FACULTAD DE INFORMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE DA CORUÑA FACUTAD DE INFORMÁTICA Deartameto de Matemáticas PROYECTO DE FIN DE CARRERA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Diseño e imlemetació de ua herramieta ara la eseñaza y el aredizaje de la teoría de colas Autor : Director : Ricardo Cao Abad A Coruña, Eero de 2004

2 Título del royecto: Diseño e imlemetació de ua herramieta ara la eseñaza y aredizaje de la teoría de colas. Clase de royecto: Clásico de igeiería Nombre del autor: Nombre del director: Ricardo Cao Abad Miembros del Tribual Fecha de lectura y defesa Calificació obteida

3 A mi madre

4 AGRADECIMIENTOS Se me hace bastate comlicado el itetar codesar e ua sola ágia los agradecimietos a todas aquellas ersoas que ha teido ua ifluecia directa o idirecta e la realizació de este royecto. E rimer lugar, a mi familia, e esecial a mi abuela, mi madre y mi hermaa, or su reocuació, su aoyo e los mometos difíciles y la cofiaza deositada e mí. Tambié me gustaría agradecer a todos aquellos rofesores de la facultad, esecialmete a mi director de royecto, Ricardo Cao, or su dedicació, su disosició y or toda la ayuda restada y a José Mª Domíguez. No sería justo que me quedase si agradecer tato a todos los comañeros de rácticas que he teido a lo largo de estos años: Pablo, Alberto, Víctor, Miguel,... y sobre todo a Juada, como a todos los comañeros y amigos que he coocido e la facultad. Por último, auque o or ello meos imortate, me gustaría tambié dar las gracias a mis amigos de Sata María del Mar, esecialmete a Jua y a uis, or su reocuació y las veces que os hemos reído todos jutos.

5 RESUMEN Mediate la realizació de este royecto se retede desarrollar ua alicació que ermita resolver los distitos roblemas de teoría de colas (modelos y redes de colas que se ueda latear, y que al mismo tiemo ueda ser emleada e u ámbito docete. Para ello se ha desarrollado e MATAB ua alicació que resuelve dichos roblemas desde ua ersectiva dual: aquellos modelos e los cuales tato la distribució del tiemo etre llegadas como la distribució del tiemo de servicios sea de carácter exoecial, se resolverá de forma aalítica, roorcioado ua resuesta exacta a dicho roblema imlemetado las distitas fórmulas existetes; or otra arte cuado la distribució del tiemo etre llegadas o la del tiemo de servicios sea o o exoeciales, se resolverá dicho roblema emleado técicas de simulació. E ambos casos el usuario tiee la osibilidad de coocer las características del roblema itroducido mediate la visualizació (gráfica o umérica de u determiado úmero de arámetros como los siguietes: úmero medio de clietes e el sistema, úmero medio de clietes e la cola, tiemo medio que u cliete está e el sistema, tiemo medio de esera e la cola, eficiecia del sistema, itesidad de tráfico del sistema, robabilidad de que haya u determiado úmero de clietes e el sistema, robabilidad de que haya u determiado úmero de clietes e el sistema justo cuado ua ueva llegada se está roduciedo o la robabilidad de que u determiado cliete esté e la cola o e el sistema durate u tiemo meor que uo establecido. Co el desarrollo de esta alicació, se retede ofrecer al usuario la osibilidad de coocer mejor las características del roblema itroducido e icluso tomar decisioes sobre el mismo si se trata de u roblema real.

6 PAABRAS CAVE Fase de estabilizació, Fase de simulació, Modelo M/M/-, Redes de Jackso abiertas, Redes de Jackso cerradas, Simulació estocástica, Sistemas de esera, Tasa de llegada, Tasa de servicio, Teoría de colas.

7 ista de Figuras Figura - Modelo de ua cola simle...5 Figura 2- Elemetos existetes e u modelo de colas...9 Figura 3- Red de Jackso abierta co K Figura 4- Red de Jackso cerrada co K Figura 5- Resume de tios de simulació...36 Figura 6- Comortamieto de la simulació...38 Figura 7- Ciclo de vida ara la arte de resolució aalítica...42 Figura 8- Ciclo de vida ara la arte de simulació...43 Figura 9- Comortamieto gráfico de la simulació...68 Figura 0- Actualizació de los valores de "c" y "d" e las redes cerradas...82 Figura - ocalizació de la careta e dode se ecuetra la alicació...25 Figura 2- Vetaa iicial de la alicació...26

8 Ídice Caítulo : Itroducció....- Características iiciales del royecto Justificació del royecto Objetivos del royecto Herramieta utilizada ara el desarrollo Itroducció a la Teoría de Colas El orige Defiicioes iiciales Objetivos de la Teoría de Colas Elemetos existetes e u modelo de colas Termiología y otació Termiología Cocetos básicos Notació de Kedall Redes de colas Itroducció a las redes de colas Redes de Jackso abiertas Redes de Jackso cerradas Itroducció a la Simulació Cocetos básicos Exerimetació real y simulació Tios de simulació Simulació estática y diámica Simulació or evetos y or cuatos Problemas de estabilizació y deedecia Comortamieto de la simulació Alicacioes comues y uso de la simulació...38

9 Caítulo 2: Asectos de imlemetació Características geerales de la alicació Filosofía de la imlemetació Ciclo de vida emleado Parámetros de etrada y salida Distribucioes de robabilidad elegidas Resolució aalítica Características geerales Resolució de los modelos Modelo M/M/ Modelo M/M/s Modelo M/M//K Modelo M/M/s/K Modelo M/M// /H Modelo M/M/s/ /H Modelo M/M/s/ /H co Y reuestos Modelo M/M/ Redes de Jackso abiertas Redes de Jackso cerradas Resolució or simulació Características geerales Imlemetació de los distitos modelos Bucle de simulació del modelo G/G/ Bucle de simulació del modelo G/G/s Bucle de simulació del modelo G/G//K Bucle de simulació del modelo G/G/s/K Bucle de simulació del modelo G/G// /H Bucle de simulació del modelo G/G/s/ /H Bucle de simulació del modelo G/G/s/ /H co Y reuestos Bucle de simulació del modelo G/G/ Bucle de simulació de las redes cerradas Bucle de simulació de las redes abiertas...83

