ANÁLISIS REGIONAL DE FRECUENCIAS VALORES EXTREMOS

Transcripción

1 Uiversidad de Córdoba DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA RURAL ANÁLISIS REGIONAL DE FRECUENCIAS DE VALORES EXTREMOS José Luis Ayuso Satiago de Chile Eero, 0

2 ANÁLISIS REGIONAL DE FRECUENCIAS DE VALORES EXTREMOS. INTRODUCCIÓN. PERIODO DE RETORNO Y PROBABILIDAD 3. ANÁLISIS REGIONAL DE FRECUENCIAS DE VALORES EXTREMOS 4. MÉTODOS DE LOS MOMENTOS LINEALES 5. ESTUDIO DE UN CASO

3 . INTRODUCCIÓN Los episodios hidrológicos de carácter catastrófico como las tormetas de elevada itesidad y las aveidas ocurre periódicamete produciedo cuatiosas pérdidas por daños a las propiedades e icluso pérdidas de vidas humaas, costituyedo u grave problema ecoómico y social. Bilbao 987 Temporal e el Norte España (Marzo-008) Ate estos sucesos el igeiero ha de estimar la magitud y frecuecia de tales evetos Aálisis local de frecuecias Aálisis regioal de frecuecias Cuestioes a respoder Cual es la probabilidad de que u eveto extremo de determiada magitud Córdoba, octubre 005 ocurra e cualquier año, e los próximos 50 años, o e los próximos 00 años?

4 E el diseño de estructuras hidráulicas el igeiero ha de estimar el caudal de proyecto para u determiado periodo de retoro Datos Hidrológicos Caudales Medios diarios Puta diarios Precipitació Diaria Registros pluviográficos co resolució de 5 o 0 miutos Series de valores extremos Estació pluviométrica Estació de aforos

5 Obetivo El pricipal obetivo del aálisis de frecuecias es relacioar la magitud de evetos extremos co su frecuecia de ocurrecia a través del uso de distribucioes de probabilidad. Desidad de probabilidad Magitud de u eveto extremo (Cuatil) Precipitació (mm) Frecuecia de ocurrecia (Periodo Retoro) Los datos observados durate u exteso periodo de tiempo e u sistema hidrológico se aaliza mediate el aálisis de frecuecias.

6 . PERIODO DE RETORNO Y PROBABILIDAD Periodo de retoro T, o itervalo de recurrecia, se defie al tiempo medio etre dos ocurrecias cosecutivas de u feómeo. Las grades aveidas tiee grades periodos de retoro y viceversa T P = () E Hidrología, los acotecimietos que puede producir daños suele ser mayores a ua cierta catidad, por eemplo: precipitació superior a u determiado valor. La probabilidad de ocurrecia será siedo: F(x) = fució de distribució acumulada del proceso. De () y () el periodo de retoro puede defiirse como P = P( X > x) = P( X x) = F( x) T = F( x) () (3) (4) Problemas que se platea e el aálisis de frecuecias:. Coociedo la fució de distribució del proceso que se aaliza, deducir la probabilidad de ocurrecia de ua magitud dada. El problema iverso: determiar la magitud del acotecimieto tal que su periodo de retoro es T.

7 3. ANÁLISIS REGIONAL DE FRECUENCIAS DE VALORES EXTREMOS E térmios estadísticos el problema plateado e el aálisis de frecuecias es estimar la cola de ua distribució de probabilidad F(x) descoocida, basada e u couto limitado de datos x, x,.. x. Los pocos datos extremos dispoibles hace difícil tal estimació La mayoría de las veces se requiere estimacioes que sobrepasa al mayor valor observado, lo que hace ecesario la extrapolació más allá del itervalo observado Los datos austados a ua distribució o ecesariamete se austará bie e los extremos de la distribució Aálisis Local Registros e el lugar Auste a ua fució de distribució Estimació del cuatil Aálisis Regioal Registros regioales Modelo de aálisis Regioal

