UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA, AUTOMÁTICA E INFORMÁTICA INDUSTRIAL Prácticas de Regulació Automática Práctica 3 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas físicos de primer y segudo orde

2 3. Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde 3 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO DE SISTEMAS FÍSICOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA RESPUESTA AL ESCALÓN DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN RESPUESTA AL ESCALÓN DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CUESTIONES TEÓRICAS CUESTIONES PRÁCTICAS GENERACIÓN DE SEÑALES CON SIMULINK... 9

3 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas físicos de primer y segudo orde El aálisis e el domiio del tiempo permite la caracterizació de los sistemas físicos mediate la aplicació de señales de test. Los valores de tiempo de establecimieto, tiempo de pico, tiempo de subida y valor de pico so medidas realizadas cuado los sistemas so excitados ate etradas e escaló. Auque estos parámetros idetifica a los sistemas de primer y segudo orde, éstos suele emplearse a sistemas físicos más complejos cuyos equivaletes reducidos se aproxima a sistemas de primer o segudo orde. 3.1 Objetivos de la práctica El objetivo de la practica cosiste e aalizar los parámetros característicos de los sistemas de primer orde (gaacia estática y costate de tiempo) y de segudo orde sub-amortiguados (gaacia estática, tiempo de subida, tiempo de pico, valor de pico y tiempo de establecimieto) Respuesta al escaló de u sistema de primer orde El comportamieto de los sistemas físicos de primer orde está modelado por ua ecuació diferecial de primer grado. Estas ecuacioes respode a procesos e los que sólo existe u elemeto capaz de almacear eergía (p.ej. u circuito RC o RL).

4 3.4 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde Figura 3. 1 Cuadripolo RC E la figura 3.1 se muestra u sistema de primer orde correspodiete a u cuadripolo RC. La respuesta a u escaló de u sistema de primer orde queda determiada por la costate de tiempo y por la gaacia estática. E la figura 3. se muestra la respuesta al escaló de dos sistemas de primer orde co gaacia estática uitaria y co diferetes costates de tiempo. Figura 3. Respuesta al escaló de u sistema de primer orde co cte. de tiempo 1 s. y 5s Respuesta al escaló de u sistema de segudo orde U sistema físico de segudo orde se modela por ua ecuació diferecial de segudo grado. E este caso el sistema costa de elemetos que puede almacear eergía, como sería el caso de u circuito RCL. La figura 3.3 muestra u sistema de segudo orde correspodiete a u cuadripolo RCL. E dicho circuito, la bobia y el codesador se itercambia eergía. La expresió más geeral empleada para modelar u sistema de segudo orde tiee la siguiete forma: Figura Cuadripolo RCL G( s) s K s

5 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde 3.5 Dode es la frecuecia atural o amortiguada y es el coeficiete de amortiguamieto. Los polos de G(s) se puede estudiar e fució de teiedo las siguietes posibilidades: - > 1. El poliomio tiee dos raíces reales simples (sistema sobre-amortiguado). - = 1. Ua raíz real doble (sistema críticamete amortiguado). - 0 < < 1. Dos raíces complejas cojugadas (sistema sub-amortiguado) - = 0. Dos raíces imagiarias puras. (sistema críticamete estable). E la siguiete figura se muestra la respuesta al escaló de cuatro sistemas de segudo orde co diferetes. Es preciso destacar las siguietes características: - U sistema de º orde tiee pediete 0 e el istate iicial. - U sistema sub-amortiguado oscila e toro a ua posició de equilibrio. - U sistema críticamete amortiguado tiee u tiempo de establecimieto itermedio etre los amortiguados y los que carece de amortiguamieto.

6 3.6 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde Figura Respuesta al escaló de u sistema de segudo orde (amortiguamieto 0, 0.3, 1 y 5) La respuesta al escaló de u sistema de º orde sub-amortiguado está caracterizada por los siguietes parámetros: - Tiempo de subida (t r ): Es el tiempo que tarda la salida de u sistema e pasar del 10% de valor fial al 90% de éste o bie etre el 0% al 100%. - Tiempo de establecimieto (t s ): Es el tiempo que tarda la salida de u sistema e quedar detro de ua fraja del ±5% del valor fial o del ±%. - Tiempo de pico (t p ): Es el tiempo e el que la salida alcaza el valor máximo. - Sobreoscilació (M p ): Es el porcetaje e que el valor de pico sobrepasa el valor fial de la salida.

