ANTES DE COMENZAR RECUERDA

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1 ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 E ua revista leemos que el pastor alemá tiee ua alzada media de cm. Crees que ha medido a todos los pastores alemaes del plaeta? Explica cómo crees que ha llegado a esta coclusió. No los ha medido. Se elige ua muestra represetativa de la població de pastores alemaes y se estudia el valor de la media e dicha muestra. 00 Idica el tipo de variable estadística que estamos estudiado. a) El programa favorito de los miembros de tu familia. b) El úmero de calzado de los alumos de u IES. c) La temperatura media diaria de tu provicia. d) La edad de los habitates de u país. e) El sexo de los habitates de u pueblo. f) El diero gastado a la semaa por tus amigos. g) Los efectos de u uevo medicameto e el ser humao. h) El color del pelo de tus compañeros de clase. a) Cualitativa b) Cuatitativa discreta c) Cuatitativa cotiua d) Cuatitativa discreta e) Cualitativa f ) Cuatitativa discreta g) Cualitativa h) Cualitativa 003 El úmero de horas diarias de estudio de 30 alumos es: a) Orgaiza los resultados e ua tabla de frecuecias. b) Qué sigifica las frecuecias acumuladas? a) Horas f i h i F i H i 0 3 0, 3 0, 8 0,7 0,37 7 0,3 8 0, , 4 0, , 7 0,9 3 0, N = 30 h i = 30 b) Las frecuecias acumuladas idica el úmero de alumos que estudia como máximo el úmero de horas correspodiete. Por ejemplo, la frecuecia acumulada para el valor es 8, es decir, hay 8 alumos que estudia 0, o horas. 3

2 Estadística bidimesioal 004 De los 30 asistetes a ua cea, el 0 % comió terera, el 40 % cordero y el resto tomó pescado. Idica la variable estadística y orgaiza los resultados e ua tabla de frecuecias; después, represeta los datos e u diagrama de sectores. La variable estadística es el plato elegido e la cea. Plato f i h i F i H i Pescado Terera Terera 6 0, 6 0, Cordero 0,4 8 0,6 Pescado 0,4 N = 30 h i = 30 ACTIVIDADES Cordero 00 Po dos ejemplos de variables estadísticas uidimesioales. Respuesta abierta. Por ejemplo: la calificació de los alumos de ua clase e u exame y la estatura de los miembros de u equipo de balocesto. 00 Orgaiza estos datos e ua tabla de frecuecias absolutas y relativas x i f i h i 0,08 4 0,7 3 0,3 0,08 3 0,3 0,08 4 0,7 0,08 0,08 N = 4 h i = F i H i 0,08 6 0, 9 0,38 0,46 4 0,9 6 0,67 0 0,84 0,9 4,9 003 La tabla muestra la estatura, e cetímetros, de u grupo de persoas. Estatura (cm) [6, 7) [7, 8) [8, 9) N. o de persoas 40 8 a) Elabora ua tabla de frecuecias. b) Qué porcetaje de persoas mide etre 6 cm y 7 cm? meos de 8 cm? 3

3 a) Estatura x i f i h i F i H i [6, 7) ,7 40 0,7 [7, 8) ,7 0,83 [8, 9) 90 0,7 N = 0 h i = 0 b) El porcetaje de persoas que mide etre 6 cm y 7 cm es del 7 %. el porcetaje de persoas que mide meos de 8 cm es del 83 %. 004 A partir de los datos, costruye la tabla de frecuecias, y calcula las medidas de cetralizació x i f i h i 0,04 0,04 0,04 0,08 0,04 0,04 0,08 3 0,3 0,04 0,04 0,04 0,04 0,08 0,08 0,04 0,04 0,08 N = 4 h i = F i H i 0,04 0,08 3 0,3 0, 6 0, 7 0,9 9 0,38 0, 3 0,4 4 0,8 0,63 6 0,67 8 0,7 0 0,83 0,88 0, x = = 8,33 El valor medio es 8,33. 4 Mo = 7 El valor más frecuete es Me = = 7, Hay tatos valores meores que 7, como mayores. 33

4 Estadística bidimesioal 00 Obté e iterpreta las medidas de cetralizació correspodietes a los datos de esta tabla. Peso (kg) [0, 6) [6, 80) [80, 9) N. o de persoas Peso x i [0, 6) 7, [6, 80) 7, [80, 9) 87, f i N = 9. 46, x = =7,7 9 El peso medio es de 7,7 kg. El itervalo modal es [6, 80); su marca de clase: 7, es la moda. Lo más frecuete es que el peso esté compredido etre 6 kg y 80 kg. El itervalo mediao es [6, 80); su marca de clase: 7, es la mediaa. Hay tatas persoas que pesa meos de 7, kg como persoas que pesa más. h i Calcula las medidas de dispersió para estos datos. Clases [, ) [, ) [, 3) [3, 4) Frecuecias 3 4 Clases x i [, ) 0 [, ) 0 [, 3) 30 [3, 4) 40 f i 3 4 N = 0 x i x (x i x ) 6,67 77,89 6,67 44,49 3,33,09 3,33 77,69 x = = 6,67 Rago: R = 4 = , 6 Desviació media: DM = 0 =, , 8 Variaza: σ = 0 =,6 Desviació típica: σ=,47 Coeficiete de variació: CV =, 47 6, 67 = 0,47 34

