Quadern d activitats de filtres digitals

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1 UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA ESCOLA UNIVERSITARIA POLITÈCNICA DE VILANOVA I LA GELTRÚ FILTRES ELECTRONICS ANALOGICS I DIGITALS (FEAD) Quader d activitats de filtres digitals GRUPS: K45-S45 CURS: 2006/ José Atoio Soria Pérez Miguel Ágel Ruiz UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA

2 Prólogo El presete dossier recoge toda ua serie de ejercicios que se recomieda realizar para reforzar los coocimietos explicados e las sesioes teóricos. Estos ejercicios comprede varios aspectos geerales y específicos que tiee que ver co el diseño de filtros digitales: coceptos básicos sobre el muestreo de señales, el aálisis de sistemas discretos y el diseño de filtros digitales a partir de filtros aalógicos etre otros. La gra mayoría de estas actividades puede ser realizadas co el soporte de Matlab (cosultar el documeto: quader d activitats de laboratori de filtres digitals), ua herramieta orietada al cálculo umérico e base al uso de matrices. E especial, los ejerciciosd que está marcados co u asterisco (*). Dicha herramieta es bastate idicada, especialmete para comprobar el resultado por el lector e las actividades que e este documeto aparece.

3 1. Coceptos básicos sobre señales digitales 1.1 Clasifique las señales siguietes e fució de las siguietes características: - Moo-caal o multi-caal - Domiio cotiuo o discreto - Aalógico o digital a) Precios de cierre de las accioes de la Bolsa de Valores de Madrid b) Ua película e color c) La posició del volate de u automóvil e movimieto co respecto a uos ejes de referecia situados e el automóvil d) Las medidas de alturas y peso de u iño tomadas mesualmete 1.2 Determie cuáles de las siguietes señales correspodietes a siusoides so discretas y calcule su periodo fudametal a) cos(0.01 π ) b) 30 cos π 105 c) cos(3 π ) d) se(3 ) e) 62 se π Determie si cada ua de las señales siguietes es periodica y calcule su periodo fudametal e caso afirmativo: a) x a (t) = 3 cos(5 t+π/6) b) = 3 cos(5 +π/6) c) = 2 exp[j (/6-π)] d) = cos(/8) cos(π /8) e) = cos(π /2)-se(π /2)+ 3 cos(π /4+π/3) 1.4 Demuestre que el periodo fudametal N p de las señales: s ( ) k j 2 π k N = e, k= 0, 1, 2, viee dado por N p = MCD(k,N), dode MCD deota el máximo comú divisor de k y N 1.5 Cosidere la siguiete señal siusoidal aalógica:ç x a (t) = 3 se(100 π t) a) Dibuje la señal x a (t) para 0 t 30ms b) La señal x a (t)se muestrea co ua tasa de Fs = 300 muestras/s. Determie la frecuecia de la señal e tiempo discreto de x a (T), T=1/F S, y demuestre que es periódica

4 c) Calcule los valores de las muestras de u periodo de. Dibuje e el mismo gráfico e el que ha represetado x a (t). Cuál es el periodo e mseg de la señal e tiempo discreto? d) Podría ecotrar ua tasa de muestreo F S tal que la señal alcace su valor de pico de 3?. Cuál es el valor míimo de F S e este caso? 1.6 Ua siusoide e tiempo discreto x a (t) co periodo fudametal T p = 1/F 0 se muestrea co ua tasa F S = 1/T para dar lugar a ua siusoide e tiempo discreto = x a (T) a) Demuestre que es periódica si T/T p = k/n (T/T p es u úmero racioal) b) Justifique la siguiete afirmació: es periódica si su periodo fumdametal T p e segudos, es igual a u úmero etero de periodos de x a (t). 1.7 Ua señal aalógica cotiee frecuecias hasta los 10KHz a) Qué itervalo de frecuecias de muestreo permite su recostrucció exacta a partir de sus muestras? b) Supoga que muestreamos esta señal a ua velocidad de 250 muestras/s. Cuál es la frecuecia más alta que se puede represetar de forma uívoca co esta tasa? 1.8 U electrocardiograma (ECG) aalógico cotiee frecuecias útiles hasta los 100Hz a) Cuál es la tasa de Nyquist que hay que utilizar e el muestreo de esta señal? b) Supoga que se muestrea esta señal a razó de 250 muestras/s. Cuál es la frecuecia más alta que se podrá represetar de forma co esta tasa de muestreo? 1.9 Ua señal aalógica x a (t) = se(480 π t) + 3 se(720 π t) se muestrea 600 veces por segudo a) Determie la tasa de Nyquist para x a (t) b) Determie la máxima frecuecia a la que se puede muestrear para que o existe ambigüedad al recostruir la señal origial c) Cuáles so las frecuecias, e radiaes, de la señal resultate? d) Si se pasa a través de u coversor D/A ideal, cuál es la señal recostruida y a (t) que se obtiee? 1.10 Por u elace de comuicacioes digitales se trasmite palabras codificadas e biario que represeta muestras de la siguiete señal de etrada: x a (t) = 3 cos(600 π t) + 2 cos(1800 π t) El elace trabaja a bits/s y cada muestra de etrada se cuatifica e u rago que puede teer 1024 valores de tesió diferetes. a) Cuál es la frecuecia de muestreo y la máxima que o produce ambigüedad al recuperar la señal origial?

