Ingeniería de Control I Representación en frecuencia 2

Transcripción

1 Igeiería de Cotrol I Tema 0 Represetació e frecuecia Tema 0. Represetació e frecuecia. Itroducció Bode Nyquist Nichols Represetació e frecuecia

2 Bibliografía Señales y Sistemas. OCW-UC3M. Igeiería de Cotrol Modera. K. Ogata. Automática. OCW-UPV. Sistemas realimetados de cotrol. J.J. D azzo. Cotemporary Commuicatios Systems with MATLAB. J. Proakis. Represetació e frecuecia 3 Objetivos Coocer distitas formas de represetació de la iformació frecuecial Aalizar el comportamieto de los sistemas a través de su represetació de respuesta frecuecial. Represetació e frecuecia 4

3 Itroducció Supogamos u sistema LTI Supogamos ua etrada siusoidal: Calculado la salida e el t: ( ( ( ( La expoecial (siusoidales es ua autofució e sistemas LTI Represetació e frecuecia 5 ( ( Si ( ( cuado (cos +, etoces ( ( ( arg arg +arg ( Por tato: ( ( ( cos +arg + +arg ( Por tato coseo y seo sufre modificació e amplitud y fase. Represetació e frecuecia 6 3

4 X(s SISTEMA LINEAL INVARIANTE G(s Si Y(s ( ( + + ( + + Etoces? +?????? Represetació e frecuecia 7 Si,? ( OJO: Si etrada es Coicide ( ( ( ( Pero si etrada es ( o cualquier otra YA NO: ( ( ( ( Represetació e frecuecia 8 4

5 . Itroducció. X(s SISTEMA LINEAL INVARIANTE G(s Y(s x( t Xse t y( t Yse ( t + φ Y ( s G ( s X ( s Y ( j G ( j X ( j G ( j Y ( j X ( j G ( j G( j e Y ( j G ( j X ( j jφ Represetació e frecuecia 9 Ate etrada siusoidal, FT (módulo y fase e sj ( ( Represetació e frecuecia 0 5

6 Observar efecto e M (módulo y α (fase para cualquiera (desde 0 hasta de: Polo real Polo complejo e 3er cuadrate Polo complejo e º cuadrate (pico e Ceros: Al cotrario 3 er Q er Q Represetació e frecuecia Ej. Represetació e frecuecia 6

7 Ej. ( ( E sj y derivado respecto de Máximo de módulo: E pulsació de resoacia Se puede demostrar que hay pico si < Represetació e frecuecia 3 Represetació e frecuecia 4 7

8 . Diagramas logarítmicos. Diagramas de Bode. El diagrama de Bode se represeta mediate dos gráficas: Gráfica del logaritmo de la magitud e fució de. Gráfica del águlo de fase e grados e fució de. La represetació de ua magitud logarítmica expresada e decibelios es: G( j 0 log G( j db Vetajas de utilizar el diagrama de Bode: La multiplicació de magitudes se covierte e suma. Represetació mediate aproximacioes asitóticas. Mediate el uso de escala logarítmica permite ampliar el rago de bajas frecuecias. Represetació e frecuecia 5. Diagramas logarítmicos. Diagramas de Bode. De forma geérica: G A ( j A ( j G ( j H ( j B ( j B ( j ( j H ( j 0 log A ( j + 0 log A ( j 0 log B ( j 0 log B ( j G( j H ( j A ( j + A ( j B( j B ( j Uidades logarítmicas para expresar las badas de frecuecia (pulsació: (octavas, (décadas Octava: Década: f f Represetació e frecuecia 6 8

9 . Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j La gaacia K. Módulo 0 log(k Cte 0 log(0κ 0log(Κ + 0 0log(0 Κ 0log(Κ + 0 0log(Κ 0 log( K Fase ϕ 0º ó ϕ 80 º (Tomado de Tec. Eca. RESPUESTA Represetació EN FRECUENCIA e frecuecia 7. Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Factores itegrales y derivativos (j ±. Módulo Fase 0 log 0 log. db j 0 log j 0 log.db 0 log 0 log j 0 log. db ( j 0 log ( j 0 log. db ϕ ±90º Represetació e frecuecia 8 9