10 2.4- Detalles de la imlemetació Cálculo de W(t e los modelos e los que o hay ua solució aalítica Problemas de desbordamieto e el cálculo Problemas de recisió e el cálculo...89 Caítulo 3: Evaluació de la alicació Validació de los resultados de la simulació Variació del arámetro de estabilizació y del úmero de clietes de la simulació Variació de la itesidad de tráfico Variació del modelo de colas Validació de la simulació de las distribucioes de robabilidad Ifluecia de la variació de alguos arámetros e el tiemo de ejecució de la simulació Variació de la distribució de robabilidad Variació de la itesidad de tráfico Variació del arámetro de estabilizació y úmero de clietes de la simulació Variació del modelo de colas...6 Caítulo 4: Coclusioes y trabajo futuro...8 Aédice A: Características de las de distribucioes usadas e la alicació.2 Aédice B: Istalació y ejecució de la alicació...24 Aédice C: Coteido del CD...27 Bibliografía...28

11 Caítulo : Itroducció No imorta e qué cola se sitúe: a otra siemre avazará más ráido (Primera ey de Harer Y si se cambia de cola, aquélla e la que estaba al riciio emezará a ir más derisa (Seguda ey de Harer

12 Caítulo : Itroducció.- Características iiciales del royecto..- Justificació del royecto as colas so u asecto de la vida modera que os ecotramos cotiuamete e uestras actividades diarias. E el cotador de u suermercado, accediedo a Iteret,... el feómeo de las colas surge cuado uos recursos comartidos ecesita ser accedidos ara dar servicio a u elevado úmero de trabajos o clietes. El estudio de las colas es imortate orque roorcioa tato ua base teórica del tio de servicio que odemos eserar de u determiado recurso, como la forma e la cual dicho recurso uede ser diseñado ara roorcioar u determiado grado de servicio a sus clietes. Debido a lo cometado ateriormete, se latea como algo muy útil el desarrollo de ua herramieta que sea caaz de dar ua resuesta sobre las características que tiee u determiado modelo de colas...2- Objetivos del royecto Estos so alguos de los objetivos que se retede alcazar co el desarrollo de la alicació: Facilitar al usuario ua herramieta que le ermita obteer de forma secilla (tato gráfica como aalíticamete, las características de u determiado modelo de colas. 2

13 Caítulo : Itroducció Fometar el estudio y aredizaje de la teoría de colas e u ámbito docete, usado la herramieta como u osible comlemeto de las clases teóricas. Poder estudiar como ifluye la variació de los arámetros de u modelo sobre el modelo iicial ara así, facilitar la toma de decisioes...3- Herramieta utilizada ara el desarrollo a rogramació de los distitos modelos de colas colleva la codificació de u gra úmero de fórmulas matemáticas, o todas ellas secillas, que da resuesta a las características del mismo. Asimismo, el cálculo vectorial y matricial está resete e ua gra arte de estas fórmulas matemáticas (or ejemlo: las robabilidades ara ir de u odo a otro forma ua matriz, la evolució de ฟ(t a lo largo del tiemo se uede guardar e u vector,... Por todo ello, y tambié debido a su facilidad de uso, a la roductividad resecto a otros etoros de desarrollo y a que se trata de ua herramieta amliamete extedida e el ámbito docete que uede ayudar a fometar la eseñaza y el aredizaje de la teoría de colas se ha elegido MATAB como la herramieta más adecuada ara resolver u roblema de estas características. 3

14 Caítulo : Itroducció.2- Itroducció a la Teoría de Colas E muchas ocasioes e la vida real, u feómeo muy comú es la formació de colas o líeas de esera. Esto suele ocurrir cuado la demada real de u servicio es suerior a la caacidad que existe ara dar dicho servicio. Ejemlos reales de esa situació so: los cruces de dos vías de circulació, los semáforos, el eaje de ua autoista, los cajeros automáticos, la ateció a clietes e u establecimieto comercial, la avería de electrodomésticos u otro tio de aaratos que debe ser rearados or u servicio técico, etc. Todavía más frecuetes, si cabe, so las situacioes de esera e el cotexto de la iformática, las telecomuicacioes y, e geeral, las uevas tecologías. Así, or ejemlo, los rocesos eviados a u servidor ara ejecució forma colas de esera mietras o so atedidos, la iformació solicitada, a través de Iteret, a u servidor Web uede recibirse co demora debido a cogestió e la red o e el servidor roiamete dicho, odemos recibir la señal de líeas ocuadas si la cetral de la que deede uestro teléfoo móvil está colasada e ese mometo, etc..2.- El orige El orige de la Teoría de Colas está e el esfuerzo de Ager Krau Erlag (Diamarca, e 909 ara aalizar la cogestió de tráfico telefóico co el objetivo de cumlir la demada icierta de servicios e el sistema telefóico de Coehague. Sus ivestigacioes acabaro e ua ueva teoría deomiada teoría de colas o de líeas de esera. Esta teoría es ahora ua herramieta de valor e egocios debido a que u gra úmero de roblemas uede caracterizarse, como roblemas de cogestió llegada-salida. 4

15 Caítulo : Itroducció.2.2- Defiicioes iiciales a teoría de colas es el estudio matemático del comortamieto de líeas de esera. Esta se reseta, cuado los clietes llega a u lugar demadado u servicio a u servidor, el cual tiee ua cierta caacidad de ateció. Si el servidor o está disoible imediatamete y el cliete decide eserar, etoces se forma la líea de esera. Ua cola es ua líea de esera y la teoría de colas es ua colecció de modelos matemáticos que describe sistemas de líea de esera articulares o sistemas de colas. os modelos sirve ara ecotrar u bue comromiso etre costes del sistema y los tiemos romedio de la líea de esera ara u sistema dado. os sistemas de colas so modelos de sistemas que roorcioa servicio. Como modelo, uede reresetar cualquier sistema e dode los trabajos o clietes llega buscado u servicio de algú tio y sale desués de que dicho servicio haya sido atedido. Podemos modelar los sistemas de este tio tato como colas secillas o como u sistema de colas itercoectadas formado ua red de colas. E la siguiete figura odemos ver u ejemlo de modelo de colas secillo. Este modelo uede usarse ara reresetar ua situació tíica e la cual los clietes llega, esera si los servidores está ocuados, so servidos or u servidor disoible y se marcha cuado se obtiee el servicio requerido. Servidor(es legadas Salidas Posicioes de esera Figura - Modelo de ua cola simle 5

16 Caítulo : Itroducció El roblema es determiar qué caacidad o tasa de servicio roorcioa el balace correcto. Esto o es secillo, ya que u cliete o llega a u horario fijo, es decir, o se sabe co exactitud e que mometo llegará los clietes. Tambié el tiemo de servicio o tiee u horario fijo. os roblemas de colas se reseta ermaetemete e la vida diaria: u estudio e EEUU cocluyó que, or térmio medio, u ciudadao medio asa cico años de su vida eserado e distitas colas, y de ellos casi seis meses arado e los semáforos Objetivos de la Teoría de Colas os objetivos de la teoría de colas cosiste e: Idetificar el ivel ótimo de caacidad del sistema que miimiza el coste global del mismo. Evaluar el imacto que las osibles alterativas de modificació de la caacidad del sistema tedría e el coste total del mismo. Establecer u balace equilibrado ( ótimo etre las cosideracioes cuatitativas de costes y las cualitativas de servicio. Hay que restar ateció al tiemo de ermaecia e el sistema o e la cola: la aciecia de los clietes deede del tio de servicio esecífico cosiderado y eso uede hacer que u cliete abadoe el sistema. 6

