LINEAS DE ESPERA CAPITULO 2 LECTURA 6.2. SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS Azarang M., Garcia E. Mc. Graw Hill. México 2.

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1 LECTURA 6.2 SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS Azarang M., Garcia E. Mc. Graw Hill. México CAPITULO 2 LINEAS DE ESPERA 2.1 INTRODUCCIÓN Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2,..., N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia 2.2 OBJETIVO En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo. De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo es determinar qué nivel de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio como por el que causa la espera. Matemáticamente podemos representarlo de la siguiente forma:

2 Estos conceptos se pueden representar gráficamente de acuerdo con el esquema mostrado en la figura 2.1. Figura 2.1 Esquema de optimización de una línea de espera. 2.3 ESTRUCTURA Un sistema de espera se representa mediante la llegada de transacciones a un sistema con el fin de recibir un servicio por cualquiera de una o más entidades dispuestas para ello, conocidas como servidores. En caso de que todas las entidades se encuentren ocupadas, la transacción permanece en espera en la fila hasta que decide abandonar la fila sin ser atendido, o bien, es seleccionado de acuerdo con cierta regla para recibir atención. Una vez que el servicio ha sido completamente proporcionado, la transacción sale del sistema y se convierte de nuevo en una transacción potencial. Servidores Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma paralela a la fila, de tal manera que las transacciones pueden seleccionar a cualquiera de ellas para el suministro de dicho servicio. Las dos características principales de los servidores son: la cantidad asignada por cada fila existente en el sistema y la distribución de probabilidad del tiempo de atención a las transacciones o de la velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más comunes están la exponencial, la Erlang, la hiperexponencial, la degenerada. Transacciones potenciales Representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado por el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de elementos; la

3 primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes, dando, en consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos ilimitados o infinitos. La segunda caracterísitica se refiere a la distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas o bien a la tasa de entrada promedio. Es común encontrarse la suposición de tasas de llegada que siguen un proceso Poisson, el cual ocurre cuando las llegadas a un sistema se llevan a cabo de forma aleatoria; es importante hacer notar que una de las propiedades de esta distribución es su relación con el tiempo entre llegadas consecutivas, que se representa en forma paralela, de acuerdo con un proceso de tipo exponencial. Existen algunos sistemas donde la tasa de llegadas se ve afectada por la decisión de una transacción de rehusar su entrada al sistema por razones diversas, por ejemplo del tamaño de la fila. Fila Is el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de encontrar a partir Figura 2.2 Estructura general de un sistema de líneas de espera. de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados, mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y, por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien, mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera. 2.4 NOMENCLATURA S n N A,, t número de servidores número de clientes en el sistema número máximo de clientes permitidos en el sistema flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema

4 u, 7l capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema. E(t) tiempo promedio de proceso por cliente V(t) variancia del tiempo de proceso E(á) tiempo promedio entre llegadas V(a) variancia del tiempo entre llegadas CQ coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema C 2 S coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio Cp coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema PIJ probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y después de un intervalo de tiempo P n probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema L número promedio de clientes en el sistema L q número promedio de clientes en la fila W tiempo promedio de permanencia en el sistema W q tiempo promedio de permanencia en la fila p utilización promedio del servicio C t costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo C e costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo C q 2.5 CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde: a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones. b distribución de probabilidad del tiempo de servicio. Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D: constante. E k : distribución Erlang con parámetro k. G: cualquier tipo de distribución. GI: distribución general independiente. H: distribución hiperexponencial. M : distribución exponencial. c número de servidores d orden de atención a los clientes. Los símbolos utilizados en este campo son: FCFS: primeras entradas, primeros servicios. LCFS: últimas entradas, primeros servicios SIRÓ: orden aleatorio. PR: con base en prioridades. GD: en forma general. e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo. / número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera. Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un modelo (M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo

5 de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse en una fila común. Respetando la clasificación anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de la forma mostrada en la figura 2.3, donde se separan principalmente los modelos markovianos de los no markovianos. Los markovianos se dividen en modelos con capacidad finita y modelos con capacidad infinita, los no markovianos, a su vez, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicio con cualquier función de probabilidad, y en modelos con tiempos entre llegadas y tiempos de servicio con cualquier tipo de distribución. Esta agrupación se realiza en función del procedimiento matemático utilizado en la solución del modelo. Figura 2.3 Agrupación de los modelos de acuerdo con el procedimiento matemático de solución. 2.6 ECUACIONES GENERALES Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes: Utilización del servicio Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el servicio.