7 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde 3.7 Los ateriores valores se muestra e la figura 3.5 y puede ser calculados para u sistema de º orde sub-amortiaguado mediate las siguietes expresioes: t t t r s p d, d 1 cos j d j d M p e 1 100% Figura 3. 5 Parámetros de caracterizació de u sistema sub-amortiguado

8 3.8 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde 3. Cuestioes teóricas Cuadripolo de primer orde: 1. Obteer las ecuacioes difereciales que modele el comportamieto de la red RC de la figura 3.1. Demostrar que la fució de trasferecia del cuadripolo es: us ( t) 1 (Laplace) ue( t) 1 scr us ( t) 1 (Fourier) u ( t) 1 jcr e 3. Demostrar que la solució de la homogéea es u ( t) Ke s t / RC 4. Demostrar que ate ua excitació co etrada escaló de amplitud U max, la salida t / RC u ( t) U 1 e. es s max 5. Represetar y caracterizar la respuesta temporal del cuadripolo RC ate ua etrada e escaló uitario, si C=10F y R=100 k Cuadripolo de segudo orde: 1. Obteer las ecuacioes difereciales que modele el comportamieto de la red de segudo orde de la figura Demostrar que: 1 LC R C L 3. Coseguir la expresió de respuesta ate u escaló uitario para u sistema de segudo orde sub-amortiguado. 4. Determiar la validez de las siguietes aproximacioes para sistemas de segudo orde sub-amortiguados: t p 1 d M p e / 1 e / ta t s 5. Represetar y caracterizar la respuesta temporal del cuadripolo RLC ate ua etrada e escaló uitario, si C = 10 F, L = 100 mh y R = 330

9 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde Cuestioes prácticas Cuadripolo de primer orde: Cosiderado los valores de C = 10 F y R = 100 k y excitado a la red co ua señal cuadrada de frecuecia 100 Hz y amplitud 1V, se pide: 1. Simular el comportamieto del circuito y dibujar la respuesta, idicado los valores más sigificativos de tesió y tiempo.. Obteer experimetalmete el valor de (utilícese el tiempo e alcazar 0.63U max ). 3. Represetar la respuesta teórica y práctica del circuito. Cometar las discrepacias. 4. Realizar el puto 1) y 3) co u valor de R = 470 k, dimiuyedo la frecuecia de la señal de etrada a 0 Hz. Cuadripolo de segudo orde: Cosiderado los valores de C = 10 F L = 100 mh y R = 330 y excitado a la red co ua señal cuadrada de frecuecia 500 Hz y amplitud 1V, se pide: 1. Simular el comportamieto del circuito y dibujar la respuesta, idicado los valores más sigificativos de tesió y tiempo (t r, t p, M p y t s ).. Represetar la respuesta teórica y práctica del circuito. Cometar las discrepacias. 3. Realizar lo aterior co u valor de R = 680. Observar que sucede si se cortocircuita la resistecia, i.e. R = 0. Rellear el siguiete cuadro-resume: Tabla 1 exp = medidas co el osciloscopio, Mat =valores co Matlab, teor =valores co las expresioes teóricas Circuito t s(exp) t s(mat) t s(teor) t P(exp) t P(Mat) t P(teor) M P(exp) M P(Mat) M P(teor) t r(exp) t r(mat) t r(teor) R 1 C R C R A LC R B LC 3.4 Geeració de señales co Simulik E este apartado se pretede geerar ua señal cuadrada desde Simulik e tiempo real. El objetivo es producir señales que estimule a los sistemas físicos. E esta práctica

10 3.10 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde se empleará para excitar a los cuadripolos eléctricos pasivos. El modelo de Simulik requiere de los siguietes elemetos: a) U geerador de señales rectagulares (Pulse Geerator). Utilice ua señal cuadrada de amplitud V y u periodo de 100 ms. b) U dispositivo de coversió de señales digitales (propias de los ordeadores) e señales aalógicas (Aalog Output). Active el caal 0 co el rago de 0-5 V. c) U módulo de tiempo real (Soft Real Time). El objetivo es etregar la señal de salida co sigificado físico del tiempo y o propio de la simulació. Arrastre el modulo desde utility.mdl (fichero e el directorio de Matlab). d) Ua adaptació de la señal del geerador aplicable a la tarjeta de coversió digital-aalógica (Rate Trasatio). El diagrama de bloques quedaría defiido tal cual aparece e la siguiete gráfica:

11 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde 3.11 Las codicioes de simulació deberá adaptarse al siguiete cuadro de parámetros:

12 3.1 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas de 1 er y º orde Mote el cuadripolo RC co los valores de C = 10 F y R = 470 k. Coecte la salida V1-CDA de la tarjeta de itercoexió co la etrada del cuadripolo. Visualice e el osciloscopio las señales de etrada y salida del circuito RC.