10 . Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Factores itegrales y derivativos (j ±. Represetació e frecuecia 9. Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Factores de primer orde (+jt ±. Módulo de (+jt - : 0 log + jt 0 log + T << / T 0 log + T 0 log 0dB c / T 0 log + T 0 log 3dB db >> / T 0 log + T 0 log T. db recta _ pediete : 0dB / decada Fase de (+jt - : < 0. c ϕ tag ϕ tag T c / T ϕ tag > 0 ϕ 90º c (0 0º ( 45º Represetació e frecuecia 0 0

11 . Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Factores de primer orde (+jt - : Represetació e frecuecia. Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Módulo de (+jt + : 0 log + jt 0 log + T << / T 0 log + T 0 log 0dB C / T 0 log + T 0 log 3dB db >> / T 0 log + T 0 log T. db recta _ pediete : + 0dB / decada Fase de (+jt + : < C /0 ϕ tag (0 0º ϕ tag T C / T ϕ tag ( 45º > 0C ϕ 90º Represetació e frecuecia

12 Represetació e frecuecia 3. Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Factores cuadráticos [+ξ( j/ + ( j/ ] ±. Módulo : Fase >> << db década db pte recta db j j C log( 0 6 log( 0 / 40 :. _ log 40 0 log( 0 log 0 log 0 ξ ξ ξ ξ 90º 80 º 0 ( 0 ( 0º (0 /0 ta > < ϕ ξ ϕ ϕ ξ ϕ tag tag tag Represetació e frecuecia 4. Diagramas de Bode. Factores básicos de G(j H(j Factores cuadráticos [+ξ( j/ + ( j/ ] ±.

13 Ej: Obteer diagramas de Bode de: GH(s ( ( ( ( ( ( ( Represetació e frecuecia 5. Diagramas de Bode co Matlab [mag,fase,w]bode(um,de,w mag Matriz co los valores para represetar la magitud. fase Matriz co los valores para represetar la fase. w Matriz co los valores de la frecuecia. (Opcioal. um Numerador de la fució de trasferecia. de Deomiador de la fució de trasferecia. wlogspace(a,b, Geera logarítmicamete ua matriz de putos espaciados de forma equitativa etre 0 a y 0 b. Represetació e frecuecia 6 3

14 . Diagramas de Bode co Matlab. Ejemplo Represetar los diagramas logarítmicos de magitud y de fase (diagramas de Bode de u sistema que tiee la siguiete fució de trasferecia e lazo abierto: G( j H ( j 4( j j( + j( j 8 %--- Ejemplo : RESPUESTA EN FRECUENCIA --- G4*[0.5 ]; dgcov(cov([ 0],[ ],[ ]; bode(g,dg title('diagrama de Bode' ylabel('fase(grados Amplitud(dB' xlabel('frecuecia (rad/seg' Represetació e frecuecia 7 Marge de gaacia y de fase. Represetació e frecuecia 8 4

15 Estabilidad relativa sobre Bode MG: factor co el que modificar la gaacia para producir iestabilidad e (puls. de MG MF: γ80 (puls. de Marge de Fase Sistema estable Sistema iestable Represetació e frecuecia 9 3. Diagramas polares. Nyquist. El diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores G ( j G( j e jϕ cuado varía de cero a ifiito. Represetació e frecuecia 30 5

16 3. Diagramas polares. Nyquist. Represetació e frecuecia 3 3. Diagramas polares. Nyquist.. Eje imagiario egativo recorrido desde 0 a 0 cuado 0:. Eje imagiario positivo. Represetació e frecuecia 3 6

17 7 Represetació e frecuecia Diagramas polares. Nyquist. wt T w jwt j G ta ( + + Factores de primer orde (+jt ± ( 0 0 ( j G j G Represetació e frecuecia Diagramas polares. Nyquist. 0, ( > + + ζ ζ para w w j w w j j G 80 0 ( 0 0 ( j G j G Factores cuadráticos [+ξ( j/ + ( j/ ] -.

