P(t 1 θ t 2 ) = 7.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer Características de los métodos de construcción de intervalos de confianza.

Transcripción

1 TEMA 7. Etimació por itervalo de cofiaa Hata ahora hemo vito lo método de etimació por puto. E eto método iempre e da «u valor úico» como etimació del parámetro poblacioal decoocido. Cómo e upera ete icoveiete? troduciedo u uevo método de etimació, que llamaremo «etimació por itervalo». E ete método e trata de hallar do etadítico t 1 (X 1, X,..., X ) y t (X 1, X,..., X ) que erá, por tato, variable aleatoria como ya abemo, y tale que para el parámetro poblacioal decoocido θ, e cumpla: P(t 1 θ t ) = Al itervalo (t 1, t ) e le deomia «tervalo de cofiaa». (Realtemo que lo etremo t 1 y t o variable aleatoria, que depede de lo valore muetrale). 7.1 Al fialiar el tema el alumo debe coocer... Caracterítica de lo método de cotrucció de itervalo de cofiaa tervalo de cofiaa e poblacioe ormale. tervalo de cofiaa e poblacioe o eceariamete ormale. tervalo de cofiaa de ua proporció. Etimació del tamaño muetral. 7. Caracterítica de lo método de cotrucció de itervalo de cofiaa. Supogamo que ua compañía dedicada a la producció de piea para el ector de automoció, quiere aaliar la productividad de ua de u plata idutriale y para ello realia u cotrol de la piea fabricada. Mediate el cotrol realiado obre ua muetra aleatoria de piea, etima que el 10 % de toda la piea o defectuoa. El gerete que e ecuetra co ete dato e hace la iguiete preguta: Puedo etar eguro de que el verdadero porcetaje de piea defectuoa etá etre 5 % y 15 %? Eta clae de preguta requiere iformació que va má allá de la coteida e ua imple etimació putual; e trata de bucar u rago de valore etre lo que poiblemete e ecuetre la catidad que e etima

2 E ua etimació por itervalo e defie u itervalo detro del cual puede etar el parámetro decoocido. El itervalo uele ir acompañado de ua afirmació obre el ivel de cofiaa que e puede aigar a u preciió, por ello e llama itervalo de cofiaa. o Cotrucció e iterpretació de lo itervalo de cofiaa. Podemo hacero la iguiete preguta; Cómo podemo cotruir u itervalo y afirmar que cofiamo al 95,5 % que ee itervalo cotiee a, i i iquiera abemo cuál e al media poblacioal? Viedo el gráfico y recordado la valoració de ormalidad que vimo, el 95,5 % de toda la media muetrale e ecotrará etre. No debemo olvidar que a partir de cualquier població podemo obteer mucha muetra diferete de u mimo tamaño determiado, cada ua de ella co u propia media X 1, X,. Toda eta media muetrale da lugar a u itervalo de cofiaa, que podrá icluir o o a la media poblacioal. Por coiguiete, i a partir de cualquier media muetral o deplaamo do errore típico por ecima y otro do por debajo de ea media X 1, X,, podemo teer ua cofiaa del 95,5 % de que el itervalo reultate cotiee a la media poblacioal decoocida. Si tomáramo 100 muetra aleatoria de tamaño de la mima població y - -

3 calculáramo lo etremo del itervalo para cada muetra, etoce eperamo que aproimadamete el 95,5% de lo itervalo cotedrá e u iterior el verdadero valor del parámetro y el 4,5% retate o lo cotedrá. Pero como ootro, e la práctica, ólo tomamo ua muetra aleatoria y por tato ólo teemo u itervalo de cofiaa, o coocemo i uetro itervalo e uo del 95,5% o uo del 4,5 %, por eo hablamo de que teemo u ivel de cofiaa del 95,5 %. El valor de 95,5 % recibe el ombre de ivel de cofiaa, e el ivel de cofiaa que teemo e que el itervalo cotiee el valor del parámetro decoocido. Al valor 1 0, 955 e le llama coeficiete de cofiaa. El objetivo que e pretede co lo itervalo de cofiaa e obteer u itervalo de poca amplitud y co ua alta probabilidad de que el parámetro poblacioal e ecuetre e u iterior. Aí pue, elegiremo probabilidade cercaa a la uidad, que e repreeta por 1, y cuyo valore má frecuete uele er: 0,90, 0,95, 0,99., que correpode al 99%, 95% y 90% La preciió de la etimació por itervalo vedrá caracteriada por el ivel de cofiaa y por la amplitud del itervalo: - Para u coeficiete de cofiaa fijo, cuato má pequeño ea el itervalo de cofiaa má precia erá la etimació. - Para ua mima amplitud de itervalo, cuato mayor ea el coeficiete de cofiaa mayor erá la preciió. 7.3 tervalo de cofiaa e poblacioe ormale. o tervalo de cofiaa para la media. Ua de la aplicacioe má corriete de lo itervalo de cofiaa e la de etimar la media poblacioal. - U empreario quiere etimar el ivel medio de producció meual, de u idutria

