A lo largo de este tema vamos a considerar que en conjunto ρν no contiene al elemento 0. Por tanto ρν={1, 2, 3, }.

Transcripción

1 1. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. A lo largo de este tea vaos a cosiderar que e cojuto ρν o cotiee al eleeto 0. Por tato ρν={1,, 3, }. DEF Llaareos sucesió de Núeros Reales a toda aplicació f: ρν ΙΡ. Es claro que a cada úero atural i ρν le correspode ua úica iage f(i), ya que e caso cotrario f o sería aplicació. Auque heos defiido coo sucesió a la aplicació f, por extesió del leguaje tabié llaareos sucesió al cojuto de las iágees de f, que atiee el orde de ρν iducido por f {f()} ρν. Cada ua de las iágees, f(k), recibe el obre de tério de la sucesió, y tabié se puede deotar por a k. Si podeos ecotrar ua expresió o fórula que os perita obteer cualquier tério de la sucesió e fució de ρν, se deotará por a y se llaará tério geeral de la sucesió. Ejeplos. 1) Sea f :ρν ΙΡ co f () = 1 1 f(1)=a 1 =1 f()=a = so los térios de la sucesió. 1 1 a = es el tério geeral de la sucesió y es la sucesió. N ) Otro ejeplo de sucesió puede ser ( 1) a = +1 Si es par 3) Si es ipar y los térios sería 1,, ( 1) y los térios so 1, 5, 9, 9, 5, 13, N,, par Etoces a = ipar. Etoces el tério geeral es 1/ 19

2 Coo podeos coprobar e este ejeplo, a veces es ecesario ás de ua fórula para poder defiir la sucesió o tério geeral. Podeos platearos la siguiete preguta Es posible deteriar ua sucesió a partir de u úero fiito de sus térios si coocer el tério geeral? Ates de cotestar esta preguta ecesitaos saber que es deteriar ua sucesió. DEF Ua sucesió está defiida si y sólo si es posible escribir sus térios e orde hasta el tério que se quiera. Iteteos cotestar ahora a la preguta. Sea 1, 1, 1, 1,... Para poder afirar que so sucesió ecesitaos coocer la expresió para a. La ás ituitiva es a =, pero es úica? Si fuese úica, la sucesió ya estaría totalete deteriada. Pero resulta que a = es otra sucesió tal que sus cuatro prieros térios tabié so 1, 1, 1, 1,... y o es la úica. Podeos ver que a = 4 sería otra > 4 Coo coclusió, podeos afirar que a partir de u úero fiito de térios o podeos obteer el tério geeral de la sucesió. Luego esa aera o os perite defiir ua sucesió. Veaos coo poder defiir ua sucesió. a) Coocer el tério geeral. Esta fora es la que heos visto hasta ahora. Cosiste e dar ua expresió ateática fució ρν, que perite obteer las iagees de la fució f: ρν ΙΡ sustituyedo e dicha expresió por cualquier úero atural. b) Ley de Recurrecia. Cosiste e obteer el valor de u tério de la sucesió e fució del aterior o ateriores. Si el tério geeral depede del aterior, es ecesario coocer el valor del prier tério de la sucesió, a 1. Si el tério depede de los k térios ateriores, la sucesió sólo quedará copletaete defiida si tabié cooceos los k prieros térios, a 1, a, a 3,, a k. / 19

3 Ejeplos. 1) Sea a 1 = 3 a 1 =3, a = 3-1=5, a 3 = 5-1=9, a = a 1 1 ) Ua sucesió uy iportate y coocida que sigue ua ley de recurrecia es la sucesió de Fiboacci. a 1 =1 a =1 y a =a -1 +a - 3 Así, la sucesió de Fiboacci es: 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,. PROGRESIONES ARITMÉTICAS. DEF Direos que ua sucesió de úeros reales {a } ρν es ua progresió aritética si la diferecia etre u tério de la sucesió y el iediataete aterior es u valor costate. De la defiició de progresió aritética obteeos que la sucesió {a } ρν : {a } ρν es ua progresió aritética a k+1 -a k = d k ρν El úero d recibe el obre de diferecia de la progresió aritética. A partir de la defiició de progresió aritética, obteeos ua ley de recurrecia para las isas. PROP Dada ua progresió aritética de diferecia d, el tério geeral viee expresado por la ley de recurrecia a =a -1 +d de. Coo {a } ρν es ua progresió aritética de diferecia d a +1 -a = d a +1 =a +d que es lo iso que a =a -1 +d PROP Toda progresió aritética de diferecia d tiee coo tério geeral a =(-1) d+a 1 de. Coo a =a -1 +d Para = a = a 1 +d Para =3 a 3 = a +d = a 1 +d+d = a 1 +d Para =4 a 4 = a 3 +d = a 1 +d+d = a 1 +3d Para a =a -1 +d = a 1 +(-) d+d = a 1 +(-1) d 3/ 19