6 Tasa de entrada promedio Es el valor ponderado de las tasas de entrada a un sistema y representa el número promedio de clientes que, efectivamente, ingresan al sistema convirtiéndose de clientes potenciales en clientes reales. A su vez, esta variable es la tasa de salida del sistema; en el caso de sistemas de manufactura esta variable representa la producción que en promedio está logrando el sistema. Número promedio de clientes en el sistema Es el promedio ponderado de los diferentes estados del sistema, definiendo el estado del sistema como el número de clientes que se encuentran acumulados tanto en espera como en servicio en cualquier momento. 2.7 PROCESOS MARKOVIANOS El proceso estocástico utilizado en la modelación de una línea de espera tiene la propiedad markoviana, ya que la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Este conjunto de probabilidades condicionales se conoce como probabilidades de transición de un paso y hay que considerar que son estacionarias, o sea que no cambian con el tiempo. Estas probabilidades se expresan como p j. Hay que recordar que en este caso, el estado se define como número de transacciones dentro del sistema en un momento dado. La tabla 2.1 muestra la representación matricial del comportamiento de una línea de espera, donde los índices de la primera columna representan el estado actual del sistema y los del primer renglón los estados futuros, relacionados entre ellos por la probabilidad condicional de que el sistema cambie del estado actual al estado futuro. Las probabilidades condicionales de la matriz deben de cumplir con: Las probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento probabilístico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de transición de un paso de acuerdo con las ecuaciones siguientes:

7 Tabla 2.1 Matriz de probabilidades de un paso. que forman un sistema de ecuaciones con N + 1 incógnitas, N + 1 ecuaciones independientes y una ecuación rendundante que debe ser eliminada. La solución de este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentre el sistema inicialmente; así pues, estas probabilidades se representan conforme a la matriz de la tabla 2.2. Tabla 2.2 Matriz de probabilidades de estado estacionario.

8 Una vez calculadas las probabilidades de estado estacionario, la solución del modelo markoviano de líneas de espera se obtiene utilizando las ecuaciones generales descritas en la sección anterior. Ejemplo. Se desea encontrar el número de pacientes promedio en el consultorio de un doctor, para ello se realizaron un total de 73 observaciones con intervalos de 5 minutos entre cada observación, registrando en cada ocasión el número de pacientes en el consultorio. En la tabla 2.3 se clasifica la información en función de la relación existente entre observaciones t consecutivas distanciadas en el tiempo cada 5 minutos. Por ejemplo, de las 7^3 Observaciones totales, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado O (estado presente) y 5 minutos después (estado futuro) el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, cambiado a estado 2 en 2 ocasiones y no se observó cambio a los estados 3 y 4; en 20 de ellas el sistema estuvo en estado 1 (estado presente) y 5 minutos después (estado futuro) el sistema permaneció sin cambio en 8 ocasiones, cambió a estado 1 en 7 ocasiones, al estado 2 no se observó cambio alguno y, finalmente, cambió 1 y 4 veces a los estados futuros 3 y 4 respectivamente. Tabla 2.3 Observaciones del sistema. Calculando la probabilidad condicional de cambiar del estado presente i al estado futuro j, puede asegurarse que: tenemos la siguiente matriz de un paso, Tabla 2.4 Matriz de probabilidades de un paso.

9 Con estas probabilidades se puede formar el siguiente diagrama de transición de un paso: Figura 2.4 Diagrama de transición de un paso Aplicando las ecuaciones de estado estacionario 2.15 y 2.16 a la matriz de la figura 2.4, se genera el siguiente conjunto de ecuaciones: P 0 = 0.3P P T + 0.2P P P 4 P! = 0.5P P! + 0.2P 2 P 2 = 0.2P P P 3 P 3 = O.OSPi + 0.2P 2 P 4 = 0.2P X + 0.2P P 4 P 0 + P l + P 2 + P 4-1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: P 0 = P! = P 2 =0.122 P 3 =0.041 P 4 =0.173 Al sustituir en la ecuación 2.6 se encuentra el número promedio de pacientes en espera: En el ejemplo previo, las observaciones se realizaron cada 5 minutos, sin embargo es evidente que en ese periodo pueden suceder cambios de estado que quedan fuera de la visión del observador, por lo que se recomienda reducir al máximo el intervalo entre observaciones consecutivas. Esta reducción permite que las observaciones de los cambios de estado se lleven a cabo de manera continua y estén en función de la probabilidad de ocurrencia de una llegada o una salida del sistema. Las observaciones se realizan ahora sobre estas dos últimas variables. En el caso de los modelos markovianos M/M, la distribución de probabilidad que define la llegada o salida de transacciones de un sistema y, por ende, los cambios de estado en un t + A, está dada por la distribución Poisson expresada como:

10 Si se define un intervalo Ai pequeño que asegure el cumplimiento de los siguientes postulados, 1. Solamente puede ocurrir una llegada entre y Ai. 2. Solamente puede ocurrir una salida entre y A. 3. Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre y A. Tabla 2.5 Matriz de probabilidades de un paso para Ai -> O.

