30 % de los artículos regresan a la estación de admisión y un 40 % va a la estación de ajuste. En las estaciones de admisión y acabado, son desechados por defectuosos el 50 y el 40 % de los artículos, respectivamente. Se pide: a. Esquematice el sistema b. Que fracción de tiempo está desocupado el servidor 1? c. Calcule el número de artículos en cada servidor. d. Calcule el tiempo promedio que pasa un artículo en el sistema. 34) Debido a quejas recientes, división de mantenimiento de California Gas and Electric está tratando de decidir cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicio de acuerdo con una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: (a) los clientes y los servidores, (b) la población de clientes y su tamaño, (c) el proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas, (d) el proceso y la disciplina de colas y (e) proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 35) Un pequeño banco tiene dos cajeros, igualmente eficientes y capaces de atender un promedio de 60 operaciones/cliente por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso Poissoniano, a una tasa promedio de 100 por hora. Determínese: a) la probabilidad de que haya más de tres clientes simultáneamente en el banco; b) la probabilidad de que uno de los cajeros esté ocioso, y c) la probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en el banco. 36) Se tiene una línea de ensamble de automotores en la que a cada unidad se le hacen dos tipos de servicio: pintura y, después instalación del motor. Cada hora, pasa un promedio de 22,4 chasises sin pintar a la línea, En promedio, se necesitan 2,4 min. para pintar un automóvil y un promedio de 3,75 min. para instalar el motor. La línea de ensamble tiene un pintor y dos obreros que instalan el motor. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. a. En promedio, cuántos automóviles ya pintados sin motor instalado estarán en la línea? INVESTIGACION OPERATIVA 5

6 b. En promedio, cuánto tiempo esperará un automóvil pintado para que se inicie la instalación de su motor? California Company tiene un representante en un de servicio para atender las preguntas de los clientes. El número de llamadas telefónicas que llegan al centro sigue una distribución de Poisson con una tasa promedio de aproximadamente diez por hora. El tiempo necesario para responder a cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos. Utilice la relación entre las distribuciones de Poisson y exponencial para responder a siguientes preguntas: b. Cuál es el tiempo promedio entre llamadas que llegan? c. Cuál es el número promedio de llamadas que un representante puede atender durante una hora? d. Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora? e. Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los tres minutos posteriores a la llamada anterior? 37) Un restaurante de comida china para llevar tiene espacio para un máximo de cinco clientes. Durante los meses de invierno, sucede que cuando los clientes llegan y el restaurante está lleno, prácticamente ninguno espera por la fría temperatura exterior y se va a otro establecimiento. Los clientes llegan al restaurante de acuerdo a un proceso Poissoniano, con una tasa media de 15 por hora. El restaurante atiende clientes a una tasa promedio de 15 por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. El restaurante es atendido sólo por su propietario, quien se ocupa de los clientes de acuerdo al orden en que llegan. Determínense: a) el número promedio de clientes en el restaurante en cualquier momento dado. b) el tiempo estimado que un cliente deberá esperar por el servicio, y e) la tasa esperada a la cual se pierden ingresos debido al espacio limitado del restaurante, si la cuenta promedio es de $ ) El propietario de una pequeña, pero concurrida tienda de diarios atiende a los clientes a razón de un promedio de uno cada 30 segundos, con distribución exponencial. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso Poissoniano, con una tasa media de tres por minuto, y pueden esperar por el servicio si el dueño está ocupado con otro cliente. Determinado número de clientes deciden no esperar (rechazo) y hacen sus compras en otro lugar. La probabilidad de que un cliente que llega rechace es n/3, donde n es el número de clientes que ya se encuentran en la tienda. Si la ganancia promedio por cliente es $30. Que ganancia espera perder el dueño de la tienda, por concepto de clientes que parten y hacen sus compras en otro lugar? 39) Un banco tiene 5 cajeros. Al banco llegan un promedio de 1 cliente cada ½ minutos. En promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. El gerente del banco desea conocer: a. La probabilidad de que el cliente tenga que esperar en la cola durante más de 1/6 horas. b. Si es necesario agregar otro cajero? Justifique la respuesta. 40) Una fábrica de telas tiene un gran número de máquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Estas máquinas son reparadas basándose en el procedimiento de la primera en entrar, la primera en ser revisada, por uno de los siete miembros del personal de reparación. Durante varios recorridos, la gente de producción ha observado que, en promedio, de 10 a 12 máquinas están fuera de operación en cualquier momento debido a que están atascadas. Se sabe que al contratar personal de mantenimiento bajaría el número de máquinas sin funcionar, lo cuál traería como consecuencia un aumento en la producción, pero no se sabe cuantas personas más debería contratar. Determinar dicho número. 41) Se desea que dos máquinas de uso especializado estén operativas siempre (en el nodo 1). Las máquinas se estropean según una distribución exponencial con tasa media de fallos igual a 2. Cuando se estropea, la máquina tiene una probabilidad de P 12 = ¾ de que pueda se reparada localmente (en el nodo 2) por un mecánico que trabaja según una Exp(µ 2 =1). Con probabilidad 1-p 12 la máquina debe ser reparada por un especialista (nodo 3) que trabaja según una Exp(µ 3 =3). Después de terminar en el nodo 2 el servicio local, hay una probabilidad p 23 = 1/3 de que la máquina requiera también el servicio especial. La probabilidad de regresar a la operatividad desde el nodo 2 es 1-p 23. Después del servicio especial en el nodo 3, la máquina siempre funciona. (Red Cerrada de Jackson). INVESTIGACION OPERATIVA 6