Unidad 2 Diseño de experimentos de un factor

Transcripción

1 Uidad Diseño de experimetos de u factor.. Familia Diseños para comparar tratamietos.. Diseño Complemetario al azar y ANOVA.3. Comparacioes o Pruebas de Ragos Multiples.4. Verificació Supuestos del Modelo.5. Elecció del Tamaño de Muestra.6. Software Estadístico.. Diseño Complemetario al azar y ANOVA ANÁLISIS DE VARIANZA Se supoe el caso de u fabricate y tres cosumidores de latas cuyo fodo tega al meos 0.5 libras de recubrimieto de estaño. Mediate u tratamieto químico, se puede medir el peso de este recubrimieto, pero desgraciadamete o se puede repetir la experiecia co la misma muestra e lo cuatro laboratorios. U esayo experimetal puede cosistir e cortar discos a eviar a cada laboratorio, pero puede haber diferecias e el promedio debido: a) diferecias sistemáticas e la técica de medició, b) variabilidad aleatoria. Por otro lado, está la icógita de cuátos discos debería cortarse para eviar a cada laboratorio. Ua forma de determiar este valor es utilizado la desviació estádar de la distribució muestral etre dos medias. Se supodrá que este úmero está e el orde de por laboratorio (e total 48 discos). La preguta ahora es cómo seleccioar esos 48 discos de ua chapa, la primera que viee a la mete es eviar segú este formato: Si las medias de las medicioes realizadas por cada uo de los laboratorios está muy dispersas, idica falta de cosistecia e las medicioes. Esto puede ser porque todos mide distito o quizá porque la distribució del depósito e la chapa es irregular. Es decir,

2 se cofude la icosistecia de los laboratorios co la catidad de estaño depositado e la tira. Ua solució posible para esto sería umerar aleatoriamete los discos, por medio de ua Tabla de Números Aleatorios o co ua computadora, destiado a cada uo de los laboratorios los siguietes discos: Laboratorio A: 3, 0,. Laboratorio B: 33, 4, 8. Laboratorio A: 5,, 8. Laboratorio A: 45,, 35. Esta alterativa disuelve el patró de la disposició de estaño sobre la chapa (por ejemplo, más espesor e el cetro que e los bordes). Al aleatorizar el total de los 48 discos sólo queda atribuir a variació aleatoria las causas extrañas. Otra solució podría ser etregar los 48 de ua misma tira (experimetació cotrolada), pero los resultados sería sólo aplicables a distacias fijas del extremo de la lámia. Rara vez se fija todos o la mayoría de los factores extraños a lo largo de u experimeto, se cosigue así ua estimació de la variació aleatoria que o esté iflada por variacioes debidas a otras causas. E la práctica, los experimetos deberá plaearse de tal maera que las fuete coocidas de variabilidad sea deliberadamete cosideradas sobre u rago ta amplio como sea ecesario. Más aú, deberá variarse e tal forma que su variabilidad pueda elimiarse e la estimació de la variable aleatoria. U modo es repetir el experimeto e varios bloques e los que la fuete coocida de variabilidad (esto es, variables extrañas) se matiee fijas e cada bloque, pero variado de bloque e bloque: Tira Tira Tira 3 Tira 4 Laboratorio A 8, 4, 0 3, 4, 9 6, 9, 35 37, 44, 48 Laboratorio B, 6,, 5, 34, 33, 3 45, 43, 46 Laboratorio C, 5, 6, 0, 3 36, 9, 30 4, 38, 47 Laboratorio D 7, 3, 9 7, 8, 4 8, 3, 5 39, 40, 4 De este modo, las diferecias etre medias obteidas por los 4 laboratorios, o puede atribuirse a variacioes etre tiras. DISEÑOS COMPLETAMENTE ALEATORIOS Se supoe que el experimetador cueta co los resultados de muestras aleatorias idepedietes, cada ua de tamaño, de diferetes poblacioes (datos relativos a tratamietos, grupos, métodos de producció, etc.). Iteresa probar la hipótesis de que las medias de esas poblacioes so todas iguales. Se deota a la j-ésima observació de la i-ésima muestra por y ij. El esquema geeral para u criterio de clasificació es:

3 Muestra y y y j. y Medias Muestra y y y j y. Muestra i y i y i y ij y i. Muestra y y y j y Bajo este esquema experimetal, e referecia al ejemplo tratado, y ij (i=,,..,4; j=,,, ) es la j-ésima medició del peso del revestimieto del iésimo laboratorio, e es la media global (o gra media) de las 48 observacioes. Para pruebas de hipótesis (medias iguales) se supodrá estar trabajado co poblacioes ormales de la misma. Si i es la media de la població i-ésima y es la variaza comú de las poblacioes, se puede expresar cada observació y ij como i más el valor del compoete aleatorio: y i j = i + i j para i=,,..,; j=,,, i j es ua variable aleatoria co distribució ormal, = 0 y comú. Para dar uiformidad a las ecuacioes, se reemplaza i por + i, dode es la media de las i y i es el efecto del i-ésimo tratamieto, de aquí que: i i 0 esto surge de: i i i i i i luego, la expresió de y ij queda: y i j = i + i j para i=,,..,; j=,,, Por lo tato, la Hipótesis Nula (las medias de las poblacioes iguales) se reemplaza por la Hipótesis Nula de que = = = = 0. La Hipótesis Altera de que al meos dos de las medias so distitas equivale a que i < > 0 para algua i.

4 Para probar la Hipótesis Nula, se compara las estimacioes de (ua e base a la observació de las medias muestrales y la otra co la variació detro de la muestra). cuatro laboratorios de u Ya que cada muestra viee de ua població co variaza, la variaza se puede edias obteidas por estimar cada uo de cualquiera de las muestras: uir ua Tabla de aálisis de s i j y ij y i y etoces tambié por su media: cada ua de las variazas muestrales s i está basada e (-) grados de libertad y etoces está basada e.(-) grados de libertad. Por otro lado, la variaza de las medias muestrales está dada por: y si la hipótesis es verdadera, esta expresió da ua estimació de / y así ua estimació de, pero basada e la diferecia etre las medias, está dada por: basada e (-) grados de libertad. Si Ho es cierta, se puede demostrar que y so estimacioes idepedietes de y por ello: F = / es ua variable aleatoria co distribució F co = - y =.(-) grados de libertad.

5 Cabe esperar que la variaza etre muestras,, exceda la variaza detro de las muestras,, cuado la Hipótesis Nula es falsa, por eso Ho será rechazada si F>F. Co el argumeto aterior se ha idicado cómo la prueba de las medias se puede fudametar e la comparació de dos estimacioes de variazas. Es otable el hecho de que las dos estimacioes e cuestió [excepto para los divisores (-) y.(-)] puede obteerse partiedo o aalizado la variaza total de las. observacioes e dos partes. La variaza muestral de las. observacioes está dada por: se puede probar el siguiete teorema respecto del umerador, llamado Suma de Cuadrados Total: Demostració: y como: y y yi y. ij i y y ij i y y ij i y y. i i j i j y y ij i y y. i y y ij i y y. i i j i j i j y y ij i se verifica la relació aterior: Se acostumbra a deotar: a) Suma de Cuadrados Total, SST: SST y ij y. i j 0 y y. i

6 b) Suma de Cuadrados de Error, SSE: c) Suma de Cuadrados de Tratamieto SS(Tr): Luego, F se puede escribir así: F SS ( Tr) SSE ( ) los resultados obteidos so resultados e la siguiete tabla: Fuetes Variació de Grados de Libertad Suma de Cuadrad os Media Cuadrada Tratamiet os - SS(Tr) MS(Tr)=SS(Tr)/(- ) Error.(-) SSE MSE=SSE/.(-) Total.- SST F MS(Tr)/M SE Ejemplo: A fi de utilizar el Aálisis de Variaza para u criterio de clasificació, supoer el siguiete esquema de medicioes de cuatro laboratorios de u parámetro determiado (revestimieto de estaño de discos) cuyos resultados so: Total Lab. A Lab. B Lab. C Lab. D Total.69 del que se quiere probar que las medias obteidas por cada uo de ellos es sigificativamete igual (Hipótesis Nula) co =0.05. Costruir ua Tabla de aálisis de variaza.