5 007 Compara las edades, e años, de los jugadores de estos equipos de balocesto, utilizado las medidas estadísticas. A: B: x A = 38 79, 6 8, =3,8 σ A = = 7,96 σ A =,8 CV A = 0 0 3, 8 = 0, x B = 4 3, 4 8, =,4 σb = = 3,4 σ B =,8 CV B = 0 0, 4 = 0,08 La media de las edades del equipo A es superior, pero tambié es mayor el coeficiete de variació de este equipo, por lo que hay más diferecias etre sus jugadores. 008 Cosidera estas variables bidimesioales, y escribe las variables uidimesioales correspodietes y tres pares de valores que las determia. a) Edad y sexo de los asistetes a u cocierto. b) Tamaño de u archivo iformático y tiempo que se tarda e copiarlo. a) Edad, e años, de los asistetes al cocierto Sexo de los asistetes (0, mujer) (, hombre) (8, mujer) b) Tamaño, e kb, del archivo iformático Tiempo, e s, que se tarda e copiarlo (0, 3) (8, 4) (8, 4) 009 Ordea estos datos e ua tabla de doble etrada Total Total 6 3

6 Estadística bidimesioal 00 Costruye la tabla de doble etrada y las tablas margiales correspodietes Total Total 3 0 Tabla de frecuecias margiales de Tabla de frecuecias margiales de x i f i Total 0 y i f i Total 0 0 Determia la covariaza para los datos que aparece e la siguiete tabla x = 86 = 0,7 8 6 y = 8 =,7. 79 σ = 8 0,7,7 = 9,44 0 Represeta la ube de putos correspodiete a la siguiete variable estadística bidimesioal

7 03 Idica la depedecia etre estas variables. Depedecia lieal débil y positiva. 04 Describe el grado de correlació etre las dos variables represetadas. La correlació lieal es débil y egativa. 0 Si el sigo de la covariaza etre dos variables es egativa, qué podemos decir del sigo del coeficiete de correlació? si la covariaza es positiva? Si la covariaza es egativa, el coeficiete de correlació es egativo. si la covariaza es positiva, el coeficiete de correlació es tambié positivo. 06 Represeta el diagrama de dispersió y halla el coeficiete de correlació de esta variable Qué relació puedes describir etre ellos? x = = 40,8 y = = 76, 0 0 σ = 336, =,83 σ = 8, 96 = 9, , 6 σ = 40,8 76, = 3,6 r = = 0,8 0 83, 90, 37

8 Estadística bidimesioal 07 Razoa qué valor tomará el coeficiete de correlació. a) b) a) El coeficiete de correlació tomará u valor relativamete cercao a, porque la ube de putos se aproxima bastate a ua recta co pediete egativa y la correlació es fuerte. b) El coeficiete de correlació es, ya que la ube de putos coicide co ua recta de pediete positiva. 08 Halla la recta de regresió de sobre x = = 6 y = = σ = = 6 σ = 6 6 = 8 8 Recta de regresió de sobre : y 6 = (x 6) y = 3x 6 09 Determia la recta de regresió correspodiete x = = 40,7 y = = 74, σ = 40,7 = 3,4 σ = ,7 74, =,3, 3 Recta de regresió de sobre : y 74, = (x 40,7) y = 3,6x + 7,7 34, 00 Determia las dos rectas de regresió, e idica la relació que hay etre las variables. a) b)

9 60 a) x = = y = = 4, σ = = 3,6 σ = 4, =,, Recta de regresió de sobre : y 4, = (x ) y = 0,6x +, 36, 99 σ = 4, =,6, Recta de regresió de sobre : x = (y 4,) x =,0y + 6,8 6, σ = 36, =,89 σ = 6, =,47, r = 89, 47, = 0,79 La depedecia es débil y egativa. 4 b) x = =, y = = 4, σ =, = 6, σ =, 4, = 7, , Recta de regresió de sobre : y 4, = (x,) y =,4x 6,. 3 σ = 4, =, 0 77, Recta de regresió de sobre : x, = ( y 4,) x = 0,3y + 7,43, σ = 6, =, σ =, = 4,7 r = 77,, 47, = 0,66 La depedecia es débil y positiva. 0 Razoa cuál es el grado de depedecia etre las variables e cada caso. a) b) a) La depedecia es fuerte y egativa. b) La depedecia es débil y egativa. 39

10 Estadística bidimesioal 0 E u estudio sobre los igresos mesuales,, y la superficie de las viviedas,, resulta: y = 0,0x + 47,96. a) Halla la estimació de la superficie de la vivieda de ua familia cuyos igresos mesuales so de b) Si ua familia vive e ua casa de 90 m, cuáles será sus igresos mesuales? a) y = 0, ,96 =,96 m b) 0,0x + 47,96 = 90 x =.0 03 E u estudio estadístico, el coeficiete de correlació etre dos variables e es 0,8. Se sabe que x = 0; σ = 4; y = 8 y σ =. a) Determia las dos rectas de regresió, represétalas y aaliza la correlació que existe etre las variables. b) Si x = 30, cuál es la estimació de y? σ a) 0,8 = σ = 3, 4 3, Recta de regresió de sobre : y 8 = (x 0) y = 0,x + 6 3, Recta de regresió de sobre : x 0 = ( y 8) x = 3,y + 4,6 La depedecia es fuerte y egativa. b) y = 0, 30 + = 6 04 Utiliza la calculadora para determiar todas las medidas estadísticas. a) b) a) x =,93 y = 6,73 σ =,8 σ =,97 σ =,3 σ =,4 σ = 0,3 r = 0,9 b) x = 4,6 y =,6 σ = 4,44 σ =,64 σ =, σ =,8 σ = 0,44 r = 0,6 40