4 - U gerete etá itereado e coocer lo igreo auale medio de lo empleado i cualificació y co u año de eperiecia, que trabaja e emprea del mimo ector. - Ua Comuidad Autóoma quiere etimar el gato medio meual de la familia co má de do hijo. Hay u úmero cai ifiito de ituacioe que requiere ua etimació de la media poblacioal decoocida. Recordemo que u itervalo de cofiaa etá compredido etre u límite uperior y u límite iferior. Si e cualquiera de lo cao ateriore utiliamo como etimador la media muetral X, tedremo que umar ua catidad determiada para obteer el límite uperior y retar la mima cifra para obteer el límite iferior. La preguta que puede urgir e: cuato debemo umar y retar?. La repueta depede de la preciió que queramo obteer. Si deeamo cotruir u itervalo del 95 %. E ete cao teemo, que el coeficiete de cofiaa e 1 0, 95, 0, 05 y 0, 05. Si utiliamo la tabla de la ditribució ormal y calculamo: P Z 0,05 El valor de que correpode a u área de 0, 05 e 1, 96. E decir, para cotruir u itervalo de cofiaa del 95 % ólo teemo que defiir u itervalo que e etieda X. 1,96 por ecima y por debajo de la media muetral Siedo coocida. Supogamo que teemo ua muetra aleatoria de obervacioe procedete de ua població. Si, la deviació típica de la població e fiita coocida, y la media muetral obervada e, etoce el itervalo de cofiaa para la media poblacioal al ivel de cofiaa del viee dado por: ; dode - 4 -

5 P Z y la variable aleatoria Z N 0,1 Siedo decoocida. El coocimieto de la deviació típica de la població puede parecer poco realita. La ituació má probable e que la deviació típica de la població ea decoocida, batará co poer e u lugar la deviació típica de la muetra. Supogamo que teemo ua muetra aleatoria de obervacioe procedete de ua població. Si e decoocida, y la media y la deviació típica muetral obervada o y repectivamete, etoce el itervalo de cofiaa para la media poblacioal al ivel de cofiaa del viee dado por: ; dode P Z y la variable aleatoria Z N 0,1 Eta técica de etimació para la media poblacioal e puede utiliar: - 5 -

6 - Cuado la població igue ua ditribució ormal o bie cuado e upoe que la ditribució de la població e decoocida. - Cuado e cooce o bie cuado e decooce. Pero e todo lo cao hay ua circutacia comú: iempre e debe elegir ua muetra aleatoria imple uficietemete grade procedete de la població 30. E mucha ocaioe ecotraremo que obteer ua muetra grade e poco práctico e icluo impoible. U ejemplo puede er el de ua compañía farmacéutica, que para probar u uevo medicameto o puede ecotrar a má de 30 peroa que eté dipueta a probarlo. Cuado hay que tomar ua muetra pequeña 30, la ditribució ormal o iempre e la adecuada, e ete cao la ditribucioe que e eguirá depederá de i e coocida o decoocida. Supogamo que teemo ua muetra aleatoria de obervacioe de ua ditribució,. Si e decoocida, y la media y la deviació típica muetral obervada o y repectivamete, etoce el itervalo de cofiaa para la media poblacioal al ivel de cofiaa del viee dado por: t ; t dode P t 1 t t y la variable aleatoria t 1 igue ua ditribució t-studet co ( 1) grado de libertad. o tervalo de cofiaa para la variaa. E ocaioe e requiere tambié etimacioe, mediate itervalo de cofiaaa, para la variaa de la població. Veamo como ejemplo: - 6 -

