Sistemas de control Versión 2003 Tema Análisis de Respuesta en Frecuencia Sub - tema Diagramas Logarítmicos, Diagramas de Bode Volver

Transcripción

1 Págia de Sitema de cotrol 67- Verió 003 Tema Aálii de Repueta e Frecuecia Sub - tema Diagrama Logarítmico, Diagrama de Bode Volver La repueta de u itema, e etado etacioario, ate ua etrada iuoidal e la cooce como repueta e frecuecia. Iterea coocer la repueta ate ua etrada iuoidal ya que ua eñal real periódica erá e geeral ua poliarmóica, la que a u vez e podrá decompoer e erie de eo y coeo dode e tedrá e cueta la fucioe pare o impare, aálii de Fourier mediate, luego i el itema e lieal e aalizará la iuoide por eparado. Sea la iguiete etrada iuoidal y u correpodiete traformada de Laplace: L X x ( t X e( t frecuecia de la eñal ( o del itema X ( la alida tedrá ua forma como la que igue: y(t Y e( ϕ águlo de t fae ϕ X( G Y( Se defie que para u itema como el idicado la traferecia iuoidal e obtiee cuado e reemplaza por, lo que equivaldría a decir que la traferecia iuoidal tiee e cueta olo la parte imagiaria de, o que toma u imagiario puro. G( Y( X( G( Y( X( (9 Aalizado la expreió (9, vemo que G( e u úmero compleo y como tal poee módulo y argumeto. (Ver deduccioe al fial G( Y ( X ( Y ( G( X ( G( relació etre la amplitude de alida y etrada. G( ] Y ( ] X ( ] Im G( ] arctg Re [ G( ] [ G( ] G( ] águlo de defae etre la eñale de alida y etrada.

2 Págia de Sitema de cotrol 67- Verió 003 Por lo tato coociedo la traferecia iuoidal del itema puedo aber como erá la amplitud de la alida y el águlo de defae, la frecuecia e matiee cotate Reumiedo, el aálii que realizaremo preupoe : Régime permaete. Etrada iuoidal. La alida matiee la frecuecia pero o la amplitud i la fae ( Sitema de ecuacioe difereciale lieale. Exite G(. La repueta e frecuecia o brida iformació idirecta acerca de la repueta traitoria, ademá exite ua relació co el tipo de itema iedo poible calcular lo coeficiete de error etático, de velocidad y aceleració (que a u vez decribe el comportamieto de lo ditito tipo de itema. La repueta e frecuecia e puede preetar e variada forma, etre ella e detaca la de lo gráfico logaritmico o de bode:. I. G( e decibele, o ea : 0 log G(. II. G( ].directamete e águlo Ambo e fució de e ecala logarítmica ( o bie del log (/ Para trazar lo diagrama de Bode e aaliza cierto factore, luego e trata de decompoer a ua traferecia cualquiera G( e bae a eto factore lo que implifica la cotrucció. Lo factore a aalizar o: (a k; gaacia. (b (. ± ; ( derivativo, (- itegral. (c (..T ± ; de primer orde. ± (d ζ ; de egudo orde Al aalizar éto factore, lo que e bucará e repreetar gráficamete la aítota de la curva, éta e algo má difícil de evaluar e forma exacta, de toda forma la aítota o bridará la iformació bucada co uficiete exactitud. Al fial reolveremo u eemplo para aclarar la mecáica co que e aborda eto problema. Aí mimo e recomieda el uo de programa tale como el MATLAB para la realizació del trazado de la aítota o bie del diagrama, aquí idicamo la itruccioe para hacer el diagrama de magitud y fae de u primer orde co cotate de tiempo 0 e Matlab. um[]; de[0.,]; bode(um,de; G ( 0,

3 Págia 3 de Gaacia k. Sitema de cotrol 67- Verió 003 Si la traferecia e G( k, la correpodiete traferecia iuoidal erá: G( k G( í : k > k < ; k > 0 0 log(k G( G(, e decibele. > 0 < 0 i ρ G( 0 log(k ; para algú valor defiido de k e tiee: Itegral ( -. La traferecia e G(. (. -. Factore itegral y derivativo G( 0 log G( 0 log (0 Sí G( ( ; el argumeto e : G ( ] 90º, ( Como lo que e repreeta e el logaritmo de la frecuecia coviee aalizar por década. G( / Dimiuye 0 por década.