17 Caítulo : Itroducció.2.4- Elemetos existetes e u modelo de colas Fuete de etrada o oblació otecial: Es u cojuto de idividuos (o ecesariamete seres vivos que uede llegar a solicitar el servicio e cuestió. Podemos cosiderarla fiita o ifiita. Auque el caso de ifiitud o es realista, sí ermite (or extraño que arezca resolver de forma más secilla muchas situacioes e las que, e realidad, la oblació es fiita ero muy grade. Dicha suosició de ifiitud o resulta restrictiva cuado, aú siedo fiita la oblació otecial, su úmero de elemetos es ta grade que el úmero de idividuos que ya está solicitado el citado servicio rácticamete o afecta a la frecuecia co la que la oblació otecial geera uevas eticioes de servicio. Cliete: Es todo idividuo de la oblació otecial que solicita servicio. Suoiedo que los tiemos de llegada de clietes cosecutivos so 0<t <t 2 <..., será imortate coocer el atró de robabilidad segú el cual la fuete de etrada geera clietes. o más habitual es tomar como referecia los tiemos etre las llegadas de dos clietes cosecutivos: τ{k} t k - t k-, fijado su distribució de robabilidad. Normalmete, cuado la oblació otecial es ifiita se suoe que la distribució de robabilidad de los τ k (que será la llamada distribució de los tiemos etre llegadas o deede del úmero de clietes que esté e esera de comletar su servicio, mietras que e el caso de que la fuete de etrada sea fiita, la distribució de los τ k variará segú el úmero de clietes e roceso de ser atedidos. Caacidad de la cola: Es el máximo úmero de clietes que uede estar haciedo cola (ates de comezar a ser servidos. De uevo, uede suoerse fiita o ifiita. o más secillo, a efectos de simlicidad e los cálculos, es suoerla ifiita. Auque es obvio que e la mayor arte de los casos reales la 7

18 Caítulo : Itroducció caacidad de la cola es fiita, o es ua gra restricció el suoerla ifiita si es extremadamete imrobable que o ueda etrar clietes a la cola or haberse llegado a ese úmero límite e la misma. Discilia de la cola: Es el modo e el que los clietes so seleccioados ara ser servidos. as discilias más habituales so: a discilia FIFO (first i first out, tambié llamada FCFS (first come first served: segú la cual se atiede rimero al cliete que ates haya llegado. a discilia IFO (last i first out, tambié coocida como CFS (last come first served o ila: que cosiste e ateder rimero al cliete que ha llegado el último. a RSS (radom selectio of service, o SIRO (service i radom order, que seleccioa a los clietes de forma aleatoria. a discilia RR (roud robi, segú la cual se otorga u equeño cuato de tiemo de servicio a cada cliete de forma secuecial. Esto viee a equivaler a reartir los recursos de forma igualitaria etre todos los clietes e esera y, or suuesto sólo tiee setido e alguas circustacias (como el ámbito de la iformática. Mecaismo de servicio: Es el rocedimieto or el cual se da servicio a los clietes que lo solicita. Para determiar totalmete el mecaismo de servicio debemos coocer el úmero de servidores de dicho mecaismo (si dicho úmero fuese aleatorio, la distribució de robabilidad del mismo y la distribució de robabilidad del tiemo que le lleva a cada servidor dar u servicio. E caso de 8

19 Caítulo : Itroducció que los servidores tega distita destreza ara dar el servicio, se debe esecificar la distribució del tiemo de servicio ara cada uo. a cola, roiamete dicha, es el cojuto de clietes que hace esera, es decir los clietes que ya ha solicitado el servicio ero que aú o ha asado al mecaismo de servicio. El sistema de la cola: es el cojuto formado or la cola y el mecaismo de servicio, juto co la discilia de la cola, que es lo que os idica el criterio de qué cliete de la cola elegir ara asar al mecaismo de servicio. Estos elemetos uede verse más claramete e la siguiete figura: legada de u cliete Discilia de la cola Cola Fuete de etrada Servicio Mecaismo de servicio Sistema de la cola Figura 2- Elemetos existetes e u modelo de colas 9

20 Caítulo : Itroducció.2.5- Termiología y otació Termiología A meos que se establezca otra cosa, y tomado como referecia [Cao-02], se utilizará la siguiete termiología estádar: N(t: Deota el úmero de clietes e el sistema e el istate t. N(t es u roceso estocástico e tiemo cotiuo y co esacios de estados discreto. N q (t: Rereseta el úmero de clietes e la cola e el istate t. P (t: Es la robabilidad de que, e el istate t, se ecuetre clietes e el sistema. A estos efectos se suoe coocido el úmero de clietes e el istate cero (usualmete dicho úmero es cero. s: Deota el úmero de servidores del mecaismo de servicio. λ : Rereseta el úmero medio de llegadas de clietes al sistema, or uidad de tiemo, cuado ya hay clietes e él. Tambié se deomia tasa de llegadas (que se corresodería co la tasa de acimietos si N(t es u roceso de acimieto y muerte. Cuado las tasas de llegada o deede de (es decir todos los λ so costates suele deotarse or λ dicho valor costate. µ : Es el úmero medio de clietes a los que se les comleta el servicio, or uidad de tiemo, cuado hay clietes e el sistema. Es frecuete referirse a los µ como tasas de comlecció de servicio (o, simlemete, tasas de servicio. Si todos los servidores tiee la misma distribució del tiemo de servicio, suele deotarse or µ el úmero medio de clietes que uede ateder 20

21 Caítulo : Itroducció cada servidor or uidad de tiemo. Como cosecuecia se tiee que µ µ si, 2,..., s y µ s µ ara s. ρ: Es la llamada costate de utilizació del sistema o itesidad de tráfico. Se defie, como ρ λ sµ Cuado los λ so costates y todos los servidores tiee la misma distribució de tiemo de servicio, λ es el úmero medio de clietes que etra e el sistema y sµ es el úmero medio de clietes a los que uede dar servicio los s servidores cuado todos está ocuados. E estas codicioes, ρ rereseta la fracció de recursos del sistema que es cosumida or los clietes. Así, ituitivamete, arece ecesario que se cumla, e estos casos, que ρ < y además cuato más cercao a que sea su valor, más tráfico ha de soortar el sistema (o meos tiemo libre tedrá los servidores, o más esera habrá de sufrir los clietes, como se quiera exresar. Auque es evidete que ρ o tiee uidades, es habitual medir la itesidad de tráfico e Erlags, e hoor a los trabajos ioeros de Erlag e la teoría de colas Cocetos básicos os siguietes cocetos, como se uede ver e [Cao-02], so de utilidad ara aalizar las características y el comortamieto de u modelo de colas estacioario: N: Es la variable aleatoria que cotabiliza el úmero de clietes e el sistema. N q : Deota la variable aleatoria úmero de clietes e la cola. 2