4 Luego a = a 1 +(-1) d Así pues, podeos deteriar copletaete ua progresió aritética coociedo el prier tério de la sucesió y la diferecia. COROLARIO Dados dos térios cualesquiera, a r y a s co r<s, de ua progresió aritética, se verifica que a s = a r +(s-r) d de. Sabeos que a s = a 1 +(s-1) d a r = a 1 +(r-1) d Al restar abas expresioes iebro a iebro obteeos a s a r =a 1 + (s 1) d a 1 (r 1) d = (s 1 r + 1) d = (s r) d Luego a s = a r + (s r) d PROP Toda progresió aritética tiee coo tério geeral a = a +b co a,b ΙΡ y a 0. de. Sea {a } ρν ua progresió aritética de diferecia d a = a 1 + ( 1) d a = a 1 + d d a = d + (a 1 d) Si toaos a = d y b = a 1 d os queda a = a +b co a 0 U problea que podeos platearos es el llaado problea de iterpolació. Cosiste e itercalar térios cosecutivos etre a y b de tal fora que los + térios fore parte de ua progresió aritética. Los térios que itercalaos etre los extreos a y b recibe el obre de edios aritéticos. Para resolver este problea, lo úico que ecesitaos es poder obteer la diferecia d. PROP Dados dos úeros a y b, si itercalaos úeros tal que los + fore parte de ua progresió aritética, etoces la diferecia es b a d = +1 úeros de. Llaareos a 1 =a y a + =b sea a, a 3,, a +1 de tal fora que los térios que itercalaos 4/ 19

5 a a b a Sabeos que a + =a 1 +(+1) d d = + 1 = Los edios aritéticos será a+d, a+d, a+3d,, a+d Otro problea que tabié podeos platearos es el de calcular la sua de u úero fiito de térios de ua progresió aritética. PROP La sua de dos térios cualesquiera que equidista de a 1 y a es igual a la sua de éstos. de. Teeos que deostrar que dado p ρν co 0<p< se verifica a 1 +a = a 1+p +a -p dode a 1+p y a -p so equidistates de a 1 y a respectivaete. Sabeos que a 1+p = a 1 +(1+p-1)d = a 1 +pd a = a -p +(-+p)d = a -p +pd Si restaos abas ecuacioes iebro a iebro obteeos a 1+p -a = a 1 -a -p a 1+p + a -p = a 1 + a PROP La sua de térios cosecutivos de ua progresió aritética es igual a la itad de veces la sua de sus extreos. de. Sea a 1, a,, a los térios de la progresió aritética que quereos suar. S = a 1 +a + +a S = a +a a 1 S = (a 1 +a )+(a +a -1 )+ +(a +a 1 ) Aplicado la proposició aterior S = (a 1 +a ) S = (a 1 + a ) Ejeplo 1) Calcular la sua de los prieros últiplos de 3, coezado e 3. sol Coo a 1 =3, a =6, a 3 =9, d=3 y a = 3+(-1) 3 S = ( ( 1) 3) = ) Calcular la sua de los prieros úeros ipares. 5/ 19

6 sol 1, 3, 5, 7, a 1 =1 y d= a = 1+(-1) = -1 S = (1 + 1) = = 3. PROGRESIONES ARMÓNICAS. DEF Llaareos progresió aróica a ua sucesió de úeros cuyo tério geeral es de la fora 1 a = co a, b R y a 0 a + b reales {a } ρν Coo veos, ua progresió aróica está forada por los recíprocos de ua progresió aritética. Ejeplo 1 1) a = es ua progresió aróica co a=1 y b=0 ) a = es tabié ua progresió aróica. 4. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. DEF Direos que ua sucesió de úeros reales {a } ρν es ua progresió geoétrica si el cociete etre u tério de la sucesió y el iediataete aterior es u valor costate. De la defiició de progresió geoétrica obteeos que la sucesió {a } ρν : {a } ρν es ua progresió geoétrica a k +1 = r a k k ρν El úero r recibe el obre de razó de la progresió aritética. Ejeplo. La sucesió 3, 9, 7, 81,, 3, es ua progresió geoétrica ya que a a 1 3 = = La razó es r=3 Vaos a realizar u estudio siilar al ya visto para las progresioes aritéticas. A partir de la defiició de progresió geoétrica obteeos ua ley de recurrecia para las isas. 6/ 19

