Control 1 IN44A, Viernes 6 de Septiembre de 2002

Transcripción

1 DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL Curso: IN44A - Investigación Operativa Facultad de Cs. Físicas y Matemáticas Sem.: Primavera 00 UNIVERSIDAD DE CHILE Prof: A. Barrientos, A. Sauré, N. Yanković. P. Aux: P. Hernández, J.A. Muñoz, D. Sauré. Control 1 IN44A, Viernes 6 de Septiembre de 00 Problema 1 1. (0,5 ptos) Como desea minimizar el valor esperado del dinero gastado para terminar el contrato debe evaluar llegar a un acuerdo (y gastar $50.000) o ir a un juicio, en cuyo caso la esperanza de lo que deberá desembolsar es : [ ] 10 E U[40,000, 60,000] = 00,000 = 60, De esta manera, la decisión óptima, si no se contrata a la consultora es aceptar el acuerdo de la distribuidora de Gayville.. (,5 ptos) Se estará dispuesto a pagar la diferencia entre la esperanza del dinero que se deberá gastar si se conoce la predicción de la consultora y nuestra mejor alternativa (que es el acuerdo con un valor de $50.000). Del enunciado: P [dice Gana / gana] = 0, 9 P [dice Gana / pierde] = 0, Ocupando Bayes y probabilidades totales se tiene que: P [gana / dice Gana] = P [dice Gana / gana] P [ganar] P [dice Gana] P [dice Gana] = P [dice Gana / gana] P [ganar] + P [dice Gana / pierde] P [perder] = 0, 9 0, 7+0, 0, P [dice Gana] = 0, 7 P [ganar / dice Gana] = 6 7 1

2 De esta manera el valor esperado de ir a juicio si la consultora predice un triunfo será: 9 00,000 = 5,000 < 50,000 7 En este caso la decisión óptima para AnBlack es ir al juicio. Sin embargo, si la consultora dice que van a perder, la decisión óptima continuará siendo el acuerdo, porque P [ganar / dice Pierde] < 0, 7. Así, el desembolso esperado en caso de contratar a la consultora será de5,000 0, 7+50,000 0, 8 =,000, por lo que lo máximo que deberíamos pagar por predecir el resultado es 50,000,000 = 18,000.. (1,0 ptos) Efectivamente, si ambas compañías fueran neutras al riesgo el valor esperado del acuerdo tendría que ser igual al valor esperado de un eventual juicio. Dada la estructura del problema podemos concluir que la distribuidora de Gayville es edversa al riesgo, y que la única manera en que AnBlack no quisiera aceptar el acuerdo extrajudicial es que tuviera una función de utilidad o criterio de decisión que valorara positivamente la incertidumbre (como Maximax). 4. (,0 ptos) Para contestar esta pregunta calcularemos la E[U] para el distribuidor de Gayville. En caso de un juicio tendremos que la utilidad esperada será: x E[U(x)] = 0, 00,000 dx = ,000 (6 ) = De esta última expresión podemos deducir que la distribuidora de Gayville estará indiferente entre ir al juicio que a recibir 08 =4,64 seguros, por lo que AnBlack podría reducir en $6.76 el valor del acuerdo extrajudicial teniendo la seguridad que Gayville lo aceptará.

3 Problema 1. (1,0 ptos) Está es la clásica pregunta de programación dinámica. La respuesta va por el lado de justificar la existencia de decisiones intertemporales, la existencia de variables de estado que resumen la historia hasta un determinado momento y que la decisión en un período solo depende de ellas y no de la historia, etc.. (4,0 ptos) Siguiendo los pasos metodológicos tendremos que: Etapas: Cada una de las T semanas (supondremos que el show final se realiza en una semana ficticia T + 1). Variables de Estado: R t =Número de semanas con rutinas repetidas consecutivamente N t =Número ocasiones en las cuales se repiten rutinas en la temporada Variable de Decisión: { 1 Si creo una nueva rutina X t = 0 Variable aleatoria: P n donde n es el número de semanas consecutivas con repeticiones. Recurrencias: Comencemos con el show final (en la semana ficticia T + 1): VT +1(R T +1,N T +1 )=q NT +1 m C(T +1) Para una semana t (supuesto que p 0 = 0): V t (R t,n t,x t )= { C(t)+V t+1 (0,N t ) Si X t =1 p Rt+1 D(R t +1)+Vt+1(R t +1,N t +1) 0 <t<t+1 Condiciones de borde: R 1 = N 1 =0. (1,0 ptos)ahora necesitamos guardar información acerca del número de reclamos acumulados en una temporada. El modelo quedará de la siguiente forma: Etapas: Cada una de las T semanas (supondremos que el show final se realiza en una semana ficticia T + 1). Variables de Estado: R t =Número de semanas con rutinas repetidas consecutivamente E t =Número de ocasiones donde el publico reclamo N t =Número ocasiones en las cuales se repiten rutinas en la temporada