22 Caítulo : Itroducció : Es la robabilidad de que se ecuetre clietes e el sistema ( 0,,. : Rereseta el úmero medio de clietes e el sistema, es decir E(N. q : Que o es más que el úmero medio de clietes e la cola, o lo que es lo mismo, q E(N q. ฟ: Es la variable aleatoria que describe el tiemo que u cliete asa e el sistema o tambié llamado tiemo de esera e el sistema (icluyedo el tiemo de servicio ara cada cliete. ฟ q : Rereseta el tiemo que u cliete esera e la cola. W: Es el tiemo medio que u cliete está e el sistema. E térmios matemáticos, W E(ฟ. W q : Deota el tiemo medio de esera e la cola ara u cliete geérico. Matemáticamete, W q E(ฟ q Notació de Kedall Para clasificar los osible tios de sistemas de colas debemos esecificar las características que determia los elemetos que lo comoe. Así, Kedall (ver [Bos-02], [Cao-02] o [Hil-97] itrodujo e 953 la otació A/B/s ara idicar que la distribució del tiemo etre llegadas es de del tio A, que B es la distribució del tiemo de servicio y que s es el úmero de servidores. Posteriormete esta otació 22

23 Caítulo : Itroducció se extedió dado lugar a la más habitual e uestros días, cosistete e desigar el sistema de ua cola co la omeclatura A/B/s/K/H/Z, dode: A es la distribució del tiemo etre llegadas. Alguas de las abreviaturas más usadas ara las distribucioes etre llegadas so: M (exoecial, D (determiística, E k (Erlag co segudo arámetro k, U (uiforme, Γ (gamma o G (distribució geérica, etre otras. B es la distribució del tiemo de servicio. Se usa las mismas abreviaturas que las mecioadas ara A. s es el úmero de servidores del sistema. Puede ser u úmero etero ositivo (s, 2, o bie s. K es la caacidad de la cola (o logitud máxima de la misma. Tambié K uede ser u úmero etero mayor o igual que cero, o bie K, si o hay límite ara la cola. El valor de K uede omitirse, tomádose or defecto K. H es el tamaño de la oblació otecial. Tambié uede ser fiito o ifiito. Este último valor es el que se toma or defecto cuado se omite su valor. Z es la discilia e la cola. Alguas abreviaturas ara Z so FIFO, IFO, RSS, PR (discilia co rioridades o GD (discilia geeral. Su valor or defecto (e caso de omitirse Z es FIFO. Así, or ejemlo, la otació M/D/2/ / /FIFO idica que se trata del sistema de ua cola co tiemo etre llegadas exoeciales, tiemo de servicio determiístico (i.e. siemre se tarda el mismo tiemo e darle servicio a cada cliete, hay 2 servidores e el mecaismo de servicio, o existe límite ara el úmero de clietes que uede estar e la cola de esera, la oblació otecial se suoe co ifiitos 23

24 Caítulo : Itroducció clietes y los clietes so atedidos segú ua discilia FIFO. Como los tres últimos valores (, y FIFO so recisamete los asigados or defecto, la otació aterior odría abreviarse como M/D/ Redes de colas Se reseta aquí los modelos básicos de redes de colas abiertas y cerradas co distribució del tiemo de servicio y distribució del tiemo etre llegadas (si es el caso exoecial. Además se imodrá la restricció de que los clietes que sale servidos de ua de las colas que comoe la red se mueve istatáeamete y co ciertas robabilidades refijadas a cualquier otra osible cola de la red. Estos modelos da lugar a las llamadas redes de Jackso (abiertas y cerradas Itroducció a las redes de colas Ua red de colas o es más que ua red e la que cada odo está costituido or el sistema de ua cola. Se trata, or tato, de u grafo orietado e el que se uede roducir trasicioes de clietes que sale servidos de u odo (que es ua cola hacia otro odo. a forma más habitual (auque o la úica ara modelizar el modo e que los clietes servidos e u odo se dirige a otro es cosiderado que lo hace de acuerdo a ua distribució de robabilidad discreta. Al igual que e los modelos de ua úica cola, e las redes de colas abiertas tambié uede roducirse llegadas de clietes desde fuera del sistema (desde fuera de la red, e este caso y salidas de clietes servidos hacia fuera de la red. A diferecia de aquél caso, e las redes de colas sí tiee setido el latear situacioes e las que o hay llegadas de clietes desde fuera de la red i salidas hacia fuera de 24

25 Caítulo : Itroducció la red. Esto da lugar a las llamadas redes cerradas y tiee la eculiaridad que el úmero total de clietes e la red es fijo, y lo úico que descoocemos es dóde se ecuetra (e qué odos cocretos y e qué estado de servicio se halla. Por su arte, las redes abiertas so aquellas e que sí se roduce llegadas de clietes y salidas hacia fuera de la red. Como se cometaba co aterioridad, deotado or, 2,, K, los odos que forma la red (es decir las etiquetas co las que deotamos a cada cola la maera más frecuete de modelizar las trasicioes de clietes cosiste e suoer que cuado u cliete sale servido de la cola del odo i (siedo i ε{, 2,, K} se deslaza istatáeamete al sistema de la cola de cualquier otro odo j ε {, 2,, K}, co robabilidad ij. Evidetemete, e las colas abiertas tambié es osible que desde alguos odos se ueda abadoar la red. Deotado co el ídice 0 el exterior de la red, la robabilidad de que u cliete abadoe la red cuado sale servido del odo i se deotará or i0 y uede calcularse a artir de las ateriores mediate K i ij 0 j Este tio de esquema de trasició de clietes se deotará esquema de trasicioes istatáeas aleatorias de clietes. E ua situació como la aterior, las robabilidades de trasició de clietes de uos odos a otros se uede exresar de forma matricial: 25