11 0 Estudia la correlació etre estas variables, utilizado la calculadora para realizar las operacioes Determia la recta de regresió y razoa si tiee setido estimar el valor de si la variable toma el valor 8. x = 4,4 y = 33,9 σ =,4 σ = 4,49 σ =, σ =, σ = 0,4 r = 0,03 04, Recta de regresió de sobre : y 33,9 = (x 4,4) y = 0,06x , Como la correlació es casi ula, o tiee setido estimar el valor de y para x = Represeta la ube de putos asociada a las siguietes distribucioes bidimesioes. a) (, ) (3, 6) (, 0) (6, 4) (8, 9) (9, 3) (0, ) b) (, ) (6, 0) (8, ) (0, 7) (, 9) (3, 3) (, 7) c) (0, 60) (, 7) (6, 60) (8, 90) (30, 0) (3, 00) (36, 70) d) (7, 3) (8, 9) (9, ) (0, 8) (, ) (, ) (3, 7) Decide si existe depedecia etre las variables y de qué tipo es. a) c) b) d) 6 4

12 Estadística bidimesioal 07 Represeta la ube de putos asociada a estas variables bidimesioales, y decide si hay depedecia etre las variables que las forma. E caso afirmativo, califícala. a) A B c) E F b) C d) G D H a) La depedecia es fuerte y positiva. B 0 0 A b) La depedecia es fuerte y egativa. D 0 0 C c) No se aprecia depedecia etre las variables E y F. F E d) No se aprecia depedecia etre las variables G y H. H G 4

13 08 A partir de los diagramas de dispersió, decide si hay o o depedecia lieal y, e su caso, si es fuerte o débil, y si es positiva o egativa. a) c) b) d) a) No hay depedecia lieal. b) La depedecia lieal es fuerte y egativa. c) La depedecia lieal es débil y positiva. d) La depedecia lieal es fuerte y positiva. 09 Represeta las ubes de putos correspodietes a las variables bidimesioales defiidas por estas fórmulas. a) y = x + b) y = x + 3x Qué tipo de depedecia preseta? a) b) La depedecia es lieal. La depedecia es fucioal. 43

14 Estadística bidimesioal 030 La tabla muestra el úmero de cuadros que ha pitado los alumos de u taller sobre paisajes y bodegoes. Paisajes Bodegoes a) Determia las tablas de frecuecias margiales de paisajes y bodegoes. b) Calcula las medias y las desviacioes típicas de cada ua de las variables. c) Usa el coeficiete de variació para decidir cuál de las dos variables es más dispersa. d) Realiza el diagrama de dispersió correspodiete a la variable bidimesioal. a) Tabla de frecuecias margiales Tabla de frecuecias margiales de los paisajes de los bodegoes x i f i Total 34 y i f i Total 34 b) x =,47 y =,8 σ =, σ =,9 c) CV = 0, CV = 0,04 La variable de los paisajes es u poco más dispersa que la de los bodegoes. d) 44

15 03 Costruye la tabla de doble etrada que correspode a esta variable bidimesioal, represetada mediate el diagrama de dispersió Total Total 03 A partir de este diagrama de dispersió, costruye la tabla de doble etrada correspodiete Total Total 3 3 4

16 Estadística bidimesioal 033 Costruye la tabla de doble etrada correspodiete, a partir del diagrama de dispersió, teiedo e cueta la frecuecia de los datos que figura etre parétesis (9) (9) (3) () (3) (6) Total Total Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació para las variables bidimesioales idicadas e las siguietes tablas. P Q R S σ PQ = 7, r PQ = 0, σ RS = 84,9 r RS = 0,99 03 Halla la covariaza y el coeficiete de correlació correspodietes a estas variables estadísticas. T U V,4,8 3, 3,6 4 4,4 4,8, W σ TU = 3,69 r TU = 0, σ VW = 7, r VW = 0, Represeta la variable bidimesioal cuyos pares de valores so: (8, ) (, 6) (0, 4) (, ) (8, 6) a) Calcula su covariaza y razoa el resultado. b) Elimia u puto de maera que se matega la correlació. a) σ = 0 No hay depedecia etre las variables, por lo que la covariaza es ula. b) Al elimiar el puto (0, 4), la correlació o varía. 6 46