5 b) Cuál es la tasa de Nyquist que se ha de utilizar para la señal origial? c) Cuáles so las compoetes frecueciales que se obtiee e tiempo discreto? d) Determie la resolució (Δ)? 1.11 Cosidere el sistema de procesado de señal que se muestra a cotiuació. Los periodos de muestreo de los coversores A/D y D/A so T = 5mseg y T = 1mseg, respectivamete. Determie la salida del sistema y a (t) a la etrada: x a (t) = 3 cos(100 π t) + 2 se(250π t) teiedo e cueta que el post-filtrado elimia cualquier compoete frecuecial por ecima de F S /2. x a (t) A/D D/A Filtro de y a (t) T T Pot-proc. Figura Sistema de procesado de señal 1.12 La siguiete señal e tiempo discreto: = 6.35 cos(π /10) es cuatificada co ua resolució (a) Δ=0.1 ó (b) Δ=0.02. Cuátos bits se ecesita e el coversor A/D para represetar la señal e cada caso? 1.13 Determie la velocidad de bit y la resolució del muestreo de ua señal sísmica cuyo rago diámico es de u voltio si la velocidad de muestreo es F S = 20muestras/seg y se utiliza u coversor A/D de 8 bits e dicha coversió. Cuál es la frecuecia máxima que se podría observar e la señal sísmica resultate acorde co dicho muestreo? 1.14* Muestreo de señales siusoidales. Aliasig. Cosidere la siguiete señal e tiempo cotiuo. x a (t) = se(2 π F 0 t), - t Dada que x a (t) se describe de forma matemàtica, su versió muestreada puede describirse co valores tomados cada T segudos. La señal muestreada queda defiida e este caso, mediate la expresió = x a (T) = se(2 π F 0 /F S t), - dode F S = 1/T a) Represete la señal, 0 99 para F S =5KHz y F 0 =0.5, 2, 3 y 4.5KHz. Comete las similitudes y diferecias que hay etre las diferetes represetacioes. b) Supoga que F 0 = 2Khz y que el muestreo F S = 50KHz. 1.- Dibuje la señal. Cuál es la frecuecia f 0 de la señal?

6 2.- Dibuje ahora la señal y() obteida a partir de las muestras pares de la señal de (y()=x(2)). Es siusoidal? Por qué? Si es así, cual es su frecuecia de oscilació? 1.15* Error de cuatificació e la coversió A/D de ua señal digital. Sea x q () la señal obteida al cuatificar = se(2 π f 0 ). La potecia del error de cuatificació se defie como: P q = N 1 N N = 0 e 1 [ q ] ( ) = x ( ) x( ) N = 0 2 La calidad de la señal cuatificada se mide mediate la relació señal-ruido de cuatificació (SQNR) Px SQNR = 10 log10 Pq dode P x es la potecia de la señal si cuatificar. a) Para f 0 = 1/50 y N = 200, escriba u programa para cuatificar la señal usado u trucamieto, co 64, 128 y 256 ivéles de cuatificació. E cada caso, dibuje las señales, x q () y e() calculado el SQNR correspodiete. b) Repita el apartado a) usado redodeo e vez de trucamieto. c) Comete los resultados obteidos e los dos casos ateriores. d) Compare los valores de SQNR medidos e cada caso co los de la expresió teórica (Cosultar aputes de clase) 1.16 Ua señal discreta se defie como x ( ) = + 1 1, 0,, e el resto a) Determie sus valores y dibuje b) Dibuje ña señal que resultaría si: 1.- E primer lugar se refleja y luego se desplaza cuatro muestras 2.- E primer lugar se desplaza cuatro muestras y luego se refleja c) Represete la señal x(-+4) d) Compare los resultados de los apartados (b) y (c) y deduzca ua regla para obteer x(-+k) de e) Es posible determiar e termios de δ() y u()? 1.17 La siguiete figura muestra ua señal discreta :

