PRÁCTICA No. 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES

Transcripción

1 PRÁCTICA No. 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES 1 INTRODUCCIÓN E las ciecias aturales los resultados de las medidas experimetales sirve para verificar la validez de modelos, leyes y teorías. Por esta razó, e ciecia el experimeto es "juez de última istacia". E geeral, los euciados cietíficos está soportados e resultados de medició. No obstate, como toda actividad humaa, la medició o esta exeta de imperfeccioes. Todas las medidas, icluso las que se realiza co los métodos y equipos más sofisticados y por el persoal más calificado, posee algú grado de icertidumbre. Como cosecuecia, es obligació de todo experimetador reportar cualquier resultado de medició juto co ua estimació de su icertidumbre. E esta práctica se ilustrará, mediate u ejemplo cocreto, el método para calcular icertidumbres que se describe e la secció 2.2 del Laboratorio Cero. 2 PROCEDIMIENTO El sistema que se va a estudiar es u pédulo simple, es decir, ua masa putual que pede de ua cuerda. Las catidades por medir so las siguietes: - el período de oscilació del pédulo, - la logitud del pédulo, - la aceleració g debida a la gravedad terrestre. Ua vez medida cada variable se procederá a estimar su icertidumbre. Se calculará la icertidumbre tato para resultados de medició obteidos directamete del istrumeto (período y logitud) como para resultados de medició idirectos (e este caso, aceleració g). Adicioalmete, se calculará compoetes de icertidumbre por métodos tipo A y tambié por métodos tipo B. 2.1 MEDICIÓN DEL PERÍODO (T) DE OSCILACIÓN DEL PÉNDULO. Costruya u pédulo de logitud cualquiera l y pógalo a oscilar. Co el croómetro mida el tiempo de ua oscilació (tiempo de salida y regreso de la masa al mismo puto). Este tiempo se llama período y se simboliza co la letra T. Se recomieda iiciar la medició después de que el pédulo haya realizado al meos ua oscilació. Ello co el fi de evitar el efecto sistemático proveiete de algú empujó ivolutario que pueda darle la mao a la masa e el mometo de su liberació. Registre el valor obteido. Repita la operació aterior hasta completar 50 datos. Procure que cada uo de los datos se obtega de la misma maera, es decir, mismo método, misma persoa, mismo istrumeto, etc. 1

2 Se puede hacer alguos esayos prelimiares a la toma de los 50 datos (3 o 4), a maera de etreamieto, para garatizar la uiformidad del método. Aote sus resultados e la seguda columa de la tabla 1. Al observar los datos obteidos se ve que la mayoría de ellos so diferetes etre sí. Si embargo, ecesitamos reportar u solo resultado de medició. Cómo saber cuál de todos los valores obteidos debe reportarse como mejor estimado del período? La siguiete discusió ayudará a resolver dicha iquietud. Orgaice los 50 datos escribiédolos e orde ascedete e la tercera columa de la tabla No. 1. No omita los datos que se repite. A cotiuació debe costruir u gráfico de barras llamado histograma de frecuecias, para lo cual se debe diligeciar la tabla No. 2. Divida el rago de los datos (T max T mi ) e 5 o más itervalos. Aote cada itervalo e la primera columa de la tabla No.2. (Precaució: Defia los itervalos de tal maera que NO sea posible cotar el mismo dato e dos itervalos cotiguos). Ahora, e la columa de datos ordeados, cuete el úmero de datos que cae detro cada uo de los itervalos defiidos (si u dato se repite varias veces, cuételo tatas veces como se repita). El úmero de datos e u itervalo dado se llama frecuecia. Registre la frecuecia de cada itervalo e la seguda columa de la tabla No. 2. Verifique que el coteo fue correcto sumado la columa de frecuecias. La suma debe ser igual a el total de datos medidos, es decir, 50. co los datos de la tabla No. 2 haga ua gráfica de barras (Histograma) sobre la figura No. 1. E el eje horizotal debe ir los itervalos y el eje vertical correspode a la frecuecia. Ahora Calcule el promedio de los 50 datos y escriba su valor al fial de la tabla No. 1 (escriba el resultado co todas las cifras sigificativas que arroje la calculadora). Ubique el valor del promedio sobre el eje horizotal del histograma. E cuál de los itervalos se ubica dicho promedio? Cómo es la frecuecia de este itervalo comparada co las demás frecuecias?, Qué se puede cocluir acerca de la probabilidad de obteer el promedio como resultado de medició, e comparació co la probabilidad de obteer cualquier otro dato? Sus respuestas al umeral aterior justifica por qué el promedio de ua serie de medidas repetidas es el mejor estimado de la catidad por medir. Reporte el promedio como el resultado de la medició del período aotado este valor e el lugar que le correspode e el ecabezado de la tabla No ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL PERÍODO Recordemos brevemete los pasos a seguir para estimar la icertidumbre de u resultado de medició: I. Defiir la catidad por medir. II. Idetificar las catidades de etrada, esto es las variables de las cuales depede la catidad por medir. 2