26 Caítulo : Itroducció M P i M K M i2 M K 2 O O j 2 j M M ij Kj O O K 2K M ik M KK Esta es la llamada matriz de trasició de la red. Normalmete deotaremos or λ i la tasa de etrada desde fuera del sistema a la cola del odo i ε {, 2,, K}. Asimismo µ i deotará la tasa de servicio de cada uo de los servidores del subsistema del odo i. De esta forma, bajo la hiótesis de que los tiemos etre llegadas desde fuera del sistema sea de distribució exoecial de arámetro λ T (que deota la tasa de etrada al sistema, λ T Σ λ i y deotado or 0i la robabilidad de que cuado u cliete etra al sistema lo haga a través del odo i, se tiee que la distribució del tiemo etre dos etradas cosecutivas de clietes al subsistema del odo i es tambié exoecial y co arámetro λ i λ T 0i. Obviamete los valores de λ i tambié uede iterretarse como el úmero medio de clietes que etra al sistema, or el odo i, or uidad de tiemo. El úmero efectivo de llegadas de clietes al subsistema del odo i (sea rocedetes de fuera del sistema o de otro odo del mismo se deotará co la letra lambda mayúscula Λ i Redes de Jackso abiertas Ua red de Jackso abierta o es más que ua red de colas abierta (es decir, e la es osible la llegada de clietes desde fuera de la red y la salida de clietes a fuera de la red que verifica las tres roiedades siguietes: 26

27 Caítulo : Itroducció Cada odo i, 2,, K tiee u mecaismo de servicio cosistete e s i servidores co tiemo de servicio de idética distribució exoecial de arámetro µ i, de tal forma que las distribucioes de los tiemos de servicio de cada odo so iguales e todos los servidores de u odo (udiedo ser distitos etre los diferetes odos de la red. os clietes que llega al odo i desde fuera del sistema lo hace segú u roceso de Poisso de itesidad λ i. Esto equivale a decir que los tiemos etre dos llegadas de clietes cosecutivos desde fuera del sistema al odo i, sigue ua distribució exoecial de dicho arámetro. El flujo de clietes sigue el esquema de trasicioes istatáeas aleatorias. Es decir, cada cliete que sale servido del mecaismo de servicio del odo i va istatáeamete a cualquier otro odo j co robabilidad ij, o bie sale del sistema (lo cual ocurre co la siguiete robabilidad: K i 0 ij. j E la siguiete figura odemos ver u ejemlo de red de colas abierta: 27

28 Caítulo : Itroducció 22 λ 0 2 NODO NODO λ EXTERIOR 3 EXTERIOR λ 3 NODO Figura 3- Red de Jackso abierta co K Redes de Jackso cerradas Ua red de Jackso cerrada es ua red de colas cerrada co K odos o subsistemas, e la cual cada odo i, 2,, K tiee s i servidores e su mecaismo de servicio, siedo todos los del odo i co tiemo de servicio de distribució exoecial de arámetro µ i. A diferecia de las redes abiertas, o es osible i la etrada i salida de clietes hacia el exterior, co lo que, resulta idisesable esecificar e úmero de clietes detro de la red, N, que ermaecerá costate siemre. Por este motivo, T N y catidades como W T o W q,t, carece de setido. o realmete imortate aquí es determiar las robabilidades de que haya i clietes e el odo i ara i, 2,, K, que se deotará or, 2,... K distitas de cero sólo si K N.. Obviamete éstas robabilidades so 28

29 Caítulo : Itroducció Como o hay etradas de clietes, las robabilidades de trasicioes etre odos debe verificar lo siguiete: k j ij (siedo i u odo cualquiera de la red de colas Tal y como se cometa e [Bos-02], ua red de colas cerrada uede arecer iusual a rimera vista debido a que o ermite etrada o salida de clietes de la red. U sistema tíico de este tio odría ser uo e el cual haya ua gra catidad (ifiita de clietes itetado etrar al sistema de forma cotiua, el úmero de clietes a los que se les ermite la etrada tiee u determiado valor fijo y u cliete etra e el sistema de forma imediata, siemre que se comlete la secuecia de servicios de otro cliete (or ejemlo, u sistema de comutació de tiemo comartido. E la siguiete figura odemos ver u ejemlo de red de colas cerrada: 29

30 Caítulo : Itroducció 22 2 NODO NODO NODO 3 33 Figura 4- Red de Jackso cerrada co K 3 30

31 Caítulo : Itroducció.3- Itroducció a la Simulació Desde hace mucho tiemo la simulació ha sido ua herramieta imortate e ua gra catidad de ámbitos. Por ejemlo, la simulació del vuelo de u avió e u túel de vieto es ua ráctica ormal cuado se diseña u uevo avió. E teoría se odría usar las leyes de la física ara obteer la misma iformació sobre los cambios que sufre el avió si se modifica los arámetros, ero e el setido ráctico, el aálisis sería muy comlicado. Ua alterativa sería costruir avioes reales ara cada uo de los diseños y robarlos e vuelos reales, ero esto sería demasiado costoso (a la vez que eligroso. Por lo tato, desués de realizar u aálisis teórico relimiar ara desarrollar u diseño básico, la herramieta más viable ara exerimetar co los diseños esecíficos es la simulació del vuelo e u túel de vieto. Esta simulació sigifica imitar el desemeño de u avió real e u medio cotrolado co el fi de estimar cuál sería el desemeño real. Desués de desarrollar u diseño detallado se uede costruir u modelo rototio y robarse e u vuelo real ara dar los últimos detalles del diseño fial..3.- Cocetos básicos a simulació es la técica que cosiste e realizar exerimetos de muestreo sobre el modelo de u sistema. U modelo o es más que u cojuto de variables juto co ecuacioes matemáticas que las relacioa y restriccioes sobre dichas variables. a modelizació es ua etaa resete e la mayor arte de los trabajos de ivestigació (esecialmete e las ciecias exerimetales. E muchas ocasioes, la realidad es bastate comleja como ara ser estudiada directamete y es referible la formulació de u modelo que cotega las variables más relevates que aarece e el feómeo e estudio y las relacioes más imortates etre ellas. 3

32 Caítulo : Itroducció Frecuetemete, la resolució de los roblemas que se retede abordar uede realizarse or rocedimietos aalíticos sobre el modelo costruido (ormalmete mediate el uso de herramietas matemáticas como las de resolució de ecuacioes ordiarias o de ecuacioes difereciales, el cálculo de robabilidades, etc.. E otras circustacias dicha resolució aalítica o es osible (o es tremedamete comlicada o costosa y es referible ua aroximació de la solució mediate simulació Exerimetació real y simulació Como se cometa e [Cao-02], la exerimetació directa sobre la realidad uede teer muchos icoveietes: u coste muy alto gra letitud e ocasioes las ruebas so destructivas a veces o es ética (exerimetació sobre seres humaos uede resultar imosible (u acotecimieto futuro Razoes como esas (y alguas otras uede idicar la vetaja de trabajar co u modelo del sistema real. a estadística es recisamete la ciecia que se reocua de cómo estimar los arámetros y cotrastar la validez de u modelo a artir de los datos observados del sistema real que se retede modelizar. 32