7 ½ ½ Figura Señal discreta del ejercicio 2.2 Represete cada ua de las siguietes señales: a) x(-2) b) x(-4) c) x(+2) d) u(-2) e) x(-1) δ(-3) f) x( 2 ) g) La parte par de h) La parte impar de 1.18 Demuestre que: a) δ() = u()-u(-1) b) u( ) = δ ( k) = k = k = 0 δ ( k) 1.19 Demuestre que cualquier señal puede descompoerse e ua parte par y ua par. Es esta ua descomposició úica? Ilustre los resultados co la siguiete señal: = {2, 3, 4, 5, 6} 1.20 Demuestre que la eergía (potecia) de ua señal es igual a la suma de eergías (potecias) de su parte par e impar.

8 Sistemas discretos 2.1 Cosidere el sistema: y()=t[] = x( 2 ) a) Determie si dicho sistema es ivariate e el tiempo. b) Ilustre el resultado del apartado a) e el caso de aplicar la siguiete señalal sistema aterior: x ( ) 1, 0, 0 3 e el resto 1. Dibuje la señal 2. Determie y dibuje la señal y()=t[] 3. Dibuje la señal y 2 =y(-2) 4. Determie y dibuje la señal x 2 =x(-2) 5. Determie y dibuje la señal y 2 ()=T[x 2 ()] 6. Compare las señales y 2 () y y 2 (). Qué coclusioes se puede extraer? c) Repita el apartado b) para el siguiete sistema: y()=t[] = -x(-1) Puede usar este resultado para sacar algua coclusió sobre la ivariaza e el tiempo del sistema? d) Repita el apartado b) para el siguiete sistema 2.2 Los sistemas discretos puede ser: y()=t[] = 1.- Estático o diámico 2.- Lieal o o lieal 3.- Ivariate e el tiempo o variate e el tiempo 4.- Causal o o causal 5.- Estable o iestable Referete a las propiedades ateriores, estudie los siguietes sistemas: a) y() = cos[] b) + 1 y ( ) = x( k) k = c) y() = cos[] d) y() = x(-+2) e) y() = Tr[], dode Tr[ ] deota la operació que sirve para quedarse co la parte etera de cada muestra e obteida por trucamieto.

9 f) y() =Rd[], dode Rr[ ] deota la operació que sirve para quedarse co la parte etera de cada muestra e obteida por redodeo. g) y() = h) y() = u() i) y() = + x(+1) j) y() = x(2), Sistema compresor de señal, si 0 k) y ( ) 0, si < 0 l) y() = x(-) m) y() = sig[] ) El sistema de muestreo ideal co etrada x a (t) y salida x a (T), Dos sistemas discretos T 1 y T 2 se coecta e serie para formar u uevo sistema T c, como se muestra e la siguiete figura. Figura Coexió de dos sistemas e serie Demuestre para cada caso que viee a cotiuació si las afirmacioes so ciertas o falsas a) Si T 1 y T 2 so lieales, etoces T c tambié es lieal (es decir, la coexió e serie de los dos sistemas es lieal) b) Si T 1 y T 2 so ivariates e el tiempo, etoces T c tambié es ivariate e el tiempo. c) Si T 1 y T 2 so causales e el tiempo, etoces T c tambié es causal. d) Si T 1 y T 2 so lieales y ivariates e el tiempo, etoces T c tambié lo es. e) Si T 1 y T 2 so lieales y ivariates e el tiempo, etoces el sistema global T c o cambia, es decir, T c = T 1 T 2 = T 2 T 1 f) Repita el apartada e) supoiedo que ambos sistemas so ahora variates e el tiempo. Poga u ejemplo g) Si T 1 y T 2 so o lieales, etoces T c o lo es. h) Si T 1 y T 2 so estables, etoces T c tambié lo es. i) Demuestre mediate u ejemplo que lo cotrario de los apartados c) y h) o es cierto e geeral. 2.4 Sea T u sistema LTI, estable BIBO e reposo co etrada y salida y(). Demuestre que: a) Si es periódica co periodo N ( = x(+n) para todo 0), la salida y() tiede a ua señal periódica co el mismo periodo. b) Si está acotada y tiede a ua costate, la salida tambié tiede a ua costate. c) Si es ua señal de eergía, la salida y() tambié será ua señal de eergía.