11 2.7.1 MODELOS (M/M/c)(d/N/f) Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando éste llega a un cierto estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la falta de espacio, o bien a los clientes como en el" caso, por ejemplo, de que todos los clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado de la longitud promedio de fila o de la longitud promedio de clientes en el sistema. En este caso, la solución se puede encontrar de la siguiente forma: Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para todos los estados posibles del sistema. Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso. A partir de las ecuaciones 2.15 y 2.16, encontrar todas las ecuaciones de balance. Resolver el sistema de ecuaciones para la obtención de las probabilidades de estado estacionario. Calcular la tasa efectiva de entrada de clientes al sistema. Calcular L, L Q, W, W q y p a partir de las fórmulas generales. Si aplica, evaluar en términos de costo el rendimiento del sistema en estudio. Ejemplo. Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas. Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega y el sistema está lleno, se retira sin entrar. La clasificación de este sistema es (M/M/l)(FCFS/4/oo) con el diagrama de probabilidades que se muestra en la figura 2.5.

12 Figura 2.5 Diagrama probabilidades. de La matriz de un paso correspondiente al diagrama de transiciones se muestra en la tabla 2.6. De la matriz de probabilidades de la tabla 2.6 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: Resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar las probabilidades de rstado estable:

13 Se requiere oí valor do /*> para la solución de P,,, por lo < ur. u htuyen estos valores en la ecuación 2.22: Ahora es posible calcular las medidas de desempeño del sistema, empezando por la tasa efectiva de entrada al sistema. valor inferior a 8 personas/hora ya que el 32.76% del tiempo la sala de espeni está llena y se pierden clientes. Utilizando la ecuación 2.2 para calcular la utilización del servicio, esto o.-;, el porcentaje de tiempo que la recepcionista se encuentra atendiendo clientes, teniendo en mente que el servidor se encuentra ocupado en promedio el 89.6% del tiempo, entonces el sistema tiene capacidad suficiente para atender a IOM clientes que entran por hora. Con la ecuación 2.4, calculamos el promedio j del número de clientes en la sala de espera, incluyendo al que está siendo atendido por la recepcionista,

14 Por último, los factores de tiempo promedio de espera en la fila y de estancia en el sistema se calculan haciendo uso de las ecuaciones 2.7 y 2.9 respectivamente y los resultados son: Para algunos clientes, probablemente parezca un tiempo de espera excesivo, quizá esperen que su tiempo en este sentido pueda ser mejorado; una de las -oluciones para lograrlo es, por ejemplo, contratar a una segunda recepcionista, n este caso la clasificación del sistema es (M/M/2)(FCFS/5/oo) y tanto en el Figura 2.6 Formas completa y simplificada del diagrama de probabilidades.

15

16 y por lo tanto, P l = P 2 = P 3 = P 4 = La nueva distribución de probabilidad de estado estable nos indica un incremento en la probabilidad de estar vacío, ya que de un 10.37% con una recepcionista ha pasado a un 23.76%. Otro dato interesante es que la probabilidad de que el sistema se encuentre lleno ha disminuido de 32.74% a 9.38%, lo cual permite intuir que si antes el sistema permitía una entrada efectiva de sólo personas/hora, ahora este flujo debe aumentar, para comprobarlo, tomamos la ecuación 2.3 con esto, el sistema ha permitido un aumento en el flujo promedio de 1.87 clientes/hora. A pesar de tener una tasa de entrada efectiva más alta, la utilización del servicio disminuye, principalmente por el hecho de haber duplicado la capacidad promedio de servicio; de nueva cuenta, con la ecuación 2.2, se calcula el porcentaje de tiempo en que las recepcionistas están atendiendo clientes: Con los servidores trabajando un 60.4% se asegura que el sistema tiene la posibilidad de llegar a estado estable. Con esta información y con la ecuación 2.6 se calcula el número promedio de clientes en la fila: La ecuación 2.5, permite calcular, de una manera más sencilla, el número de clientes promedio incluyendo aquellos que están con cada una de las recepcionistas: L = L q + Sp = (2)(0.604) =