8 Cuádo se aplica el Aálisis Regioal de Frecuecias? Cuado las series de valores extremos (máximos auales) so demasiadas cortas para hacer ua estimació fiable de los evetos extremos Cuado o hay registros e el lugar de iterés (caso geeral e países e desarrollo o subdesarrollados) Se combia los registros de datos (lluvia, caudal, sequía, etc..) de diferetes lugares e ua regió que pueda asumirse que tiee similares características (todos las series de datos de la regió procede de ua misma distribució paretal) Se estima ua Distribució Regioal de Frecuecias de valores extremos (precipitació, aveidas, sequias, caudales baos, etc.) para toda la regió que proporcioa iformació e lugares co datos escasos o caretes de ellos Se reduce la icertidumbre e las estimacioes de los cuatiles Este método asume que M estacioes co N años de registro, equivale a ua Estació-año, que proporcioa aáloga iformació que ua estació co MxN años

9 Método del ídice de aveida Regió D E A C B Se establece la variable Y, del couto de datos de la regió xai xbi x Y =,,... xa xb x Ei E dividiedo los datos x i de cada estació por la media de dicha estació. Este método asume que los datos adimesioalizados, e cada estació, sigue la misma ley de distribució e toda la regió. Se austa ua ley de distribució al couto de datos Y, y se obtiee los parámetros de dicha distribució. 3. El cuatil e cada estació,, se obtiee como x = x Y Siedo Y T el cuatil obteido de la distribució regioal. T T

10 4. MÉTODO DE LOS MOMENTOS LINEALES Los mometos-l so estadísticos de muestras de datos y de distribucioes de probabilidad. So aálogos a los mometos covecioales proporcioa medidas de localizació, dispersió, sesgo, curtosis y otros aspectos de la forma de las distribucioes de probabilidad o de las muestras de datos pero se calcula por combiacioes lieales de los elemetos ordeados de ua muestra (de aquí el térmio L) Vetaas de los mometos L sobre los mometos covecioales So capaces de caracterizar ua amplia gama de distribucioes So más robustos a la presecia de valores aómalos (outlieres) e la muestra Las estimacioes de los mometos L está meos suetas al sesgo que los mometos covecioales

11 Estimació de los mometos-l a partir de datos de la muestra La estimació de los mometos L se basa e la muestra de tamaño, de los datos dispoibles Para ello, se ordea los datos segú magitud creciete: X : < X : < <X : El estimador del mometo de probabilidad poderada es: r r x r r b : + = = = = x b : 0 x b : ) ( ) ( = = ( )( ) ( )( ) x b : 3 = = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) r r x r r b : = = Los mometos L de la muestra se defie como b b b b b b b b b b + = + = = = Los cocietes de los mometos L de la muestra se defie como r r t = = C v L = t Aálisis Regioal de Frecuecias

12 Termiología de los Mometos-L Mometos lieales de la distribució λ es la media-l de la distribució λ es el parámetro de escala-l τ es el C v -L τ 3 es el coeficiete de sesgo-l τ 4 es el cociete de curtosis-l Mometos lieales de la muestra 3 4 t = t t = = 3 4

13 Etapas fudametales e el ARF 3 Idetificació de Regioes Homogéeas Selecció de la Distribució Regioal de Frecuecias apropiada Estimació de Cuatiles e los lugares de iterés Lugares aforados Lugares o aforados Cuae (988) y GREHYS (996) presetaro detalladamete diversas metodologías de estimació regioal para el ARF, icluyedo las tres etapas ateriores La técica de los mometos-l se usa e las tres etapas del ARF Idetificació de Regioes Homogéeas Es la etapa más difícil y la que requiere mayor dosis de uicio subetivo Cocepto de homogeeidad Ua regió homogéea o presupoe que sea ua regió geográfica, puesto que la proximidad geográfica o es garatía de homogeeidad. Lugares geográficamete próximos puede teer características muy diferetes de la variable que se aaliza, sobre todo si la variabilidad espacial de las características fisiográficas e hidrológicas es grade. Ua regió homogéea agrupa lugares (estacioes) co similar comportamieto estadístico (habitualmete cuatificado por su C v )

14 Técicas de idetificació de regioes homogéeas Existe diversos modos de idetificar regioes homogéeas. Etre las técicas más usuales está: Aálisis Cluster (o aálisis de coglomerados) (Jigyi y Hall, 004) Aálisis de Compoetes Pricipales (Garcia-Marí y col., 0) Método de los resíduos (Wiltshire, 985; Natha y McMaho, 990; Jigyi y Hall, 004) Redes Neuroales Artificiales Lógica Borrosa (Fuzzy logic) (Jigyi y Hall, 004) (Jigyi y Hall, 004) Todas las técicas requiere Estadísticos de cada lugar Características del lugar Deducidos de las series de valores máximos auales obeto de estudio P.e., Precipitació media aual, media de la precipitació máxima aual e 4 h, área de la cueca, logitud de la corriete pricipal, pediete media del río, altitud del lugar, altitud media de la cueca, y otras características geográficas o fisiográficas

