Análisis de Decisiones II

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1 Tema 14 Distribución de llegadas Poisson, distribución de servicio Exponencial, varios servidores, servicio PEPS, población y cola infinita Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Distinguir los parámetros de la distribución Poisson y exponencial en los sistemas (M/M/C). Aplicar la Teoría de Colas a casos de estudio del área administrativa para varios servidores con servicio PEPS. D.R. Universidad TecMilenio 1

2 Introducción del tema En una sala de emergencias hay tres médicos residentes por turno. El número de personas que llegan a la clínica con una emergencia sigue una distribución Poisson con una tasa de 7 por hora. El tiempo medio empleado para diagnosticar al paciente es de 6 minutos. Es el servicio de la clínica eficiente de tal manera que ningún paciente tenga que esperar para ser atendido y pueda ocurrir una fatalidad? Cuál es el porcentaje del tiempo que la sala de espera está vacía? Son suficientes tres médicos residentes o hay que incorporar más a cada turno? Introducción del tema Para contestar estas preguntas y otras más, hay que emplear la Teoría de Colas y analizar este caso como un sistema (M/M/k), donde k es el número de servidores que prestan el servicio. A continuación se expone brevemente la aplicación de sistemas con varios servidores que ofrecen servicio PEPS en problemas del área administrativa. D.R. Universidad TecMilenio 2

3 Características del modelo M/M/k Cuenta con dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades o clientes que llegan al sistema esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidos. Un ejemplo típico de este tipo de sistemas es un banco en el cual exista una sola fila de clientes esperando ser atendidos y en el momento de su turno, cada uno pasa a ser atendido por uno de los varios cajeros disponibles. Características del modelo M/M/k Para poder aplicar este modelo, se tienen que cumplir las siguientes condiciones: Llegadas aleatorias con distribución de Poisson. Tiempos de servicio aleatorios con distribución Exponencial. Varios canales o servidores. Tasa media de servicio igual para cada canal. Las llegadas esperan en una sola línea sin límite de longitud y luego pasan al primer canal disponible para el servicio. D.R. Universidad TecMilenio 3

4 Parámetros de desempeño del modelo M/M/k Las siguientes fórmulas pueden usarse para calcular las características operativas de estado estable para una línea de espera con varios canales o servidores, con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde: Debido a que es la tasa media de servicio para un solo canal o servidor, es la tasa media de servicio para un sistema de canales múltiples o servidores. Para poder aplicar el modelo, se requiere que Parámetros de desempeño del modelo M/M/k Parámetro Probabilidad de que no haya clientes en el sistema P 0 Fórmula 1 k 1 n / / n0 k n! k! k k Cantidad promedio de clientes en la línea de espera Lq k / k1! k 2 P 0 Cantidad promedio de clientes en el sistema L L q Tiempo promedio de espera del cliente en la línea de espera Lq Wq D.R. Universidad TecMilenio 4

5 Parámetros de desempeño del modelo M/M/k Parámetro Fórmula Tiempo promedio de espera de cliente en el sistema 1 W Wq Probabilidad de que al arribar un cliente tenga que esperar por el servicio Probabilidad de que haya n clientes en el sistema k 1 k Pw P0 k! k P n / n! n n P; para n k / Pn P ( ) 0 ; para n>k n k kk! 0 Parámetros de desempeño del modelo M/M/k El cálculo de puede volverse laborioso a medida que se incrementa el número de servidores, es común emplear tablas con los valores para distintas razones de D.R. Universidad TecMilenio 5

6 Parámetros de desempeño del modelo M/M/k Cantidad de canales ( k ) Razón / Ejemplo modelo M/M/k Para el ejemplo del auto lavado Mr. Clean, el gerente considera añadir una estación adicional de lavado. La tasa de llegadas es de 22 autos por hora y cada estación puede lavar autos a una tasa de un auto cada dos minutos. Se cuenta con una sola línea de espera y añadiendo la estación nueva, dos estaciones de lavado. Las llegadas tienen distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienen distribución exponencial. Calcula los parámetros de operación. D.R. Universidad TecMilenio 6

7 Ejemplo modelo M/M/k Solución: Calculamos, a partir del modelo M/M/2, los parámetros operacionales. La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema: También P 0 puede ser obtenido a través de tablas, para facilitar su cálculo. Ejemplo modelo M/M/k La cantidad promedio de automóviles en espera antes de ser lavados: La cantidad promedio de automóviles en el sistema : Tiempo promedio de espera de los autos en la cola: D.R. Universidad TecMilenio 7

8 Ejemplo modelo M/M/k La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema: La probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido: Ejemplo modelo M/M/k Resumen de los parámetros del sistema con uno y dos servidores: Parámetro 1 servidor 2 servidores % Utilización ( k / ) 73.33% 36.67% P 0, Probabilidad del sistema vacío Lq, longitud esperada de la cola L, cantidad esperada en el sistema Wq, tempo esperado en la cola W, tiempo esperado en el sistema Pw, Probabilidad de que un cliente espere Qué podemos concluir al comparar los parámetros de operación obtenidos con 2 servidores, a los del caso de un solo servidor? Qué factores deberá considerar el gerente para tomar la decisión? D.R. Universidad TecMilenio 8

9 Cierre Como ya se expuso en la sesión, analizar sistemas (M/M/k) nos sirve para determinar si la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta o si se tienen recursos ociosos. Por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos, lo cual provoca que los clientes se desesperen Si el tiempo que tardan los usuarios en salir del sistema es mayor que el intervalo entre llegadas, la cola aumentará indefinidamente y el sistema puede llegar a colapsarse. Cierre Por lo tanto, es necesario diseñar el sistema de forma que el tiempo de servicio sea igual o menor que el intervalo entre llegadas. En esta situación es importante saber cuánto tiempo va a estar un servidor inactivo, como una caja fuera de servicio. Analizar los sistemas de múltiples servidores, mediante la Teoría de Colas, proporciona al administrador un marco de referencia bajo el cual puede tomar decisiones para mejorar el servicio y aprovechar mejor los recursos disponibles. D.R. Universidad TecMilenio 9

10 Para aprender más En la siguiente liga podrás acceder a un documento que trata acerca del desarrollo de un sitio en Internet que sirve de auxiliar para resolver problemas de Teoría de Colas: García Linares, Eduardo. (2008, 11 de julio). Diseño de una Página Web sobre Teoría de Colas. Recuperado el 16 de abril de 2009, de oyecto%20de%20final%20de%20carrera%20- %20Dise%C3%B1o%20de%20una%20pagina%20Web% 20sobre%20teoria%20de%20colas.pdf 19 Referencias bibliográficas Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T. (2004). Métodos Cuantitativos para los Negocios. (9ª Ed.) México: Cengage Learning. ISBN: Gould F. y Eppen G. (2000). Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. México: Pearson Educación. ISBN: D.R. Universidad TecMilenio 10

11 Créditos Diseño de contenido: Ing. Sergio C. Ruiz Escobedo Coordinador académico del área: Lic. José de Jesús Romero A. MC y MED Edición de contenido: Lic. Mirthala García Aldrete, MA y ME Edición de texto: Lic. Sandra Gancz Kahan Diseño gráfico: Ing. Felipe Leyva Silva, MGTI D.R. Universidad TecMilenio 11

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