Generalización del Algoritmo Cuántico de Teleportación

Transcripción

1 Geeralizació del Algoritmo Cuático de Teleportació Alejadro Díaz Caro Departameto de Ciecias de la Computació Facultad de Ciecias Exactas, Igeiería y Agrimesura Uiversidad Nacioal de Rosario, Argetia Resume E 993 C. Beet, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres y W. Wootters[] sugiriero u algoritmo cuático capaz de teleportar el estado descoocido de u qubit haciedo uso de u estado de Bell. Utilizado dicho algoritmo, la teleportació de los estados de o más qubits debe hacerse de a uo por vez. El problema surge cuado se quiere teleportar u estado cuático de N-qubits que esté etagled, pues separarlos para viabilizar la teleportació implicaría perder dicha propiedad. El objetivo del presete trabajo es realizar ua geeralizació del algoritmo de teleportació que sea capaz de teleportar los estados de N-qubits e forma simultáea. Para ello se propoe u estado etagled aálogo a u estado de Bell de N-qubits. Nota: Se ha suprimido las demostracioes a todo lo propuesto e este trabajo por cuestioes de espacio. Esas demostracioes puodrá ser vistas e la publicació de las próximas JAIIO.. Itroducció.. El qubit E el modelo cuático de computació la uidad de iformació básica es el qubit o bit cuático. U qubit puede estar e dos estados distitos que se deota 0 y respectivamete o e estados itermedios, es decir, e estados que so combiació lieal de los estados 0 y. Etoces u qubit es u vector de u espacio vectorial geerado por los dos estados, es decir, es u vector de V = L{ 0, }. Segú la Mecáica Cuática[] V es u espacio de Hilbert complejo e el que B = { 0, } es ua base ortoormal y los estados so vectores uitarios[3]. Etoces u qubit puede estar e cualquier estado ψ = a 0 +b tal que a, b C y a + b =. Los coeficietes a y b se deomia amplitudes... Algoritmos cuáticos E el modelo cuático de computació u algoritmo es u mecaismo para maipular -qbits. Uo de los posibles mecaismos para hacerlo es medir qubits. Al medir u qubit ψ = a 0 + b, éste toma el valor 0 co probabilidad a y el valor co probabilidad b. El otro mecaismo cosiste e trasformar u estado iicial ψ e su correspodiete estado fial ψ. Si llamamos U a la fució de V V tal que Uψ = ψ etoces el segudo mecaismo cosiste e aplicar la fució U. La aplicació U trasforma estados e estados, es decir, coserva la orma y, segú los postulados de la Mecáica Cuática, es lieal. Por tato, U sólo puede ser ua trasformació uitaria. jaus@rtfm.org.ar

2 E geeral se escribe ua trasformació como ua secuecia de trasformacioes uitarias elemetales que se deomia compuertas cuáticas. Las compuertas cuáticas más importates, por su utilidad e el diseño de algoritmos, so las siguietes: La trasformació H de Hadamard: La idetidad I: H 0 = 0 + H = 0 dode: H = I 0 = 0 0 I = dode: I = 0 La egació X: El cambio de fase Z: X 0 = 0 X = 0 dode: X = 0 X 0 = 0 0 X = dode: Z = 0 La Cotrolled-Not CNOT : CNOT 0x = 0x CNOT x = X x dode: CNOT = I 0 0 X.3. Teleportació de qubit El estado de Bell[4] β 00 = 00 + es u estado de qubits etagled 3 y se costruye a partir del siguiete algoritmo 00 H CNOT, 00 + La teleportació surge de aplicarle ciertas compuertas cuáticas al qubit a teleportar ψ y al primero de β 00, para coseguir que para cada uo de los posibles resultados de la medició de los dos primeros qubits, el tercero quede e u estado que es ua combiació de compuertas X y Z del estado ψ origial. Veamos u poco este algoritmo ψ β 00 = α 0 + β 00 + = α β 00 + CNOT, α β Eredados e forma coherete

