Análisis de Señales en Geofísica

Transcripción

1 Aálisis de Señales e Geofísica 5 Clase Trasformada Discreta Facultad de Ciecias Astroómicas y Geofísicas, Uiversidad acioal de La Plata, Argetia

2 Discretizació de la Respuesta e Frecuecia Hemos visto que la respuesta e frecuecia H ( ), de u sistema SLI co respuesta impulsiva h, es ua fució cotiua y periódica de la frecuecia digital : H ( ) 1 0 Tomemos M muestras de H( ) a itervalos regulares de la frecuecia etre 0 y : 1 i M ( ) ( M ) 0, 1 0 Como H( ) es ua fució periódica de período, H va a resultar ua fució discreta, periódica, de período M. Esta ecuació: h e i H H H h e M H 1 0 i M h e 0, M 1 represeta ua trasformació de úmeros h e M úmeros H. Trasformada Discreta

3 Discretizació de H(ω) Co la idea de obteer ua trasformació iversa simple, vamos a limitar la catidad de putos e frecuecia a la misma catidad de putos e tiempo: 1 0 i H h e 0, 1 Auque esta restricció o es estrictamete ecesaria, al hacerlo os queda ecuacioes co icógitas. Multipliquemos ambos miembros por e el orde de las sumatorias: i m, sumemos sobre, e itercambiemos i m i i m i m He he e h e Itroduzcamos la relació de ortogoalidad de la Trasformada Discreta. Trasformada Discreta 3

4 Relació de Ortogoalidad de la Trasformada Discreta Esta relació está dada por la siguiete expresió: 1 0 e i m m, Dode m, es el delta de Kroecer: m, 1 si m 0 si m La relació de ortogoalidad es simple de verificar si pesamos a la sumatoria como ua suma vectorial e el plao complejo de Trasformada Discreta vectores de módulo uitario regularmete orietados e todas las direccioes. Para los casos e que m, los vectores cocateados formará u polígoo cerrado, por lo tato la resultate será cero. Si m, formará ua líea recta sobre el eje real de logitud. 4

5 Trasformada Discreta Haciedo uso de la relació de ortogoalidad, obteemos ua expresió simple que os permite calcular los coeficiete h a partir de los valores H : 1 0 i m 1 1 i m H e h e h, m m El siguiete par de ecuacioes es coocido como la Trasformada Discreta : h 1 i H he i h He 0 0, 1 Idicaremos del siguiete modo que H es la Trasformada Discreta de h : 0, 1 Trasformada Discreta H h H TDF h 5

6 Trasformada Discreta Si bie presetamos a h como la respuesta impulsiva de u SLI y a H como ua versió discretizada de su respuesta e frecuecia, la Trasformada Discreta (TDF) puede aplicarse a cualquier secuecia. Puede pesarse como ua forma geeral de mapear Trasformada Discreta úmeros complejos e otros úmeros complejos, dode tiempo y frecuecia juega roles idéticos e itercambibles. o existe ua defiició estádar de la TDF sio que podrá ecotrar otras versioes co distitos sigos y co diferetes factores, como por ejemplo: H h h e H e i i La catidad de operacioes ecesarias para calcular la TDF es proporcioal a, si embargo existe algoritmos mucho más rápidos coocidos como FFT o trasformada rápida, capaces de realizar el cálculo e log operacioes, la codició es que la logitud de la secuecia sea ua potecia de dos, es decir que existe etero, tal que. 6

7 TDF e otació Matricial Trasformada Discreta i 1. Podemos escribir la TDF como 0 Sea W e H W h E otació matricial tedremos: H h W W W H1 h1 1 1 H 1 W W W h H W W W h 1 La TDF iversa os quedará: h H W W W h1 1 H h W W W H h W W W H 1 7

8 TDF e otació Matricial Es decir que podemos escribir la trasformada discreta utilizado otació matricial, del siguiete modo: H=Wh Premultiplicado por la matriz traspuesta cojugada de W, tambié llamada Hermitiaa o Hermítica, y teiedo e cueta que W es ua matriz ortogoal, obteemos: H H W H W Wh Ih Trasformada Discreta h 1 H W H 8

9 Propiedades de la TDF La trasformada discreta o es más que la trasformada Z evaluada e putos regularmete dispuestos sobre el círculo uidad. E cosecuecia la mayoría de las propiedades de la TDF os resultará familiares debido a uestro coocimieto previo de la trasformada Z. Aalizaremos e detalle las siguietes propiedades de la TDF: Periodicidad e tiempo. Simetrías Teorema del Corrimieto Lieal de la Fase Teorema de Covolució Trasformada Discreta 9