7 PROP Dada ua progresió geoétrica de razó r, el tério geeral viee expresado por la ley de recurrecia a =a -1 r de. Coo {a } ρν es ua progresió geoétrica de razó r a +1 =a r que es lo iso que a =a -1 r a +1 = r a PROP Toda progresió geoétrica de razó r tiee coo tério geeral a =a 1 r -1 de. Coo a =a -1 r Para = a = a 1 r Para =3 a 3 = a r = a 1 r r = a 1 r Para =4 a 4 = a 3 r = a 1 r r = a 1 r 3 Para a =a -1 r = a 1 r - r= a 1 r -1 Luego a = a 1 r -1 Por tato, podeos deteriar copletaete ua progresió geoétrica coociedo el prier tério de la sucesió y la razó. COROLARIO Dados dos térios cualesquiera, a p y a q co p<q, de ua progresió geoétrica, se verifica que a q = a p r q-p de. Sabeos que a q = a 1 r q-1 a p = a 1 r p-1 Al dividir abas expresioes iebro a iebro obteeos a q a = 1 r q 1 = r q 1 p+1 = r q p a a a r p 1 q = a p r p 1 q-p Si os fijaos e el tério geeral de ua progresió geoétrica, a =a 1 r -1, podeos deteriar la estructura de la sucesió. 1) Si r>1 La sucesió es divergete. Cada tério es ayor (eor) que el aterior si a 1 >0 (a 1 <0). ) Si r=1 La sucesió tiee todos sus térios iguales. 7/ 19

8 3) Si 0<r<1 La sucesió es covergete, y tiee por líite 0.. Cada tério es eor (ayor) que el aterior si a 1 >0 (a 1 <0). 4) Si r=0 La sucesió es la sucesió ula. 5) Si 1<r<0 La sucesió es covergete y tiee por líite 0. La sucesió es oscilate. 6) Si r=-1 La sucesió es oscilate y co los térios e valor absoluto iguales. 7) Si r<-1 La sucesió es oscilate y divergete, ya que cada tério es ayor (e valor absoluto) que el aterior. E las progresioes geoétricas, al igual que e las aritéticas, podeos platearos el problea de la iterpolació. PROP Dados dos úeros a y b (a,b ΙΡ y a 0) si itercalaos úeros tal que los b + úeros fore parte de ua progresió geoétrica, etoces la razó es r = +1 a de. a 3,, a +1 Sea a 1 =a y a + =b de tal fora que los térios que itercalaos sea a, a a b Sabeos que a + = a 1 r +1 r +1 = + r = +1 + = +1 a 1 a 1 a Los úeros que itercalaos recibe el obre de edios geoétricos y so a r, a r, a r 3,, a r. Ahora vaos a obteer tato la sua coo el producto de térios de ua progresió geoétrica. PROP El producto de dos térios equidistates de a 1 y a es igual al producto de éstos. de. Teeos que deostrar que dado p ρν co 0<p< se verifica a 1 a = a 1+p a -p dode a 1+p y a -p so equidistates de a 1 y a respectivaete. Sabeos que a 1+p = a 1 r 1+p-1 = a 1 r p a = a -p r -+p = a -p r p Si dividios abas ecuacioes iebro a iebro 8/ 19