17 037 Costruye el diagrama de dispersió correspodiete a la variable bidimesioal determiada por los siguietes pares de datos. (0, 0) (6, 30) (0, 30) (6, 0) a) Calcula su covariaza y explica a qué se debe el resultado. b) Añade u puto de maera que se matega la correlació. a) σ = 0 No hay depedecia etre las variables, por lo que la covariaza es ula. b) Al añadir el puto (3, ), la correlació o varía E la tabla se preseta datos climatológicos referidos a ua ciudad: la temperatura, e C; la humedad relativa del aire, e %, y la velocidad del vieto, e km/h. Días L M J V S D Temperatura Humedad Velocidad del vieto Determia la covariaza y el coeficiete de correlació de las siguietes variables bidimesioales. a) Temperatura Humedad. b) Temperatura Velocidad del vieto. c) Humedad Velocidad del vieto. a) σ TH = 6,46 r TH = 0,9 b) σ TV = 3,7 r TV = 0,93 c) σ HV = 6,404 r HV = 0, Se ha hecho ua ecuesta a persoas que ha teido u accidete de tráfico, pregutado por el úmero de meses trascurridos e icluyedo el grupo de edad. Las respuestas ha sido: Carme, 3: [60, 70) Jesús, 4: [0, 60) Teresa, : [0, 60) Marta, : [30, 40) Pilar, : [0, 60) José, 8: [40, 0) Esther, 6: [0, 30) Adrés, 3: [0, 30) Jua, 8: [40, 0) María Jesús, 0: [40, 0) Jacito, : [30, 40) Beatriz, 6: [30, 40) a) Costruye la tabla correspodiete a la variable bidimesioal. b) Represeta el diagrama de dispersió. c) Estudia si hay correlació etre ambas variables, y determia su coeficiete de correlació lieal. 47

18 Estadística bidimesioal a) Total [0, 30) [30, 40) [40, 0) [0, 60) [60, 70) Total b) La correlació es débil y positiva. c) σ = 89, r = 0, E la siguiete tabla se ha perdido dos datos. x y Se sabe que la media de la primera variable es 8 y la media de la seguda variable es,8. Completa la tabla y determia el coeficiete de correlació. x x = y = 8 x = y =,8 + 0 =,8 y = r = 0,80 04 Se está estudiado impoer u impuesto a las empresas químicas que sea proporcioal a sus emisioes de azufre a la atmósfera. Se ha experimetado co varios procedimietos para medir dichas emisioes, pero o se ha ecotrado iguo fiable. Fialmete, se ha decidido ivestigar algú método idirecto. Se cree que la emisió de azufre puede estar relacioada co el cosumo eléctrico, co el cosumo de agua o co el volume de las chimeeas de las fábricas. Para valorarlo se ha realizado u estudio e u medio cotrolado. Los resultados puede verse e la tabla. Catidad de azufre (t),3,8 0,4 0,6 3 0, Cosumo eléctrico (kwh) Cosumo de agua ( ) Volume de las chimeeas (m 3 ) Cuál de las medidas estadísticas se relacioa de forma más evidete co las emisioes de azufre? Justifica la respuesta. 48

19 El volume de las chimeeas es la variable que más se relacioa co la catidad de emisioes de azufre Traza a mao alzada, y si realizar cálculos, la recta de regresió de las siguietes variables bidimesioales. a) b) a) b) 043 Represeta, si hallar su ecuació, la recta de regresió correspodiete a estas variables. a) b) 49

20 Estadística bidimesioal a) b) 044 Para las variables bidimesioales represetadas a cotiuació, hemos ajustado diferetes rectas de regresió a las ubes de putos correspodietes. Estima el valor que tedrá y e cada ua de ellas para u valor de x =. a) y =,99x 0,04 b) y =,33x + 9, c) y = 0,3x + 3,67 Cuál de las estimacioes te parece más fiable? a) y =,99 0,04 = 3,84 b) y =,83 + 9, = 7,9 c) y = 0,3 + 3,67 = 7,87 La estimació más fiable es la del apartado a). 0

21 04 Determia la recta de regresió de sobre y la recta de regresió de sobre correspodietes a estas tablas. a) b) c) d) , 0,4 0, 0,7 0,8 0,9, a) x = 3, y = 3, σ =, σ =, σ = 0,7 Recta de regresió de sobre : y 3, =, (x 3,) y =,9x 8,33, Recta de regresió de sobre : x 3, =, ( y 3,) x = 0,3y + 3,74 0, 7 b) x = 90 y = 4,9 σ =,33 σ = 400 σ = 37, Recta de regresió de sobre :, 33 y + 4,9 = (x 90) y = 0,9x +,8 400 Recta de regresió de sobre :, 33 x 90 = ( y + 4,9) x = 3,099y + 4,7 37, c) x = 7,4 y = 80,86 σ = 34,48 σ =,3 σ = 9,37 Recta de regresió de sobre : y 80,86 = 34, 48 (x + 7,4) y = 3,049x + 0,63, 3 Recta de regresió de sobre : 34, 48 x + 7,4 = ( y 80,86) x = 0,y 4,93 9, 37 d) x = 0,7 y = 8,7 σ =,088 σ = 0,099 σ = 63,94 Recta de regresió de sobre :, 088 y 8,7 = (x 0,7) y = 0,99x + 66, 0, 099 Recta de regresió de sobre :, 088 x 0,7 = ( y 8,7) x = 0,007y + 0,8 63, 94

22 Estadística bidimesioal 046 Ecuetra cico putos que perteece a la recta y = 4x + 6. a) Calcula el coeficiete de correlació correspodiete y explica el resultado. b) Halla las dos rectas de regresió. Respuesta abierta. x 0 y a) x = 0 y = 6 σ = =,4 σ = 3 =,66 σ = 8 r = La depedecia es lieal. b) Recta de regresió de sobre : 8 y 6 = (x 0) y = 4x + 6 Recta de regresió de sobre : 8 x 0 = ( y 6) x = y Obté cico putos que perteece a la recta. y = 0x + 0 a) Calcula el coeficiete de correlació y explica el resultado. b) Halla las dos rectas de regresió. Razoa los resultados obteidos. Respuesta abierta. x 0 y a) x = 0 y = 0 σ = =,4 σ = 800 = 8,8 σ = 40 r = La depedecia es lieal. b) Recta de regresió de sobre : 40 y 0 = (x 0) y = 0x + 0 Recta de regresió de sobre : 40 x 0 = ( y 0) x = y

