LECTURA 5 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT

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1 UIVERSIDAD TÉCICA FEDERICO SATA MARÍA DEPARTAMETO DE ELECTRÓICA LECTURA 5 TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT CURSO LABORATORIO DE PROCESAMIETO SIGLA ELO 385 DIGITAL DE SEÑALES PROFESOR PABLO LEZAA ILLESCA AYUDATE JORGE MURATT RODRÍGUEZ Valparaíso, de de Mayo de 5

2 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT Itroducció El aálisis frecuecial de señales e tiempo discreto se realiza, ormalmete, de forma más coveiete e procesadores de señales digitales que puede ser computadores de propósito geeral PC s o hardware especialmete diseñado. Para realizar el aálisis frecuecial de ua señal discreta es ecesario covertir la secuecia {} e el domiio del tiempo e ua secuecia equivalete e el domiio de la frecuecia. La Trasformada Discreta de Fourier DFT juega u papel importate e umerosas aplicacioes de procesamieto de señales digitales. Etre otras destaca: filtrado lieal, aálisis de correlació y aálisis espectral. Ua de las razoes de la importacia de la DFT es la eistecia de algoritmos sumamete eficietes para su cálculo. Uo de los más utilizados es el deomiado Radi, el cual se basa e el hecho de aalizar ua secuecia que posee u úmero tamaño que es ua potecia de. Eiste u algoritmo deomiado Radi 4, cuyo ombre deriva de la misma razó del Radi. Estos tipos de algoritmos permite calcular e forma rápida y sumamete eficiete la DFT. Se deomia FFT por la sigla e iglés de Fast Fourier Trasform. Como veremos más adelate, la DFT requiere de grades catidades de operacioes matemáticas para lograr el mismo resultado que los algoritmos FFT. E particular, el cálculo de la FFT co el algoritmo Radi usado 4 putos puede mejorar la rapidez hasta e alrededor de veces la velocidad de calculo directo la DFT. E las siguietes seccioes se muestra el algoritmo FFT radi que utiliza el criterio de Decimació e Frecuecia, el cual se basa e la descomposició sucesiva de la etrada e subsecuecias cada vez más pequeñas. RHC/PLI/JMR

3 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT TRASFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT Básicamete, el problema de cálculo de la DFT es obteer la secuecia {X} de logitud segú la fórmula dada e : dode a, a,,3, jπ X π π El factor e cos j si, deomiado Twiddle Costat. ote que: π π cos j si Co lo aterior, el cálculo de u puto de la trasformada discreta de fourier está dada por: X...,,,, 3 Desarrollado 3 para los valores posibles de se obtiee ua matriz de tamaño. De 3 se puede calcular el úmero de operacioes ecesarias para realizar la trasformació de los datos mediate este algoritmo. El úmero de sumas complejas que se debe realizar es de y la catidad de multiplicacioes complejas asciede a. Es claro que ésta catidad de operacioes es alta y requiere de u eorme poder de cálculo. El cálculo directo de la DFT o es eficiete debido, fudametalmete, a que o eplota las propiedades de simetría y periodicidad del factor de fase. De la observació de 3 es claro que o es ecesario realizar las multiplicacioes ya que los valores de los factores o so ecesarios de multiplicar. Además eiste propiedades de periodicidad y simetría e estos factores de forma tal que: 4 5 La simetría y periodicidad de los factores queda de maifiesto e la figura siguiete. El ejemplo es para 8. ote además que la DFT es obteida al multiplicar los datos de etrada por ua catidad fiita de seoidales de frecuecia π, por lo que DFT s de putos etrega compoetes espectrales equiespaciadas cada π, dode π represeta la frecuecia de muestreo f s. RHC/PLI/JMR 3

