Deducción de las Ecuaciones del Método de Runge-Kutta

Transcripción

1 Deducció de las Ecuacioes del Método de Ruge-Kutta El problema cosiste e ecotrar ua solució umérica a la ecuació dierecial d ordiaria de primer orde: ( ) sujeta a la codició iicial ( ). El d objetivo cosiste e ecotrar aproimacioes satisactorias para los valores de la solució e u cojuto especiicado de valores de deotados como. Los valores eactos los deotaremos como ( ) ( ) ( ) sus valores aproimados los deotaremos como Empezamos aproimado el valor de e el puto esto es. La maera mas simple de acer esto cosiste e aproimar por ( ) la estimació acostumbrada para el verdadero icremeto o sea d ( ). La ecuació dierecial misma os da el valor de la derivada e el puto ( ) esto es ( ) ( ) etoces ( ) por lo tato ( ) ( ) Ua vez que a sido obteida como la aproimació a ( ) el mismo procedimieto puede repetirse e ( ) para obteer ( ) ( ) ( ) así sucesivamete asta dode se ecesite. Este método se cooce co el ombre de Método de Euler Aora bie abiedo obteido como ua primera aproimació a ( ) por el método de Euler podemos usar aora la ecuació dierecial para calcular e el uevo puto P : ( ) usar etoces el promedio de las derivadas e los putos P : P : para obteer ua mejor aproimació de por tato de ( ) ( ) ( ). Este método os da el ates de calcular la siguiete aproimació [ ( )] la estimació mejorada del siguiete puto es valor. Este proceso se cooce co el ombre de Método Modiicado de Euler etoces: [ ( ) ( )] ( ) Otra posibilidad adicioal después de aber obteido como ua primera aproimació a ( ) por el método de Euler cosiste e reaproimar ( ) usado la derivada e el puto medio de P : ( ) P : ( ) e lugar de usar el promedio de las derivadas esto es e el puto:

2 M :. Esto os da la estimació mejorada ( ) esto os da ua tercera aproimació a ( ) como: ( ) ( ). Este proceso se cooce co el ombre de Método de Ruge El método de Ruge-Kutta es básicamete ua geeralizació de esos tres procedimietos simples e el que e cada paso se calcula tres o mas estimacioes de. El valor de que se usa etoces para calcular el siguiete valor de es ua combiació lieal de esas estimacioes e la cual las costates de combiació se escoge para acer el error ta pequeño como sea posible. E el método de Ruge-Kutta de tercer orde se toma los siguietes tres estimados de : que es la estimació del método de Euler ( ) ( ) ( ) [ p p ] < p que es parecido al estimado del < método de Ruge ecepto que e lugar de evaluar e el puto medio (co derivada se calcula e u puto P : [ p p( ) ] determiado q p ) la que todavía o se a [ r ( q r) ] < q r < e dode q r debe de calcularse. Fialmete el valor de que se usa ialmete para calcular se toma como: a b c e dode abc so parámetros que igual que los parámetros pqr debe escogerse para dar la mas alta precisió al estimar. Los detalles de este cálculo puede cosultarse e el libro Advaced Egieerig Matematics de C.R.Wlie Tird Editio McGraw-Hill 966. Dico procedimieto os lleva a u sistema de cuatro ecuacioes co seis icógitas: a b c pb qc p b q c prc de dode 6 puede despejarse cuatro de los parámetros e ució de los otros dos obteiedo: 6 pq ( p q ) q p a b c 6 pq 6 p( p q) 6q( q p) ( q p) ( p) q r p Puesto que p q so arbitrarias teemos etoces ua amilia de órmulas biparámetricas que puede usarse para resolver la ecuació dierecial de primer orde co ua precisió del orde de ( ).

3 Dos casos especiales del Método de Ruge-Kutta de Tercer Orde vale la pea aotar. Para listarlos usaremos la otació covecioal: CASO : r q p c b a CASO : r q p c b a 8 8 La discusió aterior puede etederse si diicultad (ecepto los detalles) para llegar a procedimietos de solució e los cuales el error es del orde de 5 5 E particular los dos cojutos de órmulas siguietes so bastate útiles: CASO : 5 6

4 CASO : 5 8 El proceso de solució basado e el CASO se cooce usualmete como El Método de Ruge-Kutta

5 5 Ejemplo de solució de ua Ecuació Dierecial de Primer Orde por el Método de Ruge-Kutta: ' X Y prom ########

6 6 Método de Ruge Kutta ejemplo resuelto co detalles ( ). ( ) prom 6 ( ) prom ( ) prom prom prom prom