23 048 Se cree que el úmero de zorros e ua fica está relacioado co el úmero de coejos. E los últimos años se ha realizado ocho cesos de ambos aimales, resultado estos datos. N. o de zorros N. o de coejos Si la correlació es fuerte: a) Determia las dos rectas de regresió. b) Estima la catidad de coejos que habría si hubiera 0 zorros. c) Cuátos zorros sería si hubiéramos cotado 30 coejos? d) Cuál de las dos estimacioes es más fiable? a) x =, y = 337, σ = 4, 9 = 6, σ = 0. 68, 7 = 00,84 σ = 63,3 r = 0,99 La depedecia es fuerte y positiva. Recta de regresió de sobre : 63, 3 y 337, = (x,) y =,48x + 8, 4, 9 Recta de regresió de sobre : 63, 3 x, = ( y 337,) x = 0,064y 0, , 7 b) x = 0 y =, , = 63,3 E este caso habría 63 coejos. c) y = 30 x = 0, ,3 =,0 E este caso sería zorros. d) Como el coeficiete de correlació es muy próximo a, las dos estimacioes so bastate fiables. 049 A lo largo de u día se ha medido la tesió y el pulso cardíaco de ua persoa, tratado de decidir si ambas variables tiee algua relació. Los datos obteidos se ha reflejado e la tabla. Nivel míimo de tesió N. o de pulsacioes por miuto a) Calcula la covariaza, el coeficiete de correlació y las dos rectas de regresió. b) Si la correlació es fuerte, estima las pulsacioes que tedrá la persoa cuado su ivel míimo de tesió sea. c) Qué ivel míimo de tesió se estima cuado las pulsacioes cardíacas por miuto so 70? d) Cuál de las dos estimacioes es más fiable? e) Dibuja la ube de putos y la recta de regresió correspodietes. 3

24 Estadística bidimesioal a) x = 7,3 y = 68,7 σ = 404, =,0 σ = 33, 44 = 7,98 σ = 3,44 r = 0,98 La depedecia es fuerte y positiva. Recta de regresió de sobre : 3, 44 y 68,7 = (x 7,3) y = 8,77x + 6, 404, Recta de regresió de sobre : 3, 44 x 7,3 = ( y 68,7) x = 0,y 0,43 33, 44 b) x = y = 8,77 + 6, = 37,77 E este caso tedría 38 pulsacioes por miuto. c) y = 70 x = 0, 70 0,43 = 7,7 Se estima que tedría u ivel míimo de 7. d) Las dos estimacioes so muy fiables, porque el coeficiete de correlació es bastate cercao a. e) Teemos dos variables bidimesioales represetadas por estas ubes de putos. (I) (II) a) Elige los coeficietes de correlació de ambas y razóalo. 0,9 0,6 0,9 0,6 b) Ahora decide cuáles so las ecuacioes de las dos rectas de regresió correspodietes. y = 3x + 0, y =,3x + 0,9 y = 0,6x + 0 y = x +,6 Justifica la respuesta. a) El coeficiete de correlació de las variables represetadas e el gráfico I es 0,9; porque la ube de putos muestra ua depedecia etre las variables fuerte y positiva. El coeficiete de correlació de las variables represetadas e el gráfico II es 0,6; por ser la depedecia etre las variables débil y egativa. b) La recta de regresió del gráfico I es y =,3x + 0,9; ya que la pediete de la recta dibujada es u valor próximo a. La recta de regresió del gráfico II es y = 0,6x + 0, puesto que el valor de la ordeada de la recta represetada es 0. 4

25 0 Ua empresa está ivestigado la relació etre sus gastos e publicidad y sus beeficios (e milloes de euros). Este es u resume del estudio. Año Gastos,4,8 3 3, 3, 3,3 3, 4 Beeficios a) Comprueba si existe relació etre las magitudes y, si es posible, estima los beeficios que se obtedrá e el año 008, si se va a ivertir 4, milloes de euros e publicidad. b) Qué iversió sería ecesaria para alcazar 30 milloes de euros de beeficios? a) x =,94 y = 7,3 σ = 038, = 0,6 σ = 0, 0 = 3,6 σ =,89 r = 0,98 La depedecia es fuerte y positiva. Recta de regresió de sobre : 89, y 7,3 = (x,94) y = 4,97x +,69 038, x = 4, y = 4,97 4, +,69 = 3,6 Los beeficios sería de 3,6 milloes de euros. b) Recta de regresió de sobre : 89, x,94 = ( y 7,3) x = 0,9y 0,3 0, 0 y = 30 y = 0,9 30 0,3 =,3 La iversió tedría que ser de,3 milloes de euros. 0 María y Diego vive e la misma calle, pero e aceras opuestas. Los dos tiee u termómetro e su balcó y, como María cree que el suyo está estropeado, decide tomar la temperatura exterior, e C, durate ua semaa y a la misma hora del día. Ha aotado los resultados e ua tabla. Diego María a) Crees que las dos variables está relacioadas? opias que debería estarlo? b) Razoa si co estos datos se puede obteer algua coclusió sobre el termómetro de María. a) x =,43 y = 8,7 σ =,86 σ =,69 σ =,097 r = 0,43 La depedecia es débil y egativa. Las dos variables está poco relacioadas, pues al estar los termómetros e lados opuestos de la acera recibe distita exposició solar. b) Como la depedecia es débil o se puede cocluir ada sobre el termómetro de María.

