DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

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1 Matemáticas 1º CCSS 1 RESUMEN DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Distribucioes bidimesioales Se estudia a la vez dos variables aleatorias (geéricamete X e Y; sus valores será ( i, y i )). Correlació Al estudiar distribucioes bidimesioales, el objetivo es determiar si eiste relació estadística etre las dos variables cosideradas; es decir, ver si los cambios e ua de las variables ifluye e los cambios de la otra. Cuado sucede esto, se dice que ambas variables está correlacioadas o que hay correlació etre ellas. Si las variables aumeta o dismiuye cojutamete, la correlació es directa. Si, por el cotrario, al aumetar ua de ellas dismiuye la otra, la correlació será iversa. Si la correlació es fuerte, a partir de ua variable puede estimarse la otra co ua fiabilidad (probabilidad) alta. Si la correlació es débil, la estimació de ua variable a partir de la otra es poco fiable. (Aquí se estudiará solo la correlació lieal). Ejemplos: a) La correlació etre el úmero de zapato y la estatura de las persoas es directa y fuerte. b) Las variables temperatura ambiete y gasto de calefacció está iversamete correlacioadas: a meor temperatura más gasto e calefacció. c) Las variables úmero de zapato y gasto e calefacció o está correlacioadas. Diagramas de dispersió El primer paso para determiar el setido y el grado de la correlació etre dos variables cosiste e represetar gráficamete, e el plao cartesiao, los pares de valores coocidos. Estos gráficos, que recibe el ombre de diagramas de dispersió, permite visualizar la posició de los datos e el plao. La forma de la ube de putos asociada a cada diagrama permitirá establecer cojeturas sobre la correlació eistete etre las variables estudiadas. E geeral, depediedo de la forma de la ube de putos, puede asegurarse: Ua ube de putos alargada idica correlació lieal: los putos se distribuye e toro a ua líea recta. La estrechez de la ube epresa que la correlació es fuerte. Si la recta que se ajusta a la ube tiee pediete positiva, la correlació será directa: al crecer la variable X, lo hace tambié la variable Y. Ua recta co pediete egativa, idica que la correlació es iversa, al crecer X, dismiuye Y. La cofirmació cuatitativa de estas cojeturas se deduce estudiado: 1) los parámetros estadísticos asociados a la distribució bidimesioal; ) determiado la recta de regresió.

2 Matemáticas 1º CCSS Parámetros de ua distribució bidimesioal Medias margiales para cada ua de las variables X e Y. Vale: i ; y El puto, y se llama cetro medio de la distribució. Variazas y desviacioes típicas ( i ) i ( yi y) s ; sy y Las desviacioes típicas margiales, s y s y, so la raíz cuadrada de cada ua de ellas. La covariaza: La covariaza es u parámetro estadístico cojuto, pues, e su cálculo iterviee las dos variables a la vez. Se defie como la media aritmética de los productos de las diferecias de los valores de cada variable respecto de su media margial. Por tato, vale: ( i )( yi y) i yi y Si s y > 0, la correlació es directa; si s y < 0, la correlació es iversa. El coeficiete de correlació lieal Da ua medida de la fuerza de la correlació etre las dos variables estudiadas. Vale: r. Es la razó etre la covariaza de las variables X e Y y el producto de sus s s y desviacioes típicas margiales. El coeficiete de correlació cumple: 1) El valor de r o cambia al hacerlo la escala de medició. ) El sigo de r es el mismo que el de la covariaza: si r > 0, la correlació es directa; si r < 0, la correlació es iversa. 3) El valor de r está etre 1 y +1: 1 r 1 4) Si r toma valores cercaos a 1, la correlació es fuerte. 5) El cuadrado de r, r, idica la proporció de la variació e la variable Y que puede ser eplicada por los cambios de la variable X. A r se le llama coeficiete de determiació. Ejemplo Si r = 0,8, el coeficiete de determiació vale r = 0,8 = 0,4. Esto sigifica que el 4% de la variació de Y puede ser eplicada a partir de la variació de X. Recta de regresió lieal Esta recta (de Y sobre X) permite hacer estimacioes de la variable Y a partir de la X. La recta de regresió es la que mejor se ajusta a la ube de putos. Es ua recta ideal que asigaría a cada valor i de la variable X el promedio de los y i correspodietes a i. E cosecuecia, debe pasar por el puto, y, cetro de gravedad de la distribució bidimesioal. La recta que mejor se ajusta a estos propósitos es la recta de regresió míimo cuadrática, que es aquella que miimiza la suma de los cuadrados de los errores. Si la ecuació de esta recta es y a b, se cumple que: a y b y s s Su ecuació es: y y, s