9 p a a 1+ p a 1 r = a r p a 1+ p a = a 1 a p p a 1 a = a 1+p a -p PROP El producto de térios cosecutivos de ua progresió geoétrica es igual a la raíz cuadrada de la potecia -ésia del producto de sus extreos. de. Sea a 1, a,, a los térios de la progresió geoétrica que quereos ultiplicar. P = a 1 a a P = a a -1 a 1 P = (a 1 a ) (a a -1 ) (a a 1 ) Aplicado la proposició aterior: P = (a a ) P = (a a ) 1 1 PROP La sua de térios cosecutivos de ua progresió geoétrica es S = a 1 r 1 1 r siedo a 1 el priero de los térios. de. Sea a 1, a,, a los térios de la progresió geoétrica que quereos suar. S = a 1 +a + +a r S = a + +a +a +1 S r S = a 1 a +1 S (1-r) = a 1 a 1 r S (1-r) = a 1 (1-r ) S = a 1 r 1 1 r COROLARIO La sua de térios cosecutivos de ua progresió geoétrica de razó r=1 es S = a 1 de. E este caso, al ser r=1, o os sirve la proposició aterior, al ser el deoiador 0. Sabeos que todos los térios de ua progresió geoétrica de razó r=1 so iguales. Etoces S = a 1 +a + +a = a 1 S = a 1 9/ 19

10 COROLARIO La sua de térios cosecutivos de ua progresió geoétrica de razó r=-1 es S =0 si es par ó S =a 1 si es ipar. de. Sabeos que S 1 r = a S = a 1 ( 1) r Si es par (-1) = 1 S = 0 Si es ipar (-1) = -1 S = a 1 5. SERIES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS. DEF Llaareos serie al par ({a }, {S }) siedo {a } ua sucesió de úeros reales y S = a k. k =1 DEF La sucesió {S } recibe el obre de sucesió de suas parciales de la sucesió {a }. Si la sucesió {a } es ua progresió aritética, etoces la serie se llaa serie aritética. Si la sucesió {a } es ua progresió geoétrica, etoces la serie se llaa serie geoétrica. DEF Direos que la serie({a }, {S }) es suable si la sucesió {S } es covergete. Si {S } es covergete, etoces existe S=LiS y se represeta por S = a = Series Aritéticas. Si {a } es ua progresió aritética, etoces S = (a 1 + a ) PROP Ua serie aritética o es suable. de. Para ver si es suable, vaos a calcular LiS LiS (a + a ) (a + a + ( 1) d) a + d = Li = Li = Li d = 10/ 19

11 = Li d + (a 1 d ) = El líite será + si d>0 y será - si d<0 Luego la serie o es suable al o ser {S } covergete. 5.. Series Geoétricas. PROP Ua serie geoétrica es suable si r <1. de. Sea {a } ua progresió geoétrica y {S } la sucesió de suas parciales de {a }. Para que la serie sea suable debe existir lis. Coo {a } es ua progresió geoétrica, sabeos que 1 r S = a 1 1 r 0 si r < 1 si r >1 Li r = 1 si r =1 No Existe si r < 1 No Existe si r = 1 Teiedo e cueta el Li r, podeos calcular el Li S e fució del valor que tega r. a 1 1) Si r <1 Li S = 1 r a =1 a 1 = 1 r ) Si r<1 S o es covergete Li S o es fiito 3) Si r=1 Li S = Li (a 1 ) que o es fiito 4) Si r<-1 S o es covergete Li S o es fiito 5) Si r=-1 S o tiee líite, al ser ua sucesió oscilate de 0 y a APLICACIONES DE LAS PROGRESIONES Cálculo de las fraccioes geeratrices de úeros deciales periódicos. a) Decial Periódico Puro. Sea el úero x = 4'18 11/ 19

12 Coo x= lo podeos escribir coo x = y es lo iso que x = y por tato x = Lo que teeos e el iterior del parétesis es la sua 1 geoétrica de razó r = y prier tério a de ua progresió Sabeos que la sua de dicha progresió geoétrica es: 10 = = = Por tato x = x = 4 + = b) Decial periódico ixto Sea el úero x = 4'18 coo x = lo podeos escribir coo x = y es lo iso que x = y por tato x = Lo que teeos e el iterior del parétesis es la sua de ua progresió geoétrica de razó r = 1 y prier tério a 1 =1 10 Sabeos que la sua de dicha progresió geoétrica es 1 1 = 10 = = 0 10 Por tato x = = = / 19