26 Estadística bidimesioal 03 Se ha medido el peso,, y la estatura,, de los alumos de ua clase. Su peso medio ha sido de 6 kg, co ua desviació típica de, kg. La ecuació de la recta de regresió que relacioa la estatura y el peso es: y =,8x + 6 a) Qué estatura puede estimarse e u alumo que pesa 64 kg? b) si u alumo pesara 44 kg, cuál sería su altura? c) Cuál es la estatura media de los alumos de esa clase? d) La pediete de esa recta es positiva. Qué sigifica esto? a) x = 64 y =, = 77, El alumo medirá,77 m. b) x = 44 y =, = 4, E este caso medirá,4 m. c) y =, = 6,8 La estatura media es,63 m. d) Si la pediete es positiva, etoces la correlació etre las variables tambié es positiva, es decir, cuado los valores de ua variable aumeta, los valores de la otra variable tambié lo hace. 04 Daiel afirma que si ua ube de putos es de ua recta, el coeficiete de correlació siempre vale o. Como Eva o está de acuerdo, Daiel prueba co los putos de la recta cuya ecuació es y = x + 0, y Eva hace lo mismo co los putos de y = x x. Quié tiee razó? Por qué? Si y = x + 0, etoces alguos de los putos so: x = 0 y = 0 σ =,4 σ = 7,07 σ = 0 r = La depedecia es lieal. Si y = x x, o es ua recta, y alguos de los putos so: x = 0 y = σ =,4 σ = 3,9 σ = 4 r = 0,86 La depedecia es débil; por tato, Eva o tiee razó. 0 U equipo de alpiistas que escaló ua motaña, midió la altitud y la temperatura cada 00 metros de ascesió. Luego reflejó los datos e estas tablas. Altitud (m) Temperatura ( C) Altitud (m) Temperatura ( C) 3 6

27 a) Toma las diez primeras medicioes y, si la correlació es fuerte, calcula la recta de regresió de la temperatura sobre la altitud. b) Estima la temperatura que habrá a los.900 metros de altitud. c) Qué temperatura se estima a los 3.00 metros? Cómo explicas las diferecias? a) x =.700 y =, σ = 74,46 σ = 6,69 σ = 3.80 r = 0,99 La depedecia es fuerte y egativa. Recta de regresió de sobre : y, = (x.700) y = 0,0x + 3, b) x =.900 y = 0, ,6 = 8,8 La temperatura estimada es de 8,8 C. c) x = 3.00 y = 0, ,6 = 6,8 La diferecia se debe a que el valor o está icluido e el itervalo [800,.600], formado por los datos que se ha utilizado para calcular la recta de regresió. 06 El alcalde de u pueblo ha costatado ua reducció del úmero de acimietos de iños, y ha ecargado realizar u estudio. Año Nacimietos a) Puede establecerse, de forma fiable, ua fórmula que relacioe el año co el úmero de acimietos? b) Cuátos acimietos puede estimarse e 008? e 00? Qué puede estimarse para 00? c) Es fiable esta última estimació? Razoa la respuesta. a) x = 0, y = 34 σ = 6,87 σ =,6 σ = 83,63 r = 0,97 La depedecia es fuerte y egativa, por lo que puede utilizarse la recta de regresió para relacioar las dos variables. b) Recta de regresió de sobre : 83, 63 y 34 = (x 0,) y =,77x +,9 47, E el año 008 se estima: x = y =,77 +,9 = 3,6 acimietos E el año 00 se estima: x = 64 y =, ,9 = 60,69 acimietos Para el año 00 se estima 60 acimietos. c) No es fiable, ya que el año 00 está muy alejado del rago de años estudiados e la regresió. 7

28 Estadística bidimesioal 07 E ua empresa se está estudiado el úmero de días de baja por efermedad,, de cada uo de sus empleados e el último año. Para compararlo co la atigüedad,, de los empleados detro de la empresa, se ha elaborado la siguiete tabla a) Calcula las medias y las desviacioes típicas de las distribucioes margiales. b) Determia la covariaza y el coeficiete de correlació. c) Halla la recta de regresió de sobre y estima, si es fiable, el úmero de días de baja que puede esperarse e u empleado co 6 años de atigüedad e la empresa. a) Tabla de frecuecias margiales Tabla de frecuecias margiales de los años de atigüedad de los días de baja x i f i Total 6 x =,9 y =,46 σ =, σ =,89 b) σ =,0 r = 0,49 c) 0, Recta de regresió de sobre : y,46 = (x,9) y = 0,83x 0,69 3, La depedecia es débil, por lo que la estimació o es fiable. y i f i Total 6 08 U iversor bursátil quiere predecir la evolució que va a teer el Ídice de la Bolsa de Madrid (IBE). Ha cocluido que lo que sucede co el IBE u día es lo que le sucede a la cotizació de la empresa AW&B el día aterior. Ivestiga si esto es correcto, a partir de sus cotizacioes durate ua semaa y los valores alcazados por el IBE al día siguiete. Día. o. o 3. o 4. o. o 6. o 7. o AW&B,8 3,4 9,6 9,4 8,4 9,9 9, Día. o 3. o 4. o. o 6. o 7. o 8. o IBE