10 2.5 Para u determiado sistema ivariate e el tiempo se ha observado las siguietes parejas de etrada-salida: T x 1 () = {1, 0, 2} y 1 () = {0, 1, 2} T x 2 () = {0, 0, 3} y 2 () = {0, 1, 0, 2} T x 3 () = {0, 0, 0, 1} y 2 () = {1, 2, 1} Es posible extraer algú tipo de coclusió sobre la liealidad del sistema? Cuál es la respuesta impulsioal del sistema? 2.6 Para u determiado sistema ivariate e el tiempo se ha observado las siguietes parejas de etrada-salida: T x 1 () = {-1, 2, 1} y 1 () = {1, 2, -1, 0, 1} T x 2 () = {1, -1, 1} y 2 () = {-1, 1, 0, 2} T x 3 () = {0, 1, 1} y 2 () = {1, 2, 1} Es posible extraer algua coclusió sobre la ivariaza e el tiempo del sistema? 2.7 Demuestre que ua codició ecesaria y suficiete para que u sistema LTI e reposo sea estable BIBO es: para cualquier costate M h 2.8 Demuestre que: = h ( ) < a) U sistema e reposo es causal si y sólo si para cualquier etrada si: M h = 0 para < 0, y() = 0 para < 0 b) U sistema LTI e reposo es causal si y sólo si: h() = 0 para < Demuestre que:

11 a) Para cualquier costate a, real o compleja, y cualesquiera que sea los úmeros eteros y fiitos, M y N, teemos que: N = M a M N + 1 a a N, 1 a M + 1, si a 1 si a = 1 b) Si a < 1, etoces: a = = a c) Si y() = *h(), etoces = y x h dode x = = x ( ) 2.10 Calcule la covolució y() = *h() y compruebe el resultado utilizado el test proporcioado e el apartado c) del ejercicio 2.9 a) = {1, 2, 4}, h() = {1, 1, 1, 1, 1} b) = {1, 2, -1}, h() = c) = {0, 1, -2, 3, -4}, h() = {½, ½, 1, ½} d) = {1, 2, 3, 4, 5}, h() = 1 e) = {1, -2, 3}, h() = {0, 0, 1, 1, 1, 1, 1} f) = {0, 0, 1, 1, 1, 1}, h() = {1, -2, 3} g) = {0, 1, 4, -3}, h() = {1, 0, -1, -1} h) = {1, 1, 2}, h() = u() i) = {1, 1, 0, 1, 1}, h() = {1, -2, -3, 4} j) = {1, 2, 0, 2, 1}, h() = k) = (½) u(), h() = (¼) u() 2.11 Calcule y represete las covolucioes *h() y h()* para las siguietes señales a) 1 6 h()

12 b) h() c) h() d) h() Figura Señales y respuestas impulsioales del ejercicio Calcule la covolució y() correspodiete a la siguiete señal y respuesta impulsioal del sistema h() 1, x ( ) 3 0, 0 6 e el resto h () 1, 0, -2 2 e el resto a) Determie y() gráficamete b) Determie y() aalíticamete 2.13 Determie la covolució y() de las siguietes señales α, x( ) 0, -3 5 e el resto h () 1, 0, 0 4 e el resto 2.14 Cosidere las tres operacioes siguietes: a) Multiplique 131 por 122 b) Calcule la covolució de las señales: {1, 3, 1} * {1, 2, 2} c) Multiplique los poliomios: 1+3z+z 2 y 1+2z+2z 2 d) Repita el apartado a) para los úmeros 1.31 y 12.2 e) Comete los resultados 2.15 Sea la señal de etrada a u filtro discreto de respuesta impulsioal h i () y sea y i () la salida correspodiete a cada uo de estos sistemas.