13 6.. Aplicacioes de Mateática Fiaciera. Los biees ecoóicos tiee ua utilidad que edios e uidades oetarias (por ejeplo, euros o pesetas). Está claro que esta utilidad es ayor siepre que dispogaos de dicho bie. Es por ello que el tiepo ifluye e la apreciació positiva o egativa de los biees ecoóicos. Defiios al capital fiaciero coo la edida de cualquier activo, real o fiaciero, expresada por su cuatía y por su veciieto o oeto de dispoibilidad. Por tato, represetareos cualquier capital por el par ordeado (C,t) siedo C la cuatía del capital (e uidades oetarias) y t el oeto de dispoibilidad del capital (e años). E la actividad fiaciera que se realiza día a día, se efectúa gra catidad de operacioes co capitales. Los agetes ecoóicos ha de dispoer de herraietas que les perita coparar capitales, sustituir varios de ellos por uo sólo equivalete, etc. Las expresioes ateáticas que realiza esa labor so las llaadas Leyes fiacieras. Podeos distiguir etre leyes de capitalizació y de descueto, e fució de si ecesitaos coocer el valor de u capital actual e el futuro o e el pasado, respectivaete. So varias las fucioes ateáticas que podeos utilizar coo leyes fiacieras. Aquí vereos las leyes suativas y las leyes ultiplicativas. Las prieras se aplica cuado e el itervalo cosiderado o se acuula itereses para producir uevos itereses. Las segudas se utiliza cuado se acuula los itereses. Coo ejeplos teeos la capitalizació siple y el descueto coercial coo leyes suativas, y la capitalizació copuesta y el descueto copuesto, coo leyes ultiplicativas. a) Capitalizació Siple. La expresió ateática es L 1 (t) = 1+i t dode t es el tiepo e años e i el iterés o tato. Llaareos otate al capital equivalete a C detro de t años: M = C (1+i t) b) Capitalizació Copuesta La expresió ateática es L (t) = (1+i) t Siedo el Motate detro de t años: M = C(1+i) t Ejeplos: 1) Teeo s ua persoa que alquila u piso durate u año. Cada es le paga 500 ás el 5% esual. Qué catidad obtedrá al fial del año? 13/ 19

14 El prier es cobra 500 = 100(1+0 05(1-1)) El segudo es cobra 500(1+0 05(-1)) El tercer es cobra 500(1+0 05(3-1))... El últio es cobra 500(1+0 05(1-1)) E geeral, el es t (co t:1,...,1) cobrará a t = 500(1+0 05(t-1)) y a t = 5t+475 El diero que obtedrá será a 1 +a +...+a 1 que es la sua de los 1 prieros térios de ua progresió aritética de tério geeral a = Etoces coo S = (a 1 + a ) será S 1 = 1( ) = ) Ua persoa co 55 años decide ivertir auales e u fodo de pesioes al 7 5% de iterés aual. Coo el diero o lo puede rescatar hasta los 65 años, Cuáto diero obtedrá al cabo de esos diez años? Coo e este caso los itereses que se obtiee cada año so reivertibles, heos de utilizar la ley de capitalizació copuesta. Vaos a calcular el diero que será cada aualidad igresada detro de diez años. La priera aualidad será: 5.000( ) 11-1 La seguda aualidad será: 5.000( ) La décia y últia aualidad será: 5.000( ) E geeral, cada aualidad se covierte, detro de 11-t años e a t = 5.000( ) 11-t El diero que obtedrá será a 1, a,..., a 10 que es la sua de los diez prieros térios de ua progresió geoétrica de tério geeral b = 5.000(1 075) co b i =a 11-i. Coo S 1 r = a teeos que S = ' = ' r 1 1' PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS. DEF Direos que ua sucesió {a } ρν es ua progresió hipergeoétrica si el cociete de cada tério por el iediataete aterior es ua expresió de la fora: a +1 a + b = co a,b,c ΙΡ y a y c o siultáeaete ulos. a a + c OBS Las progresioes geoétricas so u caso particular de las progresioes hipergeoétricas ya que se obtiee para a=0, siedo la razó r=b/c. 14/ 19