15 Ua vez idetificadas tetativamete las diversas regioes homogéeas, ha de calcularse e cada subregió las medidas de la discordacia y la homogeeidad basadas e los estadísticos de los mometos-l Estacioes de aforo Si algú lugar de ua regió es discordate co la regió e su couto, se elimiará de la regió, pudiédose cosiderar la posibilidad de desplazarlo a otra regió. Subregió Subregió Subregió 3

16 Medida de la discordacia Dado u grupo de lugares o estacioes hay que idetificar aquellos que sea fuertemete discordates co el grupo como u todo. La discordacia se mide co los mometos-l de los datos de los lugares. Valores críticos para el estadístico de la discordacia Nº de lugares e Nº de lugares e la Valor crítico la regió regió ,333,648,97,40,39, Valor crítico,63,757,869,97 3 U lugar se cosidera discordate si el valor de D i es mayor que el valor crítico dado e la Tabla T Para el lugar i, D i es Di = N( ui u ) A ( ui u ) 3 Siedo el vector u i el traspuesto del vector que cotiee los valores t, t 3 y t 4 del lugar i u la media del grupo ( i) ( i) ( i) [ t t t ] T ui = 3 4 u N i= = N u i A la matriz suma de los cuadrados y productos trasversales N A = i= ( u u )( u u ) T i i

17 Medida de la heterogeeidad Se estima el grado de heterogeeidad e u grupo de lugares para evaluar si los lugares puede, razoablemete, ser tratados como ua regió homogéea. Hay que aalizar si la dispersió etre lugares de los cocietes de los mometos-l de la muestra para el grupo de lugares es mayor de lo que podría esperarse de ua regió homogéea. La medida de la heterogeeidad se realiza mediate u estadístico H La regió se declara: Heterogéea si H es suficietemete grade Aceptablemete homogéea si H < Posiblemete heterogéea si H Defiidamete heterogéea si H >

18 Selecció de la Distribució Regioal de Frecuecias apropiada Ua vez defiida la regió homogéea los pasos a seguir para seleccioar la distribució regioal so: Agrupar los datos de las series de máximos auales de las estacioes icluidas e la regió previamete ormalizados por el valor medio de cada estació (Método de la Aveida Ídice) Austar ua fució de distribució de valores extremos al couto de datos máximos auales ormalizados de la regió Las distribucioes de probabilidad más usuales para caracterizar la relació etre las magitudes de los evetos y sus frecuecias so:. Geeralizada de Valores Extremos (GEV) Recomedada e los estudios de aveidas e Gra Bretaña Gumbel (EV) Frechet Weibull Pearso tipo III y Log Pearso tipo III Utilizada de forma ormativa e los EEUU Logormal ( y 3 parámetros) Logística Geeralizada Geeralizada de Pareto Wakeby co límite iferior SQRT-ETmax De gra auge e España

19 E lugares de iterés o aforados, la curva regioal puede redimesioarse co ua estimació del parámetro de ormalizació (típicamete el valor medio de la variable estudiada) del lugar obteido de características de la regió Hay que establecer ua relació regioal de regresió etre los valores medios de la variable aalizada e las estacioes de la regió y características de cueca e hidrológicas como variables explicativas

20 Se ha procedió a realizar u aálisis regioal de frecuecias, itraestació (i-site) co las ueve series de valores máximos auales de la estació de Málaga (Aeropuerto) Metodología Propuesta por Hoskig y Wallis (993, 997) Obteció de los mometos-l de las 9 series de valores máximos auales Programa RAZMOMEN Archivo de etrada Datos 0 miutos Malaga Archivo de salida Datos 0 miutos Málaga Datos registrados ordeados por magitud creciete Cocietes de los Mometos-L Numero de cocietes de mometos-l calculados: 5 Orde del Mometo-L Magitud l l 3.37 τ τ τ 5 De maera aáloga se calcularo los mometos-l para cada ua de las series, y los correspodietes cocietes de los mometos-l, τ =l /l (C v -L), τ 3 (C s -L) y τ 4 (C k- L), así como sus promedios regioales.