29 a) Qué cotizació tedrá AW&B el día aterior al día e que el IBE alcace los putos? b) Si u día AW&B tiee ua cotizació de 4 euros, qué valor podemos esperar que alcace el IBE al día siguiete? x = 0,4 y =.734,9 σ = 77, =,66 σ = , 6 = 60,6 σ = 977,6 r = 0,97 La depedecia es fuerte y positiva. a) Recta de regresió de sobre : 977, 6 x 0,4 = (y.734,9) x = 0,007y, , 6 y = x = 0, ,44 = 6,36 b) Recta de regresió de sobre : 977, 6 y.734,9 = (x 0,4) y = 3,8x 4.93,6 77, x = 4 y = 3, ,6 = 3.873,8 09 Ecuetra el coeficiete de correlació de la variable bidimesioal cuyas rectas de regresió so: Recta de sobre : x y = 0 Recta de sobre : 9x 4y 9 = 0 a) Halla la media aritmética de cada ua de las variables. b) Podrías calcular la desviació típica de sabiedo que la de la variable es? σ σ x y = 0 y = x = σ = σ 4 σ 4 3 σ 9x 4y 9 = 0 x = y + = σ = 9 σ 9 r = a) Las rectas de regresió se corta e el puto ( x, y ). x y = 0 x =, y = 9 9x 4y 9 = 0 b) σ Etoces, resulta que: x =, y = 9 σ σ 3 σ = = 3 094, σ 3 = = σ = 4 σ = = 3 9

30 Estadística bidimesioal 060 Se tiee la siguiete variable bidimesioal. Ivestiga lo que sucede co la covariaza y el coeficiete de correlació e cada caso a) Sumamos 0 a todos los valores de la variable. b) Sumamos 0 a todos los valores de la variable y de la variable. c) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable. d) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable y de la variable. x = 8,86 y =,9 σ = 6,4 σ = 4, 07 = 3,7 σ = 0, =,4 r = 0,76 a) b) c) d) x = 8, = 8,86 σ = 6,4 σ = 3,7 r = 0, y =,9 + 0 =,9 σ = 6,4 σ =,4 r = 0, x = 8,86 4 = 3,44 σ = 6,4 4 =,68 σ = 3,7 4 = r = 0, y =,9 4 =,6 σ = 6,4 6 = 0,7 σ =,4 4 = 8,96 r = 0,76 06 Ivestiga sobre las siguietes cuestioes. a) Es cierto que el sigo de las pedietes de las dos rectas de regresió de ua variable bidimesioal es siempre igual? b) Qué sucede si las dos rectas de regresió tiee la misma pediete? Cómo es la correlació? a) Es cierto, porque el sigo de las pedietes de las rectas de regresió coicide co el sigo de la covariaza e ambas. b) Como las dos rectas pasa por el puto ( x, y ), si tiee la misma pediete, etoces so coicidetes. Por tato, la depedecia etre las dos variables uidimesioales es lieal. La correlació es igual a o 0. 60

31 06 El águlo que forma las dos rectas de regresió de ua distribució bidimesioal es mayor cuato meor sea el coeficiete de correlació. Vamos a comprobarlo estudiado las dos magitudes e estas distribucioes , 8, 9 x = 4 y = 4,6 σ = 0,4 σ = 8 =,83 σ =, =,4 r = 0, 04, Recta de regresió de sobre : y 4,6 = (x 4) y = 0,0x +,3 8 04, Recta de regresió de sobre : x 4 = ( y 4,6) x = 0,6y +,, El águlo que forma las rectas es: cos α= 06, + 00, = 09, α=7 33' 48" ( ) + 0, 0 ( 0, 6) + y = 6 σ = 8, =,67 σ = 3, r = 0,68 Recta de regresió de sobre : y 6 = 3, (x 4) y = 0,4x + 0,4 8 Recta de regresió de sobre : x 4 = 3, ( y 6) x =,4y + 7,6 8, El águlo que forma las rectas es: cos α = 4, 04, + 0, 4 4, + ( ) = 04, α = ' " y = 7 σ = 4, =, σ = 4, r = 0,96 Recta de regresió de sobre : y 7 = 4, (x 4) y = 0,3x 0,4 8 Recta de regresió de sobre : x 4 = 4, ( y 7) x =,7y +,7 4, El águlo que forma las rectas es: cos α = 7, + 03, = 099, α = 49' 6" + 0, 3 7, + 6

32 Estadística bidimesioal 063 Se ha realizado u test de memoria,, y otro test de ateció,, a varios alumos y se ha reflejado los resultados e esta tabla. [0, 0) [0, 0) [0, 30) [30, 40) [40, 0) [0, 0) [0, 0) Beatriz Jesús Marta [0, 30) Daiel María Esther Miguel [30, 40) Elea Jacito Carme Iés [40, 0) Diego a) Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació. b) Determia las dos rectas de regresió. c) Si es factible, estima qué putuació obtedrá Adrés e memoria, si ha obteido 33 e ateció. d) Si es factible, estima qué putuació obtedrá Eva e ateció, si ha obteido 7 e memoria. y j x i 3 4 Total Total 4 3 a) x =,9 y = 6,8 σ = 7,0038 σ = 7, 3 = 0,83 σ = 87, = 9,3 r = 0,7 b) Recta de regresió de sobre : 7, 0038 y 6,8 = (x,9) y = 0,6x +,0 7, 3 Recta de regresió de sobre : 7, 0038 x,9 = ( y 6,8) x = 0,8y + 4,9 87, c) y = 33 x = 0, ,9 = 30,9 d) x = 7 y = 0,6 7 +,0 = 7,48 6