15 PROP Dada la sucesió {a } que fora ua progresió hipergeoétrica, la sua de térios cosecutivos es siedo a 1 el priero de ellos. de. S = a +1 ( a + c) a 1 c a + b c Coo {a } es ua progresió hipergeoétrica, se verifica que a +1 = a Dado a los valores 1,, 3,, obteeos a 1 (a+b) = a (a+c) a (a+b) = a 3 (a+c) a -1 ((-1) a+b) = a ((-1) a+c) a ( a+b) = a +1 ( a+c) a + b a + c Suado iebro a iebro y eliiado los suados coues que figura e abos iebros, queda: S (a+b) = S c-a 1 c+a +1 ( a+c) S (a+b) S c = a +1 ( a+c) a 1 c S = a +1 ( a + c) a 1 c a + b c 8. PROGRESIONES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS. DEF Direos que ua sucesió {a } ρν es ua progresió aritético-geoétrica si el tério geeral es de la fora: a = (a +b) x dode a,b,x ΙΡ y tales que a y x o se aula siultáeaete. OBS Si toaos a=0 obteeos ua progresió geoétrica y si toaos x=1 obteeos ua progresió aritética. PROP La sua de térios cosecutivos de ua progresió aritético-geoétrica es de. 1 x a x x + b x (1 x ) S = 1 x 1 x 15/ 19

16 Si la sucesió {a } es ua progresió aritético-geoétrica, se verifica que a = (a +b) x Coo S = a =1 = (a + b) x =1 Etoces S = a x + b x =1 =1 y x S = a x +1 + b x +1 =1 =1 Restado teeos S x S = a ( x x +1 ) + b ( x x + 1 ) =1 =1 S (1 x) = a ( x x +1 ) + b ( x x +1 ) (1) =1 =1 Calculeos aparte abos suatorios: ( x x +1 ) = x x +1 = =1 =1 =1 = (x + x + 3x x ) (x + x ( 1)x + x +1 ) = = x + x + x x x +1 = x 1 x 1 x x +1 () ( x x +1 ) = ( x x ) + (x x 3 ) ( x x + 1 ) = x x +1 =1 (3) Sustituyedo () y (3) e (1) os queda: 1 x (1 x) S = a x 1 x x +1 + b ( x x +1 ) 1 x a x x + b x (1 x ) S = 1 x 1 x Corolario Si la sucesió {a } ρν es ua progresió aritético-geoétrica co x <1 etoces Li S ax + bx(1 x) = (1 x) 16/ 19

17 de. Si {a } es ua progresió aritético-geoétrica, se verifica que 1 x a x x + b x (1 x ) S = 1 x y coo x <1 Li x = 0 1 x a x b x (1 0) ax + bx 1 x 1 x ax + bx(1 x) Por tato S = = = 1 x 1 x (1 x) El resultado aterior se puede geeralizar de la siguiete fora: DEF Sea {a } ρν ua sucesió. Direos que es ua progresió aritético-geoétrica si su tério geeral es de la fora: a = P() x dode P() es u polioio de variable atural. Para obteer S, se sigue u proceso siilar al caso ás específico, visto ates. Sólo hay que teer e cueta que el proceso se reitera tatas veces coo idica el grado de P(). Ejeplo. Veáoslo ediate u ejeplo. Sea a =( +3) x S = a = ( + 3) x = x + 3 x =1 =1 =1 =1 x S = x a = ( + 3) x +1 = x +1 + x +1 3 =1 =1 =1 =1 S (1 x) = x x (x x +1 ) = =1 =1 =1 = (x + 4x + 9x x x 4x 3 9x 4... x ) (x x ) +1 = = (x + 3x + 5x ( 1) x x ) x(1 x ) Luego S (1 x) = x + (3x + 5x ( 1)x ) x x(1 x ) 17/ 19

18 y x S (1 x) = (x + 3x 3 + 5x ( 1) x +1 x + )+ 3x (1 x ) Restado queda: S ((1 x) x(1 x)) = x + (x + x x ) ( 1) x +1 x x + + 3x(1 x x + x +1 ) S (1 x) 1 = x + x 1 x x +1 ( 1+ )+ x x(1 x x + x +1 ) 1 x 1 x + 4x x 1 x +1 ( + 1)+ x + + 3x(1 x)(1 x ) S = 1 x (1 x) Li S = Si x <1 la serie ({a },{S }) es suable, siedo e este caso cocreto 4x x + + 3x(1 x) x(1 x) + 4x + 3x(1 x) 1 x x(3x 4x + 5) = = (1 x) (1 x) (1 x) BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA. Aálisis Mateático I. Aut. J.A. Ferádez Viña. Edit. Tecos. Aálisis Mateático. Miguel de Guzá-B. Rubio. Edit. Piráide. Curso de Aálisis Mateático I. Edit. Edusa. Leccioes de Cálculo Ifiitesial I. Mauel Fraco-Roque Molia. Edit. Uiversidad de Murcia. 18/ 19