4 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT Figura : Periodicidad y simetría de los factores. A partir del algoritmo DFT y las cosideracioes ateriores es posible llegar a u método de cálculo mucho más eficiete, que etrega los mismos resultados y co u úmero meor de operacioes. Es el llamado algoritmo de Trasformada Rápida de Fourier FFT, Fast Fourier Trasform.. DESARROLLO DEL ALGORITMO FFT RADIX. DECIMACIÓ E FRECUECIA. Sea la secuecia de datos {}, co : [ : ]. Separado {} e dos secuecias para s pares e impares es posible aplicar la DFT a la secuecia de datos {}, quedado de la siguiete forma: X 6 Si se reemplaza u/ e la seguda sumatoria de 6 queda: u X u 7 u dode sale de la sumatoria por o estar e fució de. Además reemplazado e 7 u: Usado: X 8 π π cos j si cos π 9 RHC/PLI/JMR 4

5 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT RHC/PLI/JMR 5 Por lo que 8 queda de la forma: X La ecuació puede ser separada e sumatorias para valores de pares e impares: X, para par X, para impar Si se reemplaza e y e puede ser reescritas como: X, para par 3 X, para impar 4 Para facilitar la escritura y aprovechado que los factores so fucioes de período, los factores puede ser reescritos de la forma siguiete:. Luego puede ser represetado como /. Sea: / a 5 / b 6 Las ecuacioes 5 y 6 puede ser escritas más claramete como DFT de / putos, a X 7 b X 8 ote que tato 7 como 8 posee la misma forma que, pero co sumatorias de / putos cada ua. La figura muestra la descomposició de ua DFT de putos e dos DFT de / putos para el caso de 8. Aplicado 7 y 8 es posible llegar a obteer los X s de la primera etapa de la FFT.

6 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT a X a a / DFT X X4 3 a3 X b b b b3 3 / DFT X X3 X5 X7 Figura : Descomposició de ua DFT de putos e DFTs de / putos, para 8. Como resultado del proceso de descomposició, los Xs queda ordeados e grupos de pares e impares. El proceso de descomposició puede ser repetido uevamete pero esta vez para /4, que para el caso de 8 putos, es la etapa fial. El úmero de etapas, o DFTs, se deberá repetir hasta llegar a la DFT de putos. E geeral ua FFT de putos tedrá a etapas, co a Etapa Etapa Etapa 3 /4 DFT X X4 3 /4 DFT X X6 4 5 /4 DFT X X5 6 X3 3 /4 DFT 7 X7 Figura 3: Descomposició de ua DFT de / putos e 4 DFTs de /4 putos, para 8. E la figura 3 es posible ver que la salida del algoritmo está desordeada. Esto se debe a que e las etapas que compoe el algoritmo cada vez se realiza u agrupamieto de los datos almaceados e posicioes pares de memoria y los almaceados e posicioes impares. Por esta razó la salida ecesita ser reordeada. El proceso que deja correctamete ordeados los datos de salida se deomia bit-reverse y será eplicado más adelate. RHC/PLI/JMR 6

7 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT La última descomposició, ya que se ha llegado a aplicar la DFT de putos, es la más baja descomposició del algoritmo Radi. Ua DFT de putos las salidas X puede ser escritas como se observa e 9 y X 9 X Las ecuacioes 6 y 7 puede ser represetadas e u diagrama de flujo coocido como Mariposa. Este es el diagrama de flujo de la etapa fial de todo algoritmo FFT que utiliza la decimació e frecuecia. X X - Figura 4: Diagrama de flujo de ua FFT de putos - Mariposa La decimació e Frecuecia adquiere su ombre del hecho de que la secuecia de salida X es descompuesta decimada e subsecuecias más pequeñas, cotiuado por a etapas o iteracioes. La salida X posee compoetes tato reales como imagiarios, y el algoritmo FFT se puede acomodar a etradas tato reales como complejas. La FFT o es ua aproimació de la DFT, sio que es u algoritmo más eficiete que se vuelve más y más importate a medida que aumeta. El diagrama fial del algoritmo Radi, co decimació e frecuecia es mostrado e la figura 5. Etapa Etapa Etapa Figura 5: Diagrama de flujo de cálculo de ua FFT de 8 putos usado decimació e frecuecia Ua alterativa al diagrama de flujo mostrado e la figura 5 puede ser obteida co etradas desordeadas aplicado bit reverse a la secuecia de etrada y salidas ya ordeadas. X X4 X X6 X X5 X3 X7 RHC/PLI/JMR 7