7 - El director comercial de ua idutria coervera, etá itereado e que el peo eto del producto icluido e el iterior de la lata tega poca variabilidad, para que o eita diferecia etre el peo real y el peo auciado e la etiqueta. - U gerete etá itereado e que eita poca variabilidad e lo igreo auale de lo empleado co u año de eperiecia, que trabaja e u emprea. Siedo la μ decoocida. Supogamo que teemo ua muetra aleatoria de obervacioe de ua població N,. Si e decoocida, y la variaa muetral obervada e.uaremo u etadítico que depeda de σ, iedo u ditribució o depediete de la variaa. 1S i 1, Etoce el itervalo de cofiaa para la variaa poblacioal cofiaa del viee dado por: al ivel de ( 1) 1 1 ; 1 1 dode 1,

8 P 1 1, 1 1 y 1, P 1 1, y la variable aleatoria grado de libertad. 1 igue ua ditribució de Pearo co -1 Siedo μ coocida. El itervalo de cofiaa para la variaa de ua població ormal, upoiedo que e coocida puede obteere raoado aálogamete al cao aterior. Al er la media coocida o hay que etimarla pue: i El itervalo de cofiaa para la variaa poblacioal viee dado por: al ivel de cofiaa del i i ; 1-8 -

9 1 7.4 tervalo de cofiaa e poblacioe o eceariamete ormale. o Utiliado la deigualdad de Chebychev. Para obteer u itervalo para la μ co variaa poblacioal coocida. E( X ) V ( X ) V( X) P k 1 1 k k k k 1 1 k Por lo tato teemo que: P X 1 y el itervalo erá el iguiete: X ; X 7.5 tervalo de cofiaa de ua proporció. Otra aplicació de lo itervalo de cofiaa e la de etimar la proporció poblacioal. - U empreario puede etar itereado e coocer el porcetaje de u producto que o defectuoo, frete al porcetaje de producto o defectuoo. - U gerete puede etar itereado e coocer la proporció de cliete que paga a crédito frete a quiee paga al cotado. E cada uo de eto reultado olo hay do ituacioe poible. Por lo tato, lo que o iterea e la proporció de repueta que e claifica e uo de eto do reultado

10 Situádoo e el marco de la ditribució biomial, la proporció de éito de ua muetra aleatoria de obervacioe, i e grade, etoce la variable aleatoria: Z p p q N 0,1 Ete reultado o o permite por í olo el cálculo de itervalo de cofiaa para la proporció poblacioal, ya que el deomiador depede del parámetro decoocido. Si embargo, i el tamaño de la muetra e grade, podemo coeguir ua buea aproimació utituyedo p por u etimador putual p 1 p 1, e decir: p Sea ua població B, p 1, ea la proporció de éito de ua muetra aleatoria de obervacioe. Etoce, i e grade, el itervalo de cofiaa para la proporció poblacioal al ivel de cofiaa del viee dado por: p dode P Z y la variable aleatoria Z N 0,1 1 1 ; Si teemo ua muetra pequeña, lo epreado hata ahora poee ua mayor dificultad. E ete cao e utilia u método gráfico, e él para cada muetra y e coecuecia para cada valor de e tiee do olucioe, que e el plao carteiao vedrá epreada por do puto uo iferior y otro uperior cotituyedo éto lo etremo del itervalo. Lo itervalo de cofiaa para la proporció poblacioal etá cetrado e la proporció muetral. Se puede comprobar tambié que, iempre que la demá

