Apéndice I. Nociones de Cálculos de Errores. Definiciones

Transcripción

1 Uiversidad Tecológica Nacioal Facultad Regioal La Plata Departameto de Ciecias Básicas Uidad Docete Básica Física Laboratorio de Física Cátedra: Física I Apédice I Nocioes de Cálculos de Errores El trabajo de laboratorio e Física, tiee por objeto la medició de magitudes. Medir ua magitud Física es asociar u úmero y ua dimesió que depede de ua uidad que arbitrariamete se eligió, por ejemplo, medir u peso es determiar el úmero de veces que la uidad de peso elegida está coteida e el peso que queremos hallar. El resultado fial de todo trabajo de laboratorio deberá ser etoces u úmero y ua dimesió, es decir, ua uidad. Nuca debe omitirse la uidad e que se está midiedo dado que de ella depede el valor que asociamos a la magitud e medició. Si embargo, co solo dar u úmero dimesioado, el resultado del trabajo o está completo, si o idicamos de algua maera el grado de cofiaza que debemos teer e ese úmero. Esto es absolutamete ecesario porque o existe i puede existir istrumetos que permite medir exactamete, es decir, si error ua magitud. Todo aparato de medició, como obra humaa que es imperfecto, está afectado de error, difiere siempre algo del valor verdadero de la magitud que se mide, cualquiera sea el sigificado que queremos darle a ese hipotético valor verdadero. Apreciar el grado de cofiaza que podemos teer e ua medició es el objeto de cálculo de errores. Defiicioes Si X es el valor verdadero descoocido de la magitud medida y el resultado experimetal X, se llama error absoluto a la diferecia de estos valores: X = X X' () Este error o basta por sí solo para caracterizar la precisió de ua medició dado que o es lo mismo equivocarse e cm (?X = cm) al medir m que al medir Km. Ua apreciació mejor es medir el error que cometemos por cada uidad e que medimos la magitud. Este error se deomia error relativo: X e = () 2 X

2 2 Dode X es el valor verdadero de la magitud. E la práctica, solo se ecesita estimacioes del error. Por otra parte, es imposible hallar error absoluto co las fórmulas dadas, dado que para ello ecesitamos X, el valor verdadero, que es siempre descoocido. E el cálculo de errores etoces debemos cotetaros e poder hallar el error e forma aproximada, diciedo que el error e ua medició es seguramete meor que cierto úmero, error máximo, os colocamos siempre e el caso más desfavorable, pero si decir cuato vale exactamete el error. Por ejemplo, si medimos ua varilla co ua regla dividido al cm, el extremo de la varilla puede caer etre dos divisioes: varilla Etoces e vez de tratar de adiviar la posició, diciedo que mide 2, 2 cm, decimos que mide X = 2, 5 ± 0, 5 [cm]. El X es acá 2, 5 cm, el valor verdadero o sabemos cuato es exactamete, pero el error es seguro de 0, 05 cm. Podemos etoces reemplazar e (2) el valor verdadero por el resultado de ua observació que segú () difiere muy poco de él. Escribimos etoces el error relativo X. X' Sí multiplicó el error relativo por 00, obtedremos el error que cometemos por cada 00 uidades, o sea, el error porcetual: X e% = 00 X ' El error posible de cometer depederá etre otros factores que después ombraremos, de la sesibilidad del método de medida, que podemos defiir como la docilidad de respuesta del aparato o del método, así e la balaza es la desviació producida por u miligramo de sobrecarga. No hay que cofudir sesibilidad co precisió, dado que ésta se defie como la facultad de u método o de u aparato de repetir e mayor o meor grado los resultados de medicioes de ua misma magitud, realizadas e idéticas codicioes. No existe ua relació etre la precisió y la sesibilidad, u istrumeto muy sesible o tiee porque ser muy preciso, e alguos casos, como e la balaza, ua gra sesibilidad trae aparejada ua dismiució de la precisió.