33 PARA FINALIZAR 064 Halla la relació existete etre el coeficiete de correlació lieal de ua distribució bidimesioal y las pedietes de sus rectas de regresió. Comprueba el resultado obteido para estos datos Las pedietes de las rectas de regresió so: σ m = σ = σ σ m = σ = σ Etoces, resulta que: r σ m σ m x σ σ = = = m σ σ σ σ m m m x = 4,67 y = 7,67 σ = 6,98 σ = 7, =,67 σ = 784, =,8 r = 0,93 698, Recta de regresió de sobre : y 7,67 = (x 4,67) m = 0,98 7, 698, Recta de regresió de sobre : x 4,67 = ( y 7,67) m = 0,89 784, m m = 0,93 06 Discute si es posible que la recta de regresió de sobre y la recta de regresió de sobre sea paralelas. perpediculares? No es posible que sea paralelas, ya que tiee siempre u puto comú: ( x, y ) So perpediculares si la correlació es ula. 066 Ivestiga sobre cómo varía el coeficiete de correlació etre dos variables estadísticas cuado multiplicamos los datos relativos a ua de ellas por ua catidad costate, k. si las multiplicamos por la misma costate? Qué sucedería si multiplicamos cada variable por ua costate distita? Al multiplicar los datos de ua variable por ua catidad costate k, sus medidas estadísticas verifica que: fi kxi k fi xi i= i= = N N fi ( kxi kx) fi k ( xi x) k fi ( xi x) i= i= i= = = N N N k σ = k σ = k x = k σ 63

34 Estadística bidimesioal Etoces la covariaza etre las dos variables es: f kx y N k f x yi i kx y = N i i i i i i= = Así, el coeficiete de correlació es: k σ σ = = r k σ σ σ σ Si se multiplica los datos de las dos variables por la misma costate k, etoces el coeficiete de correlació es: k σ σ = = r k σ k σ σ σ si multiplicamos la seguda variable por u costate m: k m σ σ = = r k σ m σ σ σ fi xi y i i kx y = k = x y k N = σ 067 Demuestra que el coeficiete de correlació de dos variables estadísticas o varía si a cada valor de las dos variables se les suma o resta u mismo úmero. Utiliza esta propiedad para calcular el coeficiete de correlació de las siguietes variables estadísticas Si se suma u valor c a cada valor de ua variable estadística, etoces la media de los datos obteidos es: La variaza de estos datos verifica que: Por tato, la desviació típica tambié coicide. La covariaza etre las dos variables es: f ( x + c) y i i i i i i= i= N fi ( xi + c ( x + c)) fi ( xi x) i= i= = N N ( x + c) y = f x y + f c y i N i i= i x y c y = fi xi yi + c fi yi i= i= = x y c y = N fi ( xi + c) fi xi + fi c fi xi + c fi i= i= i= i = i= = = = N N N fi xi + c N i= = N fi xi yi i= = N = x + c = σ + c y x y c y =σ 64

35 Así, el coeficiete de correlació es igual que el de las variables iiciales. Del mismo modo, si se suma o se resta u mismo úmero a las dos variables el coeficiete o varía E dos estudios realizados sobre los datos de ua variable bidimesioal, las rectas de regresió fuero las siguietes. E el primer estudio, la recta de regresió de sobre es: 8x 3y 6 = 0 y la recta de sobre es: x y + 8 = 0. e el otro estudio, las rectas de regresió so, respectivamete: 8x y + 0 = 0 x y 0 = 0 Si coocemos x = 3, y = 4 y r = 0,8, comprueba cuál de los estudios es válido. 8x 3y 6= 0 x = 3, y = 4 x y + 8 = 0 El primer estudio es el correcto, ya que las rectas se corta e el puto ( x, y ). Sea dos variables estadísticas e. Sabemos que: La recta de regresió de sobre pasa por los putos (, 3) y (, ). La recta de regresió de sobre tiee pediete m = 3 y su ordeada e el orige es. La variaza de es 3. Calcula las medidas estadísticas de cada ua de las variables estadísticas y el coeficiete de correlació. La recta que pasa por los putos (, 3) y (, ) tiee como ecuació: y = x + La ecuació de la otra recta es: y = 3x + x y + = 0 x =, y = 3x y + = 0 x = Etoces, resulta que: y = El coeficiete de correlació es igual a la raíz cuadrada del producto de la pediete de la recta de regresió de sobre por la iversa de la pediete de la recta de regresió de sobre : σ σ σ r = m = = m ' σ σ σ σ 8x y + 0 = 0 x = 0, y = 0 x y 0 = 0 Por tato, teemos que: r = = 0,864 3 El sistema de ecuacioes formado por las dos rectas de regresió es: σ = σ σ = 3 σ = 6σ σ = 6σ σ σ = 3 σ Como la variaza de es 3: σ = 6