q = η T ESTUDIO DE LA DIFUSIÓN DEL CALOR Victor Minces-Nicolás Busca ( T = α

Transcripción

1 ESTUDIO DE LA DIFUSIÓN DEL CALOR Victor Mices-Nicolás Busca ( victormices@hotmail.com, gbusca@hotmail.com) Laboratorio 5 - UBA - Julio Se estudia e este trabajo la difusió del calor. Se compara dos diferetes modelos, uo correspodiete a la ausecia de flujo de calor co el medio circudate y otro que toma e cueta este itercambio. Se muestra que este último modelo explica mejor el comportamieto del sistema e el caso estacioario y que iguo de los modelos explica correctamete la evolució temporal. 1.INTRODUCCIÓN. E este trabajo se estudia la maera e que se difude el calor a lo largo de ua barra metálica cuado se aplica potecia a uo de sus extremos. E el primero de los casos estudiados esto se hace de maera costate mietras se coloca el otro extremo e u baño térmico. A su vez, este caso se divide e dos. Uo co la barra cubierta por u material aislate (barra aislada), y otro co la barra si él (barra o aislada). Se aaliza las codicioes iicial y fial así como el trasitorio para diferetes magitudes de la potecia aplicada. E el segudo, la potecia aplicada es periódica y se aaliza la depedecia de la temperatura media, la amplitud de la oscilació, y la fase e fució a la posició. Al comparar los datos obteidos para la aplicació de potecia costate se observa que la barra aislada se comporta igual que la barra o aislada. Estos datos se compara a su vez co dos modelos: e uo de ellos se supoe a la barra aislada térmicamete del medio y el otro cosidera la disipació hacia el medio extero. Se hace patete e la experiecia que el primero o explica las temperaturas obteidas para la situació estacioaria. Sí lo hace el que supoe itercambio térmico co el medio. Niguo de los dos, si embargo, ajusta la evolució temporal. E lo que sigue de esta secció, discutiremos los modelos teóricos ya mecioados. El flujo de calor detro de u material se relacioa co la temperatura segú la ecuació de Fourier : v q = η T [1] Dode T es la temperatura, q v es el flujo de calor y η es la costate de difusividad térmica del material. Se debe destacar que el valor del flujo de calor e el extremo de la barra es igual a la potecia etregada, lo que hace a esta última proporcioal a la derivada espacial de la temperatura e él. Si esta corriete es la úica fuete de eergía se tiee además que, por coservació : v q = C T [] v & De 1 y y teiedo e cuata que el problema estudiado es uidimesioal esto se reduce a : T& T = α x [3] Se deduce de esta ecuació que la situació estacioaria ( T & = ) predicha por este modelo es ua fució lieal de la posició sobre la barra cuyos parámetros se obtiee de las codicioes de cotoro.

2 Para hallar el trasitorio, resolvemos la ecuació 3 se resuelve desarrollado la posició e serie de Fourier. La solució es de la forma : T ( x, t) = T ( x, t ) + + { a ( t) cos( k x) + b ( t) se( k x)} La depedecia temporal de los coeficietes se obtiee reemplazado esta expresió e la ecuació [3]. Se obtiee etoces a α π t () L = a e. Los coeficietes a () se obtiee desarrollado Fourier la codició iicial meos el estacioario. Este modelo o da cueta de la disipació al medio extero. Etoces, propoemos el siguiete modelo que da cueta de ello. Cosideremos u objeto cuya temperatura es costate, colocado e u medio a temperatura T. Etoces, la ecuació que rige la evolució de su temperatura e el tiempo es: T & = β ( T T) [4] β es el llamado coeficiete de Newto. Si teemos e cueta esta disipació, la fórmula de coservació (3) se modifica de la siguiete maera: T T& = α β( T T ) [5] x Su solució e el caso e que la variació de la temperatura es ula, (estacioario co potecia costate) es : b x b x T ( x, t ) = T + A e + B e [6] Dode A y B depede de las codicioes de cotoro y b está dado por : β b = α La solució geeral de 5, cosiderado ua aplicació de potecia costate e u extremo y ua temperatura costate e el otro es de aáloga a la del caso aislado. Las frecuecias espaciales más altas tiede a decaer más rápidamete, esto se explica porque la temperatura tiede a homogeeizarse, y se ve e la ecuació porque los modos de frecuecia espacial mayor tiee derivada mayor. Hay que recalcar, pues servirá para comparar el modelo de la barra aislada co el de la que o lo está, que ya que la relació 1 sigue valiedo, e este caso tambié la derivada espacial de la temperatura e el extremo de la barra será proporcioal a la potecia etregada. La experiecia e que se aaliza el comportamieto del sistema cuado se lo somete a ua aplicació de potecia oscilatoria se aaliza sólo segú el modelo o aislado. Si el sistema se fuerza de tal maera que la temperatura e u extremo varía e la forma: T ( x = L, t) = T1 cos( ω t) + T m Para la solució se propoe: T( x, t) = A( x) cos( ω t + c x) + T ( x) [7] Se obtiee las siguietes relacioes etre los coeficietes: A( x) c 4 = A e β c x λ ω /(α ) = Se obtiee además para la temperatura media ua distribució como la mecioada para el caso de aplicació de potecia costate. m

