Se utilizan los datos puntuales de altura de precipitación o intensidades máximas de lluvia registradas en una estación

Transcripción

1 .. Tormetas putuales Aspectos geerales Se utiliza los datos putuales de altura de precipitació o itesidades máximas de lluvia registradas e ua estació So válidas para áreas cuya extesió este defiida por la zoa de ifluecia de la estació de aforo o bie para superficies que o exceda los 5 km. Métodos más comues para defiir su magitud: aálisis idepediete a partir de fucioes de distribució de probabilidad (itesidad, periodo de retoro); o aálisis simultáeo de las tres variables a través de ua regresió múltiple (itesidad, duració y periodo de retoro). Aálisis simultáeo Se realiza u ajuste simultáeo de las tres variables (i-d-tr) por medio de ua regresió múltiple. El objetivo es calcular el valor de la itesidad máxima de lluvia (i) e fució de su duració (d) y del periodo de retoro (Tr) El método más comú esta represetado por la fució matemática del tipo siguiete: m r i = kt / d (.) dode i es el valor de la itesidad máxima de lluvia, e mm/h; Tr es el periodo de retoro, e años; d es la duració de la lluvia, e mi; y k, m y so los parámetros que se determia al ajustar la ecuació (.) a los datos registrados. Para evaluar los parámetros k, m y, se trasforma la ecuació (.) a ua forma lieal tomado logaritmos. Se obtiee la expresió siguiete: Li = Lk + mltr Ld (.) o bie Y A + = (.3) 0 + AX AX dode: Y = L i, X = L Tr, X = L d A 0 = L k, A = m, A = -

2 Para calcular los parámetros A 0, A y A se utiliza el sistema de ecuacioes siguiete: Y = NA (X Y) = A 0 (X Y) = A + A 0 0 X X X + A + A + A (X (X X ) + A )(X (X ) + A )(X (X ) ) (.4) dode N = Número de sumados Recolecció y aálisis de las itesidades máximas de lluvia Para aplicar el método del aálisis simultáeo, a través de las curvas de i-d-tr, es ecesario recopilar las itesidades máximas de lluvia, describiedo a cotiuació el procedimieto a realizar. Se seleccioa u cojuto de duracioes asociadas a cortas duracioes (5, 0, 5, 0, 30, 45, 60, 80, 00 y 0 miutos). De los registros auales se elige las 0 tormetas de mayor magitud. Se seleccioa la itesidad máxima de lluvia para las 0 duracioes de iterés. Este proceso de realiza para cada año del registro dispoible. Se obtiee u registro que cotiee los valores de las itesidades máximas de lluvia para diferetes duracioes y durate u periodo de tiempo. A cada cojuto de datos, asociados a ua duració, se le asiga su periodo de retoro (Tr) correspodiete co el proceso siguiete:. Se ordea de mayor a meor los valores de la itesidad máximas de lluvia y se les asiga u úmero de orde (m= para el valor mayor, m= para el valor siguiete y así sucesivamete).. Se estima el periodo de retoro (Tr) de cada dato de itesidad máxima de lluvia, co la expresió: Tr = (N + ) / m dode N es el úmero total de años de registro; y m es el úmero de orde asigado a cada valor de la itesidad máxima de lluvia.

3 3 Problema. Calcular las curvas i-d-tr para u periodo de retoro de 5, 0, 5 y 50 años, e la estació pluviométrica Departameto del Distrito Federal, D. F. Solució:. La tabla. idica los datos de la itesidad máxima de lluvia asociada a las 0 duracioes de registro.. E la tabla., se idica el procedimieto para determiar las sumatorias del sistema de ecuacioes (.4). 3. Co los valores de las sumatorias señaladas e la tabla., se obtiee el sistema de ecuacioes siguiete: A A A = A A A = (.5) A A A = Resolviedo el sistema de ecuacioes (.5) se obtiee los valores de los parámetros A 0, A y A. A 0 = 5.56, A = 0.4, A = Fialmete se obtiee los valores de los parámetros k, m y. K = 59.83, m = 0.4, = Sustituyedo los valores de k, m y e la ecuació (.), se defie la expresió de las curvas itesidad-duració-periodo de retoro (i-d-tr): Tr i = (.6) 0.66 d 7. La figura. idica las curvas itesidad-duració-periodo de retoro para diferetes periodos de retoro, estimadas a partir del método de regresió múltiple, para la estació pluviométrica Departameto del Distrito Federal, D. F.