17 Por último, los nuevos factores de tiempo promedio de espera en la fila y de estancia en el sistema se calculan mediante las ecuaciones 2.9 y 2.8 respectivamente y los resultados son: Como era de esperarse, se obtiene una disminución considerable en el tiempo de espera promedio de 18.5 a minutos/cliente. No hay que olvidar que la decisión de agregar una recepcionista depende principalmente de los costos en que incurra el sistema y del ahorro que se pueda generar con el cambio, por ejemplo, si agregar esa nueva recepcionista incrementa los costos en $15/hy el ahorro promedio, considerando el tiempo de espera en la fila de los clientes, es sólo de $10/h, entonces no se justifica la contratación de otra recepcionista. Ejemplo. En una oficina se cuenta con 5 impresoras. Cada una de ellas trabaja un promedio de 2 horas con distribución exponencial antes de detenerse por falta de tinta, papel o problemas mecánicos. Se asignaron dos personas para mantener las impresoras activas. Si el tiempo para reactivar una impresora es de 15 minutos con distribución exponencial, entonces, la clasificación de este sistema es: (M/M/2)(FCFS/5/5) y el diagrama de probabilidades de estado estable se muestra en la figura 2.7, dando por consiguiente la matriz de un paso, en la que es importante hacer notar la disminución progresiva en la probabilidad al cambiar de un estado i a i + 1 puesto que al ir aumentando el número de copiadoras descompuestas, la tasa promedio de entrada disminuye proporcionalmente. Figura 2.7 Diagrama de probabilidades de estado estable.

18 Tabla 2.8 Probabilidades de un paso de un modelo (M/M/2MFCFS/5/5). Este sistema de ecuaciones se resuelve de una forma similar a la de los ^emplos previos, pero debido a que la probabilidad de que se descomponga una máquina depende del número de máquinas ya descompuestas, las probabilidades de P n quedan expresadas término a término de acuerdo con:

19 La distribución de probabilidad para los 5 estados restantes queda: P l = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = En este caso, la tasa de llegadas está ligada a la cantidad de copiadoras descompuestas, de tal manera que si todas las copiadoras están trabajando, la tasa de llegadas es 5 veces más alta que en el caso en que tengamos 4 máquinas ya descompuestas y solamente 1 trabajando; mediante la ecuación 2.3 el promedio en la tasa de entrada es: hace que se pueda pensar en disminuir el número de servidores, en caso de que económicamente sea adecuado. Usando la ecuación 2.4, se calcula el número promedio de copiadoras descompuestas: El resultado de aproximadamente 0.5 copiadoras, guarda una estrecha relación con la utilización de los servidores, que al estar en un nivel del 27.66%. la mayor parte del tiempo se encuentran disponibles para la reparación del equipo, consiguiendo así que las copiadoras estén en servicio lo antes posible. Esta idea se ve reflejada también en el número promedio de copiadoras esperando ser reparadas, valor que puede ser estimado a partir de la ecuación 2.6: El tiempo de espera promedio antes de la reparación y/o mantenimiento calculado con la ecuación 2.9 es:

20 y el tiempo promedio en el sistema incluyendo el tiempo de reparación de 15 minutos se estima en: W=W q + E(t) = = min MODELOS (M/M/c) (d/oo/oo) En un gran número de sistemas, tanto la población potencial como la capacidad del sistema se pueden considerar ilimitados, por ejemplo, la fila para comprar un boleto para ver un juego de fútbol, la fila para utilizar un cajero automático, etcétera. A diferencia de los modelos anteriores, la solución para estos casos hace necesaria la utilización de series geométricas ya que la distribución de probabilidad de estado estable no tiene límite superior en cuanto a la capacidad del sistema. Es importante recalcar que dada la ausencia de este límite, se requiere asegurar la convergencia del sistema a un estado estable, para lo cual debe cumplirse la condición de que p < 1, es decir, que la ta-sa promedio de entrada sea estrictamente inferior a la capacidad promedio de servicio. En este caso, la solución se puede encontrar mediante los pasos que a continuación se expresan: Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para el conjunto de estados que definan al sistema de la mejor manera posible. Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso. A partir de las fórmulas 2.15 y 2.16 definir las ecuaciones de balance. Representar las probabilidades de estado estacionario P n mediante una expresión algebraica. Calcular la utilización de los servidores y verificar que sea menor a 1 para asegurar la convergencia del sistema. Calcular la probabilidad de que el sistema se encuentre vacío (P 0 ). En este tipo de problemas, es necesario hacer uso de series geométricas para encontrar la convergencia de los resultados. Encontrar L, L q, W, W Q a partir de las fórmulas generales, considerando dentro del procedimiento la utilización de las series geométricas. Si aplica, evaluar en términos de costo, el rendimiento del sistema en estudio. Ejemplo. Se desea evaluar el costo promedio/hora en un sistema de producción en el cual la entrada de materia prima a un proceso de taladrado sigue una distribución Poisson con una tasa promedio de 9 piezas/hora. Se cuenta con un taladro manual en donde 6 minutos es el tiempo promedio de proceso que sigue una distribución exponencial. Los costos de funcionamiento del taladro y de inventario de piezas se estiman en $1.3/hora y $0.50 respectivamente.