21 SERIE h h 3h 6h h 4h C v -L C s -L C k -L τ τ 3 τ 4 0,308 0,388 0, ,3376 0,386 0,3036 0,94 0,783 0,37 0,348 0,360 0,38 0,3487 0,957 0,408 0,59 0,59 0,704 0,783 0,049 0,59 0,83 0,34 0,066 0,0884 0,0378 Medias 0,35 0,308 0,336 Idetificació si la regió es homogéea Programa XTEST Archivo de etrada 9 Datos Malaga 0m m m h h h h h h Costituido por los valores de los cocietes de los de los mometos-l obteidos e el paso aterior

22 Archivo de Salida PROGRAMA XTEST Datos Malaga 9 LUGARES 0m m m h h h h h h SITE N NAME L-CV L-SKEW L-KURT D(I) 30 0m m m h h h h h h WEIGHTED MEANS ***** HETEROGENEITY MEASURES ***** (NUMBER OF SIMULATIONS = 500) OBSERVED S.D. OF GROUP L-CV =.08 SIM. MEAN OF S.D. OF GROUP L-CV =.03 SIM. S.D. OF S.D. OF GROUP L-CV =.0080 STANDARDIZED TEST VALUE H() = -.76 OBSERVED AVE. OF L-CV / L-SKEW DISTANCE =.0504 SIM. MEAN OF AVE. L-CV / L-SKEW DISTANCE =.0745 SIM. S.D. OF AVE. L-CV / L-SKEW DISTANCE =.070 STANDARDIZED TEST VALUE H() = ***** GOODNESS-OF-FIT MEASURES ***** (NUMBER OF SIMULATIONS = 500) GEN. LOGISTIC L-KURTOSIS =.46 Z VALUE= 4.4 GEN. EXTREME VALUE L-KURTOSIS =.0 Z VALUE= 3.6 GEN. NORMAL L-KURTOSIS =.98 Z VALUE=.4 PEARSON TYPE III L-KURTOSIS =.59 Z VALUE=.97 * GEN. PARETO L-KURTOSIS =.48 Z VALUE=.55 * PARAMETER ESTIMATES FOR DISTRIBUTIONS ACCEPTED AT THE 90% LEVEL PEARSON TYPE III GEN. PARETO WAKEBY QUANTILE ESTIMATES PEARSON TYPE III GEN. PARETO WAKEBY PROCESADOS TODOS LOS DATOS Para ua regió co 9 lugares el valor crítico D i de la discordacia es.39 No hay igú lugar discordate Puesto que H <, la regió es homogéea OBSERVED AVE. OF L-SKEW/L-KURT DISTANCE =.0694 SIM. MEAN OF AVE. L-SKEW/L-KURT DISTANCE =.095 SIM. S.D. OF AVE. L-SKEW/L-KURT DISTANCE =.009 STANDARDIZED TEST VALUE H(3) = -.3

23 3 Selecció de la Distribució Regioal de Frecuecias apropiada Comprobada la homogeeidad de la regió ha de seleccioarse ua fució de distribució de frecuecias para austarla a los datos ormalizados de la regió U primer test de bodad de auste de la distribució puede realizarse co los diagramas de los cocietes de los mometos-l Series aalizadas Media 0.5 C s -L (Coeficiete de Sesgo) C v -L (Coeficiete de Variació) C k -L (Coeficiete de Curtosis) Cs-L (Coeficiete de Sesgo) LOGN GEV P-III GLOG GPAR GUMB Datos aalizados Media Puede observarse que la distribució que más se aproxima al valor medio de C s -L y C k -L de la regió, y de los valores de las series aalizadas es la Distribució Geeralizada de Pareto (GPAR) seguida de la Pearso III

24 Tambié la salida del Programa XTEST especifica la distribució de frecuecias más apropiada e fució del ídice Z dist siedo el valor límite de Z dist Z dist < Auste de la distribució seleccioada a los datos de la regió Archivo de etrada Aálisis Regioal datos Aeropuerto de Málaga 9 0 miutos Miutos Miutos Hora Horas Horas Horas Horas Horas Programa XFIT Austa la distribució seleccioada a los datos de la regió