4 4 Tabla.. Itesidades máximas de lluvia registradas e la estació pluviométrica Departameto del Distrito Federal, e mm/h m Tr Duració, e mi

5 5 Tabla.. Procedimieto para determiar las sumatorias del sistema de ecuacioes (.4) Y X X (X ) (X ) X X X Y X Y L i L Tr L d Sumas

6 Itesidad de lluvia, mm/h Tr = 5 años Tr = 0 años Tr = 5 años 00 Tr = 50 años Duracio, mi Figura.. Curvas itesidad-duració-periodo de retoro (i-d-tr) para la estació pluviométrica Departameto del Distrito Federal, D. F. Aálisis idepediete El objetivo es efectuar u aálisis idepediete para cada duració, es decir defiir ua fució que relacioe la duració y el periodo de retoro. La técica más usual es la fució de distribució de probabilidad (fdp).

7 7 La fdp asociada a ua variable aleatoria u, que pueda tomar valores e el campo de los úmeros reales, se defie como la probabilidad de que dicha variable tome valores meores o iguales a u valor x, para toda x compredida e los reales, es decir: (x) F u = Pr ob{ u x} u y x R (.7) Propiedades: F ( ) = u F ( ) = 0 u F (x + x) F (x), si u u x 0 E la Hidrología lo que iteresa es la Probabilidad de excedecia (probabilidad de que la variable aleatoria exceda u determiado valor). Se utiliza ua Probabilidad de excedecia muy cercaa a cero. Se ha itroducido el cocepto del Periodo de retoro (Tr). Periodo de retoro (Tr) se defie como el úmero de años e promedio e el que u eveto puede ser igualado e excedido E la Hidrología, la variable aleatoria u represeta a los valores máximos auales (gastos, precipitacioes, itesidades, etc.) y el periodo de retoro (Tr) se estima co la expresió: (x) T r = (.8) F(x) F(x) = (.9) T (x) r dode: Tr(x) es el periodo de retoro asociado a u valor x, e años; y F(x) es la fució de distribució de los valores máximos auales. Fucioes de distribució de probabilidad utilizadas e la Hidrología Existe u espectro amplió de fucioes de distribució de probabilidad que puede utilizarse para estimar la probabilidad de excedecia de evetos máximos. E este caso, se aplicará u programa de computo, el cual icluye las fucioes de distribució siguietes:

8 8 Normal ( parámetros) Logormal ( parámetros, 3 parámetros) Gumbel ( parámetros) Expoecial ( parámetros) Gamma ( parámetros, 3 parámetros) Doble Gumbel ( poblacioes) Bodad de ajuste Cosiste e seleccioar la Fució de distribució de Probabilidad de mejor ajuste y para tal efecto se puede utilizar métodos gráficos o bie métodos aalíticos. Métodos gráficos: se aaliza visualmete el comportamieto de la fució de distribució de probabilidad utilizada teóricamete y los datos observados, tal como se observa e la figura. Figura.. Aálisis gráfico para seleccioar la fució de distribució de mejor ajuste

9 9 Métodos aalíticos: se puede utilizar diferetes criterios y uo de los más comues es el criterio del error cuadrático míimo (C) y se estima co la expresió: C = (x e x o ) i i / (.0) x ei dode: es el i-ésimo dato estimado co la fució de distribució seleccioada; y es el i-ésimo dato observado o registrado. Problema. Calcular la fució de distribució de probabilidad de mejor ajuste para los datos de itesidades máximas auales de la tabla.3, asociadas a ua duració de 5 miutos y registradas e la estació pluviográfica Departameto del Distrito Federal, D. F. Datos registrados: Tabla.3. Itesidades máximas auales, e mm/h x oi i, mm/h i, mm/h Solució:. Se utiliza u programa de computo elaborado para aalizar las 8 fucioes de distribució de probabilidad. Los parámetros de las fucioes de distribució se estima co los métodos de Mometos y de Máxima Verosimilitud.. Los resultados está sitetizados e la tabla.4:

10 0 Tabla.4. Fució de distribució de probabilidad de mejor ajuste 3. Co el apoyo de la fució de distribució de mejor ajuste (logormal de 3 parámetros) se calcula los valores de las itesidades máximas asociadas a diferetes periodos de retoro Tr. La tabla.5 idica los resultados obteidos. Tabla.5. Itesidades máximas de lluvia asociadas a diferetes periodos de retoro Tr

11 4. La curva de ajuste de los valores de itesidades máximas de lluvia está idicada e la figura.3. Estació: Departameto del Distrito Federal; D. F. 00 Periodo de retoro, años Itesidad máxima de lluvia, mm/h Figura.3. Curva de ajuste a partir de la distribució logormal de 3 parámetros