10 Periodicidad e Tiempo Ua de las cosecuecias más importates de haber discretizado la respuesta e frecuecia H( ) para obteer la trasformada discreta H, es la de haber geerado periodicidad e el domiio del tiempo: i i i i h H e H e e H e h h h Ambas secuecias, tato h como H, so periódicas de período. o os estamos refiriedo a la secuecia origial, la cual sólo está defiida para valores de etre 0 y 1, sio a la secuecia que os devuelve la trasformada discreta iversa cuado la evaluamos e otros valores de. Trasformada Discreta 10

11 Forma Cetrada de la TDF Como cosecuecia de la peridodicidad de la trasformada discreta podemos comezar la sumatoria e cualquier puto del ciclo, siempre que la extedamos por u ciclo. Es comú escribir la TDF del siguiete modo: H 1 1 h e i, 1 1 i h H e, 1 Llamaremos a estas últimas ecuacioes forma cetrada de la TDF y a las ateriores forma estádar de la TDF. La forma cetrada es más apropiada para discutir las propiedades de simetría de la TDF, mietras que la forma estádar es más apropiada para implemetarla computacioalemete ya que sólo utiliza subídices positivos. Trasformada Discreta 11

12 TDF de ua Secuecia Cojugada Dada la TDF de ua secuecia h : Tomemos el complejo cojugado: 1 i H he, 1 1 Hagamos el cambio de variables : H h e i 1 i H h e TDF h Trasformada Discreta h H 1

13 TDF de ua Secuecia Real Si h es ua secuecia real, etoces h h, e cosecuecia su trasformada de Fourier deberá cumplir: Trasformada Discreta H H Cuado ua fució cumple co esta igualdad, se dice que es ua fució Hermitiaa. Cuado ua fució es Hermitiaa su parte real es par y su parte imagiaria es impar: Re Im H ReH H ImH O dicho de otra maera, su módulo es par y su argumeto es impar: arg H H H arg La trasformada de ua fució real es ua fució Hermitiaa, es decir, su espectro de amplitud es par y su espectro de fase es impar. H 13

14 Descomposició Par e Impar Toda secuecia h otra impar: Dode: h par se puede descompoer como la suma de dos secuecias, ua par y h h h h h pa h y par impar Tomado Trasformada a estas ecuacioes, es fácil de ver las siguietes propiedades: h r impar impar h par impar h h H Re Im h H H h h La trasformada de ua fució par es real y la de ua fució impar es imagiaria pura. Trasformada Discreta 14

15 Teorema de Parseval Se defie la eergía de ua secuecia como la suma de los cuadrados de sus amplitudes, es decir: Eergía de h h El teorema de Parseval dice que la eergía de ua secuecia de logitud e el domiio de la trasformada discreta es veces la eergía de la secuecia e el domiio del tiempo: 1 1 h H 0 0 Trasformada Discreta 15

16 Teorema del Corrimieto Lieal de la Fase Veamos como se relacioa la TDF de ua secuecia retardada e la TDF de la secuecia origial: TDF h 0 h 0 e i Haciedo el cambio de variables m, obteemos: i 0 i 0 i i0 0 muestras, co TDF h h e e h e e TDF h 0 0 Observe que co los debidos recaudos para que 0 i m i i m i m m m m TDF h e H e H e H e i 0 siga siedo Hermitiaa, esta expresió es válida aú cuado queremos retardar ua señal real e ua fracció del itervalo de muestro. H e Trasformada Discreta 16

17 Teorema de Covolució Cosideremos dos secuecias f y g, co trasformadas : G Multipliquemos las trasformadas: F f e ge i i i i m i m G m m m m F f e g e f g e Tomado las trasformada iversa al producto de las trasformadas, obteemos: 1 1 i l i l i m i ml F Ge e fgme f gm e m m 1 Trasformada Discreta 17

18 Teorema de Covolució Utilizado la relació de ortogoalidad de la trasformada discreta, obteemos: 1 i l 1 i ml 1 F Ge f gme f gm m, l fg l m m Es decir: Trasformada Discreta 1 i l F G e f g f g F G Expresado e forma polar: F G i i G F G F i F e G e F G e Es decir que covolucioar e el domiio del tiempo es equivalete a multiplicar e el domiio de las frecuecias. Multiplicar e frecuecias es equivalete a multiplicar espectros de amplitud y sumar espectros de fase. 18

19 Teorema de Covolució De maera aáloga se puede demostrar que multiplicar e tiempo es equivalete a covolucioar e el domiio de las frecuecias: 1 TDF f g F G j j j f g F G Observe que existe u factor 1 cuado covolucioamos e el domiio de las frecuecias, que o aparece cuado covolucioamos e el domiio del tiempo. Tiempos y frecuecias tiee roles idistiguibles e itercambiables e la trasformada, si determiada acció e u domiio tiee cierta cosecuecia e el otro domiio, esa misma acció e el segudo domiio tedrá igual cosecuecia e el primer domiio. Trasformada Discreta 19

