Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comunicación

Transcripción

1 Sistemas de Cotrol y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comuicació. Cotroladores y calibració. Testado fucioal Cuado se desea diseñar u sistema de cotrol, debe coocerse las especificacioes determiadas para que realice el desempeño requerido (exactitud o precisió, estabilidad relativa, tiempo de respuesta, etc.), úicas para cada aplicació. s coveiete que estas especificacioes o sea demasiado rígidas debido a que el sistema a cotrolar puede variar o o presetar u comportamieto igual al estimado. l método de diseño de u sistema de cotrol depede del tipo de sistema y de cómo se presete las especificacioes. Para sistemas de ua sola etrada y ua sola salida, el método más básico es el de tateo y modificació, e el que se diseña u modelo que sea capaz de realizar la tarea pertiete, posteriormete se realiza medidas y se compara co las especificacioes, modificádolo e u setido u otro segú se desvíe de estas. otras ocasioes hay partes de u sistema que o cambia, sobre las que o se puede actuar, obligado a utilizar otra forma de modificar o compesar el sistema. Por ello se hace ecesaria la utilizació de elemetos que permita adaptar el sistema de cotrol diseñado a la fució requerida. U primer paso e compesació es la variació de la gaacia de lazo abierto, pero este método o siempre es válido ya que tiee limitacioes, por lo que se ecesita itroducir uevos elemetos que compese las derivacioes y las adapte a las especificacioes. stos elemetos so las llamadas redes de compesació... Redes de Compesació La compesació de sistemas de cotrol se realiza mayoritariamete mediate ua cofiguració fija e la que el cotrolador se colocará e u determiado puto del sistema, habládose de compesació serie, realimetada, o mediate la realimetació de variables de estado, presetado cada ua de ellas vetajas e icoveietes.

2 Figura : compesació serie (arriba) y paralelo. Como ya se ha idicado, la forma más simple de modificar el comportamieto de u sistema es modificado su gaacia, si embargo, esto puede empeorar el comportamieto co respecto a la estabilidad, exactitud, etc., haciédose ecesaria la utilizació de bloques o redes de compesació. xiste tres tipos de redes de compesació e fució de las ecesidades que se presete: Redes de adelato: so aquellas e las que la salida e estado estable preseta u adelato de fase co respecto a la etrada. Mejora la estabilidad del sistema si variar la exactitud. Aumeta e ua uidad el orde del sistema. o i R( RCs) R llamado α < RR R R( Cs) R R R R o i Ts jt α α αts αjt

3 Figura : ejemplo de red de adelato. Figura 3: curva de magitud logarítmica y águlo de fase de ua red de adelato. l adelato máximo de fase ɸ m vedrá determiado por la tagete a la circuferecia y se producirá para m αt La pediete de la curva de trasferecia es de 6 db/oct. Redes de atraso: si la salida e estado estable preseta u atraso co respecto a la etrada. Aumeta e ua uidad el orde del sistema. Mejora la respuesta e estado estable si modificar la respuesta trasitoria 3

4 o i R Cs Ts o jt ( R R ) Cs β Ts jβt dode R R R Cs y β > R T i Figura 4: ejemplo de ua red de atraso Figura 5: curva de magitud logarítmica y águlo de fase de ua red de atraso. La pediete de la curva de trasferecia es de -6 db/oct. 4

5 Redes de adelato-atraso: so aquellas e las que aparece tato u atraso como u adelato de fase, pero e regioes de frecuecia distitas. l atraso se produce e la zoa de baja frecuecia y el adelato e la zoa de alta frecuecia. Aumeta e dos uidades el orde del sistema. o i ( RC s)( RCs) ( R C s)( R C s) R C ( Ts)( Ts) s T T s s β β T siedo R C T ; R C T ; R C RC RC βt β > β Figura 6: ejemplo de ua red de adelato-atraso. Figura 7: curva de magitud logarítmica y águlo de fase de ua red de adelato-atraso. 5