3 . ARREGLO EXPERIMENTAL. Para realizar el estudio se utilizaro dos barras, ua de broce (57 cm de largo) y otra de cobre (65 cm de largo). Los termómetros se itroduce segú: cuatro sobre el lado derecho de la barra (del lado del soldador) separados por 5 cm; y dos sobre el lado izquierdo (dode se halla el reservorio térmico) separados 5 cm del extremo izquierdo y etre sí. U esquema del arreglo experimetal utilizado se puede apreciar e la figura 1. Figura 1. Esquema del dispositivo experimetal. Las flechas simboliza los termómetros utilizados (6 e total) La barra metálica es apoyada sobre soportes de madera (para que o absorba calor), uo de sus extremos está toreado de maera que etre e el orificio de u soldador eléctrico que actuará como fuete de potecia. El soldador es alimetado co u variac, lo que permite variar la eergía etregada para medir diferetes estacioarios así como para darle forma oscilatoria. El otro extremo se itroduce e ua botella plástica e la que se poe agua co hielo de maera de dejar la temperatura fija e él. Tambié se estudia la evolució temporal del efriamieto cuado se calieta la barra de maera homogéea e u horo eléctrico. Esto se hace para medir el coeficiete de Newto. Medició de la temperatura. Para medir temperaturas se usa trasistores del tipo LM34 de la empresa Natioal. Estos so itroducidos e orificios practicados a lo largo de la barra. Estos termómetros etrega ua tesió que es proporcioal a la temperatura e que se halla, como se idica e la hoja de datos que proporcioa la empresa 1. Esta tesió es adquirida mediate el coversor aalógico digital MPLI. Para calibrar estos termómetros se compara sus lecturas co termómetros de mercurio. Se obtiee que etrega ua tesió de aproximadamete 1mV/ºC. De todas formas, se calibra e forma idepediete. 3. RESULTADOS Y ANÁLISIS. Todos los gráficos presetados correspode a la barra de broce. Como se cometó e la itroducció, o hubo diferecia etre los casos aislado y o aislado. Esto puede apreciarse e el gráfico 1, que compara las situacioes estacioarias para el mismo valor de tesió sobre el soldador Posició(cm) Gráfico 1. Comparació etre los resultados de la barra aislada (egro) y o aislada (rojo). Aplicació de potecia costate. E el gráfico se puede apreciar 1 La hoja de datos puede cosultarse e 3

4 estacioarios para diferetes potecias aplicadas. Las líeas rojas correspode al ajuste segú el modelo e que hay disipació al medio ambiete. La líea egra correspode a la distribució de temperaturas esperada e el caso aislado supoiedo la aplicació de la potecia correspodiete a la del estacioario co mayor temperatura. Ya que la pediete de esta e su extremo es proporcioal a la potecia etregada y que la predicció para el caso aislado es ua recta, sólo se tuvo que trazar ua recta cuya pediete fuera igual a la del estacioario mecioado e evaluada e su extremo. Se aprecia que el modelo o aislado ajusta bie los datos, mietras que el aislado predice o sólo ua depedecia fucioal icorrecta sio además ua temperatura mucho mayor a la obteida α=(.3 +/-.6)cm /s Posició(cm) Gráfico. Distitos estacioarios para diferetes potecias etregadas. Los putos so los datos experimetales. Ajustes teóricos e rojo (fórmula [6]). La líea egra es el ajuste co el modelo aislado. El gráfico 3 represeta el decaimieto de la temperatura de la barra al caletársela de maera homogéea ajustado co ua expoecial. De aquí se deduce el coeficiete de Newto. De los datos obteidos se deduce que la costate de difusió es : α broce = (,3 +/-,6) cm /s Que está e el orde, si bie o coicide, co la que figura e tablas (αteórico =,656 cm /s). Gráfico 3. Efriamieto de Newto de la barra. Ua operació similar se repitió utilizado ua barra de cobre. El valor obteido para el coeficiete de difusió resulta ser: α Cu = (,5 +/-,5) cm /s Mietras que el de tablas es : α teórico = 1, cm /s Aplicació de potecia altera. El gráfico 4 preseta la temperatura e fució del tiempo cuado a la barra se aplica ua potecia altera e forma de pulsos cuadrados, y período 8 s. Estos datos so ajustados segú la fórmula [7] (e azul) Tiempo(s) Gráfico 4. Evolució temporal de la temperatura e fució del tiempo. Se muestra las medicioes de los 6 termómetros utilizados. E 4