20 Covolució Circular Las TDF F y G o so e rigor las trasformadas de las secuecias f y g de logitud, sio que so las las trasformadas de dos secuecias ifiitas, extedidas a periódicas, de período, que e el primer ciclo coicide co las secuecias origiales. Trasformada Discreta Por lo tato el producto de las trasformadas correspode a la covolució de dos secuecias F G e el domiio de las frecuecias periódicas e ifiitas e el domiio del tiempo. Es por ello que a esta covolució se la llama covolució circular a diferecia de la covolució que hemos cosiderado hasta ahora que se deomia covolució lieal. Veamos u ejemplo, dada dos secuecias a y b de logitud 4 : a b (1,3,0,) (1,0,,) El resultado de la covolució circular será la siguiete secuecia de período 4: a b (7, 7, 6,10) Mietras que el resultado de la covolució lieal será la siguiete secuecia de logitud 7: a b (1,3,,10,6,4,4) 0

21 Diagrama de Covolució Circular b b b b b b b b 0( 4) 1( 3) ( ) 3( 1) a a b a b a b a b a a b a b a b a b 1 1 3( 1) a a b a b a b a b ( ) 3( 1) 0 1 a a b a b a b a b 3 3 1( 3) 3 ( ) 3 3( 1) c a b a b a b a b a b c a b a b a b a b ( 1) ( ) 3 1( 3) c a b a b a b a b ( 1) 3 ( ) c a b a b a b a b ( 1) c a b a b a b a b Trasformada Discreta 1

22 Correlació Cruzada Defiimos la correlació cruzada ( ) etre dos secuecias a y b, como la ab covolució etre ambas secuecias cuado la primera es revertida, adelatada e su logitud y cojugada: ( ) a b a b A B ab Dode: a ( a 1, a, a 3,, a, a1, a0) La correlació cruzada o es comutativa. Comutar las secuecias de etrada es equivalete a revertir y cojugar el resultado: ab ( ) ( ) Claro que si las secuecias so reales, la cosecuecia de comutar las etradas sera úicamete la de revertir la secuecia resultate. ba Trasformada Discreta

23 Correlació Cruzada Demostració: Sea c a, etoces la covolució de c co b es: ( ) c b c b a b a b ab m m ( m) m m m m m m Haciedo el siguiete cambio de variables m, os queda: ( ) ab ab Trasformada Discreta 3

24 Correlació Cruzada Veamos a qué es igual la traformada de c a: i i i C ce ae ae Si hacemos el cambio de variables m, obteemos: i m i m m C a e A A e Es decir que correlacioar e el domiio del tiempo, es equivalete a multiplicar los espectros de amplitud y restar los espectros de fase: i B A ( ) a b A B A B e ab A Trasformada Discreta 4

25 Diagrama de Correlació b b b b b a a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b ( ) ab ab Trasformada Discreta ( ) ab ab ab ab ab 0 ( 1) a b a b ( 0) a b a b a b ( 1) ab ab ab ab a b a b ( ) a b a b a b ( 3) a b a b ( 4) ab 5

26 Autocorrelació La autocorrelació es la correlació cruzada de ua secuecia cosigo misma: ia A ( ) a a A A A A e A aa La trasformada de la autocorrelació es el espectro de potecia. El espectro de potecia es real, por lo tato la secuecia autocorrelació e tiempo es ua fució par o simétrica. Al efectuar la operació autocorrelació podemos ver que se pierde la iformació de fase. Es decir que todas las secuecias que tega el mismo espectro de amplitud, si importar que espectro de fase posea, tedrá la misma autocorrelació y el mismo espectro de potecia. Trasformada Discreta 6

27 La Correlació e el Domiio de la Trasformada Z La correlació cruzada es simple de escribir e el domiio de la trasformada Z: ab ( ) a b A (1 z) B( z) E A (1 z) estamos cojugado los coeficietes del polio mio pero o estamos cojugado la variable compleja z, e vez de ello estamos reemplazado z por 1 z, lo cual sobre el círculo uidad es equivalete a cojugarla. La autocorrelació e el domiio de la trasformada Z es igual al espectro de potecia e el mismo domiio, y está dado por: aa A z A z ( ) (1 ) ( ) Trasformada Discreta 7

28 Bibliografía: Karl, Joh H. (1989), A itroductio to Digital Sigal Processig, Academic Press, Chapter Five. Trasformada Discreta 8