18 Factores cuadráticos [+ξ( j/ + ( j/ ] +. Represetació e frecuecia Diagramas polares. Nyquist. Formas geerales de los diagramas polares: m m ( (... ( ( ( K + jta + jtb b0 j + b j G j λ ( j ( + jt ( + jt... a ( j + a ( j > m Comiezo: Para λ0 o sistema de tipo 0. Para λ o sistema de tipo. Para λ o sistema de tipo. Represetació e frecuecia 36 8

19 Fializació ( Represetació e frecuecia Diagramas polares. Nyquist. Diagramas polares de fucioes de trasferecia simples: Represetació e frecuecia 38 9

20 3. Diagramas polares. Nyquist. Diagramas polares de fucioes de trasferecia simples: Represetació e frecuecia Diagramas de Nyquist co Matlab yquist(um,de um Numerador de la fució de trasferecia. De Deomiador de la fució de trasferecia. Represetació e frecuecia 40 0

21 3. Diagramas de Nyquist co Matlab. Ejemplo Represeta el diagrama polar del sistema cuya fució de trasferecia es el siguiete: G( j ( + j( + j( + 3 j %--- Ejemplo : RESPUESTA EN FRECUENCIA --- G; dgcov(cov([ ],[ ],[3 ]; Nyquist(G,dG title('diagrama de Nyquist' ylabel('eje imagiario' xlabel('eje real' Represetació e frecuecia 4 3. Diagramas de Nyquist co Matlab. Ejemplo Resultado 0.8 Nyquist Diagram Imagiary Axis Real Axis Represetació e frecuecia 4

22 Estabilidad relativa sobre Nyquist Se observa el diagrama de Nyquist de ( y su distacia del puto (-,0. Represetació e frecuecia 43 MG: ( iestable MF: si desplazamos fase e iestable Sistema estable Sistema iestable Represetació e frecuecia 44

23 4. Diagramas de magitud logarítmica respecto de la fase. Diagramas de Nichols. Las dos gráficas de Bode se combia e ua úica gráfica. E el eje imagiario se represeta la amplitud y e el real la fase para cada valor de frecuecia. Aumetar o dismiuir la gaacia desplazamieto vertical hacia arriba o hacia abajo. Represetació e frecuecia 45 5.Respuesta e frecuecia e lazo cerrado de sistemas co realimetació uitaria Carta de Nichols. Lugares geométricos M (Magitud costate y N (fase costate Sobre la carta se represeta la FT e lazo abierto Represetació e frecuecia 46 3

24 5. Respuesta e frecuecia e lazo cerrado de sistemas co realimetació uitaria. Ejemplo G( j j( j + (0.5 j + Represetació e frecuecia Diagramas de Nichols co Matlab [mag,fase,w]ichols(um,de,w um Numerador de la fució de trasferecia e lazo abierto. De Deomiador de la fució de trasferecia e lazo abierto. W Matriz co los valores de frecuecia. (Opcioal mag Matriz para represetar la magitud e lazo cerrado. fase Matriz para represetar la fase e lazo cerrado. Los parámetros: [mag,fase,w], os calcula la magitud y la fase para ua represetació e lazo cerrado co realimetació uitaria. Ngrid( ew Represeta los círculos de magitud y fase costates: M y N. Represetació e frecuecia 48 4

25 5. Diagramas de Nichols co Matlab. Ejemplo Represeta el diagrama Nichols del sistema cuya fució de trasferecia e L. A. es el siguiete: G s ( 3 0.s +.s + s %--- Ejemplo 5: RESPUESTA EN FRECUENCIA --- G; dg[0.. 0]; wlogspace(-,,00; Ngrid( ew Nichols(G,dG,w title('diagrama de Nichols' ylabel('amplitud de G(jw' xlabel('fase de G(jW' Represetació e frecuecia Diagramas de Nichols co Matlab. Ejemplo Resultado 40 Nichols Chart 0 db db 0.5 db 0 db - db 0 3 db 6 db -3 db 0-6 db Ope-Loop Gai (db db -0 db db db Ope-Loop Phase (deg Represetació e frecuecia 50 5

26 Estabilidad relativa sobre Nichols MG: ( iestable MF: si desplazamos fase e iestable Represetació e frecuecia 5 Sistema estable Sistema iestable Represetació e frecuecia 5 6

27 Estabilidad relativa Estudia la lejaía de u sistema a la situació de iestabilidad Márgees de gaacia o fase represeta cuáto se puede aumetar la gaacia o fase del sistema e bucle abierto si que el sistema e bucle cerrado se haga iestable Represetació e frecuecia 53 Bode Estable Represetació e frecuecia 54 7

28 Nyquist Estable Represetació e frecuecia 55 Nichols Estable Represetació e frecuecia 56 8