3 Clasificació de los Errores Segú se origia los errores puede clasificarse e sistemáticos o casuales. a) Errores Sistemáticos: So los proveietes de imperfeccioes del aparato, del método de medida, de accioes exteras, como cambio de temperatura, campo magético terrestre, etc. Se caracteriza porque para cada caso so prácticamete iguales y del mismo sigo, so siempre por exceso o por defecto. Su elimiació, o por lo meos su dismiució, e los casos e que puede ser efectuada es bastate difícil. E geeral los cosideráremos despreciables frete a otros errores y e los casos e que sospechamos que o lo sea, itroduciremos correccioes e los resultados, por ejemplo, correcció de la logitud de u pédulo, reducció de ua pesada al vacío, correcció de la temperatura de u calorímetro por itercambio calórico co el ambiete, etc. b) Errores Casuales E todos los casos las medicioes se puede reducir a observar la posició de u ídice sobre ua escala. Las escalas se gradúa co las uidades apropiadas y uestra observació cosiste e decir que el ídice está más cerca de ua divisió de la escala que de otra. Geeralmete, se hace ua estimació de cuato más cerca está, para lo cual se supoe que existe graduacioes más fias, que las de la escala, por ejemplo, cada 0, de divisió e lugar de 0, 5. E u termómetro graduado e ºC (grados cetígrados), estimar la lectura e décimos de grado, sigifica imagiar que estas divisioes realmete existe y aotar cerca de cual de ellas está el ídice, e esta estimació va implícito u error. E ua escala como la descripta, se tiee u máximo error posible de media divisió, tal error debe idicarse, por ejemplo, de la maara siguiete: [ ] T = 29 ± 0,º 5 C Que idica los límites detro de los cuales la observació de T puede estar, es decir, que: [ ] [ ] 29 0,º 5 C T ,º 5 C La habilidad del observador le permitirá estimar u error meor que el máximo aputado más arriba. U caso especial es el de la medida de itervalos de tiempo co croómetro de disparador, e que la aguja se mueve efectuado saltos de /5 s ó /0 s (0, 2 s ó 0, s), segú el croómetro, itroduciedo e toda medida u error de esa magitud, dado que al apretar el disparador e el mometo preciso la aguja ya salto 0, 2 s, o sea, mediremos más o apretamos u poco ates tal que la aguja o tuvo tiempo de 3

4 4 saltar e el istate deseado, o sea, mediremos 0, 2 s de meos, por eso e estos croómetros vamos a supoer que este error es siempre de 0, 2 s dado que e el caso de relojes que mide co precisió de 0, s hay que teer e cueta el tiempo de reacció del observador que es de 0, s. Veremos e los trabajos que iterviee movimietos periódicos (pédulo o resorte) como se hace para dismiuir el error relativo del itervalo que se quiere medir. Hasta ahora, hemos visto como se puede estimar el error que posiblemete cometemos e ua determiació pero de aquí o se cosigue que el error real de uestra medició sea igual a ese error posible. Se puede ver esto midiedo ua magitud u cierto úmero de veces co el mismo istrumeto y e las mismas codicioes, se ecotrará que los valores difiere etre sí e pequeñas catidades. Esto se debe a muchísimos factores fuera del cotrol del experimetador estará ifluyedo e la determiació, tales como temperatura, presió, movimieto de los soportes, etc. Estos errores o previsibles y de orige prácticamete idetermiados, se deomia errores casuales. Para su estimació es ecesario hacer u úmero más o meos grade de observacioes. La teoría estadística de los errores, de la cual vamos a dar alguas ocioes ecesarias, se basa se basa e los siguietes postulados fudametales. º El valor medio o promedio aritmético de ua serie de observacioes realizadas e iguales codicioes. X = ( X + X2 + X X) = Xi i= i =,,, so los valores medidos, X es el valor Dode los X i ( ) más probable, es decir, que más se acerca al valor verdadero de la magitud que se está midiedo. 2º Es igualmete probable cometer errores del mismo valor absoluto y distito sigo, es decir, que e ua serie de observacioes, realizadas e idéticas codicioes, hemos cometido diez veces u error de + 0, 2 cometeremos aproximadamete diez veces el error 0, 2. Esto ya lo tuvimos e cueta al cosiderar el error de ua determiació y poerle el doble sigo. 3º E ua serie de observacioes los errores de pequeño valor absoluto so los más probables. Por ejemplo si estamos midiedo la logitud de u pédulo co ua cita métrica comú, la mayor parte de los resultados deferirá e, 2, ó 3 mm, habiedo muy pocos que deferirá e 8 mm y geeralmete iguo que difiere e 5 mm.