33 Caítulo : Itroducció.3.3- Tios de simulació Simulació estática y diámica a simulació se dice estática si e el modelo o juega igú ael el trascurso del tiemo mietras que es diámica si el tiemo es ua de las variables imortates del modelo. E la simulació estática resulta muy secillo comarar distitas estrategias ate las mismas codicioes del azar, mietras que esto es más comlicado e la simulació diámica, exigiedo u trabajo mayor de laificació. Además, el coste comutacioal de la simulació estática es bastate más moderado. a simulació estática se usa muy frecuetemete or los estadísticos ara comrobar el comortamieto comarativo de diversos métodos estadísticos alterativos ara tamaños muestrales fiitos (comlemetado los estudios teóricos, casi siemre asitóticos. E la simulació diámica, ormalmete se trata de ir aalizado los distitos estados or los que va asado u sistema que evolucioa e el tiemo. Esto rovoca, e geeral, u mayor coste comutacioal y roblemas de estabilizació y deedecia. Existe dos grades tios de simulació diámica: la simulació cotiua, e la que se suoe que el sistema cambia de estado costatemete y la simulació discreta, ara la cual los cambios se roduce e ciertos istates de tiemo sigulares. a razó de sus ombres viee de que e el rimer caso el cojuto de estados es cotiuo, mietras que e el segudo es discreto. Detro de la simulació discreta distiguiremos la simulació or evetos y la simulació or cuatos. 33

34 Caítulo : Itroducció Simulació or evetos y or cuatos Co el ombre de simulació or evetos, o asícroa, desigamos el tio de simulació diámica discreta e la cual se cotrola la variable tiemo moviédola hasta la ocurrecia del siguiete suceso (o eveto. Esto imlica la ecesidad de cotrolar miuciosamete cuál es dicho róximo suceso: saber cuáles so los osibles sucesos e u futuro imediato y cuál de ellos es el más imediato. Resume de la simulació or evetos: [Hil-97] Se avaza el tiemo hasta el mometo e que ocurre el siguiete eveto de cualquier tio. Se actualiza el sistema determiado su uevo estado, que es el resultado de este eveto y geerado aleatoriamete (si o se geeró ates el tiemo hasta la siguiete ocurrecia de u eveto de cualquier tio que ueda ocurrir estado e este estado. Tambié se registra la iformació deseada sobre el comortamieto del sistema. (volver al aso aterior. Ejemlo de simulació or evetos: [Bos-02] Suogamos ua red de colas abierta co dos odos. os evetos que debemos cosiderar so los siguietes: legadas del exterior al odo legadas del exterior al odo 2 legadas al odo rocedetes del odo legadas al odo rocedetes del odo 2 legadas al odo 2 rocedetes del odo 34

35 Caítulo : Itroducció legadas al odo 2 rocedetes del odo 2 Fializació del servicio (salida e el odo Fializació del servicio (salida e el odo 2 Como se cometa e [Cao-02], la simulació or cuatos, o asícroa, resode a ua filosofía totalmete diferete. Se trata de examiar el sistema (que evolucioa e el tiemo dejado asar equeños itervalos de tiemo de logitud δ, fija, (llamada cuato e los cuales se suoe que, a lo sumo, u sólo suceso uede roducirse. Resume de la simulació or cuatos: [Hil-97] Se avaza el tiemo ua catidad fija equeña. Se actualiza el sistema determiado los evetos que ocurriero durate ese laso y el estado del sistema que resulta. Tambié se registra la iformació deseada sobre el comortamieto del sistema (volver al aso aterior. E geeral, la simulació or evetos es exacta y de más difícil imlemetació, ero de mucha más ráida ejecució que la simulació or cuatos. Si embargo esta última es muchas veces la úica osibilidad factible e la simulació diámica cotiua. 35

36 Caítulo : Itroducció E el siguiete esquema odemos ver u resume de los tios de simulació: Estática Simulació { Diámica { Cotiua Discreta { Por Evetos Por Cuatos Figura 5- Resume de tios de simulació.3.4- Problemas de estabilizació y deedecia Ambas cuestioes suele latearse e la simulació diámica. os roblemas de estabilizació está relacioados co el hecho de que, e ocasioes, el sistema evolucioa e el tiemo de tal forma que tiee ua distribució estacioaria que se suoe de artida ero que uede ser muy sesible a las codicioes iiciales co las que se comiece la simulació. E tal caso resulta coveiete el trascurso de cierto eríodo de tiemo (deomiado eríodo de estabilizació durate el cual los resultados obteidos ara las variables de salida so igorados y cuyo úico objeto es coseguir que se estabilice la distribució de robabilidad. os roblemas de deedecia so aquellos derivados del hecho de que frecuetemete (de uevo e modelos de simulació diámica las distitas variables 36

37 Caítulo : Itroducció de salida de la simulació so deedietes. Esto afecta fudametalmete a la recisió de los estimadores costruidos co observacioes de las mismas. Ua forma de ateuar este efecto sería cosiderar observacioes de las mismas e istates temoralmete lejaos (dode se suoe que la deedecia es mucho más débil. E ocasioes, más que ateuar este efecto se trata de estimar la recisió del estimador resultate. Obviamete, ara ello ha de teerse e cueta la deedecia Comortamieto de la simulació E la siguiete figura, se uede observar el comortamieto tíico de la simulació (descrito co más detalle e [Bos-02] de u arámetro Z durate ua simulació que fue llevada a cabo e u itervalo de tiemo (0, T. El arámetro Z se ecuetra iicialmete e u estado trasitorio, o ecesariamete cercao a su verdadero valor, ero e u mometo dado alcaza valores ya muy cercaos a la catidad de iterés. E la figura se uede observar dos itervalos: el rimero de ellos, llamado itervalo de trasició trascurre cuado t se ecuetra etre 0 y T Z, mietras que el segudo de ellos, e el cual la simulació ha alcazado las codicioes de equilibrio, trascurre cuado t se ecuetra etre T Z y T. 37

38 Caítulo : Itroducció Simulació Variable, Z Estado Trasitorio Estado de Equilibrio 0 T Z T Tiemo Figura 6- Comortamieto de la simulació.3.6- Alicacioes comues y uso de la simulació Se ha realizado umerosas alicacioes de simulació e ua gra variedad de cotextos. Estos so sólo alguos ejemlos (odemos ecotrar más e [Hil-97] que ilustra la gra versatilidad de esta técica: Simulació de las oeracioes e u aerouerto or ua comañía aérea ara robar cambios e las olíticas y rácticas de la emresa. Simulació de la ecoomía ara redecir el efecto de las decisioes de las olíticas ecoómicas. 38