11 codicioe permaeca itacta, cuato mayor ea el tamaño muetral, meor erá la logitud del itervalo de cofiaa. Ete hecho refleja el icremeto de la preciió de la iformació obre la proporció poblacioal obteida a medida que aumeta el tamaño muetral. 7.6 Etimació del tamaño muetral. Hata ahora hemo dearrollado método para cotruir itervalo de cofiaa para u parámetro poblacioal, baádoo e la iformació coteida e ua muetra determiada. Siguiedo ete proceo, u ivetigador puede creer que el itervalo de cofiaa reultate e demaiado amplio, efretádoe aí a u grado de icertidumbre poco deeable. Normalmete la úica forma de reducir eta icertidumbre coite e tomar ua muetra co u tamaño mayor. E algua ituacioe el ivetigador puede er capa de fijar por adelatado la amplitud del itervalo de cofiaa, eligiedo u tamaño muetral lo uficietemete grade como para garatiar dicha amplitud. o Tamaño de la muetra para etimar la media de ua població ormal y variaa poblacioal coocida. E ete cao abíamo que el itervalo de cofiaa era: ; Siedo la amplitud del itervalo: L Si previamete, e fija la logitud del itervalo L y deeamo coocer el tamaño de la muetra para obteer ee itervalo al ivel de cofiaa del % batará depejar de la epreió., Supogamo que dipoemo de ua muetra aleatoria procedete de ua població

12 ormal co variaa coocida. Etoce, u itervalo de cofiaa del 1 % 100 para la media poblacioal tiee ua amplitud L, i el úmero de obervacioe e: 4 L dode P Z y la variable aleatoria Z N 0,1 Naturalmete, el úmero de obervacioe de la muetra tiee que er etero. Si el úmero reultate o e etero, lo redodearemo por eceo para garatiar que uetro itervalo de cofiaa o eceda la amplitud requerida. Tambié podemo hacer el iguiete raoamieto, i la media fuera el valor cetral del itervalo que hemo cotruido, etoce etimaría putualmete a i error alguo. Pero geeralmete o erá eactamete igual a y etoce e comete u error, e y como máimo erá: e Etoce i queremo determiar el tamaño de la muetra eceario para obteer u itervalo de cofiaa para la media poblacioal, admitiedo u error e, depejado de la epreió aterior teemo: e o Tamaño de la muetra para etimar la media de ua població ormal y variaa poblacioal decoocida. El itervalo para la media de ua població ormal co decoocida, viee dado - 1 -

13 por: t ; t Siedo la amplitud del itervalo: L t t t Si previamete, e fija la logitud del itervalo L y deeamo coocer el tamaño de 100 1, la muetra para obteer ee itervalo al ivel de cofiaa del % batará depejar de la epreió. Supogamo que dipoemo de ua muetra aleatoria procedete de ua població ormal co variaa decoocida 1 %. Etoce, u itervalo de cofiaa del 100 para la media poblacioal tiee ua amplitud, i el úmero de obervacioe e: 4 t L t dode P t 1 y la variable aleatoria 1 libertad. t igue ua ditribució t-studet co 1 grado de Si e lugar de utiliar la amplitud L del itervalo utiliamo el error, etoce el tamaño de la muetra erá: t e o Tamaño de la muetra para etimar la proporció de ua població. Sabemo que el itervalo al ivel de cofiaa del % poblacioal e: para la proporció

14 p 1 1 ; La logitud del itervalo e: L 1 y depejado de eta epreió el valor de tedremo: 4 L 1 De forma aáloga a lo do cao ateriore i utiliamo el error e p ˆ p, el cual como máimo erá: e Reume y preguta frecuete: Objetivo de la etimació por itervalo de cofiaa. De qué depede la preciió e la etimació por itervalo de cofiaa?. Qué método e puede utiliar para la etimació por itervalo de cofiaa? Cuál de ello e preferible utiliar?.raoe la repueta. Supogamo ua muetra aleatoria imple X 1,, X 0, de ua ditribució N, 100, la media muetral obervada e X Cuál erá el itervalo de cofiaa para la media poblacioal, co u ivel de cofiaa del 90%?. Qué efecto tiee e u itervalo de cofiaa ua dimiució e el tamaño de la muetra? y ua dimiució e el ivel de cofiaa?. Supogamo ua muetra aleatoria imple X 1,, X 0, de ua ditribució N,, la media muetral obervada e X 1000 y la correpodiete variaa muetral e 00. Cuál erá el itervalo de cofiaa para la media poblacioal, co u ivel de cofiaa del 90%?. Cuál erá el itervalo de cofiaa para la variaa poblacioal, co u ivel de cofiaa del 90%?. Cuádo podemo decir que e comete u error e la etimació? Raoe la

15 repueta. Cuál erá el tamaño de la muetra para etimar la media de ua població ormal, co deviació típica decoocida, i previamete fijamo la logitud del itervalo de cofiaa e u valor L dado?