4 Variable de Decisión: { 1 Si creo una nueva rutina X t = 0 Variable aleatoria: P { n, e} donde n es el número de semanas consecutivas con repeticiones y e es el número de reclamos acumulados. Recurrencias: Comencemos con el show final (en la semana ficticia T + 1): V T +1(R T +1,E T +1,N T +1 )=q NT +1 m C(T +1) Para una semana t: V t (R t,n t,x t )= C(t)+p {0,Et} (D(0) + Vt+1(0,E t +1,N t )) Si X t =1 +(1 p {0,Et})Vt+1(0,E t,n t )) p {Rt+1,E t} (D(R t +1)+Vt+1(R t +1,E t +1,N t + 1)) +(1 p {Rt+1,E t}) (Vt+1(R t +1,E t,n t + 1)) Condiciones de borde: R 1 = E 1 = N 1 =0 Problema 1. (1,0 ptos) Sean {N a (t) :t 0}, {N b (t) :t 0} y {N T (t) :t 0} los procesos de conteo asociados al número de autos que cruzan la calle a, la calle b y ambas, respectivamente. El diagrama de autos que cruzan la intersección (por una calle en particular) es la que se muestra en la figura a continuación: 4

5 Entonces la dinámica del total de autos que cruza por alguna de las calles es la siguiente: Para calcular la distribución de los autos que cruzan la intersección en un ciclo hay que notar que, dada la definición del ciclo, cruzaran todos los autos que llegan por la calle a durante un tiempo C y todos los que llegan por la calle b en el mismo tiempo. Entonces N a (C)sigue un proceso de poisson de tasa λ a,yn b (C) sigue un proceso de Poisson de tasa λ b. Por suma de procesos de Poisson es directo que N T (C) sigue un proceso de Poisson de tasa (λ a + λ b ). Es importante notar que solo para intervalos de largo C se cumple esta propiedad (dado que solo en esos instantes han cruzado todos los autos que han llegado al cruce).. (1,0 ptos) Cada uno de los autos que cruzo el ciclo (dada la respuesta a la pregunta (a)) tiene λ una probabilidad a de haber cruzado por la calle a. Para ver esto solo basta pensar en que la llegada de autos por la calle a viene de la división del proceso de Poisson N T (C) (de tasa λ a + λ b ) λ con probabilidad a (si multiplican la tasa y la prob. recuperan el proceso original). Entonces, dado que llegaron n tendre que: ( ) n λ a P [N a (C) =k N T (C) =n] = ( ) k λ b ( ) n k k λ a + λ b λ a + λ b Es decir una distribución binomial de parámetros n y( λ a ).. (1,0 ptos) Veamos esto como un proceso de Poisson filtrado. Si un auto llega (por a) en el instante s (medido desde el comienzo del ciclo) tiene la siguiente probabilidad de haber esperado para cruzar: P [s] = { 0 si 0 s<a 1 si A s<c Entonces independiente del instante de llegada, cada uno de estos N autos tiene una probabilidad p de haber tenido que esperar, donde: C P [s] A p = 0 C ds = 0 C 0 C ds + 1 A C ds =1 A C Donde se utilizo la distribución uniforme [0,C] de las llegadas condicionadas de un proceso de Poisson. Sea N(t) Ea el número de autos que ha cruzado hasta t pero que ha debido esperar la luz 5

6 verde. Entonces tendremos que: P [N(C) Ea = k N a (C) =n] = Es decir una distribución binomial de parámetros n y p. ( ) n p k (1 p) n k k 4. (1,0 ptos) Sea N NE (t) elnúmero de autos que ha cruzado hasta t y que no espera luz verde para cruzar. Nuevamente veamos el cuento como un proceso de Poisson filtrado (en particular será muy parecido a lo que hicimos en la clase auxiliar). Si un auto llega en el instante s (medido desde el comienzo del ciclo) tiene la siguiente probabilidad de cruzar inmediatamente. { λb λ P [s] = a+λ b si 0 s<a (la probabilidad de llegar por a) λ a si A s<c (la probabilidad de llegar por b) Noten que estamos filtrando N T (C). Entonces tendremos que la prob. descondicionada del instante de llegada será: p = C 0 P [s] A C ds = 0 Entonces tendremos que: 1 C λ C b ds + λ a + λ b A 1 C P [N(C) NE = k N T (C) =n] = Es decir una distribución binomial de parámetros n y p. λ a λ a + λ b ds = [λ b A + λ a (C A)] C λ a + λ b ( ) n p k (1 p) n k k 5. (,0 ptos) Es fácil ver que el costo total tiene solo componentes, una asociada a los autos que vienen por a y esperan, y la otra asociada a los autos que vienen por b y esperan. Entonces (dad que en un ciclo la distribución de los autos que vienen por a y esperan es Poisson de tasa λ a B y que de la misma forma, la distribución de los autos que vienen por b y esperan es Poisson de tasa λ b A) tendremos que: E[Costo ciclo] = E[Autos por a] + E[Autos por b] = E[Autos por a N a (B) =n] P [N a (B) =n] + E[Autos por b N b (A) =n] P [N b (A) =n] Ahora, si un auto que llega por a, lo hace a s unidades de tiempo desde que se comenzó laluz roja, incurrirá en un costo igual a M (B s). Sin embargo dada la distribución uniforme de los tiempos de llegada de un Poisson uniforme, tendremos que este costo C será: C = B 0 M (B s) ds = M B B Es fácil ver que: E[Autos por a N a (B) =n] =n M B La misma lógica entrega el siguiente resultado para la calle b: 6

7 Entonces: E[Autos por a N a (B) =n] =n M A E[Costo ciclo] = = E[Autos por a N a (B) =n] P [N a (B) =n] + E[Autos por b N b (A) =n] P [N b (A) =n] [n M B ] P [N a (B) =n]+ [n M A ] P [N b (A) =n] = λ a M B + λ b M A Dudas, consultas y comentarios a dsaure@dii.uchile.cl 7