13 a) Calcule y represete e u gráfico e y i () e los siguietes casos, utilice la misma escala e todas las figuras. = {1, 4, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 5, 7, 6, 9} 1.- h 1 () = {1,1} 2.- h 2 () = {1, 2, 1} 3.- h 3 () = {½, ½} 4.- h 4 () = {¼, ½, ¼} 5.- h 5 () = {¼, -½, ¼} Represete, y 1 (), y 2 () e u gràfico y, y 3 (), y 4 (), y 5 () e otro gráfico b) Cuál es la diferecia etre y 1 () e y 2 ()? Y etre y 3 () e y 4 ()? c) Comete la suavidad que se observa e las formas de y 2 () e y 3 ()? Qué factores cree que afecta a dicha suavidad? d) Compare y 4 () co y 5 (). Cuál es la diferecia? Puede ecotrar algua justificació? e) Sea h 6 () = {½, -½}. Determie y 6 (). Represete, y 2 () e y 6 () e el mismo gráfico y comete los resultados 2.16 El siguiete sistema discreto: y() = y(-1)+, 0 se ecuetra iicialmete e reposo (y(-1) = 0). Compruebe si el sistema es lieal, ivariate e el tiempo y estable BIBO 2.17 Cosidere la señal γ() = a u(), 0 < a < 1 a) Demuestre que cualquier secuecia de puede descompoerse como x( ) = ck = γ ( k) y exprese c k e térmios de b) Use las propiedades de liealidad e ivariaza e el tiempo para expresar la salida y() = T[] e térmios de la etrada y de la señal g() = T[γ()], dode T[ ] correspode a u sistema LTI. c) Exprese la respuesta impulsioal h() = T[δ()] e térmios de g() 2.18 Determie la respuesta y(), 0, del sistema descrito por la ecuació e diferecias a la etrada = 4 u() y() 3 y(-1) 4 y(-2) = + 2 x(-1) 2.19 Determie la respuesta impulsioal del sistema causal del ejercicio 2.18

14 2.20 Sea, N 1 N 2 y h(), M 1 M 2 dos señales de duració fiita a) Determie e térmios de N 1, N 2, M 1 y M 2 el itervalo L 1 L 2 e el que su covolució es o ula. b) Determie los límites que habrá que utilizar e el sumatorio de la covolució e el caso de que ambas señales esté solapadas por la derecha, por la izquierda y e el caso e que se solape completamete. Por simplicidad, supoga que h() es más corta que c) Justifique la validez de los resultados ateriores calculado la covolució de las señales x () 1, 0, -2 4 e el resto 2.21 Cosidere el sistema de respuesta impulsioal h ( ) ( 1 ) 2 0,, h () 0 4 e el resto 2, 0, Determie la etrada para 0 8 que produce la salida: y() = {1, 2, 2, 5, 3, 3, 3, 2, 1, 0, } -1 2 e el resto 2.22 Cosidere la itercoexió de sistemas LTI que se muestra e la siguiete figura. h 1 () h 2 () h 3 () h 4 () + - y() Figura Sistema discreto a cosiderar e el ejercicio 2.22 a) Exprese la respuesta impulsioal global e térmios de h 1 (), h 2 (), h 3 () y h 4 () b) Determie h() cuado: h 1 () = {½, ¼, ½} h 2 () = h 3 () = (+1) u() h 4 () = δ(-2) c) Determie la respuesta del sistema del apartado b) a ua etrada: = δ(+2) + 3 δ( -1) 4 δ( -3)

15 2.23 Cosidere el sistema de la siguiete figura co h() = a u(), -1 < a < 1. h() z -2 h() + - y() Figura Sistema discreto a cosiderar e el ejercicio 2.23 Determie la respuesta y() del sistema co la etrada siguiete: = u(+5) - u ( -10) 2.24 Determie y represete la respuesta del siguiete sistema al escaló uitario y ( ) = 1 M M 1 k = 0 x ( k) 2.25 Determie para qué valores del parámetro a del siguiete sistema LTI co respuesta impulsioal es estable a, h ( ) 0, 0, par e el resto 2.26 Determie la respuesta del sistema co respuesta impulsioal a la señal de etrada h() = a u() = u() u(-10) Nota: Es posible obteer rápidamete la solució utilizado las propiedades de liealidad e ivariaza impulsioal e el tiempo al resultado del ejemplo Determie la respuesta del sistema e reposo caracterizado por la respuesta impulsioal a las siguietes señales de etrada: a) = 2 u() b) = u(-) h() = (½) u()