8 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT.. U ejemplo completo para el caso de 8 Sea la secuecia de etrada 3 y Se ecotrará su secuecia X,,,...,7. Para 8, los coeficietes puede ser calculados sólo ua vez y luego almaceados para ocuparlos luego durate la aplicació del algoritmo. o resulta eficiete geeralizar la fució que los calcula e icluirla detro de las iteracioes de cálculo. Los valores so: 3 e e e j π /8 j π / 4 j π 3/8 cos cos cos π / 4 j si π / 4.77 j.77 π / j si π / j 3π / 4 j si 3π / 4.77 j. 77 Las salidas itermedias de la secuecia de salida puede ser obteidas para cada etapa: Etapa : [ 4 ] [ 5 ] j [ 6 ] j 3 [ 3 7 ] j Aquí,,..., 7 represeta las salidas itermedias luego de la primera iteració. Ahora éstas so utilizadas como etradas para la siguiete etapa. Etapa : 3 [ ] [ 3] 4 6 j j [ 4 6] j [ 5 7].44 j RHC/PLI/JMR 8

9 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT La secuecia,,..., 7 represeta las salidas itermedias luego de la seguda iteració. uevamete so utilizadas como etradas para la etapa fial: X X 4 X X 6 X X 5 X 3 X 7 [ ] [ 3] 4 [ 4 5] [ 6 7] 4.44 j.44 j.44 j.4 j Ahora la otació X represeta la salida fial del algoritmo. Los valores X, X,..., X7 forma la secuecia de salida ordeada. U ejemplo completo para el caso de ua FFT de 6 putos utilizado el algoritmo Radi se preseta a cotiuació e la figura 6. La secuecia de etrada correspode a u escaló temporal. Figura 6: FFT de 6 putos utilizado decimació e frecuecia. 3 ALGORITMO BIT REVERSAL PARA ORDEAMIETO DE DATOS Este algoritmo permite que ua secuecia de etrada o salida del cálculo de la FFT sea reordeada para obteer u resultado deseado. Como se vio e el caso de DIF, la salida es la que se desea reordear. Para ilustrar este algoritmo se verá el caso de 8, represetado por tres bits. El bit 3 y el debe ser itercambiados de sus posicioes. Ejemplo, b queda b. Esto hace que el dato que estaba e la posició de memoria 4 b pase a la posició b. Similarmete, b es itercambiado por b. RHC/PLI/JMR 9

10 Laboratorio de Procesamieto Digital de Señales TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT Lo aterior se resume gráficamete e la siguiete figura: RESULTADO DEL BIT REVERSE PARA EL CASO DE 3 BIT FFT DE 8 PUTOS Otra forma de realizar el Bit Reverse es crear ua tabla co las ubicacioes fiales de los coeficietes y ordearlos mediate el uso de puteros. El siguiete código crea dicha tabla para trasformadas de putos: p; for q;q<;q bit_rev[q]q; whilep< { for q;q<p;q { bit_rev[q]bit_rev[q]*; bit_rev[qp]bit_rev[q]; } pp*; } Este cálculo es idepediete de los valores de los putos por lo que puede realizarse fuera de líea utilizádose solamete su resultado. Ua vez obteido el resultado de la FFT e la variable ff_temp, es ecesario aplicarle el algoritmo Bit Reverse para reordearlo, lo que se obtiee fácilmete co: for i;i<;i fft_out[bit_rev[i]]fft_temp[i]; //fft_out FFT ordeada. RHC/PLI/JMR