4 Págia 4 de Sitema de cotrol 67- Verió 003 G( / log( G(] 0º -90º / log( Derivativo (.. Realizado u aálii imilar e llega a: G( 0 log( ; ube 0 decibele por década G( / log( G(] 80º 90º / log( Se puede geeralizar lo aterior de la iguiete maera: Factor Pediete Argumeto ( [ / década] - 90º. [ ] (. 0. [ / década] 90º. [ ]

5 Págia 5 de Factore de primer orde (..T ±. Sitema de cotrol 67- Verió 003 Si tego, G ( T G( T G( G( 0 log 0 log T ( T G( 0 log 0 log ( T ( T Para baa frecuecia el módulo erá cero. Para alta frecuecia e puede coiderar la iguiete expreió: G( G( 0 log 0 log ( T ( T lo adecuado e aalizarlo por década: - 0. log (. T /T 0 0/T -0 Dimiuye 0 por década. 00/T -40 Aalizo el argumeto. T G( ] arctg T arctg( T arctg( T T Para valore extremo de e tedrá: G(.] 0 0º / T - 45º - 90º

6 Págia 6 de Sitema de cotrol 67- Verió 003 G( /00T /0T /T 0/T 00/T log( G(] 0º -45º -90º /00T /0T /T 0/T 00/T log( Similarmete para (..T : ( T G( 0 log, G( ] arctg( T - 0. log (. T /T 0 0/T 0 00/T 40 G(.] 0 0º / T 45º 90º Aumeta 0 por década. Mirado el diagrama aterior y teiedo e cueta eta tabla itete realizar el gráfico correpodiete a (..T.

7 Sitema de cotrol 67- Verió 003 Aquí tambié e puede geeralizar para u expoete. Factor Pediete Argumeto Frecuecia de corte (..T - Aítota de baa frecuecia e 0. Aítota de alta frecuecia 0. /década Se multiplica por /T (..T Aítota de baa frecuecia e 0. Aítota de alta frecuecia 0. /década Se multiplica por /T Factore de egudo orde ± ζ Si recordamo la traferecia: ζ ζ ζ 4 log -40 G( por lo tato e tiee : log -0 G( para alta frecuecia 0 log( 0 G( baa frecuecia para 4 log 0 G( 4 log 0 G( G( Págia 7 de

8 Págia 8 de Sitema de cotrol 67- Verió 003 G( Dimiuye 40 por década. E cuato al argumeto e: ζ ] G ( arctg ( G(.] 0 0º -90º -80º A eta altura le propogo al lector que realice lo diagrama de módulo y argumeto, ademá eboce lo diagrama correpodiete a : G( ζ. A cotiuació reolveremo alguo eercicio para aclarar lo cocepto. Eercicio Nº Sea la iguiete traferecia: utituimo por. : lo factore a coiderar o: k5 5 G( 5 G( ( 0. ( 0.0 ( 0. ( 0.0 ( ; comparádola co la forma que poee la traferecia de egudo orde : ; ζ 0. 3 (. - 4 ( ; comparádola co la traferecia de primer orde: T 0.0

9 Págia 9 de Sitema de cotrol 67- Verió 003 Recuerde que tato como T o frecuecia para la cuale el diagrama e quiebra (frecuecia de traició. Bata co graficar lo cuatro diagrama e uo (ua gra vetaa e lo diagrama logarítmico e que el producto de fucioe e traforma e uma, y poteriormete umarlo para obteer el diagrama de Bode de la traferecia G( G( ( 0 ( / (4 ( log( 70º G(] 80º ( 90º 0º -45º -90º (3 ( (4 log( -80º /

10 Sitema de cotrol 67- Verió 003 Eercicio Nº ( ( 5 3 ( G Primero opero algebraicamete para que lo factore ivolucrado ea lo etudiado ateriormete y eté expreado e igual formato(por e. Cotate de tiempo: G( " : " por "" do reemplaza G ( G ( lo factore a graficar o: 5.., T. 3 ( , T/3, /T3. 5 5, 5 Graficado la curva correpodiete a lo cico factore iterviiete, la curva correpodiete al módulo de la traferecia G(. repode a la iguiete tabla: G(. [/Década] Tramo -0 -, 0, , , Págia 0 de

11 Págia de Sitema de cotrol 67- Verió G( (3 ( / ( (5 ( log( 80º G(] 90º 45º 0º ( ( log( -90º (4 (3-80º (5-70º /

12 Sitema de cotrol 67- Verió 003 Márgee de fae y de gaacia. Algua págia atrá apredimo a cotruir el diagrama de Bode (recuerde que la gráfica del módulo repreeta la aítota del verdadero diagrama, que e ua curva uave, ahora debemo preetar do elemeto que erá muy útile para aalizar la etabilidad del itema; ademá o idicará dóde etamo parado co repecto a la etabilidad, eto e: etablecer u marge. Marge de fae γ : e el águlo que hay que retar o umar al defae etre la eñale de etrada y alida, a la frecuecia de cruce del diagrama del módulo de la traferecia, de modo que el defae ea ±80º (ya que bao eta codició el error o tiede a dimiuir por el cotrario aumeta. Gráficamete lo aterior implica que i la curva del argumeto o corta la líea de ±80º el itema e etable; de lo cotrario tedremo u marge de fae, hata llegar a ua ituació de ietabilidad, matemáticamete e: γ ϕ 80º Marge de gaacia k g : e la ivera de magitud del G( a la frecuecia de cruce del gráfico de fae, o ea tal que ϕ 80º : kg 0logG ( ϕ Ete marge idica cuato e puede icremetar la gaacia hata que el itema e tore ietable. Págia de