5 azul se muestra el ajuste teórico de acuerdo a la fórmula [7] Hay que otar que la líea egra correspode a u termómetro que o fucioa correctamete, pero cuyas medicioes sirve de todas maeras para coocer la fase. Se ecuetra que las temperaturas medias ajusta u estacioario para aplicació de potecia costate. El gráfico 5 y el 6 represeta respectivamete la amplitud de la oscilació y la fase e fució de la posició. Ambos so ajustados, co los parámetros libres, segú la predicció de la teoría. Fase(rad) ω = π/4s c = (.11 +/-.)/cm Posició(cm) D DataD Gráfico 5. Fase e fució de la posició. El ajuste lieal es satisfactorio como se expuso e la itroducció. Amplitud de las oscilacioes(ºc) ω = π/4s λ=(9.8 +/-.6)cm Posició sobre la barra(cm) Gráfico 6. Amplitud de las oscilacioes e fució del tiempo. Ajuste segú el modelo expoecial, como se explicó e la itroducció. La potecia se aplica del lado derecho de la barra. De los parámetros obteidos se deduce para la difusió u valor cosistete co el de el caso A pero co u error meor. α = (,3 +/-,) cm /s Régime trasitorio. E el gráfico 7 se represeta la evolució temporal de la temperatura e el puto X = 56cm (cerca del soldador) Tiempo(s) Gráfico 7. Evolució temporal e el caso de aplicació de potecia costate (rojo) y ajustes segú los distitos modelos (aislado mageta, y o aislado e egro). La líea roja correspode a los datos experimetales, la azul y la mageta a los ajustes segú el modelo o aislado y aislado respectivamete. Se modificó la 5

6 escala del aislado co el fi de represetarlo e el gráfico. El valor fial de la temperatura e este caso se puede ver e el gráfico 1. Niguo de los modelos aplicados explica correctamete el comportamieto trasitorio así se use las costates obteidas mediate el método estacioario como las ecotradas e tabla. efectivamete que para tiempos grades la suma coverge al valor esperado. Se recomieda u aálisis más exhaustivo desde el puto de vista umérico. 4. CONCLUSIONES. Se estudió el comportamieto del sistema para el caso estacioario ecotrádose que el modelo o aislado lo explica mejor que el aislado. Las costates de difusió ecotradas difiere de las de tablas tato para el caso de la barra de broce como para el de la de cobre, si bie ambas está e el mismo orde. Siedo el cobre puro se descarta que esta desaveecia se deba a la iexactitud e la composició del broce, (que es ua aleació). Los resultados obteidos e el caso oscilatorio so cosistetes co los del recié mecioado. Niguo de los modelos, i co las costates obteidas i co las de tablas, parece ajustar correctamete el comportamieto trasitorio. Cabe la hipótesis de que esto se deba a u problema umérico e la modelizació que o es de solució trivial. Las fórmulas 4 y 1 so sumas que o decrece rápidamete por lo que o puede ser trucadas e los primeros térmios. So por otro lado prácticamete alteradas y es sabido que la suma alterada de térmios similares colleva problemas uméricos. Es de otar al respecto que los coeficietes correspodietes a frecuecias espaciales mayores decae más rápidamete, por lo que la suma obteida se acerca más a la correcta. Pasa 6

7 Si el problema aú así persistiere se recomieda ua modificació e la ecuació de difusió co disipació de Newto que ivolucre derivadas temporales de orde mayor o potecias de estas, de tal maera que e los casos estacioarios, los resultados predichos, que se muestra correctos, siga valiedo. 5. B IBLIOGRAFÍA: 7