25 Archivo de salida programa XFIT ANALISIS REGIONAL PARAMETROS DE REPRESENTACION DE POSICION DE LOS MOMENTOS-L LUGAR 0 miutos N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 0 Miutos N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 3 30 Miutos N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 4 Hora N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 5 Horas N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 6 3 Horas N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 7 6 Horas N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 8 Horas N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L LUGAR 9 4 Horas N= 30 COCIENTES DE MOMENTOS-L Aálisis Rgioal datos Aeropuerto de Malaga COCIENTES PROMEDIOS REGIONALES DE LOS MOMETOS-L PARAMETROS REGIONALES DE LA DISTRIBUCION PARETO GENERALIZADA LUGAR CUANTILES NUMERO REGION

26 Auste de la distribució Geeralizada de Pareto y Pearso III a los datos regioales Probabilidad meor que F k α ( x) = ( x ε) α = ε = k = k Probabilidad meor que F ( x) = e αγ ( β) x xγ β α γ α = β =.9759 γ = x γ α dx Datos regioales ormalizados Distribució Geeralizada de Pareto Datos regioales ormalizados Distribució Pearso III Valores ormalizados de las series cosideradas Valores ormalizados de las series cosideradas

27 Tabla Cuatiles obteidos co la fució de distribució GPAR Serie Periodo de Retoro Regió 0 mi 0 mi 30 mi h h 3 h 6 h h 4 h Tabla Cuatiles obteidos co la fució de distribució Pearso-III Serie Periodo de Retoro Regió 0 mi 0 mi 30 mi h h 3 h 6 h h 4 h

28 Ua vez realizado el auste a la distribució apropiada, se costruye la curva regioal de crecimieto Valor adimesioal del cuatil regioal (q T = Q T /µ i ), Periodo de Retoro (años) Curva Regioal de Crecimieto Distribució GPAR Probabilidad de excedecia aual -F(x) = /T

29 Relació regioal etre los valores medios de las series de precipitacioes máximos auales y la duració Media de la precipitació máxima aual (mm) max P R Duració aguacero (miutos) = t = r

30 Uso de las relacioes regioales obteidas Valor adimesioal del cuatil regioal (q T = Q T /µ i ), Periodo de Retoro (años) Curva Regioal de Crecimieto Distribució GPAR Probabilidad de excedecia aual Media de la precipitació máxima aual (mm) max P R Duració aguacero (miutos) = t = r Eemplo de uso de las relacioes Se quiere estimar la precipitació de h de duració y 00 años de periodo de retoro e la localidad de Málaga Solució De la Curva Regioal de Crecimieto, para T = 00 años el valor adimesioal del cuatil regioal es q T = 3, E cosecuecia, el valor del cuatil para la duració de h será Q T = q T µ i Se ecesita coocer la magitud de µ i (valor medio de la precipitació máxima aual de h de duració) que segú la relació de la seguda gráfica es µ i = 4,8 Por cosiguiete, la precipitació de h y 00 años será: h QT = P00 = qt µ i = 3, 4,8 = 77, mm Valor sesiblemete igual al dado e las Tabla de la distribució Geeralizada de Pareto

31 DESARROLLO DE UNA RELACION Altura-Duració-Frecuecia PARA MÁLAGA La Curva Regioal de Crecimieto correspode a la Fució de Distribució Geeralizada de Pareto austada a los valores adimesioales de las series de máximos auales cosideradas (regió). F k α ( x) = ( x ε ) k La relació etre el periodo de retoro T, y F(x) es T = F ( x) () Siedo x el cuatil regioal adimesioal, q T () Combiado ambas ecuacioes () y () = ( x ε ) q T T k α = x = T k k α + ε k De la regresió etre los valores medios de las precipitacioes máximas y la duració, se tiee 0,3647 5, tr µ i = P max = 5797 (3) Combiado las ecuacioes (3) y (4) se obtiee el cuatil de la precipitació para u periodo de retoro T t y duració t r, r Q = P = q µ resultado T T t i t T P r (4) k α = + ε T k ( t ) r (5)

32 Sustituyedo e (5) los valores de los parámetros, α, k y ε, se obtiee la relació Altura-Duració-Frecuecia de la precipitació e Málaga Capital t T [ 6.603( ( T ) ).9589] tr P r + = (6) Siedo P T t r = altura de precipitació de T años de periodo de retoro y duració t r T = periodo de retoro (años) t r = duració del aguacero (miutos) SISTEMA DE ESTIMACIÓN DE EVENTOS EXTREMOS DE LLUVIA FONDEF Uiversidad de Talca EIAS Uiversidad de Córdoba

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