6 .. Reglas de Calibració Para la calibració de los sistemas de cotrol se utiliza diversos métodos. tre estos, los más utilizados so el método del lugar de las raíces y el método de la respuesta e frecuecia. Cada uo de estos métodos se aplicará de forma diferete si se utiliza redes de adelato, atraso o adelato-atraso.... Método del lugar de las raíces l método del lugar de las raíces permite coocer cómo afecta la gaacia e bucle abierto e el comportamieto de u sistema realimetado (estabilidad, oscilacioes, rapidez al variar la gaacia). Normalmete solo se emplea cuado hay especificacioes sobre la respuesta trasitoria. Se deomia lugar de las raíces al lugar geométrico de los polos de G(s) al variar el valor de la gaacia (u otro parámetro del sistema) desde cero hasta ifiito o e u marge determiado. Figura 8: ejemplo de represetació del lugar de las raíces. Los polos e lazo cerrado se correspode co las raíces de la ecuació característica, pero estos polos varía coforme varíe la gaacia, por lo que su cálculo habría de repetirse para cualquier cambio e el valor de ésta. W. R. vas 6

7 desarrolló e 948 u método para su cálculo e el que se dibuja las raíces de la ecuació característica para todos los valores de u parámetro. Se trata de coocer e qué lugar está los polos de la fució de trasferecia de u sistema e fució de u parámetro, geeralmete la gaacia. Mediate este método el diseñador puede coocer los efectos que tedrá sobre el sistema la gaacia o la adició de ceros y polos. Básicamete, para calibrar u sistema mediate este método, se vuelve a costruir los lugares geométricos de las raíces mediate u compesador de tal forma que se pueda colocar polos domiates e lazo cerrado e la posició deseada para que el sistema sea estable y cumpla las especificacioes requeridas. La adició de ceros al sistema desplaza los polos e lazo cerrado hacia la izquierda, haciedo el sistema más estable. La adició de polos e lazo abierto empeora la estabilidad al desplazar los polos ya existetes hacia la derecha. La determiació del lugar geométrico de las raíces es ua tarea laboriosa. la actualidad existe programas iformáticos que permite su determiació mediate ua programació secilla, por ejemplo el programa gratuito Scilab. Siedo u sistema realimetado tal que C( s) G( s) R( s) G( s) H ( s) para calcular los polos de la fució de trasferecia el deomiador deberá igualarse a cero, co lo que G( s) H ( s) 80º ± (k ); k 0,,,3...) G ( s) H ( s) 0 G( s) H ( s) Cosiderado ua gaacia e el sistema de valor k, G(s)H(s) se podrá expresar e fució de sus polos y ceros como: k( s z0 )( s z)( s z )...( s zk ) G( s) H ( s) ( s p )( s p )( s p )...( s p ) 0 l Se observa que los polos y ceros cojugados, si existe, so simétricos co respecto al eje real, por lo que la gráfica del lugar geométrico de las raíces siempre será simétrica co respecto a este eje. 7

8 reglas: Para dibujar el lugar geométrico de las raíces hay que seguir las siguietes.- l úmero de ramas es igual al úmero de polos de la fució de trasferecia e lazo abierto..- Cada rama comieza e u polo (k s 0) y termia e u cero (k s ). Si el umero de ceros z es iferior al úmero de polos p, existirá p-z ceros e el ifiito, hacia los que irá p-z ramas siguiedo p-z asítotas. 3.- Los putos del eje real co u úmero impar de polos y ceros a su derecha perteece al lugar geométrico de las raíces (k s >0), y si es par, al lugar iverso (k s <0), teiedo e cueta que ambos lugares so simétricos co respecto al eje real. 4.- las p-z asítotas se corta e el puto: σ 0 pi z p z 5.- Los águlos de las asítotas co el eje real se obtiee mediate las expresioes: k s 0 (q ) π θa p z i qπ ks 0 θa siedo q 0,,,..., p-z- p z 6.- Los águlos de salida de los polos y llegada de los ceros se obtiee aplicado el criterio del argumeto. Si Si p k 0, θ, ( ) π θ, s etrada polo s pi s zi q salida polo s zi s pi (q ) π p i z z i k s 0, θetrada, polo s pi s zi qπ θsalida, polo s zi s pi qπ i siedo q 0,,,..., p-z- i z i p i z i p i 7.- Los putos de ruptura so aquellos dode los lugares geométricos etre dos polos deja el eje real y viee determiados por dk s 0 ds 8.- Los putos de itersecció de los lugares de las raíces co el eje imagiario se calcula aplicado el criterio de Routh a la ecuació característica, o bie sustituyedo s por j e dicha ecuació y obteiedo los valores de y k, igualado partes real e imagiaria a cero. 8

