8. Ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 8 Ecuacioes difereciales E este capítulo, primero veremos alguos métodos básicos Luego repasaremos brevemete u método de Ruge-Kutta de segudo orde Platearemos el problema de la resolució de u sistema de ecuacioes difereciales que surge e ciética química formal 8 El método de Euler El método de Euler es uo de los más secillos Dadas ua ecuació diferecial e la forma =f(x,), la codició iicial (de cotoro) de que la fució pase por el puto (x, ) el paso de itegració h, se calcula los sucesivos valores de, { }, de la siguiete maera siedo x =x - h = hf(x, ) () Esta formulació es equivalete a cosiderar la expasió e serie de Talor de la fució (x) hasta primer orde Claro está que el método sólo es exacto para fucioes lieales El error de magitud e es ) ( ξ ) ε = h siedo x < ξ < x Esta fórmula idica que es coveiete tomar pasos de itegració h pequeños Esto, si embargo, implica el hecho de que para hacer la itegració e u itervalo prefijado se tega que acumular muchos resultados parciales a través de las sumas e (), lo cual tambié va e detrimeto de la precisió fial del cálculo 8 Métodos de Ruge-Kutta Se puede eteder el método básico de Ruge-Kutta como ua modificació del aterior La fórmula fudametal es = hf(x h/, hf(x, )/ ) Se observa como aquí o se cosidera la pediete de la fució e el puto x sio e el puto medio etre x x, es decir el puto x h/ Esta pequeña correcció permite gaar precisió e el cálculo puesto que la derivada que se aplica se puede iterpretar como u valor medio de las derivadas reales e los putos x x Ua fórmula mu popular que explota la idea aterior que da errores de quito orde e h es la siguiete: 8-

2 dode = R R 6 3 R 3 R 6 3 R R R R 3 ( x, ) ( x h /, R / ) ( x h /, R / ) ( x h, R ) 83 Métodos predictores-correctores Los métodos predictores-correctores utiliza ua fórmula predictora, P, que permite evaluar la coordeada del paso e el que os ecotramos Luego este resultado se refia co ua fórmula correctora, C, mediate u proceso iterativo que ivolucra a la ecuació diferecial El algoritmo geérico para la itegració de la fució e el itervalo [a,b] es el que sigue: Se fija ua precisió ε = x =a =(x ) 3 Se parte de u puto (x, ) 4 Se calcula x Si x >b se para el proceso ( i ) 5 Mediate la aplicació del predictor P se evalúa ' ( i ) 6 Se calcula el valor = f ( x, ) ( i ) ( i ) 7 Mediate el corrector se corrige para dar 8 Si ( i ) ( i ) ( i ) ( ) > ε etoces i se pasa de uevo a 6 ( i ) 9 Defiitivamete, = se pasa a 4 para evaluar el siguiete puto El método predictor-corrector más simple es el de Euler, para este: - La fórmula predictora P es = hf ( x, ) - La fórmula correctora C es [ f x, f ( x )] h = ( i ) () ( ) i, 84 U método umérico de Ruge-Kutta de segudo orde A partir del problema ' = f z' = g ( x,, z) ( x,, z) el método propoe las siguietes ecuacioes: 8-

3 dode l l z = = z = hg = hg 3 ( ) O( h ) 3 ( l l ) O( h ) ( x,, z ) ( x,, z ) ( x h,, z l) ( x h,, z l ) El procedimieto se iicia cosiderado u puto iicial de partida (x,,z ) u valor de paso h Ejercicios Programar el método de Euler resolver la ecuació diferecial = e el itervalo [,] sabiedo que ()= Tomar como paso de itegració h= Comparar el resultado co la solució exacta: =e x Programar el método de Euler, el de Ruge-Kutta el método predictorcorrector de Euler para resolver la ecuació diferecial = e el itervalo [,] sabiedo que ()= Tomar u paso de itegració h= Comparar cada resultado co la solució exacta: =e x E la gráfica que sigue se muestra el comportamieto de cada método El más preciso es el de Ruge-Kutta, que da ua fució solució que se cofude visualmete co la exacta 6 5 Valor de la fució (x) 4 3 Euler predictor-corrector Ruge-Kutta Euler Eje X 8-3

4 Aplicació a sistemas de ecuacioes ciéticas Como ejemplo de aplicació, resolveremos uméricamete el problema de ua reacció ciética que obedezca al siguiete mecaismo: A B C Esto platea el siguiete sistema de ecuacioes difereciales: [ A] d d d C [ B] [ ] = = = [ A] [ A] [ B] [ B] Si [B] =[C] =, la solució exacta es [ A] = [ A] t t [ B] = [ A] ( e e ) e t t [ C] = [ A] ( e e ) t Estas fucioes de cocetració se represeta e la gráfica siguiete para [A] =M: 8 A C Cocetració (M) 6 4 B Tiempo (s) Como ejercicio se propoe resolver el sistema de ecuacioes co el método umérico de segudo orde propuesto arriba Para ello, basta cosiderar la solució exacta imediata para la cocetració del compuesto A, co lo cual se utiliza el método para resolver el sistema de ecuacioes siguiete: 8-4

5 [ B] d d C [ ] = = [ A] e t [ B] [ B] Comparar el resultado gráfico co la solució exacta Cosiderar [A] =M, [B] =[C] =, = s - = s - Itegrar para u tiempo total de 6 s 8-5

6 Programas * program Euler implicit double precisio (a-h,o-z) h=d! Paso de itegracio x=! Puto iicial =d! do while (x<d)! Hasta el fial! fx=! La derivada es igual a x=xh! Siguiete valor de x =h*fx! Segu Euler write(*, (3g46) ) x,,dexp(x) ed do ed * ! program Ruge_Kutta implicit double precisio (a-h,o-z) h=d h=h/ x=d! Puto iicial =d! b=d! Puto fial do while (x<b) R =h*derivada(x,)! La derivada R=h*derivada(xh,R/) R=h*derivada(xh,R/) R3=h*derivada(xh,R) x=xh =R/6R/3R/3R3/6 write(*,'(3g46)') x,,dexp(x) ed do ed! ! double precisio fuctio derivada(x,) implicit double precisio (a-h,o-z) derivada= ed!

7 ! program Euler_predictor_corrector implicit double precisio (a-h,o-z) h=d! Paso h h=h/ epsilo=d-8! Precisio a=d! Puto iicial b=d! Puto fial x=a! Codicio de cotoro =d! do while (x<b) x=xh i=h*derivada(x,)! Predictor! Proceso iterativo p=derivada(x,i) i=h*(derivada(x,)derivada(x,i))! Corrector if (abs(i-i)>epsilo) the i=i goto ed if =i! Nuevo puto x=x write(*,'(4g46)') x,,dexp(x),(-dexp(x))/dexp(x)* ed do ed! ! double precisio fuctio derivada(x,) implicit double precisio (a-h,o-z) derivada= ed!

8 * PROGRAM Ruge_Kutta_segudo_orde parameter (zero=e,oe=e,two=e) * ao=oe xo=zero xf=6e x=oe x=two =zero z=zero * ope(uit=,file='bdat',status='uow') ope(uit=,file='cdat',status='uow') * t= h=(xf-xo)/t! cortes e el itervalo [,6] x=xo * write(,'(g46)') x, write(,'(g46)') x,z do =,t r= h * (x*ao*exp(-x*x)-x*) rl= h * (x*) x=xh! Ya es x r= h * (x*ao*exp(-x*x)-x*(r)) rl= h * (x*(r)) =(rr)/ z=z(rlrl)/ write(,'(g46)') x, write(,'(g46)') x,z = z=z ed do close() close() END *