3 III. Escribir el modelo matemático que relacioa las catidades de etrada co la catidad por medir. IV. Estimar la compoete de icertidumbre asociada co cada catidad de etrada. V. Combiar las compoetes de icertidumbre para ecotrar la icertidumbre combiada. VI. Reportar el resultado de medició co su icertidumbre. (Nota: E alguas ocasioes se suele aplicar u factor de cobertura a la icertidumbre combiada co el fi de dar u ivel de cofiaza l valor de la icertidumbre. Este o será el caso e esta secilla guía.) Ahora apliquemos estos pasos para calcula icertidumbre del período: Paso (I). Defiició de la catidad por Medir: E la primera fila de la tabla No. 3 describa e palabras la catidad por medir, es decir, el período. Pasos II y III. Catidades de Etrada y Modelo matemático. Existe u pricipio metrológico que establece que igú resultado de medició se puede reportar hasta tato o se le aplique las correccioes a que hubiere lugar. El VIM (2.53) defie ua correcció como la compesació de u efecto sistemático estimado. Ua correcció puede ser u sumado, u factor, o u valor que se deduce de ua tabla. El resultado de medició que se obtiee después de aplicar las correccioes se llama resultado corregido. Alguos ejemplos de correccioes so: Correccioes asociadas a los errores reportados e el certificado de calibració. Correcció por resolució del sistema de medició. Correcció por dilatació térmica del istrumeto de medició, de la pieza a medir o de ambos, Correccioes por elasticidad, por redodez, por plaitud, etc. E el caso de termómetros, correcció por imersió parcial etc. La aplicació de correccioes es u importate elemeto a teer e cueta a la hora de costruir el modelo matemático, sobre todo cuado se trata de variables de medició directa. E el caso que os ocupa, es decir, el período, vamos a cosiderar solo dos correccioes, ambas de carácter aditivo: La correcció por calibració C cal y la correcció por resolució C res. De esta maera, el modelo quedaría: T T C C (1) corregido Paso IV: Estimació de las compoetes de icertidumbre. Del modelo aterior se ve que las variables o catidades de etrada de las que depede el valor del período so: promedio T, la correcció por calibració C cal y la correcció por resolució C res. Estimemos la icertidumbre (o compoete de icertidumbre) que correspode a cada ua de ellas: res cal Icertidumbre T del promedio: El valor T se obtuvo de la repetició de 50 medicioes de período cuya variabilidad se ilustra e el histograma de la figura 1. Así, es razoable pesar que la icertidumbre del promedio está relacioada co la variabilidad de los datos. De acuerdo co los pricipios de la estadística, la variabilidad de u cojuto de datos se mide co parámetros de dispersió estadísticos, etre ellos la desviació estádar. E este experimeto se usará la desviació estádar como u idicador de la icertidumbre del 3