3 H α β = 00 α 0 + β + 0 α + β α 0 β + α β 0 Haciedo u pequeño abuso de otació, esta última expresió se puede escribir 00 ψ + 0 Xψ + 0 Zψ + XZψ y de esta maera se puede apreciar que si el resultado de ua medició sobre los dos primeros qubits es 00 el tercer qubit es ψ. Co u resultado de 0 el tercero resulta Xψ, co 0, Zψ; y por último, co ua medició el tercero queda defiido e XZψ. Por lo tato, realizado ua medició sobre los dos primeros qubits, el tercero queda e u estado que se puede volver a trasformar e el estado ψ origial por medio de compuertas X y Z.. Defiicioes y resultados previos.. Notació k Para geeralizar la teleportació a sistemas de -qubits es ecesario costruir ua otació que permita maipular cualquier úmero de qubits e forma práctica. Etoces defiimos: k k N es la represetació biaria co bits del úmero k... El estado β 00 Primero se ecesitará u estado etagled aálogo al estado de Bell, sólo que co más de qubits, ya que so los que se llevará Bob y el resto so los que trabajará Alice 4 juto co el estado ψ a teleportar. Prestado ateció a la teleportació de u qubit, se ve que el estado de Bell β 00 tiee todos los posibles valores de u qubit defiido, repetido dos veces; esto es: 00,, ya que los valores posibles defiidos e u qubit so 0 y. Esto es útil para lograr que cualquier combiació lieal de la base del espacio de Hilbert C sea teleportada puesto que sólo el último qubit es el que está e el lugar a dode se teleportará ψ. Por lo tato, aquí se hará lo mismo: se crea u estado que sea todos los valores posibles defiidos de qubits repetidos veces, o sea: j j j =..., obteiedo así el estado: β00 = ĭ ĭ y se geera a partir del siguiete algoritmo: 0 0 H,..., ĭ 0 CNOTk,+k k=,..., Lema β 00 es u estado e etaglemet del espacio de Hilbert C ĭ ĭ = β00 4 E la Teoría Cuática Alice represeta al que evía u mesaje y Bob al que lo recibe. 3

4 .3. Delta de Iverso.3.. Notació de Iverso[5] Sea p ua propiedad, etoces: [p] = { si p 0 si p.3.. Delta de Iverso Defiimos co el ombre de Delta de Iverso a: Lema δ i,k = [k tiee catidad impar de bits e e los lugares de los bits e de i] = [k AND i tiee catidad impar de bits e ] 3. Algoritmo de teleportació Sea el estado a teleportar: etoces ψ β 00 = δ i+,k+ = δ i,k δ i+,k = δ i,k δ i,k+ = δ i,k 3 α i ĭ Teorema Sea el siguiete algoritmo: CNOTk, + k, k =,..., H,..., δ i,k = δ i,k 4 ψ = Medició sobre los primeros qubits α i ĭ j j = ĭ j j α i Luego de esto, Bob obtiee sus -qubits e ua combiació de Xs y Zs del estado ψ. DE M O S T R A C I Ó N ψ β00 = α i ĭ j j 4

5 [ = α i CNOTk,+k k=,..., α i ĭ H,..., j XOR i j δ i,k k ] j XOR i j k j XOR i δ i,k α i j Teorema = a =0 a =0 k j XOR i δ i,k α i j a...a a+ k=a X k a k=a Z k ψ Referecias [] Beet, Brassard, Crepeau, Jozsa, Peres y Wootters, Teleportig a ukow quatum state via dual classical ad Eistei-Podolsky-Rose chaels, Phys. Rev. 70, [] Vo Neuma, Mathematical fudatios of Quatum Mechaics, Priceto Uiversity Press, [3] Preskill, Lecture Notes for Physics 9: Quatum Iformatio ad Computatio, Califoria Istitute of Techology, [4] Nielse, Chuag, Quatum Computatio ad Quatum Iformatio, Cambridge Uiversity Press, [5] Graham, Kuth, Patashik, Cocrete Mathematics, Addiso-Wesley,