3 Matemáticas 1º CCSS 3 La recta de regresió de X sobre Y (que o es la misma que la de Y sobre X) permite estimar los valores de Y a partir de los de la variable X. Su ecuació es: y y. sy Ejemplo: La siguiete tabla cotiee las horas de asistecia a u curso de iformática y las otas obteidas por seis alumos: Horas de asistecia (X) Notas (Y) a) Represeta la ube de putos. b) Halla el coeficiete de correlació etre X e Y, e iterprétalo. c) Halla la recta de regresió; y represétala. d) Si ua persoa asistiera seis horas al curso, qué ota obtedría? Solució: a) La ube de putos es la represetada a la derecha. b) Utilizado la calculadora se tiee los siguietes resultados: = 3,... i = i = 104 s = 1,9703 y = 4,5 = 7 y i = 175 s y =,9807 r = 0,9901. Es ua correlació directa y muy fuerte. c) La recta de regresió es: y 1, 5 1. Es la adjuta. Para = horas, y = 1,5 1 = 8. Obtedría u 8. Cálculo de los parámetros ateriores a mao. Fórmulas: i i ; y ; s ; sy i yi y ; y X ( i ) Y (y i ) y i i i y i i = = 7 i = 104 y i = 175 i yi = , y 4,5 s 1,97 sy,98 5, , 175 s 1, ; sy 4,5,98 ; 4,5 5,833 y y 5,833 y 4,5 s 1,97 y 1, 5 1 Recta de regresió: d) Para ua persoa que asista horas al curso puede estimarse ua ota de: y = 1,5 1 = 8.

4 Matemáticas 1º CCSS 4 Distribucioes bidimesioales PROBLEMAS PROPUESTOS 1. a) Asocia las rectas de regresió: y = +1, y = 1 e y = 0,5 + 5 a las ubes de putos siguietes: b) Asiga los coeficietes de correlació lieal r = 0,4, r = 0,85 y r = 0,7, a las mismas ubes de putos.. Se ha tomado ocho medidas de la temperatura de ua batería y de su voltaje, y se obtuviero los siguietes datos: X: temperatura 10,0 10,0 3,1 3,5 34,0 34,5 45,0 45, Y: voltaje a) Si efectuar cálculos, razoa cuál de las siguietes rectas es la recta de regresió de Y sobre X para los datos ateriores: y = 350,1 y = 40,1 y = 40 +,1 b) Para 5 grados, qué voltaje sería razoable supoer? 3. El úmero de horas de estudio de ua asigatura y la calificació obteida e el eame correspodiete, fue, para 7 persoas, la siguiete: Horas Calificació a) Dibuja la ube de putos y traza, aproimadamete, la recta de regresió asociada. b) Idica el carácter y estima la fuerza de la correlació. 4. Calcula, paso a paso (si utilizar la calculadora e modo estadístico), el coeficiete de correlació y la recta de regresió asociada a los datos del problema aterior. 5. a) Calcula la recta de regresió de Y sobre X e la distribució siguiete realizado todos los cálculos itermedios. X Y b) Cuál es el valor que correspodería segú dicha recta a X = 7?. El departameto de cotrol de calidad de ua empresa de istalació de compoetes electróicos desea determiar la relació etre las semaas de eperiecia de sus trabajadores y el úmero de compoetes rechazados a esos trabajadores la semaa aterior. Trabajador eamiado A B C D E F G H I J Semaas de eperiecia (X) Número de rechazos (Y) a) Represeta el diagrama de dispersió asociado a esos datos. Sugiere la gráfica algua asociació lieal? b) Cómo calificarías la correlació?