16 2.28 Tres sistemas co respuestas impulsioales: h 1 () = h 2 () = δ() - δ(-1) y h 3 () = u(), se ha coectado e serie. a) Determie la respuesta impulsioal del sistema global, h c () b) Afecta el orde a la itercoexió a la respuesta global? 2.29 Coteste los siguietes apartados a) Pruebe y explique gráficamete la diferecia etre las relacioes: δ(- 0 ) = x( 0 ) δ(- 0 ) y *δ(- 0 ) = x(- 0 ) b) Demuestre que u sistema discreto que se describe a partir de la covolució es LTI y está e reposo c) Cuál es la respuesta impulsioal del sistema y() = x(- 0 )? 2.30 Dos señales s() y v() se relacioa mediate las siguietes ecuacioes e diferecias s() + a 1 s(-1)+ + a N s 0 ( -N) = b 0 v() Diseñe la realizació de los siguietes sistemas mediate diagramas de bloques. a) El sistema que geera s() cuado es excitado por v() b) El sistema que geera v() cuado es excitado por s() c) Cuál Es la respuesta impulsioal de la itercoexió e serie de los sistemas plateados e a) y b)? 2.31 Cosidere el sistema discreto descrito por la siguiete figura + + y() z -1 ½ Figura Sistema discreto del ejemplo 2.4 a) Calcule las 10 primeras muestras de su respuesta impulsioal b) Ecuetre la relació etrada-salida c) Aplique la etrada = {1, 1, 1, } y calcule las 10 primeras muestras de la sdalida d) Calcule las 10 primeras muestras de la salida a la etrada dada e el apartado usado covolució e) Es el sistema causal? Es estable? 2.32 U sistema descrito se implemeta como idica la figura 2.5

17 2 + + y() z Figura Sistema discreto del ejemplo 2.5 a) Determie la respuesta impulsioal b) Determie la realizació del sistema iverso, esto es, el sistema produce cuado y() es la etrada 2.33 Cosidere el sistema discreto mostrado e la siguiete figura + + y() z z -1 3 Figura Sistema discreto del ejemplo 2.6 a) Calcule los seis primeros valores de la respuesta impulsioal del sistema b) Determie ua expresió aalítica para la respuesta impulsioal del sistema 2.34 Determie y dibuje la respuesta impulsioal de los siguietes sistemas para = 0, 9 a) z -1 z -1 z -1 1/3 + + y() z -1 b) ½ + y() z -1

18 z -1 z -1 + ½ z -1 1/8 c) + + y() z -1 z Cosidere los tres sistemas mostrados a cotiuació: z -1 z -1 c 0 c 1 c y() b 0 b 1 b 2 y() z -1 + z -1 + y() z -1 z -1 + a 0 a 1 a 2 + a) Determie y dibuje sus respuestas impulsioales h 1 (), h 2 (), h 3 (). b) Es posible elegir los coeficietes de cada sistema de maera que h 1 () = h 2 () = h 3 ()? 2.36 Cosidere el sistema mostrado a cotiuació z y()

19 ½ z -1 a) Determie su respuesta impulsioal h() b) Demuestre que h() es igual a la covolució de las siguietes señales: h 1 () = δ() + δ(-1) h 2 () = (½) u() 2.37 Determie la respuesta y(), 0 del siguiete sistema descrito por la ecuació e diferecias de segudo orde: cuado la etrada es: y() 4 y(-1) + 4 y(-2) = x(-1) = (-1) u() y las codicioes iicales so y(-1) = y(-2) = Determie la respuesta impulsioal h() del sistema descrito por la ecuació e diferecias de segudo orde del ejercicio Determie que cualquier señal discreta puede expresarse como x( k) x( k 1) ] u( k) [ x ( ) = k = dode u(-k) es u escaló uitario retrasado k muestras e el tiempo, es decir, u ( k) 1, 0, k e el resto 2.40 Demuestre que la salida de u sistema LTI se puede expresar e térmios de su respuesta al escaló uidad s() de la siguiete maera: y( ) = = [ s( k) s( k 1) ] x( k) [ x( k) x( k 1) ] s( k) k = k = =