4 período promedio T. La variabilidad de u cojuto de medicioes repetidas es cosecuecia de las características del sistema de medició. Para el caso que os ocupa, el sistema de medició es el cojuto persoa croómetro y la variabilidad observada es cosecuecia de la combiació de efectos tales como: - Estimació a simple vista de los mometos de iicio y termiació de la oscilació. - El tiempo de reacció de la persoa e el istate de eceder y de apagar el croómetro. Ee decir, el tiempo que tarda el estímulo e recorrer el trayecto: ojo-cerebro mao. - Movimietos de torsió o rotatorios de la pesa, - Movimieto del puto de suspesió, - Cambios e logitud de la cuerda durate su recorrido debido a su elasticidad, etc. E estadística, el parámetro que refleja la icertidumbre de la media o promedio es la desviació estádar de la media, s m. Este parámetro está relacioado co la desviació estádar s del cojuto de datos de acuerdo co: s s m (2) Así, el valor de la icertidumbre de la variable T que se debe reportar e la tabla 3 T s m. Este parámetro cuatifica de los efectos combiados de las distitas fuetes de variació citadas arriba. Icertidumbre C res de la correcció por resolució. E este experimeto los tiempos se mide co u croómetro digital que lee hasta cetésimas de segudo, es decir, el cambio más pequeño de tiempo que el croómetro puede detectar es de 0,01 s. Así, cuado e el croómetro se lee, por ejemplo, el tiempo 1,43 s, se etiede que el istrumeto o sabe cuáles so las cifras que sigue después del dígito 3. Esto es, o puede iformaros ada acerca de las milésimas, las diezmilésimas, etc., del valor verdadero de la catidad medida. Por tato, el resultado 1,43 s sigifica que el valor verdadero de la medició debe estar e el itervalo 1,425 s < T < 1,435 s. Como cosecuecia, la correcció asociada co la resolució del istrumeto, que debería aplicarse al resultado 1,43 s para que coicida co el valor verdadero, debe ser u valor etre -0,005 s y 0,005 s. Ahora, como el valor verdadero de la medida es descoocido por aturaleza, tambié lo será la correcció. Por tato, lo úico que puede decirse sobre la correcció por resolució es que: -0,005 s < C res < 0,005 s Otra forma de expresar este mismo hecho es que C res =0 s ± 0,005 s. Es decir, puesto que es imposible saber cuáto vale realmete C res, el valor a reemplazar e la ecuació (1) y e la tabla No.3 es: C res =0 s. Mietras tato, la icertidumbre de C res o es cero: C res = 0,005 s. Icertidumbre C cal de la correcció por calibració. Otro pricipio básico e metrología es que todo istrumeto de medició debe haber sido calibrado ates de su uso. De esta maera se garatiza que el istrumeto está fucioado correctamete y, al mismo tiempo, se 4

5 asegura que las medidas tega trazabilidad a patroes iteracioales. Recordemos que ua calibració es la comparació de las lecturas de u istrumeto cotra las de otro istrumeto de mejor clase de exactitud, llamado patró. Si los errores, es decir, las diferecias etre las lecturas del istrumeto y las lecturas del patró so meores que las toleracias establecidas e los estádares pertietes, el istrumeto pasa la prueba. Los certificados de ua calibració puede veir acompañados de ua tabla dode está cosigados los errores que dio el istrumeto juto co la icertidumbre de cada error. Cuado este es el caso, los valores de la correcció C cal y de su icertidumbre C cal se toma directamete del certificado. De otro lado, si el certificado o cotiee tabla de errores, los valores de C cal y C cal se calcula a partir de las toleracias permitidas e los estádares de calibració del istrumeto, o de algua otra iformació cofiable relacioada. E uestro caso, por ejemplo, o teemos certificados de calibració de los croómetros (o ha sido calibrados). No obstate, e la literatura se ecuetra que el tiempo es ua de las variables metrológicas que puede reproducirse co mayor exactitud, y e promedio, los croómetros ofrece ua exactitud del orde de ±0,0005%. (ver el elace: tros.pdf ). Por lo tato, para u tiempo del orde de 2,00 s, la correcció por error o toleracia de calibració de este istrumeto debe ser del orde de ±0, s. Que equivale a, C cal = 0 ± 0, s. Por razoes similares a las del caso de la resolució, tomamos el valor de la correcció igual a cero (pues o sabemos si es por exceso o por defecto) pero su icertidumbre es distita de cero: C cal = 0, s. Paso V: Combiació de las compoetes de Icertidumbre: Registre e la tabla No. 3 los diferetes valores de las catidades de etrada y de sus icertidumbres. Combie dichas icertidumbre y obtega la icertidumbre combiada. Paso VI: Reporte de icertidumbre: E la última fila de la tabla No. 3 reporte el resultado de medició que obtuvo para el período, juto co su. Tega e cueta las ormas de redodeo que se explica e el laboratorio cero. 2.3 MEDICIÓN DE LA LONGITUD DE LA CUERDA. Ahora mida la logitud del pédulo desde el puto de suspesió o udo hasta el cetro de la masa. Registre su resultado e la 2ª fila de la tabla No ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE PARA LA LONGITUD No siempre se dispoe del tiempo, los recursos o la iformació ecesarios para repetir la medida y evaluar la icertidumbre por el método tipo A. E estos casos se debe recurrir a métodos tipo B. E geeral, estos métodos se basa e la experiecia, la ituició, el tateo, el coocimieto previo de la magitud por medir, iformació extraída tablas o mauales, etc. Aplicaremos solo métodos tipo B para el caso de la logitud del pédulo, cuya medida se realizó 5