5 5 Cuado medimos ua magitud varias veces tedremos ua serie de valores, iguo de los cuales será el valor verdadero de la magitud, pero por el primer postulado de Gauss, el promedio de estos valores se acerca más al valor verdadero que buscamos. El problema reside etoces e hallar o mejor dicho, e tratar de estimar la diferecia que existe etre el valor verdadero y el promedio de las observacioes, o sea, lo que llamaremos error del valor medio, y lo desigamos co E. U vez hallado E podemos poer: Dado que: X = X ± E E = X ± X Dode X es el valor medio pero cómo vamos a hallar E si o coocemos el valor verdadero de X?. Para ello vamos a utilizar u método idirecto, y este es el camio: Teemos los úmeros X y su promedio aritmético: X = i= Defiimos así otros úmeros co los cuales co los cuales vamos a formar el llamado error medio cuadrático m que por defiició será: m X 2 i i= i= i ( ) = e = X X Es decir, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los errores aparetes dividido por el úmero de observacioes. Teiedo m hemos llegado a uestro objetivo, dado que, se demuestra haciedo ciertas restriccioes que el error del valor medio es: E = m - Como el error medio cuadrático o depede del úmero de observacioes vemos que el error del valor medio dismiuye a medida que aumeta. Haciedo ifiitas observacioes su promedio os deberá dar el valor verdadero dado que E tiede a cero, esto es lo que se llama ua ley estadística, pero e la práctica, o podemos realizar ifiitas observacioes, si embargo, la ley es útil dado que permite estimar el error. Pero hay otras cosas muy importates e la práctica al hallar E solo hallamos el error debido a imperfeccioes casuales e cada medició, pero a su vez cada medició está afectada de errores sistemáticos, de modo que el error verdadero será: i 2

6 6 X = X ± E ± error sistemático Vimos que E se puede hacer ta pequeño como se quiera co tal de tomar u úmero grade de medicioes, pero o solo vale la pea hacerlo hasta hacer E despreciable frete a los otros errores. Por ejemplo, midamos 000 veces ua magitud y hallamos que el promedio es de 34, 55, co u error sistemático de 0, 02 debido al aparato de medida. Luego calculamos E, hallado e i y m y obteemos u valor de E = 0, 0008, que es despreciable frete al error sistemático, por lo tato o era ecesario hacer 000 determiacioes, bastaba muchas meos para elimiar la ifluecia de los errores casuales. Uo de los problemas más importates del cálculo de errores es hallar u úmero de observacioes ecesaria para que los errores casuales se haga despreciables frete a los sistemáticos. Medidas Idirectas Hasta ahora se habló del error e las medicioes directas, es decir, determiació de u peso co ua balaza, determiació de ua temperatura co u termómetro, etc. Vamos a cosiderar ahora los errores de las medicioes idirectas que resulta de aplicar ua ley física que vicula magitudes directamete medibles co la magitud a determiar. Medicioes idirectas so por ejemplo la del calor específico de u cuerpo y la viscosidad de u fluido. E estos casos es ecesario cosiderar como se puede estimar el error posible del resultado fial a partir de los errores posibles e cada ua de las observacioes. física. Las siguietes reglas basta para los trabajos a realizarse e el primer curso de º Si las catidades está sumadas o restadas, el error posible del resultado es la suma de los errores de cada ua de dichas catidades. Supogamos que e u experimeto se observaro las siguietes temperaturas: = ±,º [ ] y t = 28 ± 0,º 3 [ C] ti 0 5 C f El aumeto de temperatura está dado por la diferecia de ambos valores, es decir, 7 ºC ± el error posible, obteido sumado los errores de cada medició, escribiédose: [ ] t = 7 ± 0,º 8 C 2º Si las catidades está multiplicadas o divididas, los errores de las mismas debe ser covertidos e relativos y luego sumados. Por ejemplo si la magitud L

7 7 está relacioada co las magitudes directamete medibles X, Y y Z, de la siguiete maeral = XY i el error relativo e esta expresió está dado por: Z L X Y Z = + + () 3 L X Y Z De lo aterior se deduce que elevado ua catidad a la potecia eésima se multiplica su error relativo por, valiedo esto para ídices fraccioarios tambié, por ejemplo sil = XY i m Z será: L X Y Z = + + m () 4 L X Y Z Importacia de la Estimació del Error Mediate la valorizació y discusió de los errores ates de la realizació de las observacioes, se puede obteer las vetajas siguietes: medir co mayor cuidado aquellas magitudes cuyos errores posibles sea mayores, eligiedo e todo caso istrumetos más precisos para medirlas, se tedrá elemetos de juicio para difereciar etre varios métodos cual será el que os dé meor error, etc., además, obteer el úmero de cifras sigificativas co que debe darse u resultado, supogamos que 3 obteemos el siguiete resultado: δ = 29, gcm. El problema es saber que úmero de cifras podemos garatizar co uestra determiació, si el error calculado es 0, 02 g/cm 3, podemos garatizar la seguda cifra decimal co u error de ± 0, 02 g/cm 3 y las subsiguietes carece de setido y solo se debe a ua operació matemática y o a ua observació. 3 Escribiremos etoces: δ = 29, 37 ± 0, 02 g cm,o sea, el valor verdadero puede ser cualquier úmero etre 29, 35 y 29, 39.