9 9.- Se puede calcular la gaacia e cualquier puto del lugar de las raíces aplicado la expresió: k p i z j s p s z i i sta técica puede adaptarse a otros parámetros diferetes a la gaacia. Ua vez coocido el lugar de las raíces del sistema, se ha de teer e cueta las características de ξ y de respuesta trasitoria. Para que cumpla las especificacioes hay que ver si el lugar de las raíces pasa por los putos defiidos por estos parámetros y, si o lo hace, hacerlos pasar. ste método solo se emplea cuado se tiee especificacioes de respuesta trasitoria.... Método de la respuesta e frecuecia Co este método se aaliza la respuesta del sistema ate ua señal seoidal cuya frecuecia se varía e u determiado marge. Las represetacioes gráficas más utilizadas so los diagramas de Bode y el diagrama de Nyquist. A partir de los diagramas e fució de la frecuecia queda determiadas ua serie de características del sistema. l ajuste del régime trasitorio se realiza por aproximacioes sucesivas. Depediedo de las características exigidas se utilizará u diagrama u otro. stos métodos preseta la vetaja de que o es ecesario coocer la fució de trasferecia de la plata. Además os proporcioa iformació sobre su respuesta e frecuecia: - Baja frecuecia: da ua idea de la exactitud y permite calcular los coeficietes estáticos. - Frecuecias medias: permite coocer la estabilidad, marge de frecuecia, marge de gaacia y respuesta trasitoria. - Frecuecias altas: da ua idea de la complejidad del sistema. 9

10 ... Diagramas de Bode Los diagramas de Bode está formados por dos gráficas frete a la frecuecia: el logaritmo de la magitud de la fució de trasferecia y el águlo de fase. La pricipal vetaja de la represetació logarítmica es que la multiplicació de magitudes se covierte e suma, por lo que su represetació se puede llevar a cabo coociedo como afecta cada uo de los térmios de la fució de trasferecia. Para el caso de los factores itegral y de derivada, su represetació correspode a rectas co pedietes de -0 db/década y 0 db/década y águlos de -90º y 90º respectivamete, por lo que aalizado cada uo de los térmios se puede realizar ua represetació asitótica de la curva exacta. Otra de las vetajas es que se puede hacer ua represetació asitótica e fució de la frecuecia. Al trabajar e escala logarítmica se podrá represetar toda la gama de frecuecias si llegar al cero. Igualmete existe programas que realiza esta represetació gráfica co ua programació secilla, como es el caso de Scilab. Figura 9: ejemplo de represetació de los diagramas de Bode mediate Scilab. Tipos de factores que puede aparecer e la represetació: - Factor gaacia k: 0

11 la curva se represeta mediate u valor 0 log k Si k > 0 ϕ 0º Si k < 0 ϕ -80º - Factor itegrador o derivador [j] ± : Para su módulo será 0log 0log j j Si se produce e ua década 0log0 0log 0log0 0dB Si se produce e ua octava 0log 0log 0log 6dB -Factor de primer orde [jt] ± : [ j T ] 0log T década octava 0log 0dB 0dB década 0logT 6dB octava l cruce de estas dos rectas se producirá cuado T La fase de este factor será: 0 ϕ arctg T T ϕ 0º ϕ 45º ϕ 90º Si este factor estuviera e el deomiador se obtedría sigos de pedietes cotrarios. -Factor cuadrático ± jξ j : realizado operacioes matemáticas se tiee que: T Si ξ 0log 0dB 40dB 0log 40log db 0dB déc oct 0º ϕ 0º Si ξ ϕ 90º ϕ 80º Procedimieto geeral para represetar ua curva mediate el diagrama de Bode:

12 .- Se descompoe la fució siusoidal e factores de los tipos que se ha visto ateriormete..- Se ve las distitas frecuecias de corte y se halla la pediete etre dos frecuecias cosecutivas. Si el sistema es de tipo 0 la represetació comieza co ua recta paralela al eje real. Si el sistema es de tipo comezará co ua recta de pediete -6 db/oct hasta llegar a la primera frecuecia de corte. Si el sistema es de grado, la pediete será de - db/oct. jemplo: Normalizado esta fució queda como: 8( s) G( s) s(8 s)(6 4 s s ) s j 8 G( j) s s j j 6 8s s j j De esta forma, las pulsacioes de corte será: db/oct ( 4; 3 8 ξ G( j) 0log 6dB ( j j ) ) db j 8 j j 4 4 G ( j)

13 Figura 0: represetació de la variació de la gaacia e el ejemplo.... Diagrama de Nyquist o traza polar l diagrama de Nyquist o traza polar es ua represetació de ua magitud de la fució de trasferecia G(j) (geeralmete la gaacia) co respecto al águlo de fase de esta magitud, cuado varía desde cero hasta ifiito. Por lo tato la traza polar es el lugar geométrico de los vectores ( j) G( j) G, cuado varía desde cero hasta ifiito. l criterio de estabilidad de Nyquist relacioa la respuesta frecuecial e lazo abierto co la estabilidad e lazo cerrado. Figura : ejemplo de represetació de las trazas de Nyquist 3

14 Ua vetaja de esta gráfica es que represeta las características de la respuesta e frecuecia e el espectro completo. Las gráficas ateriormete presetadas se ha realizado co el programa Scilab, para ua plata co fució de trasferecia: G z 0 ( z 0,9) ) La programació utilizada es la siguiete: // Diagramas clear zpoly(0,'z'); // vector de tiempos t0:0.:3; // //modelo discreto de la plata g0/(z*z*(z-0.9)); // // //fució de trasferecia lazo abierto glag;glassysli('c',gla); // //fució de trasferecia lazo cerrado gu;glcgla/.gu; glcssysli('c',glc); // //Programació de las herramietas xset('widow',) xame('aálisis de la plata co varias herramietas') // //Respuesta a u escaló uitario //lazo cerrado subplot(,,);xgrid(4) plotd(t,csim('step',t,glcs),style) xtitle('respuesta a u escaló uitario','tiempo','y(t)') // //lugar de las raices subplot(,,);xgrid(4) evas(glas,.5) sgrid([ ],[ ],) // //diagrama de Nyquist 4

15 subplot(,,3) yquist(glas) // //diagrama de bode subplot(,,4) bode(glas,0.00,0) // Cada tipo de factor de la fució de trasferecia tiee ua represetació específica: - Factor itegrador o derivador [j] ± : este tipo de factor es u vector de módulo sobre el eje imagiario, y setido positivo o egativo. j G φ 90º G j φ 90º - Factor de primer orde [jt] ± : este factor equivale a ua recta paralela al eje imagiario y que pasa por el puto T del eje real. Cuado está elevado a -, equivale a ua semicircuferecia que comieza e el eje real y termia e 0. ( jt ) G T φ arctg ( T ) Re Im T -Factor cuadrático ( jt ) G T φ arctg jξ j ( T ) ± G 0 φ 0º G 0 φ 90º G T φ 45º : su represetació comieza e el eje real, corta al eje imagiario e el puto ξ y cotiua co ua asítota para. Cuado el factor cuadrático está e el deomiador su represetació comieza e el eje real, corta al eje imagiario e el puto ξ/ y termia e (0,0). 5

