Diagramas de Bode. Respuesta En Frecuencia

Transcripción

1 Diagramas de Bode Respuesta E Frecuecia Ig. William Marí Moreo Geeralidades Es u diagrama asitótico: se puede aproximar fácilmete trazado líeas rectas (asítotas). Preseta la respuesta de Magitud y Fase co la variació de la Frecuecia de ua fució de trasferecia. Tato las escalas abscisas como la magitud misma se represeta e uidades logarítmicas.

2 Decibeles (db) Uidad logarítmica utilizada para escalas de magitud. Ideado por los Igeieros de Sistemas telefóicos por la ecesidad de medir si se requiere amplificadores e ua líea telefóica. Si la líea es muy larga RL >> Rr se + V - requiere de u amplificador para que el mesaje se escuche co claridad Amplificador + V - P P Decibeles (db) El oído humao es u mecaismo logarítmico: La itesidad de u soido, es proporcioal al cuadrado de la amplitud de la oda soora. La itesidad del soido es ua catidad objetiva, que se puede medir por medio de diversos istrumetos, como por ejemplo u osciloscopio. Por otro lado, la sooridad es ua sesació fisiológica que difiere de ua persoa a otra. La sooridad es subjetiva, pero está relacioada co la itesidad del soido. Ver ISO 6 :003

3 Decibeles (db) Debido a que la sesació fisiológica de fuerza soora o varía directamete co la itesidad, sio que su depedecia es más bie de tipo logarítmico, se utiliza ua escala logarítmica para describir el ivel de itesidad de ua oda soora. El máximo recomedado 85dB durate 8 horas Decibeles (db) Por esa razó los cotroles de volume de los equipos de soido so logarítmicos!!!!!! Siedo que el oído humao es logarítmico, si P es el doble que P, el soido del mesaje o se escuchará dos veces más alto, sio que será ligeramete mayor. Sabiedo esto, los igeieros telefóicos midiero la efectividad de los amplificadores e uidades logarítmicas, y defiiero el BELIO: B = log P P Potecia de salida amplificada Potecia de salida SIN amplificar 3

4 Puesto que P = V R R Decibeles (db) P = V R R P V B = log = P = log log V V V Pero el BELIO es ua uidad muy grade, por lo que se utiliza las décimas de Belio, el decibelio (db) B V V = log db = 0log V 0 V Decibeles (db) 4

5 Costrucció del Diagrama de Bode Escala Vertical: gaacia(db)=0 log V out /V i Escala Horizotal: x = log f Para costruir la gráfica de Bode, primero se debe ormalizar la ecuació de la fució de trasferecia, esto es, escribirla de forma tal que cotega: Costates. Ceros e el orige. Polos e el orige. Ceros fiitos Polos Fiitos Costrucció del Diagrama de Bode Cada uo de los térmios ateriores, debe expresarse tal que cada térmio polo o cero cotega ua gaacia DC=0 Así, la fució de trasferecia debe quedar escrita de la forma ormalizada, por ejemplo: H ( ω) = K ( jω + Z) KZ = jω( jω + P ) P ( jω + ) ( jω + ) Z Z * = K '* jω( jω + ) jω( jω + ) P P Los polos y ceros cuadráticos cojugados requiere ua otació diferete 5

6 Costrucció del Diagrama de Bode E ua forma más geeral, ua ecuació de bode queda como: Polo o cero e el orige cero simple (fiito) cero cuadrático [ + jζ ω ω + ( jω ω ) ] ± ( jω) ( + jω z) k k H ( ω) = K ( + jω p )[ + jζ ω ω + ( jω ω ) ] Co esto, graficar 0log H ( ω) Costates K<0 6

7 Polos y ceros e el orige s ωb 0 db Magitud ω b pediete= -0 db/dec Fase -90 s ωb Magitud pediete= +0 db/dec 0 db Fase +90 ω b Polos y ceros simples s ω b + 0 db Magitud ω b pediete= -0 db/dec 0 0.ω b Fase -90 0ω b s ω + Magitud b pediete= 0 db +0 db/dec 0.ω b Fase 0ω b +90 ω b 0 7

8 Polos y ceros cuadráticos cojugados s s + + b Q ω ωb 0 db Magitud ω b pediete= -40 db/dec 0 0.ω b Fase -80 0ω b s s + + b Q ω ωb 0 db Magitud pediete= +40 db/dec 0.ω b Fase 0ω b +80 ω b 0 Ceros Fiitos Asítota co Pediete de 0 db por década w baja w alta 8

9 db = 0log0 4 = 80dB Si duplicamos w (subimos ua octava) teemos 4 4 db = 0log *0 = 0(log + log0 ) = 0( ) 6dB + 80dB = 86dB 6 db más alta!! Octavas E música, ua octava (ocho otas) represeta el doble de la frecuecia. La ota la media es de 440Hz y la siguiete la por ecima (ua octava más alta) es de 880Hz. Si para alta frecuecia se utiliza la aproximació db = 0 log(w) y co ua frecuecia w=0 4 Ceros Fiitos Asítota co Pediete de+ 0 db por década Asítota co Pediete de +6 db por octava 9

10 ( ) Gs = Ejemplo 000 s ( 0 s + 00) ( + ) ( + ) + s s s s s ( 0 s + 00) 0 G( s) = = s s s + 0 s = = s ( s 00 s 0000) s s S ( s + ) ( s + 50) ( s + ) ( s + 00 s ) ejemplo (Cot.) 4) Create the prelimiary Magitude plot of: G s s + 0 s + s s ( s) = ( 0) 0

11 ejemplo (Cot.) 5) Create the fial Magitude plot by shiftig vertically by the gai term: s + s G s 0 0 s + s s The fial Magitude plot plot is: ( ) = ( ) 6) Create the Phase plot of: ejemplo (Cot.) s s + 0 s s s ( ) = ( 0) G s

12 Comparado co la curva REAL jw 0 log+ = 0 log+ j = 0log a w= a =0 log = Curvas reales Las curvas reales o sigue las asítotas co la brusca variació e la frecuecia de corte ω = a. 3dB Se debe etoces realizar ua correció de la curva e la frecuecia de corte ω = a. de +3dB

13 Curva Real 0 log+ 0 log+ jw a jw a w= a w= a = 0 log+ = 0 log+ Curvas reales Igualmete para ua octava por debajo del vértice ω = a/. j0.5 = 0 log.8 = +db Para ua octava por ecima del vértice ω = a. j = 0log.36 = +7dB Pero la curva asitótica ya alcazó el valor de +6dB e este puto(0db/dec = 6dB/octava), por lo que solo se hace u correcció de +-db e estas frecuecias. 3

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