5 Matemáticas 1º CCSS 5 7. Para los datos del problema aterior, halla co ayuda de la calculadora: a) Las medias y desviacioes típicas margiales. b) La covariaza. c) El coeficiete de correlació lieal. d) La recta de regresió de Y sobre X. e) El úmero de rechazos que hay que esperar para ua persoa co 0 semaas de eperiecia. 8. Se midiero los valores de cocetració de ua sustacia A e suero fetal y los valores de su cocetració e suero matero. Se obtuviero los siguietes datos e ua muestra de seis embarazadas a térmio: Madre (X) Feto (Y) a) Calcula el coeficiete de correlació lieal. b) Halla la epresió de la recta que permita estimar los valores fetales a partir de los materos. 9. E seis alumos de bachillerato se observaro dos variables: X = putuació obteida e u determiado test e Y = ota e u eame de matemáticas. Los resultados se idica e la siguiete tabla: Test: X Eame: Y a) Halla la recta de regresió. b) Sabiedo que u alumo obtuvo 130 putos e el test, pero o realizó el eame de matemáticas, predice, si es posible, la ota que hubiese obteido. 10. La altura, e cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varoes, so: Padre (X) Hijo (Y) a) Calcula la recta de regresió que permita estimar la altura de los hijos depediedo de la del padre; y la del padre coociedo la del hijo. b) Qué altura cabría esperar para u hijo si su padre mide 174? Y para u padre, si su hijo mide 190 cm? 11. Los años de siete árboles y el diámetro de su troco, e cm, se da e la siguiete tabla: Años Diámetro a) Calcula, utilizado la recta de regresió, el diámetro que se puede predecir para árboles de 10 y 0 años. b) Compara el resultado aterior co los valores observados e la tabla. Razoa el porqué de las diferecias. 1. El úmero de bacterias por uidad de volume, presetes e u cultivo después de u cierto úmero de horas, viee epresado e la siguiete tabla: X: Nº de horas Y: Nº de bacterias Calcula: a) Las medias y desviacioes típicas de las variables, úmero de horas y úmero de bacterias. b) La covariaza de la variable bidimesioal. c) El coeficiete de correlació e iterpretació. d) La recta de regresió de Y sobre X.

6 Matemáticas 1º CCSS Otros problemas 13. U cojuto de datos bidimesioales (, y) tiee u coeficiete de correlació r = 0,8. Las medias margiales vale: = ; y = 4. Idica si algua de las siguietes ecuacioes puede correspoder a la recta de regresió de Y sobre X: y = + 8; y = 0,8 +, y = 1, Halla el cetro medio de ua distribució sabiedo que sus rectas de regresió vale: De Y sobre X: y = +. De X sobre Y: = 0,45y 0,. 15. Ua compañía de seguros sospecha que el úmero de accidetes está e fució de la edad del coductor. Para ello elige 100 persoas de cada grupo de edad y cotabiliza los accidetes totales del último año. Los datos fuero: Edad N.º accidetes a) Represeta gráficamete la ube de putos asociada a estos datos. Qué correlació se observa? b) Halla, si calculadora, el coeficiete de correlació lieal etre las variables medidas. Cometa su valor. 1. Se está eperimetado la resistecia a la rotura de ua determiad fibra tetil. Para ello se ha medido el diámetro de la fibra y el peso que soporta hasta la rotura, obteiédose los siguietes datos: Diámetro e mm (X) 1 1, 1,4 1, 1,8 Peso a la rotura e kg (Y) 1, a) Represeta el diagrama de dispersió asociado a esos datos. Sugiere la gráfica algua asociació lieal? b) Cómo calificarías la correlació? 17. Co los datos del problema aterior, halla: a) La recta de regresió de Y sobre X y determia la resistecia a la rotura de ua fibra de,5 mm de diámetro. b) La recta de regresió de X sobre Y y determia el diámetro míimo de ua fibra para que soporte más de 0 kg. Observació. Puede ecotrase más problemas resueltos e los eámees de los Temas 1 y 13 de la web