39 Caítulo : Itroducció Simulació de batallas militares de gra escala ara evaluar los sistemas de armameto ofesivo y defesivo. Simulació de u sistema de comuicacioes telefóicas ara determiar la caacidad requerida de las resectivas comoetes ara roorcioar u servicio satisfactorio al ivel más ecoómico. Simulació de la oeració de la cueca hidráulica de u río ara determiar la mejor cofiguració de resas, latas de eergía y sistemas de irrigació que roorcioe el ivel deseado de cotrol de aveidas y desarrollo del recurso. a simulació es u método de aálisis cietífico amliamete usado. U estudio cometado or [Wat-89], de The Istitute of Maagemet Scieces (TIMS y de la Oeractios Research Society of America (ORSA averiguó que la simulació es ua de las técicas cietíficas que más se usa, solo detrás de las técicas de aálisis estadístico (iferecia, teoría de decisioes,... y las técicas de aálisis ecoómico. Otro estudio de los miembros de TIMS / ORSA comrobó si las orgaizacioes usaba técicas de simulació, y, si efectivamete era así, que resultados había obteido. os resultados fuero que el 89% de las orgaizacioes utilizaba técicas de simulació y que el 85% de las mismas estaba cotetas co los resultados obteidos. 39

40 Caítulo 2: Asectos de imlemetació No queda sio batiros (El ersoaje que rotagoiza Fracisco de Quevedo e la ovela El Caitá Alatriste de Arturo Pérez-Reverte

41 Caítulo 2:Asectos de imlemetació 2.- Características geerales de la alicació Como ya se ha cometado ateriormete, la alicació desarrollada es caaz de resolver roblemas de colas de forma aalítica y mediate simulació. Por ello, hemos decidido llamar a la alicació co el siguiete ombre: AQUAS, cuyas siglas sigifica Alicatio for solvig QUeuig roblems Aalytically ad usig Simulatio Filosofía de la imlemetació Como ya se ha cometado e ateriores aartados (ver..3, este royecto ha sido desarrollado utilizado MATAB como herramieta fudametal. a rogramació de la alicació ha sido realizada utilizado tato ficheros de comados (scrits, como fucioes, mietras que el cotrol de los distitos evetos se ha desarrollado emleado callbacks. Es imortate reseñar que, a esar de que la alabra diseño está icluida e el titulo del royecto, o tiee la cootació tíica e iformática (ya que esta suele ir asociada a la rogramació orietada a objetos, sio que más bie se refiere al desarrollo y elecció de las características estéticas de la alicació. Por otra arte, ara la realizació de la iterfaz se ha usado la GUI 2 de MATAB y las características que roorcioa. Tambié se ha emleado alguas fucioes esecíficas de la librería estadística (ver 2..4 y [2]. Para ua mayor aclaració sobre estos cocetos, véase [Red-98] o [8] 2 GUI: Grahical User Iterface. Ver [Mar-99] o [3] 4

42 Caítulo 2:Asectos de imlemetació Ciclo de vida emleado Hay que difereciar etre el ciclo de vida (defiició de [Pre-97] usado ara la arte aalítica y ara la arte de simulació. E la arte aalítica, el aálisis de cada modelo es muy secillo, ya que los algoritmos de resolució está reviamete establecidos, cosa que o ocurre e la arte de simulació, lo que imlica que el aálisis sea más comlejo, ya que hay que teer e cueta tato los osibles evetos (ver que uede ocurrir como la ifluecia de estos evetos e el cálculo de los distitos arámetros de salida. E las siguietes figuras odemos observar co detalle el ciclo de vida usado ara la arte aalítica y ara la arte de simulació. DETERMINAR OS PARAMETROS DE ENTRADA ERROR DETERMINAR OS PARAMETROS DE SAIDA DETERMINAR COMO CACUAR OS PARAMETROS DE SAIDA IMPEMENTAR E MODEO PRUEBAS SW DE MODEO IMPEMENTADO ANAIZAR OS POSIBES RIESGOS ANAISIS DE UN DETERMINADO MODEO Figura 7- Ciclo de vida ara la arte de resolució aalítica 42

43 Caítulo 2:Asectos de imlemetació DETERMINAR OS PARAMETROS DE ENTRADA ERROR DETERMINAR OS PARAMETROS DE SAIDA ANAIZAR A IMPEMENTACION DE AGORITMO ESTUDIAR OS POSIBES EVENTOS QUE PUEDEN OCURRIR (llegada de cliete, salida, trasició IMPEMENTAR E MODEO PRUEBAS SW DE MODEO IMPEMENTADO (CONTRASTE CON RESOUCION ANAITICA ANAIZAR OS POSIBES RIESGOS ANAIZAR A INFUENCIA DE EVENTO EN A VARIACION DE OS PARAMETROS ANAISIS DE UN DETERMINADO MODEO Figura 8- Ciclo de vida ara la arte de simulació Parámetros de etrada y salida a alicació da resuesta a los distitos modelos de colas. Cuado la hiótesis de exoecialidad es cierta, se roorcioa ua resuesta aalítica exacta al modelo. Por otra arte, si o odemos suoer dicha hiótesis, deberemos recurrir a la simulació ara oder teer ua resuesta co las características del modelo. Tato ara la resolució aalítica como e la resolució or simulació los arámetros de etrada so los siguietes: Número de servidores (s: Sólo ara el caso de los modelos M/M/s, M/M/s/K, M/M/s/ /H y M/M/s/ /H co Y reuestos e resolució aalítica y los modelos G/G/s, 43

44 Caítulo 2:Asectos de imlemetació G/G/s/K, G/G/s/ /H y G/G/s/ /H co Y reuestos e el caso de resolució or simulació. E el caso de que estemos e ua red de colas debemos itroducir el úmero de servidores ara cada uo de los odos de la red. Tamaño de la cola (K: Sólo ara el caso de los modelos M/M//K y M/M/s/K e resolució aalítica y los modelos G/G//K y G/G/s/K e el caso de resolució or simulació. Població otecial (H: Sólo ara el caso de los modelos M/M// /H, M/M/s/ /H y M/M/s/ /H co Y reuestos e resolució aalítica y los modelos G/G// /H, G/G/s/ /H y G/G/s/ /H co Y reuestos e el caso de resolució or simulació. Número de reuestos (Y: Sólo ara el caso del modelo M/M/s/ /H co Y reuestos e resolució aalítica y el modelo G/G/s/ /H co Y reuestos e el caso de resolució or simulació. Probabilidades de trasició etre odos ( ij : E el caso de las redes de colas abiertas o cerradas. Número de odos que forma la red (K: E el caso de que os ecotremos e ua red de colas Número de clietes de la red cerrada (N E el caso de que el usuario seleccioe la oció de resolució aalítica tedrá además los siguietes arámetros de etrada: 44