21 Figura 2.8 Diagrama simplificado de probabilidades de un paso. El modelo queda clasificado como (M/M/l)(FCFS/oo/oo) y el diagrama de probabilidades de un paso que se muestra en la figura 2.8, se emplea para evaluar en términos de costo se utiliza la ecuación 2.1; sustituyendo los costos de espera y de servicio se obtiene: lo que requiere el cálculo del número promedio de piezas en espera. Para esto se necesita construir la siguiente matriz de estado transitorio: Tabla 2.9 Probabilidades de un paso para un modelo (M/M/1MFCFS/00/00). Aplicando las ecuaciones 2.15 y 2.16 para calcular las probabilidades de estado estacionario, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

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23 Ejemplo. La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue una distribución Poisson con una tasa promedio de 20 barcos/semana. El muelle cuenta con 3 espacios para las labores de descarga y en cada espacio hay una grúa, con la cual es posible realizar las labores de descarga en 1 día con distribución exponencial. Si un barco llega y los espacios están ocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turno de descarga. Considerando semanas de 7 días se determinará el tiempo promedio de espera de un barco desde que llega al puerto hasta que

24 empieza a ser descargado; el modelo se clasifica como (M/M/3)(FCFS/oo/oo) y se crea el siguiente diagrama de probabilidades:

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26 Con la expresión matemática de la distribución de probabilidad de estado estable, y la ecuación 2.6, se calcula el número promedio de barcos en espera Las equivalencias algebraicas son útiles para llevar a cabo el proceso para encontrar la convergencia de la serie geométrica de L q :

27 2.8 PROCESOS NO MARKOVIANOS En algunos sistemas de líneas de espera no es posible explicar la variabilidad mediante un proceso Poisson, lo que ocasiona que el cálculo de la distribución de probabilidad de estado estable P n sea difícil de obtener, dada la complejidad para encontrar la probabilidad de un paso p 7 - Se han desarrollado ecuaciones particulares para procesos no markovianos donde se utiliza el coeficiente cuadrado de variación Cv 2 como una relación entre la media E(f) y la variancia V(f) de las distribuciones involucradas. A continuación se presentan algunos modelos que pueden llegar a ser de utilidad en el análisis de líneas de espera MODELO (M/G/1)(d/oo/oo) El desarrollo de las ecuaciones para este modelo se realiza utilizando el análisis de líneas de espera por medio de cadenas de Markov y desemboca en la obtención de la fórmula 2.30, conocida como la ecuación de Pollaczek-Khintchine: Ejemplo. Un sistema de manufactura cuenta, para su proceso de perforado, con un robot programado para taladrar en 6 minutos/pieza de una manera constante. La entrada de piezas sigue una distribución Poisson con media de 9.5 piezas/hora. Aunque se tiene suficiente espacio para recibir todas las piezas que requieran de este proceso, se calculará el promedio de piezas esperando ser taladradas y el tiempo promedio de permanencia en el sistema.

28 La clasificación del sistema es (M/G/l)(FCFS/oo/oo), donde: A, = 9.5 piezas/hora ILI = 10 piezas/hora E(t) = 6 minutos/pieza V(t) = O, por ser un proceso automatizado con tiempo constante (vea la tabla 2. 11). Para comprobar si el sistema puede llegar a estado estable, calculamos la utilización promedio del servicio con la ecuación 2.2: que al ser menor a 1 asegura la estabilización. A partir de la ecuación 2.30, es posible calcular el inventario promedio de piezas, con este inventario promedio de 9.025, puede calcularse el tiempo de espera y el tiempo en el sistema, utilizando las ecuaciones generales 2.9 y 2.8: MODELO (M/G/S) (d/oo/oo) Este modelo considera un conjunto de S servidores atendiendo a un número ilimitado de clientes potenciales; no existe limitación sobre la capacidad del sistema por lo que es preciso mantener p < 1 para lograr el estado estable. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson mientras que el servicio es de tipo general con media E(f) y variancia V(t). Las fórmulas para este modelo son:

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