16 6 j j ξ 80º 90º 0º 0 Im Re φ φ ξ φ ξ G G G arctg G j j ξ φ ξ ξ 80º 0 90º 0º 0 φ φ ξ φ G G G Técicas de compesació de adelato basadas e el método de la respuesta e frecuecia: A partir del diagrama de Bode se pretede aumetar la fase, mejorado la estabilidad, itetado coseguir que esa máxima fase pase por la pulsació de cruce. Se desplaza la curva hacia arriba para o variar la gaacia a baja frecuecia, para ello se multiplica por u factor /α: α α α i o i o T j T j Se iteta cambiar o modificar la forma de la curva dado u suficiete grado de adelato para coseguir compesar u excesivo retardo de la fase. Los pasos a seguir so:.- Fijar el valor de la gaacia e lazo abierto para alcazar las especificacioes e cuato a los coeficietes de error..- Para la K calculada, obteer el marge de fase del sistema si compesar. 3.- Viedo la diferecia etre el marge de fase pedido y el dado, calcular cual es el adelato que hay que itroducir, calculado ɸ máx. 4.- Calcular α. 5.- Ver sobre el sistema o compesado para qué frecuecia existe u ivel de 0logα. Observar dode se va a producir la ueva frecuecia de corte. T T T α jemplo:

17 Dado el sistema y los datos siguietes, cómo ha de compesarse el sistema para obteer las características ateriores?. K v M M 0seg G F 50º 0dB 4K.- K v 0 K 0 Gaacia.- Marge de la fase del sistema si compesar (figura ): el M G ya que la represetació de fase o corta a la líea de 80º. 3.- M F : 4.- α?: 50º 7º 33º M 33º φ 38º α se φ m α 0,4 α 5.- Ver dóde se produce el uevo ivel de 0 logα: F m 7

18 0logα 0log0,4 6,dB Segú la gráfica, el ivel de -6, db os determia la ueva frecuecia de corte 9 αt T 4,4 0,7 T 8,4 αt l uevo sistema será: Técicas de compesació de atraso basadas e el método de la respuesta e frecuecia: Habrá que ateuar suficietemete a frecuecias altas, además o iteresa que el retardo a frecuecias medias sea muy grade, aproximádose etre sí y al orige las frecuecias de cambio de pediete. Los pasos a seguir so:.- Calcular la gaacia e lazo abierto para obteer los coeficietes estáticos de error defiidos e las características especificadas..- Dado el valor de K, y e la red si compesar, para ese valor de K realizar el diagrama y obteer M G y M F. 3.- Si o se cumple las especificacioes se buscará la frecuecia o pulsació para la cual la fase es -80º más el marge de fase requerido f ϕ 80º M req. Posteriormete se bajará la curva para hacer coicidir la f F frecuecia de cruce co la que se haya obteido teiedo e cueta la fase itroducida por la red, que tomaremos etre 5º y º. f ϕ f 80º M req (5º º ). 4.- Se hará coicidir esa frecuecia co la de cruce de gaacia F Nivel dbf 0logβ esto se producirá e la parte derecha de la curva de trasferecia de la red. De aquí se obtedrá el valor de β. 8

19 5.- Se tedrá que lograr que la pulsació de corte más grade /T se ecuetre etre octava a década iferior a la frecuecia obteida ateriormete. Técicas de compesació de adelato-atraso basadas e el método de la respuesta e frecuecia: Los pasos a seguir será:.- Se ve la gaacia que debe teer el sistema para calcular los coeficietes estáticos de error..- Se dibuja la gaacia y si se cumple las especificacioes. 3.- Ver qué red de retardo se ecesita, determiado la ueva frecuecia de cruce. 4.- esta ueva frecuecia de cruce realizar el adelato de fase. este tipo de red, ua vez defiida β, solo habrá que defiir la distacia etre frecuecias, es decir, desplazar T co respecto de T lo que se desee. todo caso se deberá utilizar costates de tiempo físicamete realizables..3. Test fucioales Ua vez implemetado el sistema de compesació o cotrol es ecesario proceder a realizar las pruebas ecesarias para comprobar que se cumple las especificacioes de diseño. Los test a realizar depederá del tipo de compesador, del tipo de proceso y del tipo de especificacioes. Bibliografía K. Ogata, Igeiería de Cotrol Modera. laces de iterés esadoratrasorlocuscotiuo_vs0.pdf

20 ga/trasparecias/tema09/tema09.pdf 3%0y%004-Diagrama%0de%0Nyquist-stabilidad.pdf garraices.pdf?cidreqconi 0