6 ua sola vez. Siga los siguietes pasos para hallar la icertidumbre de la logitud. A medida e que los vaya realizado, cosige sus resultados y estimacioes e la tabla No Idetifique cuáles puede ser las diferetes fuetes de error e la medida de la logitud del pédulo y las correccioes correspodietes. Escriba la lista de estas catidades de etrada e la seguda columa de la Tabla 4 (cosidere e su discusió, el istrumeto, el procedimieto de medida etc.). - Escriba el modelo (fórmula) matemática que relacioa la catidad por medir co las diferetes variables o catidades de etrada. - Asígele u valor a cada catidad de etrada, 1, y estime su icertidumbre. - Halle la icertidumbre combiada l combiado las diferetes compoetes que cuatificó e el paso aterior. Use la regla de combiació que correspoda al modelo matemático de esta variable. Tega e cueta la secció del laboratorio cero. - E la casilla respectiva de la tabla No.4, reporte los valores de l y l co el úmero correcto de cifras sigificativas. Al térmio de esta secció, la tabla No. 4 debe quedar completamete diligeciada. 2.5 CÁLCULO DEL VALOR DE LA ACELERACIÓN GRAVITACIONAL g EN CALI Empleado las leyes de la mecáica ewtoiaa, puede probarse teóricamete que el período de u pédulo que oscila co pequeñas oscilacioes está dado por la expresió: T 2 l g Co los resultados de medició para T y l obteidos e las seccioes ateriores calcule el valor de la aceleració de la gravedad g e el laboratorio de física. De uevo, use y coserve e los cálculos itermedios todas las cifras sigificativas que da la calculadora. Redodee úicamete al fial, cuado vaya reportar el resultado co su icertidumbre. 2.6 ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE PARA LA GRAVEDAD De maera semejate a como lo hizo para el período y la logitud, siga los pasos ecesarios para hallar la icertidumbre g. Diligecie la tabla No. 5 a medida que sigue el procedimieto. Para facilitar sus cálculos exprese la fució g = f(t, l) como u producto de potecias. Termie de diligeciar la tabla No. 5 expresado g y su icertidumbre co el úmero correcto de cifras sigificativas. 1 Se asume de uevo que los errores cosiderados se debe a efecto aleatorios, esto es, que e caso de que se repitiera la medida el error tiee la misma probabilidad de ser positivo o egativo, oscilado su valor alrededor de cero. Por tato, el valor más probable para ua correcció debida a ese efecto es cero. 6

7 2.7 ERROR Medicioes más cofiables que la de esta práctica ha establecido que la gravedad e Cali tiee u valor de g = 9,77 m/s 2 + 0,10 m/s 2. Tomado este valor como referecia halle el error y el porcetaje de error de su resultado de medició. 3 CONCLUSIONES. Compare sus resultados, discuta acuerdos y diferecias y haga sus coclusioes. 7

8 Tabla No. 1 Medida Nº T i (s) T i (s) (ordeado) (T i - T )(s) (T i - T ) 2 (s 2 )

9 =50 i1 ( Ti ) ( Ti T ) i1 i1 ( Ti T ) 2 T s = 1 i1 Ti s 2 1 (Ti T 1 s s m = i1 ) 2 9

10 Tabla No 2 Itervalo frecuecia Figura No F r e c u e c i a

11 Tabla No. 3 Magitud por medir (Defiició de T, e palabras): Fució (Relació de T co las catidades de etrada): T = Resultado de Medició ( mejor estimado de T) T = X i Nombre de la catidad de etrada x i Valor de la catidad de etrada x i Icertidumbre estimada para el valor de cada catidad de etrada Método de estimació (A o B) T C res 0 C cal Expresió para calcular la icertidumbre combiada de la magitud por medir: T = T = Valor de la icertidumbre combiada Reporte del resultado de medició co su icertidumbre: T = + 11

12 Tabla No. 4 Magitud por medir (Defiició de l, e palabras): Logitud de la cuerda Fució (Relació de l co las catidades de etrada): l = Resultado de Medició ( mejor estimado de l) l = X i Nombre de la catidad de etrada x i Valor de la catidad de etrada x i Icertidumbre estimada para el valor de cada catidad de etrada Método de estimació (A o B) Expresió para calcular la icertidumbre combiada de la magitud por medir: l = l = Valor de la icertidumbre combiada Reporte del resultado de medició co su icertidumbre: l = + 12

13 Tabla No. 5 Magitud por medir (Defiició g, e palabras): Aceleració de la gravedad e Cali Resultado de Medició ( mejor estimado de g) g = Fució (Relació de g co las catidades de etrada): g = X i Nombre de la catidad de etrada x i Valor de la catidad de etrada x i Icertidumbre estimada para el valor de cada catidad de etrada Método de estimació (A o B) Expresió para calcular la icertidumbre combiada de la magitud por medir (deducir e casa): g = g = Valor de la icertidumbre combiada Reporte del resultado de medició co su icertidumbre: g = + Revisió