7 Para facilitar cálculos, se utiliza las fórmulas: SST y ij C SS ( Tr) i j Demostració: y y 0 ij i Para Suma de Cuadrados total j SST y y ij. y ij i j i j C i j i j y. y ij y ij ( ) y ij T i C i y. y ( ). ( ) y ij i j y. i j ( ) y ij i j y. y. y ij SST i j y ij C Para Suma de Cuadrados de Tratamietos: y ( ) i y y. C ij i i j SS( Tr) y y. i y y i. y i y. i i i SS( Tr) y C ij T i C i j i dode C (llamado Térmio de Correcció) y T i es: C y ij T i i j j y ij

8 dode T i es el úmero total de observacioes de la i-esima muestra, Mietras que T es el Gra Total de las. observacioes. Luego, SSE se obtiee de: SSE = SST SS(Tr) Para el ejemplo: T =.69 C = T /(.) =.69 /(4.) =.8470 SST= = SS(Tr) = ( ) / = SSE = = la Tabla queda: Fuetes Variació de Grados de Libertad Suma de Cuadrad os Media Cuadrada Laboratori os Error Total Coforme a las tablas de la fució F, se puede ecotrar el valor correspodiete de la abscisa que deja a la derecha u área de 0.05 siedo además los grados de libertad para el umerador y deomiador 3 y 44, respectivamete, como lo idica el siguiete gráfico F

9 Ya que F (.87) excede a F 0.05 =.8, se rechaza la Hipótesis Nula, luego los laboratorios o está logrado resultados cosistetes..3. Comparacioes o Pruebas de Ragos Múltiples COMPARACIONES MÚLTIPLES Co las pruebas F empleadas se demostraba si las diferecias etre varias medias era sigificativas, pero o iformaba si ua media e particular (o medias) difiere e forma sigificativa de otra media cosiderada (o grupo de medias). E el caso de los pesos de los recubrimietos puede ser importate que los laboratorios difiera uos de los otros. Si u experimetador tiee ate sí medias, parece razoable probar etre todos los pares posibles, esto es efectuar.(-)/ pruebas t bimuestrales. Esto o es eficiete. Para ello se utiliza Pruebas de Comparacioes Múltiples, y etre ellas la Prueba del Rago Múltiple de Duca. Las suposicioes básicas so, e esecia, las del aálisis de la variaza e ua dimesió para tamaños muestrales iguales. La prueba compara el Rago de Míima Sigificacia, R p, dado por: aquí R p sr p x es ua estimació de: x y puede calcularse como: s x MSE dode MSE es la media de los cuadrados de error e el Aálisis de Variaza. El valor de r p depede del valor deseado de sigificacia y del úmero de grados de Libertad correspodiete a la MSE, que se obtiee de tablas existetes e la bibliografía (Miller y Freud, Estadística para Igeieros, tablas a, para =0.05 y b, para =0.0, co p=,3,,0 y para varios grados de libertad etre y 0). Ejemplo: Co respecto a los datos de los pesos de los recubrimietos de estaño, aplicar la prueba del Rago Múltiple de Duca para probar cuáles medias de los laboratorios difiere de las otras empleado u ivel de sigificacia de Para ello se ordea, e orde creciete, las cuatro medias muestrales: Laboratorio B C D A