45 Caítulo 2:Asectos de imlemetació Tasa de llegada (λ: E las redes de colas abiertas debemos itroducir la tasa de llegada ara cada uo de los odos. E las redes de colas cerradas o tiee setido el icluir este arámetro. Tasa de servicio (µ: E las redes de colas debemos de icluir la tasa de servicio ara cada uo de los odos. Mietras que si elige la resolució or simulació tiee, a mayores, los siguietes arámetros de etrada: Tio de distribució a la etrada y la salida: E el caso de las redes de colas o tiee setido la distribució de etrada. Parámetros asociados a las distitas distribucioes elegidas. Parámetro de estabilizació. Número de clietes de la simulació ó Numero de trasicioes de clietes. Por otra arte, los arámetros de salida so los siguietes: : Número medio de clietes e el sistema. E el caso de ua red de Jackso abierta se muestra el úmero medio de clietes e cada odo y e toda la red. E el caso de ua red de Jackso cerrada se muestra el úmero medio de clietes e cada odo de la red. 45

46 Caítulo 2:Asectos de imlemetació q : Número medio de clietes e cola. E el caso de ua red de Jackso abierta se muestra el úmero medio de clietes e la cola e cada odo y e toda la red. E el caso de ua red de Jackso cerrada se muestra el úmero medio de clietes e la cola e cada odo de la red. W: Tiemo medio que u cliete está e el sistema. E el caso de ua red de Jackso abierta se muestra el tiemo medio que u cliete está e el sistema e cada odo y e toda la red. E el caso de ua red de Jackso cerrada se muestra el tiemo medio que u cliete está e el sistema e cada odo de la red. W q : Tiemo medio de esera e la cola ara u cliete. E el caso de ua red de Jackso abierta se muestra el tiemo medio de esera e la cola ara u cliete e cada odo y e toda la red. E el caso de ua red de Jackso cerrada se muestra el tiemo medio de esera e la cola ara u cliete e cada odo de la red. Itesidad del modelo: Refleja la itesidad de tráfico (tambié coocida como ρ y toma valores etre 0 y. Es ecesario que ρ sea iferior a, ara que el modelo sea estacioario. No se muestra e las redes de colas. Eficiecia del modelo: Equivale al cociete etre el tiemo medio que u cliete está e el sistema (W y el tiemo medio de servicio (W s, or lo que su valor siemre es mayor o igual que. No se muestra e las redes de colas. Valor de W(t e u istate determiado: No se muestra i e las redes de colas i e el caso de resolució or simulació. Valor de W q (t e u istate determiado: No se muestra i e las redes de colas i e el caso de resolució or simulació. 46

47 Caítulo 2:Asectos de imlemetació Gráfica co los valores de W(t y W q (t e uos istates determiados: No se muestra i e las redes de colas i e el caso de resolució or simulació. (: Probabilidad de que haya clietes e el sistema. E el caso de las redes abiertas y resolució aalítica odemos hallar la robabilidad de que haya u úmero determiado de clietes e cada uo de los odos de la red. E el caso de las redes cerradas y resolució aalítica teemos la osibilidad de hallar la robabilidad de que haya clietes e u odo determiado de la red, o hallar la robabilidad de que haya u úmero determiado de clietes e cada uo de los odos que forma la red. E el caso de las redes abiertas o cerradas y resolució or simulació teemos la osibilidad de hallar la robabilidad de que haya u úmero determiado de clietes e u odo de la red. q(: Probabilidad de que haya clietes e el sistema justo cuado se roduce ua llega. No se muestra i e los modelos M/M/, M/M/s e el caso de resolució aalítica, i e los modelos G/G/, G/G/s e el caso de resolució or simulació, i e las redes de colas. Gráfica co los valores de ( cuado toma uos valores determiados. No se muestra e el caso de las redes abiertas, i e la simulació de redes cerradas. 47

48 Caítulo 2:Asectos de imlemetació Distribucioes de robabilidad elegidas Para resolver la arte de simulació hemos elegido u cojuto de distribucioes de robabilidad 3 reresetativas. El usuario uede variar tato la distribució de llegada de clietes como la distribució de servicio. as distribucioes elegidas so las siguietes (se exlicará co más detalle e el Aédice A: Exoecial Uiforme Determiista Gamma Beta ogormal Normal De Weibull Para geerar úmeros aleatorios de dichas distribucioes se ha usado las fucioes (ver [2] que imlemeta MATAB. E la siguiete tabla odemos observar dichas fucioes. Nótese que la defiició de MATAB ara alguas de las fucioes, como or ejemlo la gamma o la de Weibull, es ligeramete distita a la uestra: 3 Podemos observar su defiició e [Cao-98] o [Dev-86] 48

49 Caítulo 2:Asectos de imlemetació DISTRIBUCION PARAMETROS FUNCION MATAB EXPONENCIA λ o µ exrd(/ λ o exrd(/ µ UNIFORME a, b uifrd(a, b DETERMINISTA d No hay. Es trivial. GAMMA a, gamrd(, /a BETA, q, k k betard(a, b OGNORMA µ, σ logrd(µ, σ NORMA µ, σ ormrd(µ, σ DE WEIBU λ, α weibrd(λ α, α Es imortate resaltar que e igú mometo se establece u valor ara la semilla. Cada vez que se llame a la fució de geeració de úmeros de ua determiada distribució, se utilizará el reloj del sistema como semilla, lo que imlica que si se hace varias llamadas cosecutivas a la fució se obtedrá valores o ecesariamete iguales. 49

50 Caítulo 2:Asectos de imlemetació 2.2- Resolució aalítica Características geerales Para resolver de forma aalítica los distitos modelos de colas se ha imlemetado las solucioes lateadas or los distitos libros (véase [All-90], [Bos-02], [Cao-02], [Gro-98] o [Hil-97]. a imlemetació de dichas fórmulas se realizó de forma eficiete, utilizado, e la medida de lo osible, la versió de las fórmulas cuyo coste comutacioal era más bajo y evitado la imlemetació directa de las fórmulas, de escasa eficiecia comutacioal. E el siguiete aartado se exlica de forma detallada las fórmulas que resuelve cada uo de los modelos de colas (modelos de la forma M/M/- y redes de Jackso Resolució de los modelos Modelo M/M/ 4 λ W W Itesidad ρ Eficiecia W µ µ W W q µ λ µ λ q 2 λ µ ( µ λ 4 a fórmula de la eficiecia es siemre igual, or lo que, se obviará e los siguiete modelos 50