10 Media luego, se calcula usado MSE = del Aálisis de Variaza: s x siedo el úmero de grados de libertad =.(-) = 44. Por iterpolació, e la Tabla -a, se obtiee los valores de r p : multiplicado r p por = 0.0: p 3 4 r p P 3 4 R p El rago de las cuatro medias es = 0.04, que excede a R 4 = 0.034, que es el rago sigificativo míimo. Esto era de esperar, porque la prueba F idicó que las diferecias etre las cuatro medias era sigificativas co a = Para probar que hay diferecias sigificativas etre tres medias adyacetes, se obtiee los ragos de y 0.03 respectivamete para 0.30, 0.50, 0.68 y 0.7, 0.30, Puesto que el primero de estos valores sobrepasa a R 3 = 0.033, las diferecias correspodietes o so sigificativas. Por último e el caso de parejas adyacetes de medias, igú par adyacete tiee rago mayor que el rago sigificativo míimo R = Esto se resume: dode se ha dibujado ua líea bajo cualquier cojuto de medias adyacetes para las cuales el rago es meor que u valor correspodiete de R p, esto es, bajo cualquier cojuto de medias adyacetes, para las cuales las diferecias o so sigificativas. Se cocluye así que el Laboratorio A obtiee los pesos medios de recubrimieto más alto que los Laboratorios B y C..4. Verificació Supuestos del Modelo

11 Para estimar los parámetros,,, 3 y 4 se puede emplear míimos cuadrados miimizado: y ij i i j co respecto a y a las i, sujetas a la restricció Esto se puede hacer por el método de los Multiplicadores de Lagrage. Derivado la peúltima expresió respecto de e igualado a cero: i j y ij i y ij i j i j y ij 0 0 i j 0 i 0 i j para u i dado: j y ij i 0 i y ij j j j Ejemplo: Estimar los parámetros del modelo co u criterio de clasificació para los revestimietos de estaño del ejemplo aterior

12 Elecció del Tamaño de Muestra TAMAÑOS MUESTRALES DISTINTOS El Aálisis de Variaza descripto, se aplica a criterios de clasificació e que cada muestra tiee el mismo úmero de observacioes. Si o es así, y los tamaños muestrales so,,, se tiee que sustituir N = i por. e todo lo aterior, quedado el siguiete esquema de partida: Muestra y y y j. Medias Muestra y y y j. Muestra i y i y i y ij. Muestra y y y j Se obtiee la variaza detro de la muestra: y s i i i y ij y i j la variaza de las medias muestrales es: y

13 co lo cual se determia: La variaza muestral de las N observacioes está dada por: se puede demostrar que: SST = SSE + SS(Tr) Co: SST siedo: C i i j y ij C SS ( Tr) i y ij N T i i j i i y ij T i i C Problema: El coteido de aflatoxia, e partes por milló, de alguas muestras de crema de maí se prueba y se cosigue los siguietes resultados: Total Marca A Marca B Total 4.9 a) Emplear Aálisis de Variaza para probar si las dos marcas difiere e e coteido de aflatoxia, co u ivel de sigificacia a=0.05. b) Probar la misma hipótesis usado la prueba t-bimuestral.

14 Respuesta: a) y. y 4.05 y.. SST SS ( Tr) 8 y j 3 j j i y i 3 6 y j i SSE = SST SS(Tr) = = (. 3) 6 ( ).74 Fuetes de Variació Grados de Libertad Suma de Cuadrad os Media Cuadrada Tratamiet os Error Total Dado que.05 < 4.75 (valor de F, de Tablas, co =0.05, = y =) se rechaza la Hipótesis de que las dos marcas difiere e el coteido de aflatoxia. b) El estadístico para esta prueba es: F t s x x s s 8.5 s 5.48 t ( 8 ) 8.5 ( 6 ) ( 8 6 ) siedo t 0.05 = -.8 co = + = = grados de libertad, se aprecia que t > t 0.05 por lo tato se rechaza la Hipótesis de que las dos marcas difiere e el coteido de aflatoxia. Puede comprobarse que el estadístico t co grados de libertad y el estadístico F co grados de libertad está relacioados por: F(,t lo se puede verificar para este caso:

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